new init
This commit is contained in:
snusxd
1
01 Учёба/1 семестр/Английский язык/!Учебник.pdf
Symbolic link
1
01 Учёба/1 семестр/Английский язык/!Учебник.pdf
Symbolic link
@@ -0,0 +1 @@
|
||||
../../../03 Ресурсы/Учебники/Английский.pdf
|
||||
36
01 Учёба/1 семестр/Английский язык/11.11 Вопросы.md
Normal file
36
01 Учёба/1 семестр/Английский язык/11.11 Вопросы.md
Normal file
@@ -0,0 +1,36 @@
|
||||
### 1
|
||||
#учеба #семестр_1 #английский_язык
|
||||
|
||||
Вопрос (RU): Какие три основных типа высших учебных заведений существуют в России и какую общую роль они выполняют?
|
||||
Ответ (RU): В России выделяют университеты, академии и институты; все эти типы учреждений реализуют программы высшего профессионального образования и готовят специалистов разного профиля.
|
||||
|
||||
Question (EN): What are the three main types of higher education institutions in Russia and what common function do they perform?
|
||||
Answer (EN): The three main types are universities, academies, and institutes; all of them provide higher professional education programmes and train specialists in various fields.
|
||||
|
||||
### 2
|
||||
Вопрос (RU): Какова основная особенность университета в системе высшего образования России?
|
||||
Ответ (RU): Университет отличается тем, что охватывает широкий круг направлений подготовки и может включать как технические, так и классические специальности.
|
||||
|
||||
Question (EN): What is the main feature of a university within the Russian system of higher education?
|
||||
Answer (EN): A university is characterized by offering a wide range of study fields, including both technical and classical disciplines.
|
||||
|
||||
### 3
|
||||
Вопрос (RU): Чем академия отличается от университета по профилю подготовки?
|
||||
Ответ (RU): Академия специализируется на более узком наборе специальностей, обычно связанных с одной отраслью, например сельским хозяйством, экономикой или транспортом.
|
||||
|
||||
Question (EN): How does an academy differ from a university in terms of its training profile?
|
||||
Answer (EN): An academy focuses on a narrower set of specialties, usually within a specific sector such as agriculture, economics, or transport.
|
||||
|
||||
### 4
|
||||
Вопрос (RU): Какова роль института и как он связан с университетами и академиями?
|
||||
Ответ (RU): Институт обеспечивает подготовку по одной или нескольким конкретным дисциплинам и часто ориентирован на профессиональную подготовку; он может существовать как самостоятельное учреждение или как подразделение университета или академии.
|
||||
|
||||
Question (EN): What is the role of an institute and how can it be related to universities or academies?
|
||||
Answer (EN): An institute provides training in one or several specific disciplines with a strong professional focus and may function either as an independent institution or as a department within a university or an academy.
|
||||
|
||||
### 5
|
||||
Вопрос (RU): Как формируются учебные планы в российских вузах и какие основные элементы включают образовательные программы?
|
||||
Ответ (RU): Около 80% содержания учебных планов задают государственные стандарты, а оставшиеся 20% разрабатывает сам вуз; программы включают специальные курсы, практику, научно-исследовательскую работу или проект и государственные итоговые экзамены.
|
||||
|
||||
Question (EN): How are curricula formed in Russian higher education institutions and what key components do the programmes include?
|
||||
Answer (EN): Around 80% of the curriculum is defined by state educational standards, while the remaining 20% is developed by the institution; programmes include specialized courses, practical training, research work or a project, and final state examinations.
|
||||
@@ -0,0 +1,22 @@
|
||||
#учеба #семестр_1 #английский_язык
|
||||
|
||||
1. **a hall of residence / residence hall / dormitory** – общежитие (обычно студенческое).
|
||||
2. **to meet a deadline** – уложиться в срок, успеть к установленному сроку.
|
||||
3. **fee** – плата, взнос (обычно: плата за обучение, услуги).
|
||||
4. **a student loan** – студенческий кредит (заём на оплату учёбы/жизни).
|
||||
5. **a rent** – арендная плата (обычно за квартиру/комнату).
|
||||
6. **to have fun** – веселиться, хорошо проводить время.
|
||||
7. **a tutor** – наставник / куратор / репетитор (в вузе Великобритании – личный научный руководитель/наставник).
|
||||
8. **a tutorial** – семинар / практическое занятие в небольшой группе.
|
||||
9. **compulsory** – обязательный.
|
||||
10. **optional** – необязательный, факультативный, по выбору.
|
||||
11. **to sign up for** – записаться на (курс, кружок, занятие).
|
||||
12. **workload** – нагрузка, объём работы/учёбы.
|
||||
13. **to be enrolled** – быть зачисленным, числиться студентом (на курсе, в вузе).
|
||||
14. **to adjust** – приспосабливаться, адаптироваться; также: подстраивать, корректировать.
|
||||
15. **an assignment** – задание (учебное; работа, которую нужно выполнить).
|
||||
16. **an exchange program** – программа обмена (студенческого).
|
||||
17. **an opportunity** – возможность (шанс).
|
||||
18. **skills** – навыки, умения.
|
||||
19. **apply to** – подавать заявление в (университет, компанию); обращаться к (кому-то/чему-то).
|
||||
20. **to consider** – рассматривать, обдумывать, учитывать.
|
||||
@@ -0,0 +1,11 @@
|
||||
#учеба #семестр_1 #английский_язык
|
||||
|
||||
Краткий ответ: A–5, B–1, C–4, D–3, E–2.
|
||||
|
||||
Чуть развернуто:
|
||||
- A — **5) Living Space** (про общежитие, проживание, свободу и жильё).
|
||||
- B — **1) Managing your time** (про планирование времени, расписание, дедлайны).
|
||||
- C — **4) Money and Stuff** (про деньги, кредиты, аренду, платежи).
|
||||
- D — **3) Fun, fun, fun** (про развлечения, клубы, кино, тусовки).
|
||||
- E — **2) Oh yes, and you have to study too** (про лекции, учебу, самостоятельную работу).
|
||||
-
|
||||
@@ -0,0 +1,31 @@
|
||||
#учеба #семестр_1 #английский_язык
|
||||
|
||||
1. **Living in halls of residence usually costs less money than renting a flat or house.**
|
||||
→ **True**
|
||||
**Цитата:**
|
||||
> Most students opt to live in halls of residence for their first year of study – this usually works out cheaper than finding a flat or house...
|
||||
|
||||
2. **The university provides accommodation in university halls for all undergraduate students that apply before the deadline.**
|
||||
→ **False** (в тексте есть ограничения: только _new single undergraduate students_)
|
||||
**Цитата:**
|
||||
> The university also guarantees accommodation in university halls for all new single undergraduate students that apply before the deadline.
|
||||
|
||||
3. **It is necessary to plan your activities with a weekly or monthly schedule.**
|
||||
→ **False** (это «good idea», а не строгая необходимость)
|
||||
**Цитата:**
|
||||
> Of course, it is a good idea to organize your time with a weekly or monthly schedule.
|
||||
|
||||
4. **Along with independency students face the responsibility to take care of their own expenses.**
|
||||
→ **True**
|
||||
**Цитата:**
|
||||
> So you’re living away from home, planning your own routine and even cooking your own meals – and that means looking after your own money.
|
||||
|
||||
5. **Students aren’t supposed to go to all their lectures and classes.**
|
||||
→ **False**
|
||||
**Цитата:**
|
||||
> You’ll be expected to go to all your lectures and classes.
|
||||
|
||||
6. **It’s impossible to have plenty of free time to enjoy student life at the university.**
|
||||
→ **False**
|
||||
**Цитата:**
|
||||
> If you plan your time and your workload, you’ll have plenty of free time to enjoy student life at the university.
|
||||
@@ -0,0 +1,6 @@
|
||||
#учеба #семестр_1 #английский_язык
|
||||
|
||||
1. Work pressure – 3, 7
|
||||
2. Money – 1, 5
|
||||
3. Social life – 4, 6
|
||||
4. Organization of studies – 2, 8
|
||||
@@ -0,0 +1,19 @@
|
||||
#учеба #семестр_1 #английский_язык
|
||||
|
||||
1. **Modules (модули)**
|
||||
- _“…you register on a course consisting of **compulsory modules and optional modules** …”_
|
||||
- _“The early years of your course will have more **compulsory and core modules**.”_
|
||||
- _“Your personal tutor will advise you on the best **module options** to suit your particular academic interests.”_
|
||||
|
||||
2. **Qualification (квалификация)**
|
||||
- _“…a course consisting of compulsory modules and optional modules that **leads to the award of a qualification**.”_
|
||||
- _“Or you register on a course that gives credit that can be counted as a part of a **qualification**.”_
|
||||
|
||||
3. **Timetable (расписание)**
|
||||
- _“After registering on your program, you will be able to access a personalized academic **timetable**.”_
|
||||
- _“…you may be surprised at how much control you have over your **timetable**.”_
|
||||
- _“…allowing you to sign up for the one that fits best with your other classes and personal commitments.”_
|
||||
|
||||
4. **Academic studies (учёба, учебная нагрузка)**
|
||||
- _“During term time, you’re expected to spend an average of 42–46 hours a week on your **academic studies** (including teaching/contact time and independent study)…”_
|
||||
- _“…and you also need to undertake some work during the vacations (e. g. further reading/research, revision, assignments).”_
|
||||
@@ -0,0 +1,3 @@
|
||||
#учеба #семестр_1 #английский_язык
|
||||
|
||||
1c, 2a, 3h, 4b, 5f, 6g, 7e, 8d
|
||||
@@ -0,0 +1,3 @@
|
||||
#учеба #семестр_1 #английский_язык
|
||||
|
||||
1e, 2a, 3b, 4f, 5c, 6d
|
||||
@@ -0,0 +1,3 @@
|
||||
#учеба #семестр_1 #английский_язык
|
||||
|
||||
I often think about different aspects of student life, such as work pressure, money, food, social life and the organization of my studies. Students’ workload can be quite heavy, because there are regular lectures, seminars, homework assignments and exam preparation, which sometimes come all at once. This study pressure is closely connected with money and food, as we have to pay for rent, buy groceries and still try to eat something healthier than fast food when we are busy. At the same time, social life is very important, because meeting friends or joining student activities helps to relax and forget about stress for a while. However, it is not always easy to find a balance between concentrating on studies and having fun with other students. Because of all these aspects, arranging my timetable can be challenging, especially in exam periods. I try to use a planner or an online calendar to write down my classes, deadlines and free evenings. In my opinion, good time management is the only way to handle workload, money and social life and still enjoy being a student.
|
||||
21
01 Учёба/1 семестр/Английский язык/About yourself.md
Normal file
21
01 Учёба/1 семестр/Английский язык/About yourself.md
Normal file
@@ -0,0 +1,21 @@
|
||||
### RU
|
||||
#учеба #семестр_1 #английский_язык
|
||||
|
||||
Меня зовут Павел Шашко, на данный момент мне 18 лет.
|
||||
|
||||
Родом я из Сибири. Мой родной город, Новый Уренгой, известен как «газовая столица России». Наша уренгойское газовое месторождение приносит нашей стране около 60% всего природного газа. Очень много лет Новый Уренгой не представлял из себя ничего более, чем город, в который люди приезжают на заработки, но последние пару лет его начали обустраивать, делая из него хороший город для простой жизни.
|
||||
|
||||
С детства и до недавнего времени увлекался музыкой, сейчас же из этого увлечения осталось только её прослушивание. Закончил музыкальную школу с полным отличием, отсидев, как в тюрьме, 8 лет. Всегда увлекался всем, чем попало, благодаря чему на данный момент есть много разных, но не очень хорошо изученных навыков. Музыка, рисование, анимирование, программирование – вот про всё это и речь. Конечно последним увлекаюсь больше, так как нравится. Мне в целом симпатизирует технологический мир, поэтому я увлекаюсь не исключительно программированием, а так же другими сферами связанными с технологиями.
|
||||
|
||||
В школе я учился неплохо, но прям особым отличием не выделялся, хотя учёба давалась относительно просто. Как у всех, так и у меня, были проблемные предметы, например географии и биологии, но школу закончил оценками, не ниже «хорошо».
|
||||
|
||||
На данный момент я яро увлечен программированием Web-сайтов, GameDev'ом, системным администрированием и DevOps'ом. Моими основными знаниями являются, как некоторые языки программирования, так и многие операционные системы. Изучаю английский язык, для того, чтобы ознакамливаться с множеством разных документаций на их родном языке. В принципе для человека, который увлекается программированием английский язык обязателен.
|
||||
|
||||
### EN
|
||||
My name is Pavel Shashko, and I’m 18 years old.
|
||||
|
||||
I’m from Siberia. My hometown, Novy Urengoy, is known as the “gas capital of Russia.” The Urengoy gas field provides about 60% of all natural gas in our country. For many years, Novy Urengoy was nothing more than a city where people came to work, but in recent years it’s been developing into a comfortable place for everyday life.
|
||||
|
||||
Since childhood and until recently, I was deeply into music, though now I mostly just listen to it. I graduated from music school with excellent grades, having spent eight years there. I’ve always had a wide range of interests, which gave me many different but not deeply mastered skills: music, drawing, animation, programming and others. Programming is my main interest because I truly enjoy it. I’m drawn to the world of technology in general, so I explore not only programming but also other tech-related areas.
|
||||
|
||||
Right now, I’m have very big interest in web development, game development, system administration, and DevOps. My core knowledge includes several programming languages as well as many operating systems. I’m also learning English to read a wide range of documentation in its original language. As for me, for anyone interested in programming, English is essential.
|
||||
@@ -0,0 +1,37 @@
|
||||
8 октября
|
||||
|
||||
| Present Simple | Past Simple | Equivalent(s) |
|
||||
| --------------------------------------- | ------------------ | --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
|
||||
| can<br>*(мочь/уметь; физ. возможность)* | could | to be able to V<br> |
|
||||
| may<br>*(мочь с разрешения)* | might | to allow to V<br>*(позволять/разрешать)* |
|
||||
| must<br>*(должен/обязан)* | must<br>*(had to)* | should<br>*(следует)*<br><br>ought to<br>*(следует с морал. точки зр.)*<br><br>have to **/** has to **/** will have to<br>*(приходиться)*<br><br>be to[^1]<br>*(должен по расписанию или по взаимной договорённости)* |
|
||||
[^1]: am to; is to; are to; was to; were to; will be to;
|
||||
|
||||
**Предложения:**
|
||||
- It was late so he had to take a taxi. *(Было поздно, так что ему нужно было взять такси)*
|
||||
- Did he have to take a taxi? *(Он взял такси?)*
|
||||
- You should cut your hair. *(Тебе следует подстричься)*
|
||||
- You must cut your hair. *(Тебе нужно подстричься)*
|
||||
- The student was late for classes but the teacher allowed him to enter. *(Студент опоздал на занятия, но преподаватель разрешил ему войти)*
|
||||
(The student ==was allowed to enter==.) (Past Simple Passive)
|
||||
- Where were you to meet your friend? *(Где вы должнЫ были встретиться со своим другом?)*
|
||||
We were to meet at the entrance. *(Мы должны были встретиться у входа)*
|
||||
|
||||
| Подлежащее | Сказуемое | Перевод |
|
||||
| ------------------------------------------------ | --------- | ------------------------------------ |
|
||||
| aim/purpose<br>task<br>intention<br>idea<br>etc. | to be | Состоять/заключаться в том, чтобы... |
|
||||
Предложения:
|
||||
- Our task is to read with article. *(Наша задача заключается в том, чтобы прочитать эту статью)*
|
||||
|
||||
## Страдательный залог у модальных глаголов
|
||||
#учеба #семестр_1 #английский_язык
|
||||
|
||||
|
||||
| Active Voice | Passive Voice |
|
||||
| ------------------------------------------ | ------------- |
|
||||
| can<br>may<br>must<br>have to<br>should... | AV + Vз/Ved |
|
||||
|
||||
Would ≠ used to
|
||||
Многократное совершение действия в прошлом, которого нет
|
||||
[Примеры с would](!Учебник.pdf#page=61&selection=257,0,260,1|!Учебник, page 61)
|
||||
[Как правило по обыкновению «обычно/регулярно/часто»](!Учебник.pdf#page=61&selection=340,0,341,20|!Учебник, page 61)
|
||||
4
01 Учёба/1 семестр/Английский язык/Сложное подлежащее.md
Normal file
4
01 Учёба/1 семестр/Английский язык/Сложное подлежащее.md
Normal file
@@ -0,0 +1,4 @@
|
||||
#учеба #семестр_1 #английский_язык
|
||||
|
||||
Подл-сказ-to V(V_ing)
|
||||
скибиди сигмо
|
||||
32
01 Учёба/1 семестр/Английский язык/Текста короче да.md
Normal file
32
01 Учёба/1 семестр/Английский язык/Текста короче да.md
Normal file
@@ -0,0 +1,32 @@
|
||||
### Мой пересказ
|
||||
#учеба #семестр_1 #английский_язык
|
||||
|
||||
#### The Language We Speak Shapes How We Think
|
||||
##### Старое
|
||||
Language shapes how people think. When a distinction is built into a language, speakers are more likely to notice and apply it in thought. Hebrew exposure helps children identify gender earlier, and Mandarin number words make the base-ten system clearer for learners. Having the right words improves memory and precision, because words act as compact codes for complex ideas. As vocabulary grows, cognition strengthens and becomes more organized. Since human minds are flexible, languages and habitual mind-sets diverge, including how time is mapped in speech and writing. Creating new time schemas requires cognitive flexibility, and once adopted they tend to settle into stable habits.
|
||||
##### Новое
|
||||
Language actively shapes how people think and organize ideas. When a category is encoded in grammar or vocabulary, speakers tend to notice and use that distinction in reasoning; when it is absent, they do so less. Evidence comes from development: Hebrew learners identify gender earlier, and Mandarin number words make the base-ten structure transparent, helping children grasp arithmetic patterns sooner than Anglophones. Words serve as compact codes for complex concepts, so the right terms boost memory, sharpen categories, and reduce working-memory load. As children acquire vocabulary and constructions, their cognitive abilities grow and their mental models become more structured. Because human cognition is flexible, languages cultivate different habitual mind-sets, including distinct metaphors for time: English places the future “in front,” Aymara “behind,” and Mandarin maps past “above” and future “below”; writing direction and spatial habits also nudge timelines. Inventing such schemas requires cognitive flexibility, yet once a community adopts a system it hardens into habit. Overall, language is less a constraint than a toolkit and scaffold that guides attention, speeds pattern discovery, and diversifies how we represent the world.
|
||||
|
||||
### Тезисы Лёши
|
||||
- Textspeak is a youth-driven offshoot of English.
|
||||
- It is fast, inventive, utilitarian, and minimalist.
|
||||
- Critics object, yet sheer message volume makes it unavoidable.
|
||||
- It prioritizes bare-bones communication and sound over etymology.
|
||||
- It has minted a new lexicon: LOL, SUP, CUL8R, and others.
|
||||
- Spelling shifts toward pronunciation; capitals can mark vowel length.
|
||||
- Debate persists: passing fad or genuine change, amplified by the internet.
|
||||
- David Crystal says it arose from small screens and leaves limited impact on core English.
|
||||
- New Zealand exam officials have signaled openness to WOT, WANNA, and CU2, prompting backlash.
|
||||
- Leakage shows elsewhere: some exam bodies accept “2B R NT 2B” and “I LUV U.”
|
||||
|
||||
### Тезисы Кирилла
|
||||
- Populations are aging fast; costs will rise.
|
||||
- Few grasp the scale, especially in business.
|
||||
- Workforces skew older; retirements surge.
|
||||
- Firms are ill-prepared and youth-focused.
|
||||
- Age-based pay and early exits create a two-tier market.
|
||||
- The model is unsustainable as young talent shrinks.
|
||||
- Companies must manage and upskill older workers.
|
||||
- Trials show fixes help: ergonomic tweaks, over-50 hiring.
|
||||
- Capture boomer know-how: mentoring, phased retirement.
|
||||
- Rethink careers; laws can hinder useful experiments.
|
||||
45
01 Учёба/1 семестр/Английский язык/Условные предложения.md
Normal file
45
01 Учёба/1 семестр/Английский язык/Условные предложения.md
Normal file
@@ -0,0 +1,45 @@
|
||||
### **Готовится к тесту по сказуемым**
|
||||
#учеба #семестр_1 #английский_язык
|
||||
|
||||
|
||||
**[Тема в учебнике](!Учебник.pdf#page=67&selection=2,0,5,32|!Учебник, page 67)**
|
||||
### Conditionals
|
||||
`[]` - главная часть предл.
|
||||
`()` - придаточная часть предл.
|
||||
|
||||
**Союзы if, when выбираются по вероятности:**
|
||||
If – <50%
|
||||
When – >50%
|
||||
|
||||
**0-й тип** – настоящее время, реальное условие
|
||||
*Схема:*
|
||||
**((союз)V/Vs)\[V/Vs]**
|
||||
((If we don't water plants)\[the die.]
|
||||
|
||||
**1-й тип** – будущее время, реальное условие
|
||||
*Схема:*
|
||||
**((союз)V/Vs)\[will + V]**
|
||||
(If weather is fine)\[we will go to the country.]
|
||||
|
||||
**2-й тип** – настоящее/будущее время, нереальное условие
|
||||
*Схема:*
|
||||
**((союз) Vo/Ved)\[should/would/could + V]**
|
||||
If I were you – *На твоём бы месте*
|
||||
If I were in your shoes – *На твоём бы месте*
|
||||
(If pigs had wings)\[they could fly.]
|
||||
|
||||
**3-й тип** – прошедшее время, нереальное условие
|
||||
*Схема:*
|
||||
**((союз)had+Vs/Ved)\[should/would/could+have Vs/Ved]**
|
||||
I got a three on my exam. (If I had revised for it better)\[I could have got a five.]
|
||||
|
||||
**Союзы:**
|
||||
As soon as
|
||||
Till/until
|
||||
Before
|
||||
After
|
||||
Provide/provided
|
||||
Suppose/supposing
|
||||
Unless – если не
|
||||
|
||||
[Правила перевода](!Учебник.pdf#page=69&selection=40,0,41,35|!Учебник, page 69)
|
||||
@@ -0,0 +1,22 @@
|
||||
Установка Windows, Linux, macOS в корни отличается друг от друга, ведь все эти системы работают на абсолютно разных ядрах.
|
||||
## Установка Windows
|
||||
#учеба #семестр_1 #введение_в_профессию
|
||||
|
||||
Установка Windows это наиболее знакомое рядовому пользователю действие, поскольку эта ОС доминирует на рынке персональных компьютеров. С технической точки зрения, фсовременная установка Windows представляет собой процесс **развертывания образа**: установщик не копирует тысячи мелких файлов по отдельности, а распаковывает заранее подготовленный слепок системы. Это делает процесс быстрым и предсказуемым.
|
||||
Для пользователя это выглядит как почти полностью автоматизированное действие. Главная задача – выбрать целевой диск, после чего установщик берет управление на себя. Система автоматически размечает накопитель, создавая не только основной раздел с файловой системой **NTFS**, но и критически важные скрытые разделы для загрузчика и среды восстановления, скрывая эту сложность от глаз человека.
|
||||
Ещё одна сильная сторона Windows – огромная база драйверов «из коробки» и тесная интеграция с уровнем аппаратных абстракций. В процессе установки система опрашивает компоненты ПК и устанавливает базовые драйверы, позволяя запустить графический интерфейс сразу после первой перезагрузки. Недостающие или специфические драйверы (например, для мощной видеокарты) система автоматически подтягивает через Центр обновлений уже на рабочем столе.
|
||||
## Установка macOS
|
||||
Перед самой сложной частью хочется затронуть, наоборот, самую простую – установку macOS. В отличие от других ОС, macOS неразрывно связана с «железом», так как поставляется исключительно на компьютерах Apple (MacBook, iMac, Mac Studio и др.). Благодаря этой **вертикальной интеграции**, понятие «установка» здесь сводится к минимуму. Часто система уже предустановлена, но даже процесс чистой установки (например, при сбросе) уникален: компьютер способен самостоятельно скачать образ системы с серверов Apple через интернет и развернуть его без использования загрузочных флешек.
|
||||
С теоретической точки зрения, инсталлятор macOS работает в тепличных условиях. Ему не нужно сканировать тысячи вариаций материнских плат – он заранее знает конфигурацию устройства. Проблема драйверов здесь решена на архитектурном уровне: все необходимые расширения ядра уже включены в дистрибутив и оптимизированы инженерами Apple. Более того, современная установка macOS использует технологию **Signed System Volume:** система устанавливается на защищенный, криптографически подписанный раздел диска, доступный только для чтения. Это не только гарантирует идеальную совместимость, но и делает систему практически неуязвимой для вирусов, пытающихся модифицировать системные файлы на этапе загрузки.
|
||||
## Установка Linux
|
||||
С теоретической точки зрения, фраза «установка Linux» не совсем правильна, так как Linux – это лишь ядро. Пользователь же устанавливает **дистрибутив** – набор из ядра, системных утилит GNU и прикладного ПО. Из-за этой модульности процесс варьируется от элементарного до инженерно сложного.
|
||||
Большинство современных десктопных дистрибутивов (Ubuntu, Manjaro, Fedora, Mint) используют графические установщики (например, Calamares или Anaconda), которые делают процесс даже проще, чем в Windows. Ключевая особенность здесь – **Живой режим**. Система загружается в оперативную память (RAM) без установки на диск. Это позволяет пользователю не просто «потыкать браузер», а проверить совместимость оборудования (Wi-Fi, звук, видеокарта) до внесения изменений в накопитель. На этом этапе установщик предлагает разметку диска, предлагая современные файловые системы, такие как **ext4** или **Btrfs**, которые архитектурно отличаются от NTFS в Windows.
|
||||
С другой стороны спектра находятся дистрибутивы с ручной сборкой (Arch, Gentoo). Здесь нет привычного усановщика. Пользователь вручную монтирует разделы, форматирует их через консоль, устанавливает ядро и загрузчик GRUB, а затем настраивает окружение через смену корневого каталога. В случае с Gentoo происходит даже компиляция пакетов под конкретный процессор. Такой подход дает не просто «контроль», а возможность собрать уникальную операционную систему, где каждый компонент, от демона инициализации до графической оболочки, выбран и настроен пользователем осознанно, исключая любой «мусор», который навязывают коробочные системы.
|
||||
## Мобильные ОС, сравнение.
|
||||
Если на компьютерах понятие «установка системы» – это привычная рутина, то в мире мобильных устройств всё перевернуто с ног на голову. Здесь правильнее говорить не об установке, а о «прошивке» или обновлении, так как архитектура смартфонов требует жесткой привязки софта к конкретному железу.
|
||||
### iOS
|
||||
Ситуация с **iOS** максимально напоминает (и даже превосходит по строгости) подход macOS. Пользователь вообще не должен думать об установке. Система намертво "прибита" к устройству. Максимум, что дозволено владельцу iPhone – это нажать кнопку «Обновить» или, в случае критического сбоя, подключить телефон к компьютеру для восстановления через режим Recovery. Никаких драйверов, никаких разделов диска – Apple полностью контролирует этот процесс, гарантируя, что система встанет идеально, но лишая пользователя права шага влево или вправо.
|
||||
### Android
|
||||
С **Android** всё куда интереснее, ведь это – прямой наследник Linux.
|
||||
Для 99% пользователей «установка» выглядит так же, как на iOS: купил, включил, обновился. Но энтузиасты знают другую сторону медали. Поскольку Android основан на ядре Linux, здесь существует огромный мир «кастомных прошивок».
|
||||
Процесс ручной установки альтернативного Android (например, LineageOS или Pixel Experience) на смартфон – это настоящий квест. Нужно разблокировать загрузчик, установить кастомное рекавери и вручную «прошивать» файлы системы через командную строку или специальное меню. Это дает ту же свободу, что и на десктопном Linux: разогнать процессор или оживить старый смартфон свежей версией системы, которую производитель официально уже не поддерживает.
|
||||
@@ -0,0 +1,8 @@
|
||||
#учеба #семестр_1 #высшая_математика
|
||||
|
||||
**Раздел всего семестра:**
|
||||
1. [Комплексные числа](Комплексные%20числа.md)
|
||||
2. Теория матриц
|
||||
3. Решение линейных алгебраических систем
|
||||
4. Аналитическая геометрия
|
||||
5. Математический анализ (вплоть до 2-ого курса)
|
||||
89
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/10.10 ДЗ.md
Normal file
89
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/10.10 ДЗ.md
Normal file
@@ -0,0 +1,89 @@
|
||||
### 1.4
|
||||
#учеба #семестр_1 #высшая_математика
|
||||
|
||||
Векторы:
|
||||
$a(1;\ 2)$
|
||||
$b(-5;\ -1)$
|
||||
$c(-1;\ 3)$
|
||||
|
||||
Примеры:
|
||||
1. $2a + 3b - c = (2 - 15 + 1;\ 4 - 3 - 3) = (-12;\ -2)$
|
||||
2. $16a + 5b - 9c = (16 - 25 + 9;\ 32 - 5 - 27) = (0;\ 0)$
|
||||
### 1.8
|
||||
Векторы:
|
||||
$a(3;\ 0;\ -2)$
|
||||
$b(1;\ 2;\ -5)$
|
||||
$c(-1;\ 1;\ 1)$
|
||||
$d(8;\ 4;\ 1)$
|
||||
|
||||
Примеры:
|
||||
1. $-5a + b - 6c + d = (-15 + 1 + 6 + 8;\ 2 - 6 + 4;\ 10 - 5 - 6 + 1) = (0;\ 0;\ 0)$
|
||||
2. $3a - b - c - d = (3 - 1 + 1 - 8;\ -2 - 1 - 4;\ -6 + 5 - 1 - 1) = (-5;\ -7;\ -3)$
|
||||
|
||||
### 1.10
|
||||
Векторы:
|
||||
$a(4;\ 1;\ -1)$
|
||||
$b(3;\ -1;\ 0)$
|
||||
$c(-1;\ 1;\ 1)$
|
||||
|
||||
|
||||
### 2.1
|
||||
**Формула:**
|
||||
$a\cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos \alpha$
|
||||
#### 1
|
||||
$|a| = 3$
|
||||
$|b| = 1$
|
||||
$\angle(a,b) = 45\degree$
|
||||
|
||||
$a \cdot b = \frac{3\sqrt{ 2 }}{2}$
|
||||
#### 2
|
||||
$|a| = 6$
|
||||
$|b| = 7$
|
||||
$\angle(a,b) = 120\degree$
|
||||
|
||||
$a\cdot b = -21$
|
||||
#### 3
|
||||
$|a| = 4$
|
||||
$|b| = 2$
|
||||
$\angle(a,b) = 90\degree$
|
||||
|
||||
$a\cdot b = 0$
|
||||
#### 4
|
||||
$|a| = 5$
|
||||
$|b| = 1$
|
||||
$\angle(a,b) = 0\degree$
|
||||
|
||||
$a\cdot b = 5$
|
||||
#### 5
|
||||
$|a| = 2$
|
||||
$|b| = 3$
|
||||
$\angle(a,b) = 180\degree$
|
||||
|
||||
$a\cdot b=-6$
|
||||
### 2.2
|
||||
???
|
||||
|
||||
### 2.6
|
||||
**Формула:**
|
||||
$a\cdot b=a_{x}\cdot b_{x} + a_{y}\cdot b_{y}+a_{z}\cdot b_{z}$
|
||||
#### 1
|
||||
Векторы:
|
||||
$a(3;\ 2;\ -5)$
|
||||
$b(10;\ 1;\ 2)$
|
||||
|
||||
Произведение:
|
||||
$a\cdot b= 30+2-10=22$
|
||||
#### 2
|
||||
Векторы:
|
||||
$a(1;\ 0;\ 3)$
|
||||
$b(-4;\ 15;\ 1)$
|
||||
|
||||
Произведение:
|
||||
$a\cdot b= -4 + 3 = -1$
|
||||
#### 3
|
||||
Векторы:
|
||||
$a(2;\ 1;\ 5)$
|
||||
$b(7;\ -9;\ -1)$
|
||||
|
||||
Произведение:
|
||||
$a\cdot b= 14 - 9 -5 = 0$
|
||||
BIN
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/! 200 ПРИМЕРОВ.pdf
Normal file
BIN
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/! 200 ПРИМЕРОВ.pdf
Normal file
Binary file not shown.
BIN
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/PDFs/1 MODULE.pdf
Normal file
BIN
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/PDFs/1 MODULE.pdf
Normal file
Binary file not shown.
BIN
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/PDFs/2 MODULE.pdf
Normal file
BIN
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/PDFs/2 MODULE.pdf
Normal file
Binary file not shown.
BIN
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/PDFs/3 MODULE.pdf
Normal file
BIN
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/PDFs/3 MODULE.pdf
Normal file
Binary file not shown.
BIN
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/PDFs/4 MODULE.pdf
Normal file
BIN
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/PDFs/4 MODULE.pdf
Normal file
Binary file not shown.
BIN
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/PDFs/5 MODULE.pdf
Normal file
BIN
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/PDFs/5 MODULE.pdf
Normal file
Binary file not shown.
BIN
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/PDFs/6 MODULE.pdf
Normal file
BIN
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/PDFs/6 MODULE.pdf
Normal file
Binary file not shown.
BIN
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/PDFs/7 MODULE.pdf
Normal file
BIN
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/PDFs/7 MODULE.pdf
Normal file
Binary file not shown.
BIN
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/PDFs/8 MODULE.pdf
Normal file
BIN
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/PDFs/8 MODULE.pdf
Normal file
Binary file not shown.
BIN
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/PDFs/p89.zip
Normal file
BIN
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/PDFs/p89.zip
Normal file
Binary file not shown.
@@ -0,0 +1,8 @@
|
||||
#учеба #семестр_1 #высшая_математика
|
||||
|
||||
$y=2^{\arctan(\sqrt{ x })}$
|
||||
$y=p'(g(f(x)))\cdot g'(f(x))\cdot f'(x)$
|
||||
$p'=2^{\arctan(\sqrt{ x })}\cdot \ln 2$
|
||||
$g'=\dfrac{1}{1+x}$
|
||||
$f'=\dfrac{1}{2\sqrt{ x }}$
|
||||
$y'=2^{\arctan(\sqrt{ x })}\cdot \ln 2\cdot\dfrac{1}{1+x}\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{ x }}=\dfrac{2^{\arctan \sqrt{ x }}\ln 2}{2\sqrt{ x }(1+x)}$
|
||||
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 43 KiB |
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 37 KiB |
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 178 KiB |
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 696 KiB |
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 117 KiB |
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 175 KiB |
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 179 KiB |
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 92 KiB |
@@ -0,0 +1,7 @@
|
||||
## N номер
|
||||
#учеба #семестр_1 #высшая_математика
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
@@ -0,0 +1,467 @@
|
||||
## 30 номер
|
||||
#учеба #семестр_1 #высшая_математика
|
||||
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$x^3+1=0$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$
|
||||
$x = -1;$
|
||||
$x^2-x+1=0$
|
||||
$D = -3$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: } x=\dfrac{1\pm i\sqrt{ 3 }}{2}$
|
||||
|
||||
## 31 номер
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$x^4-4x^2+5=0$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$t=x^{2}$
|
||||
$t^2-4t+5=0$
|
||||
$D=-4$
|
||||
$t=\dfrac{4\pm 2i}{2}=2\pm i$
|
||||
|
||||
$x^2=2\pm i$
|
||||
|
||||
$\text{1. }x^2=2+i$
|
||||
$x=a+bi$
|
||||
$(a+bi)^2=(a^2-b^2)+2abi=2+i$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
a^2-b^2=2 \\
|
||||
2abi=i; 2ab=1
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$(a^2+b^2)^2=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2=2^2+1^2=5$
|
||||
$a^2+b^2=\sqrt{5}$
|
||||
$a^2=\dfrac{(a^2+b^2)+(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{ 5 }+2}{2}$
|
||||
$b^2=\dfrac{(a^2+b^2)-(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{ 5 }-2}{2}$
|
||||
$x_{1}=\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }+2}{2} }+i\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }-2}{2} }$
|
||||
$x_{2}=-( \sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }+2}{2} }+i\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }-2}{2} } )$
|
||||
|
||||
$\text{2. }x^2=2-i$
|
||||
$2-i=\overline{(2+i)}$
|
||||
$x_{3}=\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }+2}{2} }-i\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }-2}{2} }$
|
||||
$x_{4}=-( \sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }+2}{2} }-i\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }-2}{2} } )$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ:}$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{array} \\
|
||||
x_{1}=\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }+2}{2} }+i\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }-2}{2} } \\
|
||||
x_{2}=-( \sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }+2}{2} }+i\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }-2}{2} } ) \\
|
||||
x_{3}=\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }+2}{2} }-i\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }-2}{2} } \\
|
||||
x_{4}=-( \sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }+2}{2} }-i\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }-2}{2} } )
|
||||
\end{array}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
## 32 номер
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$x^4+4x^2+20=0$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$t=x^{2}$
|
||||
$t^2+4t+20=0$
|
||||
$D=-64$
|
||||
$t=\dfrac{-4\pm 8i}{2}=-2\pm 4i$
|
||||
|
||||
$x^2=-2\pm 4i$
|
||||
|
||||
$\text{1. }x^2=-2+4i$
|
||||
$x=a+bi$
|
||||
$(a+bi)^2=(a^2-b^2)+2abi=-2+4i$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
a^2-b^2=-2 \\
|
||||
2ab=4
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$(a^2+b^2)^2=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2=(-2)^2+4^2=20$
|
||||
$a^2+b^2=\sqrt{20}=2\sqrt5$
|
||||
$a^2=\dfrac{(a^2+b^2)+(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{2\sqrt5-2}{2}=\sqrt5-1$
|
||||
$b^2=\dfrac{(a^2+b^2)-(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{2\sqrt5+2}{2}=\sqrt5+1$
|
||||
|
||||
$x_{1}=\sqrt{\sqrt5-1}+i\sqrt{\sqrt5+1}$
|
||||
$x_{2}=-(\sqrt{\sqrt5-1}+i\sqrt{\sqrt5+1})$
|
||||
|
||||
$\text{2. }x^2=-2-4i$
|
||||
$-2-4i=\overline{(-2+4i)}$
|
||||
|
||||
$x_{3}=\sqrt{\sqrt5-1}-i\sqrt{\sqrt5+1}$
|
||||
$x_{4}=-(\sqrt{\sqrt5-1}-i\sqrt{\sqrt5+1})$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ:}$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{array}{l}
|
||||
x_{1}=\sqrt{\sqrt5-1}+i\sqrt{\sqrt5+1}\\
|
||||
x_{2}=-(\sqrt{\sqrt5-1}+i\sqrt{\sqrt5+1})\\
|
||||
x_{3}=\sqrt{\sqrt5-1}-i\sqrt{\sqrt5+1}\\
|
||||
x_{4}=-(\sqrt{\sqrt5-1}-i\sqrt{\sqrt5+1})
|
||||
\end{array}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
## 33 номер
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$x^4-6x^2+13=0$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$t=x^{2}$
|
||||
$t^2-6t+13=0$
|
||||
$D=-16$
|
||||
$t=\dfrac{6\pm4i}{2}=3\pm2i$
|
||||
|
||||
$x^2=3\pm2i$
|
||||
|
||||
$\text{1. }x^2=3+2i$
|
||||
$x=a+bi$
|
||||
$(a+bi)^2=(a^2-b^2)+2abi=3+2i$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
a^2-b^2=3 \\
|
||||
2ab=2
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$(a^2+b^2)^2=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2=3^2+2^2=13$
|
||||
$a^2+b^2=\sqrt{13}$
|
||||
$a^2=\dfrac{(a^2+b^2)+(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{13}+3}{2}$
|
||||
$b^2=\dfrac{(a^2+b^2)-(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}$
|
||||
|
||||
$x_{1}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}+3}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}}$
|
||||
$x_{2}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}+3}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}})$
|
||||
|
||||
$\text{2. }x^2=3-2i$
|
||||
$3-2i=\overline{(3+2i)}$
|
||||
|
||||
$x_{3}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}+3}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}}$
|
||||
$x_{4}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}+3}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}})$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ:}$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{array}{l}
|
||||
x_{1}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}+3}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}}\\
|
||||
x_{2}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}+3}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}})\\
|
||||
x_{3}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}+3}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}}\\
|
||||
x_{4}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}+3}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}})
|
||||
\end{array}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
## 34 номер
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$x^4 + 2x^2 + 17 = 0$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$t=x^{2}$
|
||||
$t^2+2t+17=0$
|
||||
$D=-64$
|
||||
$t=\dfrac{-2\pm 8i}{2}=-1\pm 4i$
|
||||
|
||||
$x^2=-1\pm 4i$
|
||||
|
||||
$\text{1. }x^2=-1+4i$
|
||||
$x=a+bi$
|
||||
$(a+bi)^2=(a^2-b^2)+2abi=-1+4i$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
a^2-b^2=-1 \\
|
||||
2ab=4
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$(a^2+b^2)^2=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2=(-1)^2+4^2=17$
|
||||
$a^2+b^2=\sqrt{17}$
|
||||
$a^2=\dfrac{(a^2+b^2)+(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{17}-1}{2}$
|
||||
$b^2=\dfrac{(a^2+b^2)-(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{17}+1}{2}$
|
||||
|
||||
$x_{1}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}-1}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}+1}{2}}$
|
||||
$x_{2}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}-1}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}+1}{2}})$
|
||||
|
||||
$\text{2. }x^2=-1-4i$
|
||||
$-1-4i=\overline{(-1+4i)}$
|
||||
|
||||
$x_{3}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}-1}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}+1}{2}}$
|
||||
$x_{4}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}-1}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}+1}{2}})$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ:}$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{array}{l}
|
||||
x_{1}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}-1}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}+1}{2}}\\
|
||||
x_{2}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}-1}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}+1}{2}})\\
|
||||
x_{3}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}-1}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}+1}{2}}\\
|
||||
x_{4}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}-1}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}+1}{2}})
|
||||
\end{array}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
## 35 номер
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$x^4 + 10x^2 + 61 = 0$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$t=x^{2}$
|
||||
$t^2+10t+61=0$
|
||||
$D-144$
|
||||
$t=\dfrac{-10\pm 12i}{2}=-5\pm 6i$
|
||||
|
||||
$x^2=-5\pm 6i$
|
||||
|
||||
$\text{1. }x^2=-5+6i$
|
||||
$x=a+bi$
|
||||
$(a+bi)^2=(a^2-b^2)+2abi=-5+6i$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
a^2-b^2=-5 \\
|
||||
2ab=6
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$(a^2+b^2)^2=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2=(-5)^2+6^2=61$
|
||||
$a^2+b^2=\sqrt{61}$
|
||||
$a^2=\dfrac{(a^2+b^2)+(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{61}-5}{2}$
|
||||
$b^2=\dfrac{(a^2+b^2)-(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{61}+5}{2}$
|
||||
|
||||
$x_{1}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}-5}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}+5}{2}}$
|
||||
$x_{2}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}-5}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}+5}{2}})$
|
||||
|
||||
$\text{2. }x^2=-5-6i$
|
||||
$-5-6i=\overline{(-5+6i)}$
|
||||
|
||||
$x_{3}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}-5}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}+5}{2}}$
|
||||
$x_{4}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}-5}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}+5}{2}})$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ:}$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{array}{l}
|
||||
x_{1}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}-5}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}+5}{2}}\\
|
||||
x_{2}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}-5}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}+5}{2}})\\
|
||||
x_{3}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}-5}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}+5}{2}}\\
|
||||
x_{4}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}-5}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}+5}{2}})
|
||||
\end{array}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
## 36 номер
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$x^4 − x^2 + 37 = 0$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$t=x^{2}$
|
||||
$t^2-t+37=0$
|
||||
$D-147$
|
||||
$t=\dfrac{1\pm\sqrt{-147}}{2}=\dfrac{1\pm 7i\sqrt3}{2}$
|
||||
|
||||
$x^2=\dfrac{1\pm 7i\sqrt3}{2}$
|
||||
|
||||
$\text{1. }x^2=\dfrac{1+7i\sqrt3}{2}$
|
||||
$x=a+bi$
|
||||
$(a+bi)^2=(a^2-b^2)+2abi=\dfrac{1+7i\sqrt3}{2}$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
a^2-b^2=\dfrac{1}{2} \\
|
||||
2ab=\dfrac{7\sqrt3}{2}
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$(a^2+b^2)^2=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2=(\dfrac{1}{2})^2+(\dfrac{7\sqrt3}{2})^2=\dfrac{1}{4}+\dfrac{147}{4}=37$
|
||||
$a^2+b^2=\sqrt{37}$
|
||||
|
||||
$a^2=\dfrac{(a^2+b^2)+(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{37}+\frac{1}{2}}{2}=\dfrac{2\sqrt{37}+1}{4}$
|
||||
|
||||
$b^2=\dfrac{(a^2+b^2)-(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{37}-\frac{1}{2}}{2}=\dfrac{2\sqrt{37}-1}{4}$
|
||||
|
||||
$x_{1}=\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}+1}{4}}+i\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}-1}{4}}$
|
||||
$x_{2}=-(\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}+1}{4}}+i\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}-1}{4}})$
|
||||
|
||||
$\text{2. }x^2=\dfrac{1-7i\sqrt3}{2}$
|
||||
$\dfrac{1-7i\sqrt3}{2}=\overline{(\dfrac{1+7i\sqrt3}{2})}$
|
||||
|
||||
$x_{3}=\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}+1}{4}}-i\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}-1}{4}}$
|
||||
$x_{4}=-(\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}+1}{4}}-i\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}-1}{4}})$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ:}$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{array}{l}
|
||||
x_{1}=\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}+1}{4}}+i\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}-1}{4}}\\
|
||||
x_{2}=-(\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}+1}{4}}+i\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}-1}{4}})\\
|
||||
x_{3}=\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}+1}{4}}-i\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}-1}{4}}\\
|
||||
x_{4}=-(\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}+1}{4}}-i\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}-1}{4}})
|
||||
\end{array}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
## 37 номер
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$x^4 + 6x^2 + 8 = 0$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$t=x^{2}$
|
||||
$t^2+6t+8=0$
|
||||
$D=6^2-4\cdot1\cdot8=36-32=4$
|
||||
$t=\dfrac{-6\pm\sqrt{4}}{2}=-3\pm1$
|
||||
|
||||
$t_1=-2,\quad t_2=-4$
|
||||
|
||||
$x^2=-2\ \ \text{or}\ \ x^2=-4$
|
||||
|
||||
$\text{1. }x^2=-2$
|
||||
$x=\pm\sqrt{-2}=\pm i\sqrt2$
|
||||
$x_{1}=i\sqrt2$
|
||||
$x_{2}=-i\sqrt2$
|
||||
|
||||
$\text{2. }x^2=-4$
|
||||
$x=\pm\sqrt{-4}=\pm 2i$
|
||||
$x_{3}=2i$
|
||||
$x_{4}=-2i$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ:}$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{array}{l}
|
||||
x_{1}=i\sqrt2\\
|
||||
x_{2}=-i\sqrt2\\
|
||||
x_{3}=2i\\
|
||||
x_{4}=-2i
|
||||
\end{array}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
## 38 номер
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$x4 + 8x^2 + 41 = 0$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$t=x^{2}$
|
||||
$t^2+8t+41=0$
|
||||
$D=8^2-4\cdot1\cdot41=64-164=-100$
|
||||
$t=\dfrac{-8\pm\sqrt{-100}}{2}=\dfrac{-8\pm 10i}{2}=-4\pm 5i$
|
||||
|
||||
$x^2=-4\pm 5i$
|
||||
|
||||
$\text{1. }x^2=-4+5i$
|
||||
$x=a+bi$
|
||||
$(a+bi)^2=(a^2-b^2)+2abi=-4+5i$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
a^2-b^2=-4 \\
|
||||
2ab=5
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$(a^2+b^2)^2=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2=(-4)^2+5^2=41$
|
||||
$a^2+b^2=\sqrt{41}$
|
||||
$a^2=\dfrac{(a^2+b^2)+(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{41}-4}{2}$
|
||||
$b^2=\dfrac{(a^2+b^2)-(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{41}+4}{2}$
|
||||
|
||||
$x_{1}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}-4}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}+4}{2}}$
|
||||
$x_{2}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}-4}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}+4}{2}})$
|
||||
|
||||
$\text{2. }x^2=-4-5i$
|
||||
$-4-5i=\overline{(-4+5i)}$
|
||||
|
||||
$x_{3}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}-4}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}+4}{2}}$
|
||||
$x_{4}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}-4}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}+4}{2}})$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ:}$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{array}{l}
|
||||
x_{1}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}-4}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}+4}{2}}\\
|
||||
x_{2}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}-4}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}+4}{2}})\\
|
||||
x_{3}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}-4}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}+4}{2}}\\
|
||||
x_{4}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}-4}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}+4}{2}})
|
||||
\end{array}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
## 39 номер
|
||||
|
||||
### Условие:
|
||||
|
||||
$z-i\leq 1$
|
||||
|
||||
### Область:
|
||||
|
||||
![[Pasted image 20251225172031.png]]
|
||||
|
||||
## 40 номер
|
||||
|
||||
### Условие:
|
||||
|
||||
$\mathrm{Re}(z)\leq 3$
|
||||
|
||||
### Область:
|
||||
|
||||
![[Pasted image 20251225172459.png]]
|
||||
|
||||
## 41 номер
|
||||
|
||||
### Условие:
|
||||
|
||||
$z\leq 2 \ \ \text{and} \ \ \mathrm{Re}(z)\geq 0$
|
||||
|
||||
### Область:
|
||||
|
||||
![[Pasted image 20251225173000.png]]
|
||||
|
||||
## 42 номер
|
||||
|
||||
### Условие:
|
||||
|
||||
$arg(z)\leq \dfrac{\pi}{6}$
|
||||
|
||||
### Область:
|
||||
|
||||
![[Pasted image 20251225174710.png]]
|
||||
|
||||
## 43 номер
|
||||
|
||||
### Условие:
|
||||
$z=5;arg(z)\leq \dfrac{\pi}{3}$
|
||||
|
||||
### Область:
|
||||
![[IMG_0055.jpeg]]
|
||||
|
||||
## 44 номер
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
$z+i\leq1; \mathrm{Im}\leq -1$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
![[IMG_0056.jpeg]]
|
||||
@@ -0,0 +1,615 @@
|
||||
## 4 номер – П 3.2.17
|
||||
#учеба #семестр_1 #высшая_математика
|
||||
|
||||
|
||||
### Доказать:
|
||||
|
||||
$\overline{d}=\overline{c}\cdot(\overline{b}\cdot\overline{a})-\overline{a}\cdot(\overline{b}\cdot\overline{c})$
|
||||
$\overline{d}\perp \overline{b}$
|
||||
|
||||
### Доказательство:
|
||||
|
||||
$\overline{b}\cdot \overline{d}=\overline{b}\cdot(\overline{c}\cdot(\overline{b}\cdot\overline{a})-\overline{a}\cdot(\overline{b}\cdot\overline{c}))=\overline{b}(\overline{c}(\overline{b}\overline{c}))-\overline{b}(\overline{a}(\overline{b}\overline{a}))=(\overline{b}\overline{a})(\overline{b}\overline{c})-(\overline{b}\overline{c})(\overline{b}\overline{a})=0$
|
||||
$\text{Скалярное произведение векторов равно 0, значит векторы расположены перпендикулярно.}$
|
||||
|
||||
## 8 номер – П 3.2.21
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\vec{F}_{1}=\vec{i}-\vec{j}+\vec{k}$
|
||||
$\vec{F}_{2}=2\vec{i}+\vec{j}+3\vec{k}$
|
||||
$M(2;-1;-1)$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\vec{F}=\vec{F}_{1}+\vec{F_{2}}=3\vec{i}+0\vec{j}+4\vec{k}=(3;0;4)$
|
||||
$A=\vec{F}\cdot \vec{s};$
|
||||
$\vec{s}=(2;-1;-1)$
|
||||
$A=3\cdot2+4\cdot(-1)=2$
|
||||
$\text{Ответ: 2}$
|
||||
|
||||
## 9 номер – П 3.2.22
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\vec{b}=\lambda \vec{i}-5\vec{j}+3\vec{k}$
|
||||
$\vec{c}=\vec{i}+2\vec{j}-\lambda \vec{k}$
|
||||
$\lambda = ?;\ \vec{b}\cdot \vec{c}=0$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\vec{b}\cdot \vec{c}=\lambda-10-3\lambda=-2\lambda-10$
|
||||
$-2\lambda-10=0;\ -2\lambda=10;\ \lambda=-5$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: -5}$
|
||||
|
||||
## 13 номер – П 3.3.6
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\vec{a}=\vec{i}-2\vec{j}+5\vec{k}$
|
||||
$\vec{b}=5\vec{j}-7\vec{k}$
|
||||
$\vec{a}=(1;-2;5)$
|
||||
$\vec{b}=(0;5;-7)$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$S=\dfrac{1}{2}|\vec{a}\cdot\vec{b}|$
|
||||
|
||||
$\vec{a}\cdot\vec{b}=-11\vec{i}+7\vec{j}+5\vec{k}=(-11;7;5)$
|
||||
|
||||
$|\vec{a}\cdot\vec{b}|=\sqrt{(-11)^2+7^2+5^2}=\sqrt{121+49+25}=\sqrt{195}$
|
||||
|
||||
$S=\dfrac{1}{2}\sqrt{195}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }\dfrac{\sqrt{195}}{2}$
|
||||
|
||||
## 14 номер – П 3.3.15
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$|\vec{a}|=3$
|
||||
$|\vec{b}|=20$
|
||||
$\vec{a}\vec{b}=30$
|
||||
$|\vec{a}\cdot\vec{b}|=\ ?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$|\vec{a}\cdot\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2\cdot|\vec{b}|^2-(\vec{a}\vec{b})^2$
|
||||
|
||||
$|\vec{a}\cdot\vec{b}|^2=3^2\cdot 20^2-30^2=9\cdot 400-900=3600-900=2700$
|
||||
|
||||
$|\vec{a}\cdot\vec{b}|=\sqrt{2700}=\sqrt{900\cdot 3}=30\sqrt{3}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }30\sqrt{3}$
|
||||
|
||||
## 18 номер – П 3.3.19
|
||||
|
||||
### Дано:
|
||||
|
||||
$\vec{a}=3\vec{p}+2\vec{q}$
|
||||
$\vec{b}=2\vec{p}-\vec{q}$
|
||||
$|\vec{p}|=4$
|
||||
$|\vec{q}|=3$
|
||||
$\angle(\vec{p},\vec{q})=\dfrac{3\pi}{4}$
|
||||
$S=\ ?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$S=|\vec{a}\cdot\vec{b}|$
|
||||
|
||||
$\vec{a}\cdot\vec{b}=3\vec{p}\cdot\vec{p}+3\vec{p}\cdot(-\vec{q})+2\vec{q}\cdot2\vec{p}+2\vec{q}\cdot(-\vec{q})=0-3(\vec{p}\cdot\vec{q})+4(\vec{q}\cdot\vec{p})+0=-7(\vec{p}\cdot\vec{q})$
|
||||
|
||||
$|\vec{a}\cdot\vec{b}|=7|\vec{p}\cdot\vec{q}|$
|
||||
|
||||
$|\vec{p}\cdot\vec{q}|=|\vec{p}|\cdot|\vec{q}|\cdot\sin\angle(\vec{p},\vec{q})=4\cdot 3\cdot\sin(\dfrac{3\pi}{4})=12\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}$
|
||||
|
||||
$S=7\cdot 6\sqrt{2}=42\sqrt{2}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }42\sqrt{2}$
|
||||
|
||||
## 22 номер – П 3.3.25
|
||||
|
||||
### Дано:
|
||||
|
||||
$\vec{a}=(2;\,-2;\,1)$
|
||||
$\vec{b}=(2;\,3;\,6)$
|
||||
$\sin\alpha=\ ?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\sin\alpha=\dfrac{|\vec{a}\cdot\vec{b}|}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}$
|
||||
|
||||
$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{i}\big((-2)\cdot 6-1\cdot 3\big)-\vec{j}\big(2\cdot 6-1\cdot 2\big)+\vec{k}\big(2\cdot 3-(-2)\cdot 2\big)=(-15;\,-10;\,10)$
|
||||
|
||||
$|\vec{a}\cdot\vec{b}|=\sqrt{(-15)^2+(-10)^2+10^2}=\sqrt{225+100+100}=\sqrt{425}=5\sqrt{17}$
|
||||
$|\vec{a}|=\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}=3$
|
||||
$|\vec{b}|=\sqrt{2^2+3^2+6^2}=7$
|
||||
|
||||
$\sin\alpha=\dfrac{5\sqrt{17}}{3\cdot 7}=\dfrac{5\sqrt{17}}{21}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }\dfrac{5\sqrt{17}}{21}$
|
||||
|
||||
## 23 номер – П 3.4.14
|
||||
|
||||
### Дано:
|
||||
|
||||
$\vec{a}\vec{b}\vec{c}=5$
|
||||
$\vec{b}(\vec{c}+\vec{a})(\vec{b}+2\vec{c})=\ ?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\vec{b}(\vec{c}+\vec{a})(\vec{b}+2\vec{c})=\vec{b}\vec{c}(\vec{b}+2\vec{c})+\vec{b}\vec{a}(\vec{b}+2\vec{c})=\vec{b}\vec{c}\vec{b}+2\vec{b}\vec{c}\vec{c}+\vec{b}\vec{a}\vec{b}+2\vec{b}\vec{a}\vec{c}$
|
||||
|
||||
$\vec{b}\vec{c}\vec{b}=0,\ \vec{b}\vec{c}\vec{c}=0,\ \vec{b}\vec{a}\vec{b}=0$
|
||||
|
||||
$\vec{b}(\vec{c}+\vec{a})(\vec{b}+2\vec{c})=2\vec{b}\vec{a}\vec{c}$
|
||||
$\vec{b}\vec{a}\vec{c}=-\vec{a}\vec{b}\vec{c}=-5$
|
||||
|
||||
$\vec{b}(\vec{c}+\vec{a})(\vec{b}+2\vec{c})=2\cdot(-5)=-10$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }-10$
|
||||
|
||||
## 27 номер – П 3.4.19
|
||||
|
||||
### Дано:
|
||||
|
||||
$V=5$
|
||||
$A(2;\,1;\,-1)$
|
||||
$B(3;\,0;\,1)$
|
||||
$C(2;\,-1;\,3)$
|
||||
$D \ \text{лежит на оси}\ Oy$
|
||||
$D=\ ?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$D=(0;\,t;\,0)$
|
||||
|
||||
$\vec{AB}=B-A=(3-2;\,0-1;\,1-(-1))=(1;\,-1;\,2)$
|
||||
$\vec{AC}=C-A=(2-2;\,-1-1;\,3-(-1))=(0;\,-2;\,4)$
|
||||
$\vec{AD}=D-A=(0-2;\,t-1;\,0-(-1))=(-2;\,t-1;\,1)$
|
||||
|
||||
$V=\dfrac{1}{6}|\vec{AB}\vec{AC}\vec{AD}|$
|
||||
|
||||
$\vec{AB}\vec{AC}\vec{AD}=1\cdot\big((-2)\cdot 1-(t-1)\cdot 4\big)= -2-4(t-1)=2-4t=-2(2t-1)$
|
||||
|
||||
$5=\dfrac{1}{6}|-2(2t-1)|=\dfrac{1}{3}|2t-1|$
|
||||
|
||||
$|2t-1|=15$
|
||||
$2t-1=15;\ t=8$
|
||||
$2t-1=-15;\ t=-7$
|
||||
|
||||
$D_1=(0;\,8;\,0),\quad D_2=(0;\,-7;\,0)$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }(0;\,8;\,0)\ \text{или}\ (0;\,-7;\,0)$
|
||||
|
||||
## 28 номер – П 3.4.21
|
||||
|
||||
### Дано:
|
||||
|
||||
$A_{1}(1;\,2;\,3),\ A_{2}(-2;\,4;\,1),\ A_{3}(7;\,6;\,3),\ A_{4}(4;\,-3;\,-1)$
|
||||
|
||||
### Найти:
|
||||
|
||||
а) $|A_{1}A_{2}|,\ |A_{1}A_{3}|,\ |A_{1}A_{4}|$
|
||||
б) $S_{\triangle A_{1}A_{2}A_{3}}$
|
||||
в) $\angle(A_{1}A_{4},A_{1}A_{3})$
|
||||
г) $V$
|
||||
д) $h$ на грань $A_{1}A_{2}A_{3}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\vec{A_{1}A_{2}}=(-3;\,2;\,-2)$
|
||||
$\vec{A_{1}A_{3}}=(6;\,4;\,0)$
|
||||
$\vec{A_{1}A_{4}}=(3;\,-5;\,-4)$
|
||||
|
||||
а)
|
||||
$|A_{1}A_{2}|=\sqrt{(-3)^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{17}$
|
||||
$|A_{1}A_{3}|=\sqrt{6^2+4^2+0^2}=2\sqrt{13}$
|
||||
$|A_{1}A_{4}|=\sqrt{3^2+(-5)^2+(-4)^2}=5\sqrt{2}$
|
||||
|
||||
б)
|
||||
$S=\dfrac{1}{2}|\vec{A_{1}A_{2}}\cdot\vec{A_{1}A_{3}}|$
|
||||
$\vec{A_{1}A_{2}}\cdot\vec{A_{1}A_{3}}=(8;\,-12;\,-24)$
|
||||
$|\vec{A_{1}A_{2}}\cdot\vec{A_{1}A_{3}}|=\sqrt{784}=28$
|
||||
$S=\dfrac{1}{2}\cdot 28=14$
|
||||
|
||||
в)
|
||||
$\cos\varphi=\dfrac{\vec{A_{1}A_{4}}\cdot\vec{A_{1}A_{3}}}{|A_{1}A_{4}|\cdot|A_{1}A_{3}|}$
|
||||
$\vec{A_{1}A_{4}}\cdot\vec{A_{1}A_{3}}=-2$
|
||||
$\cos\varphi=\dfrac{-2}{(5\sqrt{2})(2\sqrt{13})}=-\dfrac{1}{5\sqrt{26}}$
|
||||
$\varphi=\arccos(-\dfrac{1}{5\sqrt{26}})$
|
||||
|
||||
г)
|
||||
$V=\dfrac{1}{6}|\vec{A_{1}A_{2}}\vec{A_{1}A_{3}}\vec{A_{1}A_{4}}|$
|
||||
$\vec{A_{1}A_{2}}\vec{A_{1}A_{3}}\vec{A_{1}A_{4}}=\begin{vmatrix}-3 & 2 & -2 \\ 6 & 4 & 0 \\ 3 & -5 & -4\end{vmatrix}=180$
|
||||
$V=\dfrac{1}{6}|180|=30$
|
||||
|
||||
д)
|
||||
$V=\dfrac{1}{3}S_{\triangle A_{1}A_{2}A_{3}}\cdot h$
|
||||
$h=6\dfrac{3}{7}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }|A_{1}A_{2}|=\sqrt{17};\ |A_{1}A_{3}|=2\sqrt{13};\ |A_{1}A_{4}|=5\sqrt{2};\ S=14;\ \varphi=\arccos(-\dfrac{1}{5\sqrt{26}});\ V=30;\ h=\dfrac{45}{7};$
|
||||
|
||||
## 32 номер – П 4.1.13
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$A(1;\,-5),\ B(4;\,3)$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\vec{AB}=B-A=(4-1;\,3-(-5))=(3;\,8)$
|
||||
|
||||
$\vec{AC}=\dfrac{1}{3}\vec{AB}=(\dfrac{3}{3};\,\dfrac{8}{3})=(1;\,\dfrac{8}{3})$
|
||||
$\vec{AD}=\dfrac{2}{3}\vec{AB}=(\dfrac{6}{3};\,\dfrac{16}{3})=(2;\,\dfrac{16}{3})$
|
||||
|
||||
$C=A+\vec{AC}=(2;\,-2\dfrac{1}{3})$
|
||||
$D=A+\vec{AD}=(3;\,\dfrac{1}{3})$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }C(2;\,-2\dfrac{1}{3}),\ D(3;\,\dfrac{1}{3})$
|
||||
|
||||
## 36 номер – П 4.1.23
|
||||
|
||||
### Дано:
|
||||
|
||||
$A(2;\,1),\ B(-2;\,-2),\ C(-8;\,6)$
|
||||
|
||||
### Найти:
|
||||
|
||||
$h_{B}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\vec{AB}=B-A=(-2-2;\,-2-1)=(-4;\,-3)$
|
||||
$\vec{AC}=C-A=(-8-2;\,6-1)=(-10;\,5)$
|
||||
|
||||
$|AC|=\sqrt{(-10)^2+5^2}=5\sqrt{5}$
|
||||
|
||||
$S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}|\vec{AB}\vec{AC}|$
|
||||
$\vec{AB}\vec{AC}=(-4)\cdot5-(-3)\cdot(-10)=-50$
|
||||
$S=\dfrac{1}{2}\cdot|-50|=25$
|
||||
|
||||
$S=\dfrac{1}{2}\cdot |AC|\cdot h_{B}$
|
||||
$h_{B}=\dfrac{2S}{|AC|}=\dfrac{2\cdot 25}{5\sqrt{5}}=\dfrac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }h_{B}=2\sqrt{5}$
|
||||
|
||||
## 37 номер – П 4.1.24
|
||||
|
||||
### Дано:
|
||||
|
||||
$A(-2;\,6),\ B(2;\,8),\ M(2;\,2)$
|
||||
|
||||
### Найти:
|
||||
|
||||
$C,\ D$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\text{Точка }M\ \text{середина диагоналей}$
|
||||
$M=\dfrac{A+C}{2}=\dfrac{B+D}{2}$
|
||||
|
||||
$C=2M-A=(6;\,-2)$
|
||||
$D=2M-B=(2;\,-4)$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }C(6;\,-2),\ D(2;\,-4)$
|
||||
|
||||
## 41 номер – П 5.1.14
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\text{В каких октантах могут быть расположены точки, координаты которых удовлетворяют:}$
|
||||
$1)\ x-y=0;\quad 2)\ x+z=0;\quad 3)\ xy>0;\quad 4)\ xyz<0$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\text{Октанты: }$
|
||||
$I:(+,+,+),\ II:(+,-,+),\ III:(+,-,-),\ IV:(+,+,-),\ V:(-,+,+),\ VI:(-,-,+),\ VII:(-,-,-),\ VIII:(-,+,-)$
|
||||
|
||||
$1)\ x-y=0; x=y$
|
||||
$x>0,\ y>0; I,\ IV$
|
||||
$x<0,\ y<0; VI,\ VII$
|
||||
$\text{Ответ: }I,\ IV,\ VI,\ VII$
|
||||
|
||||
$2)\ x+z=0; z=-x$
|
||||
$x>; z<; III,\ IV$
|
||||
$x<0; z>0; V,\ VI$
|
||||
$\text{Ответ: }III,\ IV,\ V,\ VI$
|
||||
|
||||
$3)\ xy>0$
|
||||
$x>0,\ y>0; I,\ IV$
|
||||
$x<0,\ y<0; VI,\ VII$
|
||||
$\text{Ответ: }I,\ IV,\ VI,\ VII$
|
||||
|
||||
$4)\ xyz<0; \text{нечётное число отрицательных координат}$
|
||||
$II:(+,-,+),\ IV:(+,+,-),\ V:(-,+,+),\ VII:(-,-,-)$
|
||||
$\text{Ответ: }II,\ IV,\ V,\ VII$
|
||||
|
||||
## 42 номер – П 5.1.15
|
||||
|
||||
### Дано:
|
||||
|
||||
$A(4;\,-1;\,-1)$
|
||||
$\text{Сфера касается плоскостей }x=0,\ y=0,\ z=0$
|
||||
|
||||
### Найти:
|
||||
|
||||
$O(x_{0};y_{0};z_{0}),\ R$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$|x_{0}|=R$
|
||||
$|y_{0}|=R$
|
||||
$|z_{0}|=R$
|
||||
|
||||
$O=(\varepsilon_{1}R;\ \varepsilon_{2}R;\ \varepsilon_{3}R),\ \varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\varepsilon_{3}\in\{-1;1\}$
|
||||
|
||||
$OA=R$
|
||||
$(\varepsilon_{1}R-4)^2+(\varepsilon_{2}R+1)^2+(\varepsilon_{3}R+1)^2=R^2$
|
||||
|
||||
$R^2+(-4\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3})R+9=0$
|
||||
|
||||
$\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}\in\{-2;0;2\}$
|
||||
$\varepsilon_{1}=1; -4\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}\in\{-6;-4;-2\}$
|
||||
$\text{Только }-6:\ R^2-6R+9=0; (R-3)^2=0; R=3$
|
||||
$-4\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}=-6; \varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}=-2; \varepsilon_{2}=-1,\ \varepsilon_{3}=-1$
|
||||
чё
|
||||
5:22 утра ЧЁ тут произошло
|
||||
|
||||
$O=(3;\,-3;\,-3)$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }O(3;\,-3;\,-3),\ R=3$
|
||||
|
||||
## 46 номер – П 4.2.2
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=2x-3$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$y=2x-3$
|
||||
$y+3=2x$
|
||||
$\dfrac{y+3}{2}=x$
|
||||
|
||||
$x=0; y=-3; (0;\,-3)$
|
||||
$y=0; 2x-3=0; x=\dfrac{3}{2}; (\dfrac{3}{2};\,0)$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }\dfrac{x}{\frac{3}{2}}+\dfrac{y}{-3}=1;\ (0;\,-3),\ (\dfrac{3}{2};\,0)$
|
||||
|
||||
## 50 номер – П 4.2.7
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
П 4.2.7 я хз как это записать
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$y=-\dfrac{A}{B}x-\dfrac{C}{B}$
|
||||
$\text{Расстояние от }O:\ p=\dfrac{|C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$
|
||||
$\text{Нормальное: }\dfrac{A}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}x+\dfrac{B}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}y=-\dfrac{C}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\ (p\ge0)$
|
||||
|
||||
а)
|
||||
$2x-3y+6=0$
|
||||
$-3y=-2x-6$
|
||||
$y=\dfrac{2}{3}x+2$
|
||||
$k=\dfrac{2}{3}$
|
||||
|
||||
$y=0; 2x+6=0 \implies x=-3$
|
||||
$x=0; -3y+6=0 \implies y=2$
|
||||
$\text{В отрезках: }\dfrac{x}{-3}+\dfrac{y}{2}=1$
|
||||
|
||||
$\sqrt{A^{2}+B^{2}}=\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{13}$
|
||||
$\dfrac{2}{\sqrt{13}}x-\dfrac{3}{\sqrt{13}}y=-\dfrac{6}{\sqrt{13}}$
|
||||
$\text{Нормальное (}p\ge0\text{): }-\dfrac{2}{\sqrt{13}}x+\dfrac{3}{\sqrt{13}}y=\dfrac{6}{\sqrt{13}}$
|
||||
$p=\dfrac{|6|}{\sqrt{13}}=\dfrac{6}{\sqrt{13}}$
|
||||
|
||||
б)
|
||||
$x+2{,}5=0$
|
||||
$x=-2{,}5$
|
||||
$k\ \text{не определён (прямая вертикальная)}$
|
||||
|
||||
$\text{Нормальное: }-x=2{,}5$
|
||||
$p=2{,}5$
|
||||
|
||||
в)
|
||||
$y=x-1$
|
||||
$x-y-1=0$
|
||||
$y=1\cdot x-1$
|
||||
$k=1$
|
||||
|
||||
$y=0; x=1$
|
||||
$x=0; y=-1$
|
||||
$\text{В отрезках: }\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{-1}=1$
|
||||
|
||||
$\sqrt{A^{2}+B^{2}}=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}$
|
||||
$\dfrac{1}{\sqrt{2}}x-\dfrac{1}{\sqrt{2}}y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
|
||||
$p=\dfrac{|{-1}|}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
|
||||
|
||||
г)
|
||||
$x+5y=0$
|
||||
$y=-\dfrac{1}{5}x$
|
||||
$k=-\dfrac{1}{5}$
|
||||
|
||||
$\text{Прямая проходит через }O; \text{в отрезках не записывается (}a=0,\ b=0\text{)}$
|
||||
|
||||
$\sqrt{A^{2}+B^{2}}=\sqrt{1^{2}+5^{2}}=\sqrt{26}$
|
||||
$\dfrac{1}{\sqrt{26}}x+\dfrac{5}{\sqrt{26}}y=0$
|
||||
$p=\dfrac{|0|}{\sqrt{26}}=0$
|
||||
|
||||
## 51 номер – П 4.2.9
|
||||
|
||||
### Дано:
|
||||
|
||||
$A(1;\,1)$
|
||||
$B(-2;\,3)$
|
||||
$k=\ ?,\ y_{Oy}=\ ?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$k=\dfrac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\dfrac{3-1}{-2-1}=\dfrac{2}{-3}=-\dfrac{2}{3}$
|
||||
|
||||
$y=-\dfrac{2}{3}x+b$
|
||||
|
||||
$1=-\dfrac{2}{3}\cdot 1 + b$
|
||||
$b=1+\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{3}$
|
||||
|
||||
$y=-\dfrac{2}{3}\cdot 0 + b = b = \dfrac{5}{3}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }k=-\dfrac{2}{3};\ \text{ордината: }\dfrac{5}{3}$
|
||||
|
||||
## 55 номер – П 4.2.24
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$A(3;\,2),\ B(3;\,8),\ C(6;\,2)$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\text{1) } AB:$
|
||||
$x_{A}=3,\ x_{B}=3; \text{координаты } x \text{ совпадают}$
|
||||
|
||||
$\text{2) } AC:$
|
||||
$y_{A}=2,\ y_{C}=2; \text{координаты } y \text{ совпадают}$
|
||||
|
||||
$\text{3) } BC:$
|
||||
$\dfrac{x-x_{B}}{x_{C}-x_{B}}=\dfrac{y-y_{B}}{y_{C}-y_{B}}$
|
||||
|
||||
$\dfrac{x-3}{6-3}=\dfrac{y-8}{2-8}$
|
||||
|
||||
$\dfrac{x-3}{3}=\dfrac{y-8}{-6}$
|
||||
|
||||
$-2(x-3)=1(y-8)$
|
||||
$-2x+6=y-8$
|
||||
$2x+y-14=0$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }AB:\ x=3;\ AC:\ y=2;\ BC:\ 2x+y-14=0$
|
||||
|
||||
## 56 номер – П 5.2.2
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$M(-2;\,3;\,1)$
|
||||
$1)\ ||\ Oxy;\ 2)\ M\ \text{и ось}\ Oy$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$1)$
|
||||
$Oxy; z=z_{M}$
|
||||
$z=1; z-1=0$
|
||||
|
||||
$2)$
|
||||
$Oy ; Ax+Cz=0$
|
||||
$-2A+1\cdot C=0;$
|
||||
$C=2A$
|
||||
$A=1$
|
||||
$C=2$
|
||||
$x+2z=0$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }z-1=0;\ x+2z=0$
|
||||
|
||||
## 60 номер – П 5.2.9
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$M(1;\, -1;\, 0)$
|
||||
$\vec{a}=(0;\, 2;\, 3),\ \vec{b}=(-1;\, 4;\, 2)$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\vec{n}=\vec{a}\times\vec{b}$
|
||||
$\vec{n}=\vec{i}(4-12)-\vec{j}(0+3)+\vec{k}(0+2)=(-8;\,-3;\,2)$
|
||||
|
||||
$-8(x-1)-3(y+1)+2(z-0)=0$
|
||||
$-8x+8-3y-3+2z=0$
|
||||
$8x+3y-2z-5=0$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }8x+3y-2z-5=0$
|
||||
|
||||
## 65 номер – П 5.2.19
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$-Oy \implies M(0;\,-4;\,0)$
|
||||
$\vec{n}=(3;\, -2;\, 4)$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$
|
||||
|
||||
$3(x-0)-2(y-(-4))+4(z-0)=0$
|
||||
$3x-2(y+4)+4z=0$
|
||||
$3x-2y-8+4z=0$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }3x-2y+4z-8=0$
|
||||
|
||||
## 69 номер – П 5.3.6
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$1)\ M(1;\,0;\,-1),\ \vec{a}=(2;\,3;\,0)$
|
||||
$2)\ A(2;\,2;\,2),\ B(6;\,2;\,1)$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$1)$
|
||||
$\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3t \\ z = -1 \end{cases}$
|
||||
|
||||
$2)$
|
||||
$\vec{s} = \vec{AB} = B - A = (4;\, 0;\, -1)$
|
||||
$\begin{cases} x = 2 + 4t \\ y = 2 + 0t \\ z = 2 - t \end{cases} ; \begin{cases} x = 2 + 4t \\ y = 2 \\ z = 2 - t \end{cases}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: } 1)\ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3t \\ z = -1 \end{cases};\ 2)\ \begin{cases} x = 2 + 4t \\ y = 2 \\ z = 2 - t \end{cases}$
|
||||
|
||||
## 70 номер – П 5.3.7
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$M_0(4;\,3;\,-2)$
|
||||
$1)\ ||\ \vec{a}=(3;\,-6;\,5)$
|
||||
$2)\ ||\ \begin{cases} x + 3y + z - 6 = 0 \\ 2x - y - 4z + 1 = 0 \end{cases}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$1)$
|
||||
$\vec{s}=\vec{a}=(3;\,-6;\,5)$
|
||||
$\dfrac{x-4}{3}=\dfrac{y-3}{-6}=\dfrac{z+2}{5}$
|
||||
|
||||
$2)$
|
||||
$\vec{n_1}=(1;\,3;\,1)$
|
||||
$\vec{n_2}=(2;\,-1;\,-4)$
|
||||
|
||||
$\vec{s}=\vec{n_1}\times\vec{n_2}=\vec{i}(-12+1)-\vec{j}(-4-2)+\vec{k}(-1-6)=(-11;\,6;\,-7)$
|
||||
|
||||
$\dfrac{x-4}{-11}=\dfrac{y-3}{6}=\dfrac{z+2}{-7}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: } 1)\ \dfrac{x-4}{3}=\dfrac{y-3}{-6}=\dfrac{z+2}{5};\ 2)\ \dfrac{x-4}{-11}=\dfrac{y-3}{6}=\dfrac{z+2}{-7}$
|
||||
|
||||
## 74 номер – П 5.3.12
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z-5}{5}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$1)\ Oxy; z=0$
|
||||
$\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{0-5}{5}=-1$
|
||||
$x-3=1; x=4$
|
||||
$y+2=-2; y=-4$
|
||||
$M_1(4;\,-4;\,0)$
|
||||
|
||||
$2)\ Oxz; y=0$
|
||||
$\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{z-5}{5}=\dfrac{0+2}{2}=1$
|
||||
$x-3=-1; x=2$
|
||||
$z-5=5; z=10$
|
||||
$M_2(2;\,0;\,10)$
|
||||
|
||||
$3)\ Oyz; x=0$
|
||||
$\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z-5}{5}=\dfrac{0-3}{-1}=3$
|
||||
$y+2=6; y=4$
|
||||
$z-5=15; z=20$
|
||||
$M_3(0;\,4;\,20)$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }(4;\,-4;\,0),\ (2;\,0;\,10),\ (0;\,4;\,20)$
|
||||
@@ -0,0 +1,388 @@
|
||||
## 11 номер – П 1.1.51
|
||||
#учеба #семестр_1 #высшая_математика
|
||||
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
|
||||
$A^{n}=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$A^2=A\cdot A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
|
||||
$A^2=A$
|
||||
$A^3=A^2A=AA=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
|
||||
$A^4=A^3A=A^2A=AA\dots$
|
||||
$\dots$
|
||||
$Ответ: A^n=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
## 13 номер – П 1.1.67
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}1 & 2 & -3 & 4 \\ 5 & -6 & 7 & 8 \\ -9 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 & -6\end{pmatrix}$
|
||||
$B=\begin{pmatrix}-6 & 5 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & -9 \\ 8 & 7 & -6 & 5 \\ 4 & -3 & 2 & 1\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$AB=\begin{pmatrix}1 & 2 & -3 & 4 \\ 5 & -6 & 7 & 8 \\ -9 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 & -6\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-6 & 5 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & -9 \\ 8 & 7 & -6 & 5 \\ 4 & -3 & 2 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-10 & -26 & 30 & -26 \\ 46 & 44 & -6 & 112 \\ 70 & -44 & -38 & -20 \\ 6 & 72 & -30 & -8\end{pmatrix}$
|
||||
$BA=\begin{pmatrix}-6 & 5 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & -9 \\ 8 & 7 & -6 & 5 \\ 4 & -3 & 2 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 2 & -3 & 4 \\ 5 & -6 & 7 & 8 \\ -9 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 & -6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8 & -30 & 72 & 6 \\ -20 & -38 & -44 & 70 \\ 112 & -6 & 44 & 46 \\ -26 & 30 & -26 & -10\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$AB-BA\neq 0$
|
||||
$\text{Ответ: Матрицы не коммутируют}$
|
||||
|
||||
## 15 номер – П 1.1.77
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}$
|
||||
$\text{Найти:} \ AA^{T};A^{T}A;$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$A^T=\begin{pmatrix}1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$AA^{T}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}14 & 32 & 50 \\ 32 & 77 & 122 \\ 50 & 122 & 194\end{pmatrix}$
|
||||
$A^{T}A=\begin{pmatrix}1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}66 & 78 & 90 \\ 78 & 93 & 108 \\ 90 & 108 & 126\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
## 17 номер – П 1.2.64
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}x & x-1 \\ x^{2}+x+1 & x^{2}\end{pmatrix}$
|
||||
$\det A=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\det 2\times2=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc$
|
||||
$\det A=x\cdot x^{2}-(x-1)(x^{2}+x+1)=x^{3}-(x^{3}+x^{2}+x-x^{2}-x-1)=1$
|
||||
|
||||
## 19 номер – П 1.2.73
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}-2 & 3 & 5 \\ 4 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & 2\end{pmatrix}$
|
||||
$\det A=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\det 3\times3=\begin{pmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{pmatrix}=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)$
|
||||
$\det A=(-2)(1\cdot2-(-2)(-3))-3(4\cdot2-(-2)\cdot1)+5(4\cdot(-3)-1\cdot1)=-87$
|
||||
|
||||
## 21 номер – П 1.2.95
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}0 & 5 & 2 & 0 \\ 8 & 3 & 5 & 4 \\ 7 & 2 & 4 & 1 \\ 0 & 4 & 1 & 0\end{pmatrix}$
|
||||
$\det A=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\det A=0\cdot(\dots)-5\cdot\begin{pmatrix}8 & 5 & 4 \\ 7 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}8 & 3 & 4 \\ 7 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & 0\end{pmatrix}-0\cdot(\dots)$
|
||||
$\begin{pmatrix}8 & 5 & 4 \\ 7 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}=8(4\cdot0-1\cdot1)-5(7\cdot0-1\cdot0)+4(7\cdot1-4\cdot0)=20$
|
||||
|
||||
$\begin{pmatrix}8 & 3 & 4 \\ 7 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & 0\end{pmatrix}=8(2\cdot0-1\cdot4)-3(7\cdot0-1\cdot0)+4(7\cdot4-2\cdot0)=80$
|
||||
|
||||
$\det A=-5\cdot20+2\cdot80=60$
|
||||
|
||||
## 23 номер – П 1.2.97
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}3 & 2 & 2 & 2 \\ 9 & -8 & 5 & 10 \\ 5 & -8 & 5 & 8 \\ 6 & -5 & 4 & 7\end{pmatrix}$
|
||||
$\det A=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\det A=3\cdot\begin{pmatrix}-8 & 5 & 10 \\ -8 & 5 & 8 \\ -5 & 4 & 7\end{pmatrix}-2\cdot\begin{pmatrix}9 & 5 & 10 \\ 5 & 5 & 8 \\ 6 & 4 & 7\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}9 & -8 & 10 \\ 5 & -8 & 8 \\ 6 & -5 & 7\end{pmatrix}-2\cdot\begin{pmatrix}9 & -8 & 5 \\ 5 & -8 & 5 \\ 6 & -5 & 4\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\begin{pmatrix}-8 & 5 & 10 \\ -8 & 5 & 8 \\ -5 & 4 & 7\end{pmatrix}=-8(5\cdot7-8\cdot4)-5((-8)\cdot7-8\cdot(-5))+10((-8)\cdot4-5\cdot(-5))=-14$
|
||||
|
||||
$\begin{pmatrix}9 & 5 & 10 \\ 5 & 5 & 8 \\ 6 & 4 & 7\end{pmatrix}=9(5\cdot7-8\cdot4)-5(5\cdot7-8\cdot6)+10(5\cdot4-5\cdot6)=-8$
|
||||
|
||||
$\begin{pmatrix}9 & -8 & 10 \\ 5 & -8 & 8 \\ 6 & -5 & 7\end{pmatrix}=9((-8)\cdot7-8\cdot(-5))-(-8)(5\cdot7-8\cdot6)+10(5\cdot(-5)-(-8)\cdot6)=-18$
|
||||
|
||||
$\begin{pmatrix}9 & -8 & 5 \\ 5 & -8 & 5 \\ 6 & -5 & 4\end{pmatrix}=9((-8)\cdot4-5\cdot(-5))-(-8)(5\cdot4-5\cdot6)+5(5\cdot(-5)-(-8)\cdot6)=-28$
|
||||
|
||||
$\det A=3\cdot(-14)-2\cdot(-8)+2\cdot(-18)-2\cdot(-28)=-6$
|
||||
|
||||
## 25 номер – П 1.2.99
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}3 & 6 & 5 & 6 & 4 \\ 5 & 9 & 7 & 8 & 6 \\ 6 & 12 & 13 & 9 & 7 \\ 4 & 6 & 6 & 5 & 4 \\ 2 & 5 & 4 & 5 & 3\end{pmatrix}$
|
||||
$\det A=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\det A=\det\begin{pmatrix}3 & 6 & 5 & 6 & 4 \\ 2 & 3 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & -3 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 2 & 5 & 4 & 5 & 3\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\det A=3\cdot\begin{pmatrix}3 & 6 & 6 & 4 \\ 2 & 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 2 & 5 & 5 & 3\end{pmatrix}+3\cdot\begin{pmatrix}3 & 6 & 5 & 4 \\ 2 & 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & 4 & 3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3 & 6 & 5 & 6 \\ 2 & 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & -1 \\ 2 & 5 & 4 & 5\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\det\begin{pmatrix}3 & 6 & 6 & 4 \\ 2 & 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 2 & 5 & 5 & 3\end{pmatrix}=1\cdot\begin{pmatrix}6 & 6 & 4 \\ 3 & 2 & 2 \\ 5 & 5 & 3\end{pmatrix}+(-1)\cdot\begin{pmatrix}3 & 6 & 4 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 3\end{pmatrix}$
|
||||
$\det\begin{pmatrix}6 & 6 & 4 \\ 3 & 2 & 2 \\ 5 & 5 & 3\end{pmatrix}=2$
|
||||
$\det\begin{pmatrix}3 & 6 & 4 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 3\end{pmatrix}=1$
|
||||
$\det\begin{pmatrix}3 & 6 & 6 & 4 \\ 2 & 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 2 & 5 & 5 & 3\end{pmatrix}=2-1 = 1$
|
||||
|
||||
$\det\begin{pmatrix}3 & 6 & 5 & 4 \\ 2 & 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & 4 & 3\end{pmatrix}=1\cdot\begin{pmatrix}6 & 5 & 4 \\ 3 & 2 & 2 \\ 5 & 4 & 3\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}3 & 6 & 4 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 3\end{pmatrix}$
|
||||
$\det\begin{pmatrix}6 & 5 & 4 \\ 3 & 2 & 2 \\ 5 & 4 & 3\end{pmatrix}=6(2\cdot3-2\cdot4)-5(3\cdot3-2\cdot5)+4(3\cdot4-2\cdot5)=1$
|
||||
$\det\begin{pmatrix}3 & 6 & 5 & 4 \\ 2 & 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & 4 & 3\end{pmatrix}=1+2$
|
||||
|
||||
$\det\begin{pmatrix}3 & 6 & 5 & 6 \\ 2 & 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & -1 \\ 2 & 5 & 4 & 5\end{pmatrix}=1\cdot\begin{pmatrix}6 & 5 & 6 \\ 3 & 2 & 2 \\ 5 & 4 & 5\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}3 & 6 & 6 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 5\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}3 & 6 & 5 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 4\end{pmatrix}$
|
||||
$\det\begin{pmatrix}6 & 5 & 6 \\ 3 & 2 & 2 \\ 5 & 4 & 5\end{pmatrix}=-1$
|
||||
$\det\begin{pmatrix}3 & 6 & 6 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 5\end{pmatrix}=3$
|
||||
$\det\begin{pmatrix}3 & 6 & 5 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 4\end{pmatrix}=2$
|
||||
$\det\begin{pmatrix}3 & 6 & 5 & 6 \\ 2 & 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & -1 \\ 2 & 5 & 4 & 5\end{pmatrix}=-1+3+2=4$
|
||||
|
||||
$\det A=3\cdot1+3\cdot2-4=5$
|
||||
|
||||
## 27 номер – П 1.2.104
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}a_{0} & a_{1} & a_{2} & \dots & a_{n-1} & a_{n} \\ -x & x & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & -x & x & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & -x & x \end{pmatrix}$
|
||||
$\det A=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\text{Если }C_{i}=C_i+kC_j,\ \det A \text{ не меняется}$
|
||||
|
||||
$C_{n-1}=C_{n-1}+C_n,\ C_{n-2}=C_{n-2}+C_{n-1},\ \dots,\ C_{0}=C_{0}+C_{1}$
|
||||
|
||||
$\det A=\det\begin{pmatrix}a_{0}+a_{1}+\dots+a_{n} & a_{1}+a_{2}+\dots+a_{n} & \dots & a_{n-1}+a_{n} & a_{n} \\0 & x & \dots & 0 & 0 \\0 & 0 & \ddots & 0 & 0 \\\vdots & \vdots & \ddots & x & 0 \\0 & 0 & \dots & 0 & x\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\det A=(a_{0}+a_{1}+\dots+a_{n})\cdot x\cdot x\cdots x=x^{n}(a_{0}+a_{1}+\dots+a_{n})$
|
||||
|
||||
## 29 номер – П 1.2.85
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\begin{pmatrix}2 & 0 & -1 \\ 1 & x+5 & 2-x \\ 3 & -1 & 2\end{pmatrix} \leq 4$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\det A=2((x+5)\cdot2-(2-x)\cdot(-1))-0(1\cdot2-(2-x)\cdot3)+(-1)(1\cdot(-1)-(x+5)\cdot3)=5(x+8)$
|
||||
|
||||
$5(x+8)\le 4$
|
||||
$x+8\le \dfrac{4}{5}$
|
||||
$x\le \dfrac{4}{5}-8=x\leq-\dfrac{36}{5}$
|
||||
$\text{Ответ: }x\le -\dfrac{36}{5}$
|
||||
|
||||
## 40 номер – П 1.4.42
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}5 & 8 & -1 \\ 2 & -3 & 2 \\ 1 & 2 & 3\end{pmatrix}$
|
||||
$A^{-1} = ?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\det A=-104$
|
||||
|
||||
$C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$
|
||||
|
||||
$C_{11}=+\begin{pmatrix}-3 & 2 \\ 2 & 3\end{pmatrix}=-13$
|
||||
$C_{12}=-\begin{pmatrix}2 & 2 \\ 1 & 3\end{pmatrix}=-4$
|
||||
$C_{13}=+\begin{pmatrix}2 & -3 \\ 1 & 2\end{pmatrix}=7$
|
||||
|
||||
$C_{21}=-\begin{pmatrix}8 & -1 \\ 2 & 3\end{pmatrix}=-26$
|
||||
$C_{22}=+\begin{pmatrix}5 & -1 \\ 1 & 3\end{pmatrix}=16$
|
||||
$C_{23}=-\begin{pmatrix}5 & 8 \\ 1 & 2\end{pmatrix}=-2$
|
||||
|
||||
$C_{31}=+\begin{pmatrix}8 & -1 \\ -3 & 2\end{pmatrix}=13$
|
||||
$C_{32}=-\begin{pmatrix}5 & -1 \\ 2 & 2\end{pmatrix}=-12$
|
||||
$C_{33}=+\begin{pmatrix}5 & 8 \\ 2 & -3\end{pmatrix}=-31$
|
||||
|
||||
$C=\begin{pmatrix}-13 & -4 & 7 \\ -26 & 16 & -2 \\ 13 & -12 & -31\end{pmatrix}$
|
||||
$C^{T}=\begin{pmatrix}-13 & -26 & 13 \\ -4 & 16 & -12 \\ 7 & -2 & -31\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}С^{T}=-\dfrac{1}{104}С^{T}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{8} & \dfrac{1}{4} & -\dfrac{1}{8} \\ \dfrac{1}{26} & -\dfrac{2}{13} & \dfrac{3}{26} \\ -\dfrac{7}{104} & \dfrac{1}{52} & \dfrac{31}{104}\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
## 42 номер – П 1.4.55
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 2 & 3\end{pmatrix}\cdot X\cdot \begin{pmatrix}2 & -2 \\ -4 & 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 2 & 3\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$A\cdot X\cdot B=A$
|
||||
$\det A\neq0,\ \det B\neq0:\ A^{-1}AXBB^{-1}=A^{-1}A$
|
||||
$X=B^{-1}$
|
||||
|
||||
$B=\begin{pmatrix}2 & -2 \\ -4 & 5\end{pmatrix}$
|
||||
$\det B=2\cdot5-(-2)\cdot(-4)=10-8=2$
|
||||
$B^{-1}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}5 & 2 \\ 4 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{5}{2} & 1 \\ 2 & 1\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }X=\begin{pmatrix}\dfrac{5}{2} & 1 \\ 2 & 1\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
## 44 номер – П 1.4.57
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\begin{pmatrix}1 & -2 & 3 \\ 2 & 3 & -1 \\ 0 & -2 & 1\end{pmatrix}\cdot X=\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 3\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$A\cdot X=b$
|
||||
$X=\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$x_{1}=\dfrac{\Delta_{1}}{\Delta},\ x_{2}=\dfrac{\Delta_{2}}{\Delta},\ x_{3}=\dfrac{\Delta_{3}}{\Delta}$
|
||||
|
||||
$\Delta=\det A=\begin{pmatrix}1 & -2 & 3 \\ 2 & 3 & -1 \\ 0 & -2 & 1\end{pmatrix}=-7$
|
||||
|
||||
$\Delta_{1}=\begin{pmatrix}2 & -2 & 3 \\ -1 & 3 & -1 \\ 3 & -2 & 1\end{pmatrix}=-15$
|
||||
|
||||
$\Delta_{2}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & -1 \\ 0 & 3 & 1\end{pmatrix}=16$
|
||||
|
||||
$\Delta_{3}=\begin{pmatrix}1 & -2 & 2 \\ 2 & 3 & -1 \\ 0 & -2 & 3\end{pmatrix}=11$
|
||||
|
||||
$x_{1}=\dfrac{-15}{-7}=\dfrac{15}{7}$
|
||||
$x_{2}=\dfrac{16}{-7}=-\dfrac{16}{7}$
|
||||
$x_{3}=\dfrac{11}{-7}=-\dfrac{11}{7}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }X=\begin{pmatrix}\dfrac{15}{7}\\-\dfrac{16}{7}\\-\dfrac{11}{7}\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
## 46 номер – П 1.3.17
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}1 & -3 & 1 & -14 & 22 \\ -2 & 1 & 3 & 3 & -9 \\ -4 & -3 & 11 & -19 & 17\end{pmatrix}$
|
||||
$rankA=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$R_2=R_2+2R_1,\ R_3=R_3+4R_1$
|
||||
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -3 & 1 & -14 & 22 \\0 & -5 & 5 & -25 & 35 \\0 & -15 & 15 & -75 & 105\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$R_3=R_3-3R_2$
|
||||
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -3 & 1 & -14 & 22 \\0 & -5 & 5 & -25 & 35 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }rankA=2$
|
||||
|
||||
## 48 номер – П 1.3.19
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}3 & -1 & 3 & 2 & 5 \\ 5 & -3 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & -3 & -5 & 0 & -7 \\ 7 & -5 & 1 & 4 & 1\end{pmatrix}$
|
||||
$rankA=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$R_{1}\to R_3$
|
||||
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -3 & -5 & 0 & -7 \\ 5 & -3 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & -1 & 3 & 2 & 5 \\ 7 & -5 & 1 & 4 & 1\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$R_2=R_2-5R_1,\ R_3=R_3-3R_1,\ R_4=R_4-7R_1$
|
||||
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -3 & -5 & 0 & -7 \\ 0 & 12 & 27 & 3 & 39 \\ 0 & 8 & 18 & 2 & 26 \\ 0 & 16 & 36 & 4 & 50\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$R_3=3R_3-2R_2,\ R_4=3R_4-4R_2$
|
||||
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -3 & -5 & 0 & -7 \\ 0 & 12 & 27 & 3 & 39 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -6\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$R_3\to R_4$
|
||||
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -3 & -5 & 0 & -7 \\ 0 & 12 & 27 & 3 & 39 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }rankA=3$
|
||||
|
||||
## 50 номер – П 1.3.21
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}4 & 3 & -5 & 2 & 3 \\ 8 & 6 & -7 & 4 & 2 \\ 4 & 3 & -8 & 2 & 7 \\ 4 & 3 & 1 & 2 & -5 \\ 8 & 6 & -1 & 4 & -6\end{pmatrix}$
|
||||
$rankA=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$R_2=R_2-2R_1,\ R_3=R_3-R_1,\ R_4=R_4-R_1,\ R_5=R_5-2R_1$
|
||||
$A\sim\begin{pmatrix}4 & 3 & -5 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & -3 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 6 & 0 & -8 \\ 0 & 0 & 9 & 0 & -12\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$R_3=R_3+R_2,\ R_4=R_4-2R_2,\ R_5=R_5-3R_2$
|
||||
$A\sim\begin{pmatrix}4 & 3 & -5 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }rankA=2$
|
||||
|
||||
## 52 номер – П 1.3.23
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}3 & -1 & 2 \\ 4 & -3 & 3 \\ 1 & 3 & 0\end{pmatrix}$
|
||||
$rankA=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$M_{1}=\begin{pmatrix}3\end{pmatrix}=3\neq0$
|
||||
|
||||
$M_{2}=\begin{pmatrix}3 & -1 \\ 4 & -3\end{pmatrix}=-5\neq0$
|
||||
|
||||
$\det A=0$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }rankA=2$
|
||||
$\text{Базисный минор: }M_{2}=\begin{pmatrix}3 & -1 \\ 4 & -3\end{pmatrix},\ \det M_{2}=-5$
|
||||
|
||||
## 54 номер – П 1.3.35
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\text{Как может измениться ранг матрицы при добавлении к ней одной произвольной строки? Одного произвольного столбца?}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$rankA=r$
|
||||
|
||||
$\text{Добавим одну строку: }A\to \tilde A$
|
||||
$\tilde r=rank\tilde A$
|
||||
$\text{Новая строка линейно выражается через старые строки }; \tilde r=r$
|
||||
$\text{Новая строка не выражается через старые строки }; \tilde r=r+1; \tilde r\in\{r,\ r+1\}$
|
||||
|
||||
$\text{Добавим один столбец: }A\to \hat A$
|
||||
$\hat r=rank\hat A$
|
||||
$\text{Новый столбец линейно выражается через старые столбцы }; \hat r=r$
|
||||
$\text{Новый столбец не выражается через старые столбцы }; \hat r=r+1$
|
||||
$\hat r\in\{r,\ r+1\}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: ранг либо не изменится, либо увеличится на 1 (уменьшиться не может).}$
|
||||
|
||||
## 56 номер – П 1.3.27
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}1 & -2 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & -1 & 1 & -2 \\ 2 & -5 & 1 & -2 & 2\end{pmatrix}$
|
||||
$rankA=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$R_2=R_2-2R_1,\ R_3=R_3-3R_1,\ R_4=R_4-2R_1$
|
||||
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -2 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 5 & -3 & 4 & -5 \\ 0 & 4 & -4 & 4 & -5 \\ 0 & -1 & -1 & 0 & 0\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$R_3=5R_3-4R_2,\ R_4=5R_4+R_2$
|
||||
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -2 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 5 & -3 & 4 & -5 \\ 0 & 0 & -8 & 4 & -5 \\ 0 & 0 & -8 & 4 & -5\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$R_4=R_4-R_3$
|
||||
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -2 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 5 & -3 & 4 & -5 \\ 0 & 0 & -8 & 4 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }rankA=3$
|
||||
|
||||
## 58 номер – П 1.3.29
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}1 & -3 & 2 & 0 \\ 2 & -3 & -1 & 3 \\ 3 & -6 & -1 & \lambda \\ 1 & -2 & 0 & 1\end{pmatrix}$
|
||||
$rankA=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$R_2=R_2-2R_1,\ R_3=R_3-3R_1,\ R_4=R_4-R_1$
|
||||
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -3 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & -5 & 3 \\ 0 & 3 & -7 & \lambda \\ 0 & 1 & -2 & 1\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$R_2\to R_4$
|
||||
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & -7 & \lambda \\ 0 & 3 & -5 & 3\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$R_3=R_3-3R_2,\ R_4=R_4-3R_2$
|
||||
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & \lambda-3 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$R_4=R_4+R_3$
|
||||
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & \lambda-3 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda-3\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\lambda\neq3; \lambda-3\neq0; rankA=4$
|
||||
$\lambda=3; \lambda-3=0; rankA=3$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }rankA=\begin{cases}4,&\lambda\neq3\\3,&\lambda=3\end{cases}$
|
||||
@@ -0,0 +1,293 @@
|
||||
## 20 номер – П 2.2.8
|
||||
#учеба #семестр_1 #высшая_математика
|
||||
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
МЕТОД ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
x+2y+3z=5 \\
|
||||
4x+5y+6z=8 \\
|
||||
7x+8y=2
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 0\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$x=\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$b=\begin{pmatrix}5 \\ 8 \\ 2\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\det A=27\neq 0$
|
||||
$A^{-1}=\begin{pmatrix}-1 \dfrac{7}{9} & \dfrac{8}{9} & -\dfrac{1}{9} \\ 1 \dfrac{5}{9} & -\dfrac{7}{9} & \dfrac{2}{9} \\ -\dfrac{1}{9} & \dfrac{2}{9} & -\dfrac{1}{9}\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$x=A^{-1}b=\begin{pmatrix}-1 \dfrac{7}{9} & \dfrac{8}{9} & -\dfrac{1}{9} \\ 1 \dfrac{5}{9} & -\dfrac{7}{9} & \dfrac{2}{9} \\ -\dfrac{1}{9} & \dfrac{2}{9} & -\dfrac{1}{9}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}5 \\ 8 \\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }x=-2; \ y=2; \ z=1;$
|
||||
|
||||
## 21 номер – П 2.2.9
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
2x_{1}-3x_{2}+x_{3}=-7 \\
|
||||
x_{1}+2x_{2}-3x_{3}=14 \\
|
||||
-x_{1}-x_{2}+5x_{3}=-18
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}2 & -3 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ -1 & -1 & 5\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$x=\begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$b=\begin{pmatrix}-7 \\ 14 \\ -18\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\det A=21\neq 0$
|
||||
|
||||
$A^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3} \\ -\dfrac{2}{21} & \dfrac{11}{21} & \dfrac{1}{3} \\ \dfrac{1}{21} & \dfrac{5}{21} & \dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$x=A^{-1}b=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3} \\ -\dfrac{2}{21} & \dfrac{11}{21} & \dfrac{1}{3} \\ \dfrac{1}{21} & \dfrac{5}{21} & \dfrac{1}{3}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-7 \\ 14 \\ -18\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ -3\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }x_{1}=1;\ x_{2}=2;\ x_{3}=-3;$
|
||||
|
||||
## 22 номер – П 2.2.9
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
2x_{1}-3x_{2}+x_{3}=-7 \\
|
||||
x_{1}+2x_{2}-3x_{3}=14 \\
|
||||
-x_{1}-x_{2}+5x_{3}=-18
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}2 & -3 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ -1 & -1 & 5\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$x=\begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$b=\begin{pmatrix}-7 \\ 14 \\ -18\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\det A=21\neq 0$
|
||||
|
||||
$A^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3} \\ -\dfrac{2}{21} & \dfrac{11}{21} & \dfrac{1}{3} \\ \dfrac{1}{21} & \dfrac{5}{21} & \dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$x=A^{-1}b=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3} \\ -\dfrac{2}{21} & \dfrac{11}{21} & \dfrac{1}{3} \\ \dfrac{1}{21} & \dfrac{5}{21} & \dfrac{1}{3}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-7 \\ 14 \\ -18\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ -3\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }x_{1}=1;\ x_{2}=2;\ x_{3}=-3;$
|
||||
:D
|
||||
|
||||
## 23 номер – П 2.2.10
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
2x_{1}+x_{2}-x_{3}=3 \\
|
||||
x_{1}+3x_{2}+2x_{3}=-1 \\
|
||||
x_{1}+x_{2}=5
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$x=\begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$b=\begin{pmatrix}3 \\ -1 \\ 5\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\det A=2(3\cdot0-2\cdot1)-1(1\cdot0-2\cdot1)+(-1)(1\cdot1-3\cdot1)=0$
|
||||
|
||||
$\det A=0; A^{-1}\ \text{не существует}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: решений нет}$
|
||||
|
||||
## 24 номер – П 2.2.11
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=3 \\
|
||||
2x_{1}+6x_{1}+4x_{3}=6 \\
|
||||
3x_{1}+10x_{2}+8x_{3}=21
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 8 & 0 & 4 \\ 3 & 10 & 8\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$x=\begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$b=\begin{pmatrix}3 \\ 6 \\ 21\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\det A=96\neq 0$
|
||||
|
||||
$A^{-1}=\begin{pmatrix}-\dfrac{5}{12} & \dfrac{7}{48} & \dfrac{1}{12} \\ -\dfrac{13}{24} & -\dfrac{1}{96} & \dfrac{5}{24} \\ \dfrac{5}{6} & -\dfrac{1}{24} & -\dfrac{1}{6}\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$x=A^{-1}b=\begin{pmatrix}-\dfrac{5}{12} & \dfrac{7}{48} & \dfrac{1}{12} \\ -\dfrac{13}{24} & -\dfrac{1}{96} & \dfrac{5}{24} \\ \dfrac{5}{6} & -\dfrac{1}{24} & -\dfrac{1}{6}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3 \\ 6 \\ 21\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\dfrac{3}{8} \\ 2\dfrac{11}{16} \\ -1\dfrac{1}{4}\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }x_{1}=1\dfrac{3}{8}; \ x_{2}=2\dfrac{11}{16}; \ x_{3}=-1\dfrac{1}{4};$
|
||||
|
||||
## 25 номер – П 2.2.12
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
ax_{1}+x_{2}+x_{3}=1 \\
|
||||
x_{1}+ax_{2}+x_{3}=a \\
|
||||
x_{1}+x_{2}+ax_{3}=a^{2}
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$x=\begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$b=\begin{pmatrix}1 \\ a \\ a^{2}\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$R_2=R_2-R_1,\ R_3=R_3-R_1$
|
||||
$\det A=\det\begin{pmatrix}a & 1 & 1 \\ 1-a & a-1 & 0 \\ 1-a & 0 & a-1\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\det A=(a-1)^{2}\det\begin{pmatrix}a & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix}=(a-1)^{2}(a+2)$
|
||||
|
||||
$a\neq1,\ a\neq-2\ ; \ \det A\neq0$
|
||||
|
||||
$A^{-1}=\dfrac{1}{(a-1)(a+2)}\begin{pmatrix}a+1 & -1 & -1 \\ -1 & a+1 & -1 \\ -1 & -1 & a+1\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$x=A^{-1}b=\dfrac{1}{(a-1)(a+2)}\begin{pmatrix}a+1 & -1 & -1 \\ -1 & a+1 & -1 \\ -1 & -1 &a+1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 \\ a \\ a^{2}\end{pmatrix}=\dfrac{1}{(a-1)(a+2)}\begin{pmatrix}1-a^{2} \\ a-1 \\ (a-1)(a+1)^{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{a+1}{a+2} \\ \dfrac{1}{a+2} \\ \dfrac{(a+1)^{2}}{a+2}\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$a=1; \det A=0$
|
||||
$\begin{cases}x_{1}+x_{2}+x_{3}=1\\x_{1}+x_{2}+x_{3}=1\\x_{1}+x_{2}+x_{3}=1\end{cases}$
|
||||
$x_{1}=1-x_{2}-x_{3}$
|
||||
|
||||
$a=-2; \det A=0$
|
||||
$\begin{cases}-2x_{1}+x_{2}+x_{3}=1\\x_{1}-2x_{2}+x_{3}=-2\\x_{1}+x_{2}-2x_{3}=4\end{cases}$
|
||||
$\text{Решений нет}$
|
||||
|
||||
## 26 номер – П 2.2.13
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
3x_{1}-5x_{2}+2x_{3}-4x_{4}=0 \\
|
||||
-3x_{1}+4x_{2}-5x_{3}+3x_{4}=-2 \\
|
||||
-5x_{1}+7x_{2}-7x_{3}+5x_{4}=-2 \\
|
||||
8x_{1}-8x_{2}+5x_{3}-6x_{4}=-5
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}3 & -5 & 2 & -4 \\ -3 & 4 & -5 & 3 \\ -5 & 7 & -7 & 5 \\ 8 & -8 & 5 & -6\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$x=\begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$b=\begin{pmatrix}0 \\ -2 \\ -2 \\ -5\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\det A=17\neq 0$
|
||||
|
||||
$A^{-1}=\dfrac{1}{17}\begin{pmatrix}-5 & -3 & 5 & 6 \\ 8 & -53 & 43 & 4 \\ -2 & -8 & 2 & -1 \\ -19 & 60 & -49 & -1\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$x=A^{-1}b=\dfrac{1}{17}\begin{pmatrix}-5 & -3 & 5 & 6 \\ 8 & -53 & 43 & 4 \\ -2 & -8 & 2 & -1 \\ -19 & 60 & -49 & -1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0 \\ -2 \\ -2 \\ -5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 \\ 0 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }x_{1}=-2; \ x_{2}=0; \ x_{3}=1; \ x_{4}=-1;$
|
||||
|
||||
## 27 номер – П 2.2.14
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
6x_{1}-5x_{2}+4x_{3}+7x_{4}=28 \\
|
||||
5x_{1}-8x_{2}+5x_{3}+8x_{4}=36 \\
|
||||
9x_{1}-8x_{2}+5x_{3}+10x_{4}=42 \\
|
||||
3x_{1}+2x_{2}+2x_{3}+2x_{4}=2
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}6 & -5 & 4 & 7 \\ 5 & -8 & 5 & 8 \\ 9 & -8 & 5 & 10 \\ 3 & 2 & 2 & 2\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$x=\begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$b=\begin{pmatrix}28 \\ 36 \\ 42 \\ 2\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\det A=-6\neq 0$
|
||||
|
||||
$A^{-1}=\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix}-52 & 12 & 24 & 14 \\ 34 & -9 & -15 & -8 \\ -60 & 18 & 24 & 18 \\ 104 & -27 & -45 & -28\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$x=A^{-1}b=\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix}-52 & 12 & 24 & 14 \\ 34 & -9 & -15 & -8 \\ -60 & 18 & 24 & 18 \\ 104 & -27 & -45 & -28\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}28 \\ 36 \\ 42 \\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ -3 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }x_{1}=2; \ x_{2}=-3; \ x_{3}=2; \ x_{4}=-1;$
|
||||
|
||||
## 28 номер – П 2.2.15
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
2x_{1}+6x_{2}+x_{3}=0 \\
|
||||
x_{1}+2x_{2}-2x_{3}+4x_{4}=0 \\
|
||||
-x_{1}+4x_{2}+5x_{3}-4x_{4}=0 \\
|
||||
3x_{1}+x_{3}+2x_{4}=0
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}2 & 6 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & -2 & 4 \\ -1 & 4 & 5 & -4 \\ 3 & 0 & 1 & 2\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$x=\begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$b=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\det A=240\neq 0$
|
||||
$A^{-1}\ \text{существует}$
|
||||
$x=A^{-1}b=A^{-1}\cdot\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }x_{1}=0; \ x_{2}=0; \ x_{3}=0; \ x_{4}=0;$
|
||||
|
||||
## 29 номер – П 2.2.27
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
2x_{1}+x_{2}+4x_{3}+8x_{4}=0 \\
|
||||
x_{1}+3x_{2}-6x_{3}+2x_{4}=0 \\
|
||||
3x_{1}-2x_{2}+2x_{3}-2x_{4}=0 \\
|
||||
2x_{1}-x_{2}+2x_{3}=0
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 4 & 8 \\ 1 & 3 & -6 & 2 \\ 3 & -2 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & 2 & 0\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$x=\begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$b=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\det A=24\neq 0$
|
||||
$A^{-1}\ \text{существует}$
|
||||
|
||||
$x=A^{-1}b=A^{-1}\cdot\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }x_{1}=0;\ x_{2}=0;\ x_{3}=0;\ x_{4}=0;$
|
||||
1039
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/modules/5 MODULE.md
Normal file
1039
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/modules/5 MODULE.md
Normal file
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
@@ -0,0 +1,794 @@
|
||||
## 3 номер - Д 847
|
||||
#учеба #семестр_1 #высшая_математика
|
||||
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y= \dfrac{x}{(1-x)^{2}(1+x)^{3}}$
|
||||
$y'=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\dfrac{x}{(1-x)^{2}(1+x)^{3}}$
|
||||
|
||||
$y= \dfrac{u}{v}; y'= \dfrac{u'v-uv'}{v^{2}};$
|
||||
$u=x; v=(1-x)^{2}(1+x)^{3}$
|
||||
|
||||
$u'=1;$
|
||||
$v=ab; v'= a'b+b'a; a=(1-x)^{2}; b=(1+x)^{3};$
|
||||
$a'=-2(1-x);$
|
||||
$b'=3(1+x)^{2}$
|
||||
|
||||
$v'=(−2(1−x))(1+x)^{3}+(1−x)^{2}3(1+x)^{2}$
|
||||
|
||||
$y'=\dfrac{(1-x)^{2}(1+x)^{3}-x[(-2(1-x))(1+x)^{3}+(1-x)^{2}3(1+x)^{2}]}{(1-x)^{4}(1+x)^{6}}=\dfrac{4x^{2}-x+1}{(1-x)^{3}(1+x)^{4}}$
|
||||
|
||||
## 7 номер - Д 851
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=x+\sqrt{ x }+\sqrt[ 3 ]{ x }$
|
||||
$y'=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$y=x+x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{3}}$
|
||||
|
||||
$(x)'=1;$
|
||||
$(x^{\frac{1}{2}})'=\dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}};$
|
||||
$(x^{\frac{1}{3}})'=\dfrac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}};$
|
||||
|
||||
$y'=1+\dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}+\dfrac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}=1+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}$
|
||||
|
||||
## 11 номер - Д 855
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=(1+x)\sqrt{ 2+x^{3} }\sqrt[ 3 ]{ 3+x^{3} }$
|
||||
$y'=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$(1+x)\sqrt{2+x^3}\sqrt[3]{3+x^3}$
|
||||
|
||||
$y=abc; y'=a'bc+ab'c+abc';$
|
||||
$a=1+x;\ b=\sqrt{2+x^3};\ c=\sqrt[3]{3+x^3}$
|
||||
|
||||
$a'=1;$
|
||||
$b=(2+x^3)^{\frac{1}{2}};\ b'=\dfrac{1}{2}(2+x^3)^{-\frac{1}{2}}(3x^2)=\dfrac{3x^2}{2\sqrt{2+x^3}};$
|
||||
$c=(3+x^3)^{\frac{1}{3}};\ c'=\dfrac{1}{3}(3+x^3)^{-\frac{2}{3}}(3x^2)=\dfrac{x^2}{\sqrt[3]{(3+x^3)^2}};$
|
||||
|
||||
$y'=\sqrt{2+x^3}\sqrt[3]{3+x^3}+(1+x)\dfrac{3x^2}{2\sqrt{2+x^3}}\sqrt[3]{3+x^3}+(1+x)\sqrt{2+x^3}\cdot\dfrac{x^2}{\sqrt[3]{(3+x^3)^2}}$
|
||||
|
||||
## 15 номер - Д 859
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=\dfrac{1}{\sqrt{ 1+x^{2} }(x+\sqrt{ 1+x^{2} })}$
|
||||
$y'=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}(x+\sqrt{1+x^2})}$
|
||||
|
||||
$y=\dfrac{u}{v};\ y'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2};$
|
||||
$u=1;\ v=\sqrt{1+x^2}(x+\sqrt{1+x^2})$
|
||||
|
||||
$u'=0;$
|
||||
$v=ab;\ v'=a'b+b'a;$
|
||||
$a=\sqrt{1+x^2};\ b=x+\sqrt{1+x^2}$
|
||||
|
||||
$a=(1+x^2)^{\frac{1}{2}};\ a'=\dfrac{1}{2}(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}2x=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}};$
|
||||
$b'=1+a'=1+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}};$
|
||||
|
||||
$v'=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}(x+\sqrt{1+x^2})+\sqrt{1+x^2}(1+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}})=\dfrac{(x+\sqrt{1+x^2})^2}{\sqrt{1+x^2}}$
|
||||
|
||||
$y'=-\dfrac{\dfrac{(x+\sqrt{1+x^2})^2}{\sqrt{1+x^2}}}{(\sqrt{1+x^2}(x+\sqrt{1+x^2}))^2}=-\dfrac{1}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}$
|
||||
|
||||
## 19 номер - Д 863
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=(2-x^{2})\cos x + 2x \sin x$
|
||||
$y'=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$(2-x^2)\cos x+2x\sin x$
|
||||
|
||||
$y=u+v;\ y'=u'+v';$
|
||||
$u=(2-x^2)\cos x;\ v=2x\sin x$
|
||||
|
||||
$u=ab;\ u'=a'b+b'a;$
|
||||
$a=2-x^2;\ b=\cos x;$
|
||||
$a'=-2x;$
|
||||
$b'=-\sin x;$
|
||||
$u'=(-2x)\cos x+(2-x^2)(-\sin x)=-2x\cos x-(2-x^2)\sin x;$
|
||||
|
||||
$v=ab;\ v'=a'b+b'a;$
|
||||
$a=2x;\ b=\sin x;$
|
||||
$a'=2;$
|
||||
$b'=\cos x;$
|
||||
$v'=2\sin x+2x\cos x;$
|
||||
|
||||
$y'=(-2x\cos x-(2-x^2)\sin x)+(2\sin x+2x\cos x)=x^2\sin x$
|
||||
|
||||
## 22 номер - Д 866
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=\sin[\sin(\sin x)]$
|
||||
$y'=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\sin[\sin(\sin x)]$
|
||||
|
||||
$y=\sin u;\ y'=\cos u\cdot u';$
|
||||
$u=\sin(\sin x)$
|
||||
|
||||
$u=\sin v;\ u'=\cos v\cdot v';$
|
||||
$v=\sin x$
|
||||
|
||||
$v'=\cos x;$
|
||||
$u'=\cos(\sin x)\cos x;$
|
||||
$y'=\cos(\sin(\sin x))\cos(\sin x)\cos x$
|
||||
|
||||
## 23 номер - Д 867
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=\dfrac{\sin ^{2}x}{\sin x^{2}}$
|
||||
$y'=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\dfrac{\sin^2x}{\sin x^2}$
|
||||
|
||||
$y=\dfrac{u}{v};\ y'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}};$
|
||||
$u=\sin^2x;\ v=\sin x^2$
|
||||
|
||||
$u=(\sin x)^2;\ u'=2\sin x\cos x;$
|
||||
$v=\sin(x^2);\ v'=\cos(x^2)\cdot2x=2x\cos(x^2);$
|
||||
|
||||
$y'=\dfrac{(2\sin x\cos x)\sin(x^2)-\sin^2x\cdot(2x\cos(x^2))}{\sin^2(x^2)}$
|
||||
|
||||
## 26 номер - Д 880
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=e^{x}(1+\cot \dfrac{x}{2})$
|
||||
$y'=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$e^x(1+\cot\frac{x}{2})$
|
||||
|
||||
$y=ab;\ y'=a'b+b'a;$
|
||||
$a=e^x;\ b=1+\cot\frac{x}{2}$
|
||||
|
||||
$a'=e^x;$
|
||||
$b'=0+(\cot\frac{x}{2})';$
|
||||
$(\cot u)'=-\dfrac{1}{\sin^2u}\cdot u';$
|
||||
$u=\dfrac{x}{2};\ u'=\dfrac{1}{2};$
|
||||
$(\cot\frac{x}{2})'=-\dfrac{1}{\sin^2(\frac{x}{2})}\cdot\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2\sin^2(\frac{x}{2})};$
|
||||
|
||||
$y'=e^x(1+\cot\frac{x}{2})+e^x(-\dfrac{1}{2\sin^2(\frac{x}{2})})=e^x(1+\cot\frac{x}{2}-\dfrac{1}{2\sin^2(\frac{x}{2})})$
|
||||
|
||||
## 27 номер - Д 881
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=\dfrac{\ln3\cdot \sin x + \cos x}{3^{x}}$
|
||||
$y'=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\dfrac{\ln3\sin x+\cos x}{3^x}$
|
||||
|
||||
$y=\dfrac{u}{v};\ y'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2};$
|
||||
$u=\ln3\sin x+\cos x;\ v=3^x$
|
||||
|
||||
$u'=\ln3\cos x-\sin x;$
|
||||
$v'=3^x\ln3;$
|
||||
|
||||
$y'=\dfrac{(\ln3\cos x-\sin x)3^x-(\ln3\sin x+\cos x)3^x\ln3}{(3^x)^2}$
|
||||
$y'=\dfrac{\ln3\cos x-\sin x-(\ln3\sin x+\cos x)\ln3}{3^x}$
|
||||
$y'=\dfrac{-\sin x-(\ln3)^2\sin x}{3^x}=-\dfrac{(1+(\ln3)^2)\sin x}{3^x}$
|
||||
|
||||
## 30 номер - Д 884
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=(\dfrac{a}{b})^{x}(\dfrac{b}{x})^{a}(\dfrac{x}{a})^{b}$
|
||||
$y'=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$(\dfrac{a}{b})^x(\dfrac{b}{x})^a(\dfrac{x}{a})^b$
|
||||
|
||||
$y=uvw;\ y'=u'vw+uv'w+uvw';$
|
||||
$u=(\dfrac{a}{b})^x;\ v=(\dfrac{b}{x})^a;\ w=(\dfrac{x}{a})^b$
|
||||
|
||||
$u=(\dfrac{a}{b})^x=e^{x\ln(\frac{a}{b})};\ u'=(\dfrac{a}{b})^x\ln(\dfrac{a}{b});$
|
||||
$v=(\dfrac{b}{x})^a=b^a x^{-a};\ v'=-ab^a x^{-a-1}=-\dfrac{a}{x}(\dfrac{b}{x})^a;$
|
||||
$w=(\dfrac{x}{a})^b=x^b a^{-b};\ w'=bx^{b-1}a^{-b}=\dfrac{b}{x}(\dfrac{x}{a})^b;$
|
||||
|
||||
$y'=(\dfrac{a}{b})^x(\dfrac{b}{x})^a(\dfrac{x}{a})^b(\ln(\dfrac{a}{b})-\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x})$
|
||||
|
||||
## 34 номер - Д 888
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=\ln(\ln ^{2}(\ln ^{3}x))$
|
||||
$y'=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\ln(\ln^2(\ln^3x))$
|
||||
|
||||
$y=\ln u;\ y'=\dfrac{u'}{u};$
|
||||
$u=\ln^2(\ln^3x)=(\ln(\ln^3x))^2$
|
||||
|
||||
$u=v^2;\ u'=2vv';$
|
||||
$v=\ln(\ln^3x)$
|
||||
$v=\ln t;\ v'=\dfrac{t'}{t};$
|
||||
$t=\ln^3x=(\ln x)^3$
|
||||
|
||||
$t=w^3;\ t'=3w^2w';$
|
||||
$w=\ln x;\ w'=\dfrac{1}{x};$
|
||||
$t'=3(\ln x)^2\cdot\dfrac{1}{x};$
|
||||
|
||||
$v'=\dfrac{3(\ln x)^2\cdot\frac{1}{x}}{(\ln x)^3}=\dfrac{3}{x\ln x};$
|
||||
$u'=2\ln(\ln^3x)\cdot\dfrac{3}{x\ln x}=\dfrac{6\ln(\ln^3x)}{x\ln x};$
|
||||
|
||||
$y'=\dfrac{\frac{6\ln(\ln^3x)}{x\ln x}}{(\ln(\ln^3x))^2}=\dfrac{6}{x\ln x\cdot\ln(\ln^3x)}$
|
||||
|
||||
## 38 номер - Д 896
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=x\ln(x+\sqrt{ 1+x^{2} })-\sqrt{ 1+x^{2} }$
|
||||
$y'=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$x\ln(x+\sqrt{1+x^2})-\sqrt{1+x^2}$
|
||||
|
||||
$y=u-v;\ y'=u'-v';$
|
||||
$u=x\ln(x+\sqrt{1+x^2});\ v=\sqrt{1+x^2}$
|
||||
|
||||
$u=ab;\ u'=a'b+b'a;$
|
||||
$a=x;\ b=\ln(x+\sqrt{1+x^2})$
|
||||
$a'=1;$
|
||||
$b=\ln t;\ b'=\dfrac{t'}{t};$
|
||||
$t=x+\sqrt{1+x^2};$
|
||||
$t'=1+(\sqrt{1+x^2})';$
|
||||
$(\sqrt{1+x^2})'=\dfrac{1}{2}(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}2x=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}};$
|
||||
$t'=1+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}};$
|
||||
$b'=\dfrac{\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}};$
|
||||
$u'=\ln(x+\sqrt{1+x^2})+x\cdot\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}};$
|
||||
|
||||
$v=(1+x^2)^{\frac{1}{2}};\ v'=\dfrac{1}{2}(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}2x=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}};$
|
||||
$y'=(\ln(x+\sqrt{1+x^2})+x\cdot\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}})-\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\ln(x+\sqrt{1+x^2})$
|
||||
|
||||
## 42 номер - Д 900
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=\dfrac{2+3x^{2}}{x^{4}}\sqrt{ 1-x^{2} }+3\ln \dfrac{1+\sqrt{ 1-x^{2} }}{x}$
|
||||
$y'=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\dfrac{2+3x^{2}}{x^{4}}\sqrt{1-x^{2}}+3\ln\dfrac{1+\sqrt{1-x^{2}}}{x}$
|
||||
|
||||
$y=u+v;\ y'=u'+v';$
|
||||
$u=\dfrac{2+3x^{2}}{x^{4}}\sqrt{1-x^{2}};\ v=3\ln\dfrac{1+\sqrt{1-x^{2}}}{x}$
|
||||
|
||||
$u=ab;\ u'=a'b+ab';$
|
||||
$a=\dfrac{2+3x^{2}}{x^{4}};\ b=\sqrt{1-x^{2}}$
|
||||
|
||||
$a=(2+3x^{2})x^{-4};$
|
||||
$a'=6x\cdot x^{-4}+(2+3x^{2})(-4)x^{-5}=\dfrac{6}{x^{3}}-\dfrac{8+12x^{2}}{x^{5}}=-\dfrac{6x^{2}+8}{x^{5}};$
|
||||
$b=(1-x^{2})^{\frac{1}{2}};\ b'=\dfrac{1}{2}(1-x^{2})^{-\frac{1}{2}}(-2x)=-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}};$
|
||||
|
||||
$u'=-\dfrac{6x^{2}+8}{x^{5}}\sqrt{1-x^{2}}+\dfrac{2+3x^{2}}{x^{4}}(-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}})=-\dfrac{6x^{2}+8}{x^{5}}\sqrt{1-x^{2}}-\dfrac{2+3x^{2}}{x^{3}\sqrt{1-x^{2}}}$
|
||||
|
||||
$v=3(\ln(1+\sqrt{1-x^{2}})-\ln x);$
|
||||
$v'=3(\dfrac{(\sqrt{1-x^{2}})'}{1+\sqrt{1-x^{2}}}-\dfrac{1}{x});$
|
||||
$(\sqrt{1-x^{2}})'=-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}};$
|
||||
|
||||
$v'=3(-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}(1+\sqrt{1-x^{2}})}-\dfrac{1}{x})=-\dfrac{3}{x\sqrt{1-x^{2}}}$
|
||||
|
||||
$y'=-\dfrac{6x^{2}+8}{x^{5}}\sqrt{1-x^{2}}-\dfrac{2+6x^{2}}{x^{3}\sqrt{1-x^{2}}}=-\dfrac{6x^{2}+8}{x^{5}}\cdot\dfrac{1-x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}-\dfrac{(2+6x^{2})x^{2}}{x^{5}\sqrt{1-x^{2}}}=-\dfrac{(6x^{2}+8)(1-x^{2})+(2+6x^{2})x^{2}}{x^{5}\sqrt{1-x^{2}}}=-\dfrac{8}{x^{5}\sqrt{1-x^{2}}}$
|
||||
|
||||
## 46 номер - Д 904
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=\ln \sqrt{ \dfrac{1-\sin x}{1+\sin x} }$
|
||||
$y'=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\ln\sqrt{\dfrac{1-\sin x}{1+\sin x}}$
|
||||
|
||||
$y=\ln((\dfrac{1-\sin x}{1+\sin x})^{\frac{1}{2}})=\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{1-\sin x}{1+\sin x}=\dfrac{1}{2}(\ln(1-\sin x)-\ln(1+\sin x))$
|
||||
|
||||
$y'=\dfrac{1}{2}(\dfrac{-(\sin x)'}{1-\sin x}-\dfrac{(\sin x)'}{1+\sin x})=\dfrac{1}{2}(-\dfrac{\cos x}{1-\sin x}-\dfrac{\cos x}{1+\sin x})$
|
||||
$y'=-\dfrac{\cos x}{2}\cdot\dfrac{(1+\sin x)+(1-\sin x)}{1-\sin^{2}x}=-\dfrac{1}{\cos x}$
|
||||
|
||||
## 50 номер - Д 908
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y= \dfrac{1}{4x^{4}}\ln \dfrac{1}{x}- \dfrac{1}{16x^{4}}$
|
||||
$y'=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\dfrac{1}{4x^{4}}\ln\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{16x^{4}}$
|
||||
|
||||
$y=u+v;\ y'=u'+v';$
|
||||
$u=\dfrac{1}{4x^{4}}\ln\dfrac{1}{x};\ v=-\dfrac{1}{16x^{4}}$
|
||||
|
||||
$u=\dfrac{1}{4}ab;\ u'=\dfrac{1}{4}(a'b+ab');$
|
||||
$a=x^{-4};\ b=\ln\dfrac{1}{x}$
|
||||
|
||||
$a'=-4x^{-5}=-\dfrac{4}{x^{5}};$
|
||||
$b=\ln(x^{-1});\ b'=-(\ln x)'=-\dfrac{1}{x};$
|
||||
|
||||
$u'=\dfrac{1}{4}(-\dfrac{4}{x^{5}}\ln\dfrac{1}{x}+x^{-4}(-\dfrac{1}{x}))=-\dfrac{1}{x^{5}}\ln\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{4x^{5}}$
|
||||
$v'=-\dfrac{1}{16}(-4)x^{-5}=\dfrac{1}{4x^{5}}$
|
||||
|
||||
$y'=-\dfrac{1}{x^{5}}\ln\dfrac{1}{x}$
|
||||
|
||||
## 53 номер - Д 963
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=\sqrt[ x ]{ x }; (x>0)$
|
||||
$y'=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$y=\sqrt[x]{x}=x^{\frac{1}{x}}$
|
||||
|
||||
$\ln y=\ln(x^{\frac{1}{x}})=\dfrac{1}{x}\ln x$
|
||||
$\dfrac{y'}{y}=(\dfrac{\ln x}{x})'$
|
||||
|
||||
$u=\ln x;\ v=x;\ (\dfrac{u}{v})'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}};$
|
||||
$u'=\dfrac{1}{x};\ v'=1;$
|
||||
|
||||
$(\dfrac{\ln x}{x})'=\dfrac{\dfrac{1}{x}\cdot x-\ln x}{x^{2}}=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}$
|
||||
$y'=y\cdot\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}=x^{\frac{1}{x}}\cdot\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}$
|
||||
|
||||
## 54 номер - Д 964
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=(\sin x)^{\cos x}+(\cos x)^{\sin x}$
|
||||
$y'=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$(\sin x)^{\cos x}+(\cos x)^{\sin x}$
|
||||
|
||||
$y=u+v;\ y'=u'+v';$
|
||||
$u=(\sin x)^{\cos x};\ v=(\cos x)^{\sin x}$
|
||||
|
||||
$\ln u=\cos x\ln(\sin x)$
|
||||
$\dfrac{u'}{u}=(\cos x)'\ln(\sin x)+\cos x(\ln(\sin x))'=-\sin x\ln(\sin x)+\cos x\cdot\dfrac{\cos x}{\sin x}$
|
||||
$u'=u(-\sin x\ln(\sin x)+\dfrac{\cos^{2}x}{\sin x})=(\sin x)^{\cos x}(-\sin x\ln(\sin x)+\dfrac{\cos^{2}x}{\sin x})$
|
||||
|
||||
$\ln v=\sin x\ln(\cos x)$
|
||||
$\dfrac{v'}{v}=(\sin x)'\ln(\cos x)+\sin x(\ln(\cos x))'=\cos x\ln(\cos x)+\sin x(-\dfrac{\sin x}{\cos x})$
|
||||
$v'=v(\cos x\ln(\cos x)-\dfrac{\sin^{2}x}{\cos x})=(\cos x)^{\sin x}(\cos x\ln(\cos x)-\dfrac{\sin^{2}x}{\cos x})$
|
||||
|
||||
$y'=(\sin x)^{\cos x}(-\sin x\ln(\sin x)+\dfrac{\cos^{2}x}{\sin x})+(\cos x)^{\sin x}(\cos x\ln(\cos x)-\dfrac{\sin^{2}x}{\cos x})$
|
||||
|
||||
## 57 номер - Д 984Б
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=\dfrac{x^{2}}{1-x}\sqrt[ 3 ]{ \dfrac{3-x}{(3+x)^{2}} }$
|
||||
$y'=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$y=\dfrac{x^{2}}{1-x}\sqrt[3]{\dfrac{3-x}{(3+x)^{2}}}$
|
||||
|
||||
$\ln y=\ln(\dfrac{x^{2}}{1-x})+\ln((\dfrac{3-x}{(3+x)^{2}})^{\frac{1}{3}})=(2\ln x-\ln(1-x))+\dfrac{1}{3}(\ln(3-x)-2\ln(3+x))$
|
||||
|
||||
$\dfrac{y'}{y}=(2\ln x-\ln(1-x))'+\dfrac{1}{3}(\ln(3-x)-2\ln(3+x))'$
|
||||
$\dfrac{y'}{y}=\dfrac{2}{x}-(\ln(1-x))'+\dfrac{1}{3}(\dfrac{-1}{3-x}-2\cdot\dfrac{1}{3+x})$
|
||||
$(\ln(1-x))'=\dfrac{(1-x)'}{1-x}=-\dfrac{1}{1-x}$
|
||||
$\dfrac{y'}{y}=\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{1-x}-\dfrac{1}{3}(\dfrac{1}{3-x}+\dfrac{2}{3+x})$
|
||||
|
||||
$y'=y(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{1-x}-\dfrac{1}{3}(\dfrac{1}{3-x}+\dfrac{2}{3+x}))$
|
||||
|
||||
## 58 номер - Д 984В
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=(x-a_{1})^{a_{1}}(x-a_{2})^{a_{2}}\dots(x-a_{n})^{a_{n}}$
|
||||
$y'=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$y=(x-a_{1})^{a_{1}}(x-a_{2})^{a_{2}}\dots(x-a_{n})^{a_{n}}$
|
||||
|
||||
$\ln y=\ln((x-a_{1})^{a_{1}}(x-a_{2})^{a_{2}}\dots(x-a_{n})^{a_{n}})=\ln(x-a_{1})^{a_{1}}+\ln(x-a_{2})^{a_{2}}+\dots+\ln(x-a_{n})^{a_{n}}$
|
||||
$\ln y=a_{1}\ln(x-a_{1})+a_{2}\ln(x-a_{2})+\dots+a_{n}\ln(x-a_{n})$
|
||||
|
||||
$\dfrac{y'}{y}=(a_{1}\ln(x-a_{1})+a_{2}\ln(x-a_{2})+\dots+a_{n}\ln(x-a_{n}))'$
|
||||
$\dfrac{y'}{y}=\dfrac{a_{1}}{x-a_{1}}+\dfrac{a_{2}}{x-a_{2}}+\dots+\dfrac{a_{n}}{x-a_{n}}$
|
||||
|
||||
$y'=y(\dfrac{a_{1}}{x-a_{1}}+\dfrac{a_{2}}{x-a_{2}}+\dots+\dfrac{a_{n}}{x-a_{n}})$
|
||||
$y'=(x-a_{1})^{a_{1}}(x-a_{2})^{a_{2}}\dots(x-a_{n})^{a_{n}}(\dfrac{a_{1}}{x-a_{1}}+\dfrac{a_{2}}{x-a_{2}}+\dots+\dfrac{a_{n}}{x-a_{n}})$
|
||||
|
||||
## 61 номер - Д 985Б
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=\text{arccot} \dfrac{\phi(x)}{\psi(x)}$
|
||||
$y'=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$y=\text{arccot}\dfrac{\phi(x)}{\psi(x)}$
|
||||
|
||||
$y=\text{arccot}(u);\ y'=-\dfrac{u'}{1+u^{2}};$
|
||||
$u=\dfrac{\phi(x)}{\psi(x)}$
|
||||
|
||||
$u=\dfrac{p}{q};\ u'=\dfrac{p'q-pq'}{q^{2}};$
|
||||
$p=\phi(x);\ q=\psi(x)$
|
||||
|
||||
$u'=\dfrac{\phi'(x)\psi(x)-\phi(x)\psi'(x)}{\psi^{2}(x)}$
|
||||
$1+u^{2}=1+\dfrac{\phi^{2}(x)}{\psi^{2}(x)}=\dfrac{\psi^{2}(x)+\phi^{2}(x)}{\psi^{2}(x)}$
|
||||
|
||||
$y'=-\dfrac{\dfrac{\phi'\psi-\phi\psi'}{\psi^{2}}}{\dfrac{\psi^{2}+\phi^{2}}{\psi^{2}}}=-\dfrac{\phi'\psi-\phi\psi'}{\phi^{2}+\psi^{2}}=\dfrac{\phi\psi'-\phi'\psi}{\phi^{2}+\psi^{2}}$
|
||||
|
||||
## 65 номер - Д 989
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$F(x)=\begin{vmatrix}x & x^{2} & x^{3} \\ 1 & 2x & 3x^{2} \\ 0 & 2 & 6x\end{vmatrix}$
|
||||
$F(x)'=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$F(x)=\begin{vmatrix}x & x^{2} & x^{3} \\ 1 & 2x & 3x^{2} \\ 0 & 2 & 6x\end{vmatrix}$
|
||||
|
||||
$F(x)=x\begin{vmatrix}2x & 3x^{2} \\ 2 & 6x\end{vmatrix}-x^{2}\begin{vmatrix}1 & 3x^{2} \\ 0 & 6x\end{vmatrix}+x^{3}\begin{vmatrix}1 & 2x \\ 0 & 2\end{vmatrix}$
|
||||
$F(x)=x(2x\cdot6x-3x^{2}\cdot2)-x^{2}(1\cdot6x-0)+x^{3}(1\cdot2-0)$
|
||||
$F(x)=x(12x^{2}-6x^{2})-6x^{3}+2x^{3}=6x^{3}-6x^{3}+2x^{3}=2x^{3}$
|
||||
|
||||
$F'(x)=6x^{2}$
|
||||
|
||||
## 69 номер - Д 1042
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
Найти производные $y'_{x}$ (параметры положительны)
|
||||
$x=a\cosh t$
|
||||
$y=b \sinh t$
|
||||
$y'_{x}=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$x=a\cosh t;\ y=b\sinh t$
|
||||
|
||||
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}$
|
||||
$\dfrac{dx}{dt}=a(\cosh t)'=a\sinh t$
|
||||
$\dfrac{dy}{dt}=b(\sinh t)'=b\cosh t$
|
||||
|
||||
$y'_{x}=\dfrac{b\cosh t}{a\sinh t}=\dfrac{b}{a}\cdot\dfrac{\cosh t}{\sinh t}=\dfrac{b}{a}\text{cth}\ t$
|
||||
|
||||
## 73 номер - Д 1050
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 \ (эллипс)$
|
||||
$y'=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$
|
||||
|
||||
$(\dfrac{x^{2}}{a^{2}})'+(\dfrac{y^{2}}{b^{2}})'=0$
|
||||
$\dfrac{2x}{a^{2}}+\dfrac{2y}{b^{2}}y'=0$
|
||||
$y'=-\dfrac{2x}{a^{2}}\cdot\dfrac{b^{2}}{2y}=-\dfrac{b^{2}x}{a^{2}y}$
|
||||
|
||||
## 77 номер - Д 1086
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=\dfrac{1}{a}\text{arccot} \dfrac{x}{a}; (a\neq0)$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$a=\text{const};$
|
||||
$y=\dfrac{1}{a}\text{arccot} u;\ dy=\dfrac{1}{a}d(\text{arccot} u);$
|
||||
$d(\text{arccot} u)=-\dfrac{1}{1+u^{2}}du;$
|
||||
$u=\dfrac{x}{a};\ du=\dfrac{1}{a}dx;$
|
||||
|
||||
$dy=\dfrac{1}{a}(-\dfrac{1}{1+(\frac{x}{a})^{2}}\cdot\dfrac{1}{a}dx)=-\dfrac{1}{a^{2}}\cdot\dfrac{1}{1+\frac{x^{2}}{a^{2}}}dx=-\dfrac{1}{a^{2}}\cdot\dfrac{a^{2}}{a^{2}+x^{2}}dx=-\dfrac{dx}{a^{2}+x^{2}}$
|
||||
|
||||
## 80 номер - Д 1088
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=\ln|x+\sqrt{ x^{2+a} }|$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$a=\text{const};$
|
||||
$y=\ln|u|;\ dy=\dfrac{du}{u};$
|
||||
$u=x+\sqrt{x^{2+a}}$
|
||||
|
||||
$du=dx+d(\sqrt{x^{2+a}});$
|
||||
$\sqrt{x^{2+a}}=(x^{2+a})^{\frac{1}{2}};$
|
||||
$d((x^{2+a})^{\frac{1}{2}})=\dfrac{1}{2}(x^{2+a})^{-\frac{1}{2}}d(x^{2+a});$
|
||||
$d(x^{2+a})=(2+a)x^{1+a}dx;$
|
||||
$d(\sqrt{x^{2+a}})=\dfrac{1}{2}(x^{2+a})^{-\frac{1}{2}}(2+a)x^{1+a}dx=\dfrac{2+a}{2}x^{\frac{a}{2}}dx;$
|
||||
|
||||
$du=(1+\dfrac{2+a}{2}x^{\frac{a}{2}})dx;$
|
||||
$dy=\dfrac{(1+\dfrac{2+a}{2}x^{\frac{a}{2}})dx}{x+\sqrt{x^{2+a}}}$
|
||||
|
||||
## 81 номер - Д 1089
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=\arcsin \dfrac{x}{a}; (a\neq 0)$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$a=\text{const};$
|
||||
$y=\arcsin u;\ dy=d(\arcsin u);$
|
||||
$d(\arcsin u)=\dfrac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}du;$
|
||||
$u=\dfrac{x}{a};\ du=\dfrac{1}{a}dx;$
|
||||
|
||||
$dy=\dfrac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{a})^{2}}}\cdot\dfrac{1}{a}dx=\dfrac{dx}{a\sqrt{1-(\frac{x}{a})^{2}}}$
|
||||
|
||||
## 84 номер - Д 1090В
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$d(\dfrac{1}{x^{3}})$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\dfrac{1}{x^3}=x^{-3}$
|
||||
$d(x^{-3})=(-3)x^{-4}dx=-\dfrac{3}{x^{4}}dx$
|
||||
|
||||
## 85 номер - Д 1090Г
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$d(\dfrac{\ln x}{\sqrt{ x }})$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}=\ln x\cdot x^{-\frac{1}{2}}$
|
||||
|
||||
$d(uv)=u\,dv+v\,du;$
|
||||
$u=\ln x;\ v=x^{-\frac{1}{2}}$
|
||||
|
||||
$du=\dfrac{1}{x}dx;$
|
||||
$dv=-\dfrac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}dx;$
|
||||
|
||||
$d(\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}})=\ln x(-\dfrac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}dx)+x^{-\frac{1}{2}}(\dfrac{1}{x}dx)=(-\dfrac{\ln x}{2x^{\frac{3}{2}}}+\dfrac{1}{x^{\frac{3}{2}}})dx=\dfrac{2-\ln x}{2x^{\frac{3}{2}}}dx$
|
||||
|
||||
## 88 номер - Д 1093
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=\dfrac{1}{\sqrt{ u^{2}+v^{2} }}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$y=(u^2+v^2)^{-\frac{1}{2}}$
|
||||
$dy=-\dfrac{1}{2}(u^2+v^2)^{-\frac{3}{2}}d(u^2+v^2)$
|
||||
|
||||
$d(u^2+v^2)=d(u^2)+d(v^2)=2u\,du+2v\,dv;$
|
||||
$dy=-\dfrac{1}{2}(u^2+v^2)^{-\frac{3}{2}}(2u\,du+2v\,dv)=-\dfrac{u\,du+v\,dv}{(u^2+v^2)^{\frac{3}{2}}}$
|
||||
|
||||
## 89 номер - Д 1094
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=\text{arccon} \dfrac{u}{v}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$y=\text{arccon}\,w;\ dy=d(\text{arccon}\,w);$
|
||||
$d(\text{arccon}\,w)=-\dfrac{1}{\sqrt{1-w^2}}dw;$
|
||||
$w=\dfrac{u}{v}$
|
||||
|
||||
$dw=d(\dfrac{u}{v})=\dfrac{v\,du-u\,dv}{v^2};$
|
||||
$dy=-\dfrac{1}{\sqrt{1-(\frac{u}{v})^2}}\cdot\dfrac{v\,du-u\,dv}{v^2}$
|
||||
|
||||
## 92 номер - Д 1100
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\sin 29\degree\approx \ ?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$y=\sin x;$
|
||||
$x_0=30\degree=\dfrac{\pi}{6};$
|
||||
$\Delta x=29\degree-30\degree=-1\degree=-\dfrac{\pi}{180};$
|
||||
$y(x_0+\Delta x)\approx y(x_0)+y'(x_0)\Delta x;$
|
||||
$y'=\cos x;$
|
||||
|
||||
$\sin29\degree\approx\sin30\degree+\cos30\degree(-\dfrac{\pi}{180})=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}\pi}{360}\approx0,485;$
|
||||
|
||||
## 96 номер - Д 1103
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$lg 11 \approx \ ?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$y=lgx;$
|
||||
$x_0=10;\ \Delta x=1;$
|
||||
$y(x_0+\Delta x)\approx y(x_0)+y'(x_0)\Delta x;$
|
||||
$(lgx)'=\dfrac{1}{x\ln10};$
|
||||
|
||||
$lg11\approx lg10+\dfrac{1}{10\ln10}\cdot1=1+\dfrac{1}{10\ln10}\approx1,043;$
|
||||
|
||||
## 100 номер - Д 1105А
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\sqrt[ 3 ]{ 9 }\approx \ ?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\sqrt[ 3 ]{ 9 }=\sqrt[3]{8+1};$
|
||||
$n=3;\ a=2;\ x=1;\ (a>0)$
|
||||
$\sqrt[n]{a^{n}+x}\approx a+\dfrac{x}{na^{n-1}}$
|
||||
|
||||
$\sqrt[3]{9}\approx2+\dfrac{1}{3\cdot2^{2}}=2+\dfrac{1}{12}\approx2,083;$
|
||||
|
||||
## 104 номер - РИСУНОК
|
||||
![[telegram-cloud-document-2-5407087289899717974.jpg]]
|
||||
|
||||
## 105 номер - АНЕКДОТ
|
||||
На одном корабле работал фокусник. Так как пассажиры постоянно менялись, он без перемены проделывал одни и те же фокусы. К его несчастью, капитанский попугай просмотрел его выступления достаточно раз, чтобы разгадать все секреты. Во время каждого выступления попугай портил все фокусы своими криками «Эта не та шляпа! Он прячет пиковую даму в кармане брюк! В коробке дырочка!». Фокусник сердился, но ничего поделать не мог, попугай всё-таки капитанский.
|
||||
Однажды корабль потерпел кораблекрушение, и только фокусник с попугаем чудом выжили. Продолжали они плавать в море на каком-то бревне. Фокусник постоянно злобно смотрел на попугая, который в свою очередь не переставал смотреть на фокусника. Наконец, через неделю дрейфа попугай не выдержал:
|
||||
\- Ну ладно, ладно, сдаюсь! Куда ты корабль засунул то?!
|
||||
|
||||
|
||||
## 108 номер - Д 1133
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=x^{x}$
|
||||
$d^{2}y=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$x=\text{независимая};\ d(dx)=0;$
|
||||
$y=x^x$
|
||||
|
||||
$\ln y=x\ln x$
|
||||
$\dfrac{dy}{y}=d(x\ln x)=(x\ln x)'dx=(\ln x+1)dx$
|
||||
$dy=y(\ln x+1)dx$
|
||||
|
||||
$d^{2}y=d(dy)=d(y(\ln x+1)dx)=d(y(\ln x+1))dx$
|
||||
$d(y(\ln x+1))=(\ln x+1)dy+y\,d(\ln x+1)$
|
||||
$d(\ln x+1)=\dfrac{1}{x}dx$
|
||||
$d(y(\ln x+1))=(\ln x+1)\,y(\ln x+1)dx+y\cdot\dfrac{1}{x}dx=y((\ln x+1)^{2}+\dfrac{1}{x})dx$
|
||||
|
||||
$d^{2}y=x^{x}((\ln x+1)^{2}+\dfrac{1}{x})dx^{2}$
|
||||
|
||||
## 111 номер - Д 1142
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$x=a(t-\sin t)$
|
||||
$y=a(1-\cos t)$
|
||||
$y'''=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$x=a(t-\sin t);\ y=a(1-\cos t)$
|
||||
|
||||
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}$
|
||||
$\dfrac{dx}{dt}=a(1-\cos t)$
|
||||
$\dfrac{dy}{dt}=a\sin t$
|
||||
$y'_{x}=\dfrac{a\sin t}{a(1-\cos t)}=\dfrac{\sin t}{1-\cos t}$
|
||||
|
||||
$y''_{x}=\dfrac{\dfrac{d}{dt}(y'_{x})}{\dfrac{dx}{dt}}$
|
||||
$\dfrac{d}{dt}(\dfrac{\sin t}{1-\cos t})=\dfrac{(\cos t)(1-\cos t)-\sin t\cdot\sin t}{(1-\cos t)^{2}}=\dfrac{\cos t-1}{(1-\cos t)^{2}}=-\dfrac{1}{1-\cos t}$
|
||||
$y''_{x}=\dfrac{-\dfrac{1}{1-\cos t}}{a(1-\cos t)}=-\dfrac{1}{a(1-\cos t)^{2}}$
|
||||
|
||||
$y'''_{x}=\dfrac{\dfrac{d}{dt}(y''_{x})}{\dfrac{dx}{dt}}$
|
||||
$\dfrac{d}{dt}(-\dfrac{1}{a}(1-\cos t)^{-2})=-\dfrac{1}{a}(-2)(1-\cos t)^{-3}\sin t=\dfrac{2\sin t}{a(1-\cos t)^{3}}$
|
||||
$y'''_{x}=\dfrac{\dfrac{2\sin t}{a(1-\cos t)^{3}}}{a(1-\cos t)}=\dfrac{2\sin t}{a^{2}(1-\cos t)^{4}}$
|
||||
|
||||
## 112 номер - Д 1143
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$x=e^{ t }\cos t$
|
||||
$y=e^{ t }\sin t$
|
||||
$y'''=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$x=e^{t}\cos t;\ y=e^{t}\sin t$
|
||||
|
||||
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}$
|
||||
$\dfrac{dx}{dt}=e^{t}\cos t+e^{t}(-\sin t)=e^{t}(\cos t-\sin t)$
|
||||
$\dfrac{dy}{dt}=e^{t}\sin t+e^{t}\cos t=e^{t}(\sin t+\cos t)$
|
||||
$y'_{x}=\dfrac{e^{t}(\sin t+\cos t)}{e^{t}(\cos t-\sin t)}=\dfrac{\sin t+\cos t}{\cos t-\sin t}$
|
||||
|
||||
$y''_{x}=\dfrac{\dfrac{d}{dt}(y'_{x})}{\dfrac{dx}{dt}}$
|
||||
$\dfrac{d}{dt}(\dfrac{\sin t+\cos t}{\cos t-\sin t})=\dfrac{(\cos t-\sin t)(\cos t-\sin t)-(\sin t+\cos t)(-\sin t-\cos t)}{(\cos t-\sin t)^{2}}$
|
||||
$\dfrac{d}{dt}(\dfrac{\sin t+\cos t}{\cos t-\sin t})=\dfrac{(\cos t-\sin t)^{2}+(\sin t+\cos t)^{2}}{(\cos t-\sin t)^{2}}=\dfrac{2}{(\cos t-\sin t)^{2}}$
|
||||
$y''_{x}=\dfrac{\dfrac{2}{(\cos t-\sin t)^{2}}}{e^{t}(\cos t-\sin t)}=\dfrac{2}{e^{t}(\cos t-\sin t)^{3}}$
|
||||
|
||||
$y'''_{x}=\dfrac{\dfrac{d}{dt}(y''_{x})}{\dfrac{dx}{dt}}$
|
||||
$y''_{x}=2e^{-t}(\cos t-\sin t)^{-3}$
|
||||
$\dfrac{d}{dt}(y''_{x})=2((-e^{-t})(\cos t-\sin t)^{-3}+e^{-t}(-3)(\cos t-\sin t)^{-4}(-\sin t-\cos t))$
|
||||
$\dfrac{d}{dt}(y''_{x})=2e^{-t}(-(\cos t-\sin t)^{-3}+3(\sin t+\cos t)(\cos t-\sin t)^{-4})$
|
||||
$\dfrac{d}{dt}(y''_{x})=\dfrac{2e^{-t}(-(\cos t-\sin t)+3(\sin t+\cos t))}{(\cos t-\sin t)^{4}}=\dfrac{4e^{-t}(\cos t+2\sin t)}{(\cos t-\sin t)^{4}}$
|
||||
$y'''_{x}=\dfrac{\dfrac{4e^{-t}(\cos t+2\sin t)}{(\cos t-\sin t)^{4}}}{e^{t}(\cos t-\sin t)}=\dfrac{4(\cos t+2\sin t)}{e^{2t}(\cos t-\sin t)^{5}}$
|
||||
|
||||
## 115 номер - Д 1157
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y= \dfrac{a}{x^{m}}$
|
||||
$y'''=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$y=a x^{-m};\ a,m=\text{const};$
|
||||
|
||||
$y'=a(-m)x^{-m-1}$
|
||||
$y''=a(-m)(-m-1)x^{-m-2}$
|
||||
$y'''=a(-m)(-m-1)(-m-2)x^{-m-3}=-\dfrac{am(m+1)(m+2)}{x^{m+3}}$
|
||||
|
||||
## 116 номер - Д 1159
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=\dfrac{x^{2}}{1-x}$
|
||||
$y^{(8)}=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$y=\dfrac{x^{2}}{1-x}=-x-1+\dfrac{1}{1-x}$
|
||||
$\dfrac{1}{1-x}=(1-x)^{-1}$
|
||||
|
||||
$((1-x)^{-1})'=(1-x)^{-2}$
|
||||
$((1-x)^{-2})'=2(1-x)^{-3}$
|
||||
$((1-x)^{-3})'=3\cdot2(1-x)^{-4}$
|
||||
|
||||
$((1-x)^{-1})^{(n)}=n!(1-x)^{-(n+1)};\ (n\ge1)$
|
||||
$(-x-1)^{(8)}=0$
|
||||
$y^{(8)}=\dfrac{8!}{(1-x)^{9}}$
|
||||
|
||||
## 119 номер - Д 1163
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=x\ln x$
|
||||
$y^{(5)}=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$y=x\ln x$
|
||||
|
||||
$y'=(x\ln x)'=\ln x+1$
|
||||
$y''=(\ln x+1)'=\dfrac{1}{x}$
|
||||
$y'''=(\dfrac{1}{x})'=-\dfrac{1}{x^{2}}$
|
||||
$y^{(4)}=(-\dfrac{1}{x^{2}})'=\dfrac{2}{x^{3}}$
|
||||
$y^{(5)}=(\dfrac{2}{x^{3}})'=-\dfrac{6}{x^{4}}$
|
||||
@@ -0,0 +1,842 @@
|
||||
## 60 номер – Д 1853
|
||||
#учеба #семестр_1 #высшая_математика
|
||||
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{xdx}{\sqrt{ 5+x-x^{2} }}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$f(x)=5+x-x^{2}$
|
||||
$f'(x)=1-2x$
|
||||
|
||||
$-\dfrac12 f'(x)=x-\dfrac12$
|
||||
$x=-\dfrac12 f'(x)+\dfrac12$
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{x}{\sqrt{f(x)}}dx=-\dfrac12\int \dfrac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}dx+\dfrac12\int \dfrac{dx}{\sqrt{f(x)}}$
|
||||
|
||||
$I=I_1+I_2$
|
||||
|
||||
$u=f(x);\ du=f'(x)dx$
|
||||
$I_1=-\dfrac12\int \dfrac{du}{\sqrt{u}}=-\sqrt{u}=-\sqrt{f(x)}$
|
||||
|
||||
$f(x)=5+x-x^2=\dfrac{21}{4}-(x-\dfrac12)^2$
|
||||
|
||||
$t=x-\dfrac12;\ dt=dx$
|
||||
$I_2=\dfrac12\int \dfrac{dt}{\sqrt{\dfrac{21}{4}-t^2}}=\dfrac12\arcsin(\dfrac{t}{\sqrt{21}/2})=\dfrac12\arcsin(\dfrac{2x-1}{\sqrt{21}})$
|
||||
|
||||
${\,I=-\sqrt{5+x-x^{2}}+\dfrac12\arcsin(\dfrac{2x-1}{\sqrt{21}})+C\,}$
|
||||
|
||||
## 61 номер – Д 1903
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{x^{3}}{(x-1)^{100}}dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{x^{3}}{(x-1)^{100}}dx$
|
||||
|
||||
$t=x-1;\ x=t+1;\ dt=dx$
|
||||
$I=\int \dfrac{(t+1)^{3}}{t^{100}}dt=\int \dfrac{t^{3}+3t^{2}+3t+1}{t^{100}}dt=\int (t^{-97}+3t^{-98}+3t^{-99}+t^{-100})dt$
|
||||
|
||||
$I=-\dfrac{1}{96}t^{-96}-\dfrac{3}{97}t^{-97}-\dfrac{3}{98}t^{-98}-\dfrac{1}{99}t^{-99}+C$
|
||||
|
||||
${\,I=-\dfrac{1}{96(x-1)^{96}}-\dfrac{3}{97(x-1)^{97}}-\dfrac{3}{98(x-1)^{98}}-\dfrac{1}{99(x-1)^{99}}+C\,}$
|
||||
|
||||
## 62 номер – Д 1905
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{x^{3}dx}{x^{8}+3}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{x^{3}}{x^{8}+3}dx$
|
||||
|
||||
$t=x^{4};\ dt=4x^{3}dx;\ x^{3}dx=\dfrac14dt$
|
||||
$I=\dfrac14\int \dfrac{dt}{t^{2}+3}=\dfrac14\cdot\dfrac{1}{\sqrt3}\arctan(\dfrac{t}{\sqrt3})+C$
|
||||
|
||||
${\,I=\dfrac{1}{4\sqrt3}\arctan(\dfrac{x^{4}}{\sqrt3})+C\,}$
|
||||
|
||||
## 63 номер – Д 1907
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{x^{4}-3}{x(x^{8}+3x^{4}+2)}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{x^{4}-3}{x(x^{8}+3x^{4}+2)}dx$
|
||||
$x^{8}+3x^{4}+2=(x^{4})^{2}+3x^{4}+2=(x^{4}+1)(x^{4}+2)$
|
||||
|
||||
$t=x^{4};\ dt=4x^{3}dx;\ \dfrac{dt}{t}=4\dfrac{dx}{x};\ \dfrac{dx}{x}=\dfrac{1}{4}\dfrac{dt}{t}$
|
||||
$I=\int \dfrac{x^{4}-3}{x(x^{4}+1)(x^{4}+2)}dx=\int \dfrac{t-3}{(t+1)(t+2)}\dfrac{dx}{x}=\dfrac14\int \dfrac{t-3}{t(t+1)(t+2)}dt$
|
||||
|
||||
$\dfrac{t-3}{t(t+1)(t+2)}=\dfrac{A}{t}+\dfrac{B}{t+1}+\dfrac{C}{t+2}$
|
||||
$t-3=A(t+1)(t+2)+Bt(t+2)+Ct(t+1)$
|
||||
$A=-\dfrac{3}{2};\ B=4;\ C=-\dfrac{5}{2}$
|
||||
|
||||
$I=\dfrac14\int(-\dfrac{3}{2}\dfrac{1}{t}+4\dfrac{1}{t+1}-\dfrac{5}{2}\dfrac{1}{t+2})dt$
|
||||
$I=-\dfrac{3}{8}\ln|t|+\ln|t+1|-\dfrac{5}{8}\ln|t+2|+C$
|
||||
$\ln|t|=\ln(x^{4})=4\ln|x|$
|
||||
|
||||
${\,I=\ln(x^{4}+1)-\dfrac{3}{2}\ln|x|-\dfrac{5}{8}\ln(x^{4}+2)+C\,}$
|
||||
|
||||
## 64 номер – Д 1909
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{x^{11}dx}{x^{8}+3x^{4}+2}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{x^{11}}{x^{8}+3x^{4}+2}dx$
|
||||
|
||||
$t=x^{4};\ dt=4x^{3}dx;\ x^{11}dx=x^{8}\cdot x^{3}dx=t^{2}\cdot\dfrac14dt$
|
||||
$x^{8}+3x^{4}+2=t^{2}+3t+2=(t+1)(t+2)$
|
||||
|
||||
$I=\dfrac14\int \dfrac{t^{2}}{t^{2}+3t+2}dt=\dfrac14\int(1-\dfrac{3t+2}{(t+1)(t+2)})dt$
|
||||
|
||||
$\dfrac{3t+2}{(t+1)(t+2)}=\dfrac{A}{t+1}+\dfrac{B}{t+2}$
|
||||
$3t+2=A(t+2)+B(t+1)=(A+B)t+(2A+B)$
|
||||
$A=-1;\ B=4$
|
||||
|
||||
$I=\dfrac14\int(1+\dfrac{1}{t+1}-\dfrac{4}{t+2})dt=\dfrac14(t+\ln(t+1)-4\ln(t+2))+C$
|
||||
|
||||
${\,I=\dfrac{x^{4}}{4}+\dfrac14\ln(x^{4}+1)-\ln(x^{4}+2)+C\,}$
|
||||
|
||||
## 65 номер – Д 1910
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{x^{9}dx}{(x^{10}+2x^{5}+2)^{2}}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{x^{9}}{(x^{10}+2x^{5}+2)^{2}}dx$
|
||||
|
||||
$t=x^{5};\ dt=5x^{4}dx;\ x^{9}dx=x^{5}\cdot x^{4}dx=t\cdot\dfrac15dt$
|
||||
$x^{10}+2x^{5}+2=t^{2}+2t+2$
|
||||
|
||||
$I=\dfrac15\int \dfrac{t}{(t^{2}+2t+2)^{2}}dt=\dfrac15\int(\dfrac{t+1}{(t^{2}+2t+2)^{2}}-\dfrac{1}{(t^{2}+2t+2)^{2}})dt$
|
||||
$I=\dfrac15(I_1-I_2)$
|
||||
|
||||
$u=t^{2}+2t+2;\ du=(2t+2)dt=2(t+1)dt$
|
||||
$I_1=\int \dfrac{t+1}{(t^{2}+2t+2)^{2}}dt=\dfrac12\int \dfrac{du}{u^{2}}=-\dfrac{1}{2u}=-\dfrac{1}{2(t^{2}+2t+2)}$
|
||||
|
||||
$t^{2}+2t+2=(t+1)^{2}+1$
|
||||
$s=t+1;\ ds=dt$
|
||||
$I_2=\int \dfrac{dt}{(t^{2}+2t+2)^{2}}=\int \dfrac{ds}{(s^{2}+1)^{2}}$
|
||||
|
||||
$(\dfrac{s}{s^{2}+1})'=\dfrac{1-s^{2}}{(s^{2}+1)^{2}}$
|
||||
$\dfrac{1}{(s^{2}+1)^{2}}=\dfrac{1-s^{2}}{(s^{2}+1)^{2}}+\dfrac{s^{2}}{(s^{2}+1)^{2}}=(\dfrac{s}{s^{2}+1})'+(\dfrac{1}{s^{2}+1}-\dfrac{1}{(s^{2}+1)^{2}})$
|
||||
$2\int \dfrac{ds}{(s^{2}+1)^{2}}=\dfrac{s}{s^{2}+1}+\arctan s$
|
||||
$I_2=\dfrac12(\dfrac{s}{s^{2}+1}+\arctan s)=\dfrac12(\dfrac{t+1}{t^{2}+2t+2}+\arctan(t+1))$
|
||||
|
||||
$I=\dfrac15(-\dfrac{1}{2(t^{2}+2t+2)}-\dfrac12(\dfrac{t+1}{t^{2}+2t+2}+\arctan(t+1)))+C$
|
||||
$I=-\dfrac{t+2}{10(t^{2}+2t+2)}-\dfrac{1}{10}\arctan(t+1)+C$
|
||||
|
||||
${\,I=-\dfrac{x^{5}+2}{10(x^{10}+2x^{5}+2)}-\dfrac{1}{10}\arctan(x^{5}+1)+C\,}$
|
||||
|
||||
## 66 номер – Д 1913
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{dx}{x(x^{10}+2)}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{dx}{x(x^{10}+2)}$
|
||||
|
||||
$t=x^{10};\ dt=10x^{9}dx;\ dx=\dfrac{dt}{10x^{9}}$
|
||||
$I=\int \dfrac{\dfrac{dt}{10x^{9}}}{x(t+2)}=\dfrac{1}{10}\int \dfrac{dt}{x^{10}(t+2)}=\dfrac{1}{10}\int \dfrac{dt}{t(t+2)}$
|
||||
|
||||
$\dfrac{1}{t(t+2)}=\dfrac{A}{t}+\dfrac{B}{t+2}$
|
||||
$1=A(t+2)+Bt=(A+B)t+2A$
|
||||
$A=\dfrac12;\ B=-\dfrac12$
|
||||
|
||||
$I=\dfrac{1}{10}\int(\dfrac{1}{2t}-\dfrac{1}{2(t+2)})dt=\dfrac{1}{20}(\ln|t|-\ln|t+2|)+C$
|
||||
|
||||
${\,I=\dfrac{1}{20}\ln|\dfrac{x^{10}}{x^{10}+2}|+C\,}$
|
||||
|
||||
## 67 номер – Д 1915
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{1-x^{7}}{x(1+x^{7})} \, dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{1-x^{7}}{x(1+x^{7})}dx$
|
||||
|
||||
$\dfrac{1-x^{7}}{x(1+x^{7})}=\dfrac{1+x^{7}}{x(1+x^{7})}-\dfrac{2x^{7}}{x(1+x^{7})}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{2x^{6}}{1+x^{7}}$
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{dx}{x}-2\int \dfrac{x^{6}}{1+x^{7}}dx$
|
||||
|
||||
$u=1+x^{7};\ du=7x^{6}dx$
|
||||
$\int \dfrac{x^{6}}{1+x^{7}}dx=\dfrac{1}{7}\int \dfrac{du}{u}=\dfrac{1}{7}\ln|u|$
|
||||
|
||||
$I=\ln|x|-\dfrac{2}{7}\ln|1+x^{7}|+C$
|
||||
|
||||
## 68 номер – Д 1916
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{x^{4}-1}{x(x^{3}-5)(x^{5}-5x+1)} \, dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{x^{4}-1}{x(x^{3}-5)(x^{5}-5x+1)}dx$
|
||||
|
||||
$\dfrac{x^{4}-1}{x(x^{3}-5)(x^{5}-5x+1)}=\dfrac{1}{5x}+\dfrac{187x^{2}+1575x+1250}{7190(x^{3}-5)}-\dfrac{325x^{4}+315x^{3}+250x^{2}+187x-1488}{1438(x^{5}-5x+1)}$
|
||||
|
||||
$I=I_1+I_2+I_3$
|
||||
|
||||
$I_1=\dfrac15\int \dfrac{dx}{x}=\dfrac15\ln|x|$
|
||||
|
||||
$I_2=\dfrac{1}{7190}\int \dfrac{187x^{2}+1575x+1250}{x^{3}-5}dx=\dfrac{1}{7190}(\dfrac{187}{3}\int \dfrac{3x^{2}}{x^{3}-5}dx+\int \dfrac{1575x+1250}{x^{3}-5}dx)$
|
||||
$u=x^{3}-5;\ du=3x^{2}dx$
|
||||
$\dfrac{187}{3}\int \dfrac{3x^{2}}{x^{3}-5}dx=\dfrac{187}{3}\ln|x^{3}-5|$
|
||||
|
||||
$a=\sqrt[3]{5};\ x^{3}-5=(x-a)(x^{2}+ax+a^{2})$
|
||||
$\dfrac{1575x+1250}{x^{3}-5}=\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{Bx+C}{x^{2}+ax+a^{2}}$
|
||||
$A=\dfrac{1575a+1250}{3a^{2}};\ B=-A;\ C=\dfrac{1575a-2500}{3a}$
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{A}{x-a}dx=A\ln|x-a|$
|
||||
$\int \dfrac{Bx+C}{x^{2}+ax+a^{2}}dx=\dfrac{B}{2}\ln(x^{2}+ax+a^{2})+(C-\dfrac{Ba}{2})\int \dfrac{dx}{x^{2}+ax+a^{2}}$
|
||||
$x^{2}+ax+a^{2}=(x+\dfrac{a}{2})^{2}+\dfrac{3a^{2}}{4}$
|
||||
$\int \dfrac{dx}{x^{2}+ax+a^{2}}=\dfrac{2}{a\sqrt3}\arctan(\dfrac{2x+a}{a\sqrt3})$
|
||||
|
||||
$I_2=\dfrac{1}{7190}(\dfrac{187}{3}\ln|x^{3}-5|+A\ln|x-a|+\dfrac{B}{2}\ln(x^{2}+ax+a^{2})+(C-\dfrac{Ba}{2})\dfrac{2}{a\sqrt3}\arctan(\dfrac{2x+a}{a\sqrt3}))$
|
||||
|
||||
$I_3=-\dfrac{1}{1438}\int \dfrac{325x^{4}+315x^{3}+250x^{2}+187x-1488}{x^{5}-5x+1}dx$
|
||||
$P(x)=x^{5}-5x+1;\ P'(x)=5x^{4}-5$
|
||||
$r_1,\dots,r_5\text{ — корни }P(x)=0$
|
||||
$\dfrac{325x^{4}+315x^{3}+250x^{2}+187x-1488}{P(x)}=\sum\limits_{k=1}^{5}\dfrac{325r_k^{4}+315r_k^{3}+250r_k^{2}+187r_k-1488}{P'(r_k)}\cdot\dfrac{1}{x-r_k}$
|
||||
$I_3=-\dfrac{1}{1438}\sum\limits_{k=1}^{5}\dfrac{325r_k^{4}+315r_k^{3}+250r_k^{2}+187r_k-1488}{5r_k^{4}-5}\ln(x-r_k)$
|
||||
|
||||
${\,I=\dfrac15\ln|x|+I_2+I_3+C\,}$
|
||||
|
||||
## 69 номер – Д 1917
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{x^{2}+1}{x^{4}+x^{2}+1} \, dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{x^{2}+1}{x^{4}+x^{2}+1}dx$
|
||||
|
||||
$x^{4}+x^{2}+1=(x^{2}-x+1)(x^{2}+x+1)$
|
||||
$x^{2}+1=\dfrac12[(x^{2}-x+1)+(x^{2}+x+1)]$
|
||||
|
||||
$I=\dfrac12\int \dfrac{dx}{x^{2}-x+1}+\dfrac12\int \dfrac{dx}{x^{2}+x+1}=I_1+I_2$
|
||||
|
||||
$x^{2}-x+1=(x-\dfrac12)^{2}+\dfrac34$
|
||||
$t=x-\dfrac12;\ dt=dx$
|
||||
$I_1=\dfrac12\int \dfrac{dt}{t^{2}+(\frac{\sqrt3}{2})^{2}}=\dfrac{1}{\sqrt3}\arctan(\dfrac{2t}{\sqrt3})=\dfrac{1}{\sqrt3}\arctan(\dfrac{2x-1}{\sqrt3})$
|
||||
|
||||
$x^{2}+x+1=(x+\dfrac12)^{2}+\dfrac34$
|
||||
$s=x+\dfrac12;\ ds=dx$
|
||||
$I_2=\dfrac12\int \dfrac{ds}{s^{2}+(\frac{\sqrt3}{2})^{2}}=\dfrac{1}{\sqrt3}\arctan(\dfrac{2s}{\sqrt3})=\dfrac{1}{\sqrt3}\arctan(\dfrac{2x+1}{\sqrt3})$
|
||||
|
||||
${\,I=\dfrac{1}{\sqrt3}(\arctan(\dfrac{2x-1}{\sqrt3})+\arctan(\dfrac{2x+1}{\sqrt3}))+C\,}$
|
||||
|
||||
## 70 номер – Д 1921
|
||||
|
||||
да может ну это... ну не надо?
|
||||
|
||||
## 71 номер – Д 1971
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{dx}{\sqrt{ x^{2}+1 }-\sqrt{ x^{2}-1 }}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$x^2-1\ge0;\ |x|\ge1;$
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{dx}{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}}\cdot\dfrac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}=\int \dfrac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}{(x^2+1)-(x^2-1)}dx$
|
||||
$I=\dfrac12\int(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1})dx=\dfrac12\int\sqrt{x^2+1}\,dx+\dfrac12\int\sqrt{x^2-1}\,dx$
|
||||
$I=I_1+I_2$
|
||||
|
||||
$I_1=\dfrac12\int\sqrt{x^2+1}\,dx;\ \sqrt{x^2+1}=r$
|
||||
$\int r\,dx=\dfrac12(xr+\ln(x+r))$
|
||||
$I_1=\dfrac12\cdot\dfrac12(x\sqrt{x^2+1}+\ln|x+\sqrt{x^2+1}|)=\dfrac14x\sqrt{x^2+1}+\dfrac14\ln|x+\sqrt{x^2+1}|$
|
||||
|
||||
$I_2=\dfrac12\int\sqrt{x^2-1}\,dx;\ \sqrt{x^2-1}=s$
|
||||
$\int s\,dx=\dfrac12(xs-\ln|x+s|)$
|
||||
$I_2=\dfrac12\cdot\dfrac12(x\sqrt{x^2-1}-\ln|x+\sqrt{x^2-1}|)=\dfrac14x\sqrt{x^2-1}-\dfrac14\ln|x+\sqrt{x^2-1}|$
|
||||
|
||||
${\,I=\dfrac{x}{4}(\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-1})+\dfrac14\ln|\dfrac{x+\sqrt{x^{2}+1}}{x+\sqrt{x^{2}-1}}|+C\,}$
|
||||
|
||||
## 72 номер – Д 1972
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{xdx}{(1-x^{3})\sqrt{ 1-x^{2} }}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{x}{(1-x^3)\sqrt{1-x^2}}dx$
|
||||
|
||||
$\dfrac{1}{1-x^3}=\dfrac{1}{3(1-x)}+\dfrac{x+2}{3(x^2+x+1)}$
|
||||
$I=\dfrac13\int \dfrac{x}{(1-x)\sqrt{1-x^2}}dx+\dfrac13\int \dfrac{x(x+2)}{(x^2+x+1)\sqrt{1-x^2}}dx$
|
||||
$I=I_1+I_2$
|
||||
|
||||
$x=\cos t;\ dx=-\sin t\,dt;\ \sqrt{1-x^2}=\sin t$
|
||||
$I_1=\dfrac13\int \dfrac{\cos t}{(1-\cos t)\sin t}(-\sin t\,dt)=-\dfrac13\int \dfrac{\cos t}{1-\cos t}dt$
|
||||
$\dfrac{\cos t}{1-\cos t}=-1+\dfrac{1}{1-\cos t}$
|
||||
$I_1=-\dfrac13\int(-1+\dfrac{1}{1-\cos t})dt=\dfrac{t}{3}-\dfrac13\int\dfrac{dt}{1-\cos t}$
|
||||
$1-\cos t=2\sin^2\dfrac{t}{2}$
|
||||
$\int\dfrac{dt}{1-\cos t}=\int\dfrac{dt}{2\sin^2(t/2)}=-\cot\dfrac{t}{2}$
|
||||
$I_1=\dfrac{t}{3}+\dfrac13\cot\dfrac{t}{2}$
|
||||
|
||||
$I_2=\dfrac13\int \dfrac{\cos t(\cos t+2)}{(\cos^2t+\cos t+1)\sin t}(-\sin t\,dt)=-\dfrac13\int \dfrac{\cos t(\cos t+2)}{\cos^2t+\cos t+1}dt$
|
||||
$\cos t(\cos t+2)=\cos^2t+2\cos t=(\cos^2t+\cos t+1)+(\cos t-1)$
|
||||
$I_2=-\dfrac13\int(1+\dfrac{\cos t-1}{\cos^2t+\cos t+1})dt=-\dfrac{t}{3}-\dfrac13\int \dfrac{\cos t-1}{\cos^2t+\cos t+1}dt$
|
||||
|
||||
$I=I_1+I_2=\dfrac13\cot\dfrac{t}{2}-\dfrac13\int \dfrac{\cos t-1}{\cos^2t+\cos t+1}dt$
|
||||
|
||||
$u=\tan\dfrac{t}{2};\ dt=\dfrac{2\,du}{1+u^2};\ \cos t=\dfrac{1-u^2}{1+u^2}$
|
||||
$\cos t-1=-\dfrac{2u^2}{1+u^2}$
|
||||
$\cos^2t+\cos t+1=\dfrac{u^4+3}{(1+u^2)^2}$
|
||||
$\dfrac{\cos t-1}{\cos^2t+\cos t+1}dt=-\dfrac{4u^2}{u^4+3}du$
|
||||
|
||||
$I=\dfrac13\cot\dfrac{t}{2}+\dfrac{4}{3}\int\dfrac{u^2}{u^4+3}du$
|
||||
|
||||
$p=\sqrt[4]{3}$
|
||||
$u^4+3=u^4+p^4=(u^2-\sqrt2\,pu+\sqrt3)(u^2+\sqrt2\,pu+\sqrt3)$
|
||||
$\dfrac{u^2}{u^4+3}=\dfrac{\sqrt2\,p^3}{12}(\dfrac{u}{u^2-\sqrt2\,pu+\sqrt3}-\dfrac{u}{u^2+\sqrt2\,pu+\sqrt3})$
|
||||
|
||||
$\int\dfrac{u}{u^2+\sqrt2\,pu+\sqrt3}du=\dfrac12\ln(u^2+\sqrt2\,pu+\sqrt3)-\arctan(\dfrac{\sqrt2}{p}u+1)$
|
||||
$\int\dfrac{u}{u^2-\sqrt2\,pu+\sqrt3}du=\dfrac12\ln(u^2-\sqrt2\,pu+\sqrt3)+\arctan(\dfrac{\sqrt2}{p}u-1)$
|
||||
|
||||
$\int\dfrac{u^2}{u^4+3}du=\dfrac{\sqrt2\,p^3}{24}\ln(\dfrac{u^2-\sqrt2\,pu+\sqrt3}{u^2+\sqrt2\,pu+\sqrt3})+\dfrac{\sqrt2\,p^3}{12}(\arctan(\dfrac{\sqrt2}{p}u-1)+\arctan(\dfrac{\sqrt2}{p}u+1))+C$
|
||||
|
||||
$\sqrt2\,p^3=\dfrac{3\sqrt2}{p}$
|
||||
$I=\dfrac13\cot\dfrac{t}{2}+\dfrac{\sqrt2}{6p}\ln(\dfrac{u^2-\sqrt2\,pu+\sqrt3}{u^2+\sqrt2\,pu+\sqrt3})+\dfrac{\sqrt2}{3p}(\arctan(\dfrac{\sqrt2}{p}u-1)+\arctan(\dfrac{\sqrt2}{p}u+1))+C$
|
||||
|
||||
$\cot\dfrac{t}{2}=\dfrac{1+\cos t}{\sin t}=\dfrac{1+x}{\sqrt{1-x^2}}$
|
||||
$u=\tan\dfrac{t}{2}=\dfrac{\sin t}{1+\cos t}=\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{1+x}$
|
||||
|
||||
${\,I=\dfrac{1+x}{3\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{\sqrt2}{6\sqrt[4]{3}}\ln(\dfrac{u^2-\sqrt2\sqrt[4]{3}\,u+\sqrt3}{u^2+\sqrt2\sqrt[4]{3}\,u+\sqrt3})+\dfrac{\sqrt2}{3\sqrt[4]{3}}(\arctan(\dfrac{\sqrt2}{\sqrt[4]{3}}u-1)+\arctan(\dfrac{\sqrt2}{\sqrt[4]{3}}u+1))+C\,}$
|
||||
$u=\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{1+x}$
|
||||
|
||||
## 73 номер – Д 1973
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{dx}{\sqrt{ 2 }+\sqrt{ 1-x }+\sqrt{ 1+x }}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$-1\le x\le1$
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{dx}{\sqrt2+\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}}$
|
||||
|
||||
$x=\cos2t;\ dx=-2\sin2t\,dt$
|
||||
$\sqrt{1-x}=\sqrt{1-\cos2t}=\sqrt2\sin t$
|
||||
$\sqrt{1+x}=\sqrt{1+\cos2t}=\sqrt2\cos t$
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{-2\sin2t\,dt}{\sqrt2(1+\sin t+\cos t)}=-\sqrt2\int \dfrac{\sin2t}{1+\sin t+\cos t}dt$
|
||||
|
||||
$(\sin t+\cos t)^2=1+2\sin t\cos t=1+\sin2t$
|
||||
$\sin2t=(\sin t+\cos t)^2-1$
|
||||
|
||||
$\dfrac{\sin2t}{1+\sin t+\cos t}=\dfrac{(\sin t+\cos t)^2-1}{1+\sin t+\cos t}=\sin t+\cos t-1$
|
||||
|
||||
$I=-\sqrt2\int(\sin t+\cos t-1)dt=-\sqrt2(-\cos t+\sin t-t)+C$
|
||||
$I=\sqrt2(\cos t-\sin t+t)+C$
|
||||
|
||||
$x=\cos2t\ \implies\ t=\dfrac12\arccos x$
|
||||
$\cos t=\sqrt{\dfrac{1+\cos2t}{2}}=\sqrt{\dfrac{1+x}{2}};\ \sin t=\sqrt{\dfrac{1-\cos2t}{2}}=\sqrt{\dfrac{1-x}{2}}$
|
||||
|
||||
${\,I=\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}+\dfrac{1}{\sqrt2}\arccos x+C\,}$
|
||||
|
||||
## 74 номер – Д 1974
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{x+\sqrt{ 1+x+x^{2} }}{1+x+\sqrt{ 1+x+x^{2} }} \, dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{x+\sqrt{1+x+x^{2}}}{1+x+\sqrt{1+x+x^{2}}}dx$
|
||||
$S=\sqrt{1+x+x^{2}}$
|
||||
|
||||
$\dfrac{x+S}{1+x+S}=1-\dfrac{1}{1+x+S}$
|
||||
$I=\int dx-\int\dfrac{dx}{1+x+S}=x-J$
|
||||
|
||||
$J=\int\dfrac{dx}{1+x+S}\cdot\dfrac{1+x-S}{1+x-S}=\int\dfrac{1+x-S}{(1+x)^{2}-S^{2}}dx$
|
||||
$(1+x)^{2}-S^{2}=(1+2x+x^{2})-(1+x+x^{2})=x$
|
||||
$J=\int\dfrac{1+x-S}{x}dx=\int(\dfrac{1}{x}+1-\dfrac{S}{x})dx=\ln|x|+x-K$
|
||||
|
||||
$I=x-(\ln|x|+x-K)=K-\ln|x|$
|
||||
$K=\int\dfrac{S}{x}dx$
|
||||
|
||||
$S=xt+1;\ x\neq0$
|
||||
$x^{2}+x+1=(xt+1)^{2}=x^{2}t^{2}+2xt+1$
|
||||
$x+1=xt^{2}+2t$
|
||||
$x(1-t^{2})=2t-1$
|
||||
$x=\dfrac{2t-1}{1-t^{2}};\ S=xt+1$
|
||||
|
||||
$\dfrac{S}{x}=\dfrac{xt+1}{x}=t+\dfrac{1}{x}=t+\dfrac{1-t^{2}}{2t-1}=\dfrac{t^{2}-t+1}{2t-1}$
|
||||
$dx=(\dfrac{2t-1}{1-t^{2}})'dt=\dfrac{2(t^{2}-t+1)}{(t^{2}-1)^{2}}dt$
|
||||
|
||||
$K=\int\dfrac{S}{x}dx=\int\dfrac{t^{2}-t+1}{2t-1}\cdot\dfrac{2(t^{2}-t+1)}{(t^{2}-1)^{2}}dt=\int\dfrac{2(t^{2}-t+1)^{2}}{(2t-1)(t^{2}-1)^{2}}dt$
|
||||
|
||||
$\dfrac{2(t^{2}-t+1)^{2}}{(2t-1)(t^{2}-1)^{2}}=\dfrac{2}{2t-1}+\dfrac{1}{2(t+1)}-\dfrac{3}{2(t+1)^{2}}-\dfrac{1}{2(t-1)}+\dfrac{1}{2(t-1)^{2}}$
|
||||
|
||||
$K=\int(\dfrac{2}{2t-1}+\dfrac{1}{2(t+1)}-\dfrac{3}{2(t+1)^{2}}-\dfrac{1}{2(t-1)}+\dfrac{1}{2(t-1)^{2}})dt$
|
||||
$K=\ln|2t-1|+\dfrac12\ln|t+1|-\dfrac12\ln|t-1|+\dfrac{3}{2(t+1)}-\dfrac{1}{2(t-1)}+C$
|
||||
|
||||
$t=\dfrac{S-1}{x}=\dfrac{\sqrt{1+x+x^{2}}-1}{x}$
|
||||
$2t-1=\dfrac{2S-x-2}{x}$
|
||||
$t+1=\dfrac{S+x-1}{x}$
|
||||
$t-1=\dfrac{S-x-1}{x}$
|
||||
|
||||
$I=K-\ln|x|$
|
||||
$I=\ln|\dfrac{2S-x-2}{x}|+\dfrac12\ln|\dfrac{S+x-1}{S-x-1}|+\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{x}{S+x-1}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{x}{S-x-1}-\ln|x|+C$
|
||||
|
||||
${\,I=\ln|\dfrac{2\sqrt{1+x+x^{2}}-x-2}{x^{2}}|+\dfrac12\ln|\dfrac{\sqrt{1+x+x^{2}}+x-1}{\sqrt{1+x+x^{2}}-x-1}|+\dfrac{3x}{2(\sqrt{1+x+x^{2}}+x-1)}-\dfrac{x}{2(\sqrt{1+x+x^{2}}-x-1)}+C\,}$
|
||||
|
||||
## 75 номер – Д 1975
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{\sqrt{ x(x+1) }}{\sqrt{ x }+\sqrt{ x+1 }} \, dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{\sqrt{x(x+1)}}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}dx=\int \dfrac{\sqrt{x}\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}dx$
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{\sqrt{x}\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\cdot\dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}dx=\int \dfrac{\sqrt{x}\sqrt{x+1}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})}{(\sqrt{x+1})^{2}-(\sqrt{x})^{2}}dx$
|
||||
$I=\int \sqrt{x}\sqrt{x+1}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})dx$
|
||||
|
||||
$I=\int(\sqrt{x}(x+1)-x\sqrt{x+1})dx=\int (x+1)\sqrt{x}\,dx-\int x\sqrt{x+1}\,dx$
|
||||
$I=I_1-I_2$
|
||||
|
||||
$I_1=\int (x+1)\sqrt{x}\,dx=\int (x^{\frac32}+x^{\frac12})dx=\dfrac{2}{5}x^{\frac52}+\dfrac{2}{3}x^{\frac32}$
|
||||
|
||||
$I_2=\int x\sqrt{x+1}\,dx$
|
||||
$t=x+1;\ x=t-1;\ dt=dx$
|
||||
$I_2=\int (t-1)\sqrt{t}\,dt=\int (t^{\frac32}-t^{\frac12})dt=\dfrac{2}{5}t^{\frac52}-\dfrac{2}{3}t^{\frac32}=\dfrac{2}{5}(x+1)^{\frac52}-\dfrac{2}{3}(x+1)^{\frac32}$
|
||||
|
||||
${\,I=\dfrac{2}{5}x^{\frac52}+\dfrac{2}{3}x^{\frac32}-\dfrac{2}{5}(x+1)^{\frac52}+\dfrac{2}{3}(x+1)^{\frac32}+C\,}$
|
||||
|
||||
## 76 номер – Д 2025
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{dx}{2\sin x-\cos x+5}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{dx}{2\sin x-\cos x+5}$
|
||||
|
||||
$t=\tan\dfrac{x}{2};\ \sin x=\dfrac{2t}{1+t^2};\ \cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2};\ dx=\dfrac{2dt}{1+t^2}$
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{\dfrac{2dt}{1+t^2}}{2\cdot\dfrac{2t}{1+t^2}-\dfrac{1-t^2}{1+t^2}+5}=\int \dfrac{2dt}{4t-(1-t^2)+5(1+t^2)}=\int \dfrac{2dt}{6t^2+4t+4}=\int \dfrac{dt}{3t^2+2t+2}$
|
||||
|
||||
$3t^2+2t+2=3(t+\dfrac13)^2+\dfrac53$
|
||||
$I=\int \dfrac{dt}{3(t+\dfrac13)^2+\dfrac53}=3\int \dfrac{dt}{9(t+\dfrac13)^2+5}$
|
||||
|
||||
$u=3t+1;\ du=3dt$
|
||||
$I=\int \dfrac{du}{u^2+5}=\dfrac{1}{\sqrt5}\arctan(\dfrac{u}{\sqrt5})+C=\dfrac{1}{\sqrt5}\arctan(\dfrac{3\tan\frac{x}{2}+1}{\sqrt5})+C$
|
||||
|
||||
${\,I=\dfrac{1}{\sqrt5}\arctan(\dfrac{3\tan\frac{x}{2}+1}{\sqrt5})+C\,}$
|
||||
|
||||
## 77 номер – Д 2026
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{dx}{(2+\cos x)\sin x}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{dx}{(2+\cos x)\sin x}$
|
||||
|
||||
$t=\cos x;\ dt=-(\sin x)dx;\ dx=-\dfrac{dt}{\sin x};\ \sin^{2}x=1-\cos^{2}x=1-t^{2}$
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{-\dfrac{dt}{\sin x}}{(2+t)\sin x}=-\int \dfrac{dt}{(t+2)\sin^{2}x}=-\int \dfrac{dt}{(t+2)(1-t^{2})}$
|
||||
$1-t^{2}=(1-t)(1+t)$
|
||||
$I=-\int \dfrac{dt}{(t+2)(1-t)(1+t)}$
|
||||
|
||||
$\dfrac{1}{(t+2)(1-t)(1+t)}=\dfrac{A}{t+2}+\dfrac{B}{1-t}+\dfrac{C}{1+t}$
|
||||
$1=A(1-t)(1+t)+B(t+2)(1+t)+C(t+2)(1-t)$
|
||||
$A=-\dfrac13;\ B=\dfrac16;\ C=\dfrac12$
|
||||
|
||||
$I=-\int(-\dfrac{1}{3(t+2)}+\dfrac{1}{6(1-t)}+\dfrac{1}{2(1+t)})dt$
|
||||
$I=\int(\dfrac{1}{3(t+2)}-\dfrac{1}{6(1-t)}-\dfrac{1}{2(1+t)})dt$
|
||||
|
||||
$I=\dfrac13\ln|t+2|+\dfrac16\ln|1-t|-\dfrac12\ln|1+t|+C$
|
||||
|
||||
$t=\cos x$
|
||||
${\,I=\dfrac13\ln|2+\cos x|+\dfrac16\ln|1-\cos x|-\dfrac12\ln|1+\cos x|+C\,}$
|
||||
|
||||
## 78 номер – Д 2027
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{\sin ^{2}x}{\sin x+2\cos x} \, dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{\sin^2x}{\sin x+2\cos x}dx$
|
||||
|
||||
$\sin^2x=(\sin x+2\cos x)(\sin x-2\cos x)+4\cos^2x$
|
||||
$\dfrac{\sin^2x}{\sin x+2\cos x}=\sin x-2\cos x+4\cdot\dfrac{\cos^2x}{\sin x+2\cos x}$
|
||||
|
||||
$I=\int(\sin x-2\cos x)dx+4\int\dfrac{\cos^2x}{\sin x+2\cos x}dx$
|
||||
$I=-\cos x-2\sin x+4J$
|
||||
|
||||
$J=\int\dfrac{\cos^2x}{\sin x+2\cos x}dx$
|
||||
$t=\tan\dfrac{x}{2};\ \sin x=\dfrac{2t}{1+t^2};\ \cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2};\ dx=\dfrac{2dt}{1+t^2}$
|
||||
|
||||
$J=\int\dfrac{(\dfrac{1-t^2}{1+t^2})^2}{\dfrac{2t}{1+t^2}+2\cdot\dfrac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot\dfrac{2dt}{1+t^2}=\int\dfrac{(1-t^2)^2}{(1+t^2)^2(1+t-t^2)}dt$
|
||||
|
||||
$\dfrac{(1-t^2)^2}{(1+t^2)^2(1+t-t^2)}=-\dfrac{4(t-2)}{5(t^2+1)^2}-\dfrac{4}{5(t^2+1)}-\dfrac{1}{5(t^2-t-1)}$
|
||||
|
||||
$J=-\dfrac45\int\dfrac{t-2}{(t^2+1)^2}dt-\dfrac45\int\dfrac{dt}{t^2+1}-\dfrac15\int\dfrac{dt}{t^2-t-1}$
|
||||
|
||||
$\int\dfrac{t-2}{(t^2+1)^2}dt=\int\dfrac{t}{(t^2+1)^2}dt-2\int\dfrac{dt}{(t^2+1)^2}$
|
||||
$u=t^2+1;\ du=2t\,dt$
|
||||
$\int\dfrac{t}{(t^2+1)^2}dt=\dfrac12\int\dfrac{du}{u^2}=-\dfrac{1}{2(t^2+1)}$
|
||||
|
||||
$(\dfrac{t}{t^2+1})'=\dfrac{1-t^2}{(t^2+1)^2}$
|
||||
$2\int\dfrac{dt}{(t^2+1)^2}=\dfrac{t}{t^2+1}+\int\dfrac{dt}{t^2+1}=\dfrac{t}{t^2+1}+\arctan t$
|
||||
$\int\dfrac{dt}{(t^2+1)^2}=\dfrac12(\dfrac{t}{t^2+1}+\arctan t)$
|
||||
|
||||
$\int\dfrac{t-2}{(t^2+1)^2}dt=-\dfrac{2t+1}{2(t^2+1)}-\arctan t$
|
||||
|
||||
$t^2-t-1=(t-\dfrac12)^2-(\dfrac{\sqrt5}{2})^2$
|
||||
$\int\dfrac{dt}{t^2-t-1}=\dfrac{1}{\sqrt5}\ln|\dfrac{t-\frac12-\frac{\sqrt5}{2}}{t-\frac12+\frac{\sqrt5}{2}}|$
|
||||
|
||||
$J=-\dfrac45(-\dfrac{2t+1}{2(t^2+1)}-\arctan t)-\dfrac45\arctan t-\dfrac{1}{5\sqrt5}\ln|\dfrac{t-\frac12-\frac{\sqrt5}{2}}{t-\frac12+\frac{\sqrt5}{2}}|$
|
||||
$J=\dfrac{4t+2}{5(t^2+1)}+\dfrac{\sqrt5}{25}\ln|\dfrac{2t-1+\sqrt5}{2t-1-\sqrt5}|+C$
|
||||
|
||||
$t=\tan\dfrac{x}{2}$
|
||||
$I=-\dfrac{\cos x+2\sin x}{5}+\dfrac{4\sqrt5}{25}\ln|\dfrac{2\tan\frac{x}{2}-1+\sqrt5}{2\tan\frac{x}{2}-1-\sqrt5}|+C$
|
||||
|
||||
## 79 номер – Д 2029
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{\sin ^{2}x}{1+\sin ^{2}x} \, dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{\sin^2x}{1+\sin^2x}dx$
|
||||
|
||||
$\dfrac{\sin^2x}{1+\sin^2x}=1-\dfrac{1}{1+\sin^2x}$
|
||||
$I=\int dx-\int \dfrac{dx}{1+\sin^2x}=x-J$
|
||||
|
||||
$J=\int \dfrac{dx}{1+\sin^2x}$
|
||||
$t=\tan x;\ dt=(1+t^2)dx;\ dx=\dfrac{dt}{1+t^2}$
|
||||
$\sin^2x=\dfrac{\tan^2x}{1+\tan^2x}=\dfrac{t^2}{1+t^2}$
|
||||
|
||||
$J=\int \dfrac{\dfrac{dt}{1+t^2}}{1+\dfrac{t^2}{1+t^2}}=\int \dfrac{\dfrac{dt}{1+t^2}}{\dfrac{1+2t^2}{1+t^2}}=\int \dfrac{dt}{1+2t^2}$
|
||||
|
||||
$J=\dfrac{1}{\sqrt2}\arctan(\sqrt2\,t)+C=\dfrac{1}{\sqrt2}\arctan(\sqrt2\tan x)+C$
|
||||
|
||||
${\,I=x-\dfrac{1}{\sqrt2}\arctan(\sqrt2\tan x)+C\,}$
|
||||
|
||||
## 80 номер – Д 2030
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{dx}{a^{2}\sin ^{2}x+b^{2}\cos ^{2}x}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{dx}{a^{2}\sin^{2}x+b^{2}\cos^{2}x}$
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{dx}{\cos^{2}x(a^{2}\tan^{2}x+b^{2})}=\int \dfrac{\sec^{2}x}{a^{2}\tan^{2}x+b^{2}}dx$
|
||||
|
||||
$t=\tan x;\ dt=\sec^{2}x\,dx$
|
||||
$I=\int \dfrac{dt}{a^{2}t^{2}+b^{2}}=\dfrac{1}{b^{2}}\int \dfrac{dt}{1+(\dfrac{a}{b})^{2}t^{2}}$
|
||||
|
||||
$I=\dfrac{1}{b^{2}}\cdot\dfrac{b}{a}\arctan(\dfrac{a}{b}t)+C=\dfrac{1}{ab}\arctan(\dfrac{a}{b}\tan x)+C$
|
||||
|
||||
${\,I=\dfrac{1}{ab}\arctan(\dfrac{a\tan x}{b})+C\,}$
|
||||
|
||||
## 81 номер – Д 2031
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{\cos ^{2}xdx}{( a^{2}\sin ^{2} x+b^{2}\cos ^{2} x)^{2}}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{\cos ^{2}x}{( a^{2}\sin ^{2} x+b^{2}\cos ^{2} x)^{2}}dx;\ (a\neq0,\ b\neq0)$
|
||||
|
||||
$t=\tan x;\ dt=(\tan x)'dx=\sec^2x\,dx=(1+\tan^2x)dx=(1+t^2)dx;\ dx=\dfrac{dt}{1+t^2};$
|
||||
$\sin^2x=\dfrac{t^2}{1+t^2};\ \cos^2x=\dfrac{1}{1+t^2};$
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{\dfrac{1}{1+t^2}\cdot\dfrac{dt}{1+t^2}}{(a^2\dfrac{t^2}{1+t^2}+b^2\dfrac{1}{1+t^2})^2}=\int \dfrac{\dfrac{dt}{(1+t^2)^2}}{(\dfrac{a^2t^2+b^2}{1+t^2})^2}=\int \dfrac{dt}{(a^2t^2+b^2)^2}$
|
||||
|
||||
$u=\dfrac{a}{b}t;\ t=\dfrac{b}{a}u;\ dt=\dfrac{b}{a}du;$
|
||||
$a^2t^2+b^2=b^2(u^2+1);$
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{\dfrac{b}{a}du}{(b^2(u^2+1))^2}=\dfrac{1}{ab^3}\int \dfrac{du}{(u^2+1)^2}$
|
||||
|
||||
$(\dfrac{u}{1+u^2})'=\dfrac{1-u^2}{(1+u^2)^2}$
|
||||
$\dfrac{1}{(1+u^2)^2}=\dfrac12(\dfrac{1-u^2}{(1+u^2)^2}+\dfrac{1}{1+u^2})$
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{du}{(1+u^2)^2}=\dfrac12\int \dfrac{1-u^2}{(1+u^2)^2}du+\dfrac12\int \dfrac{du}{1+u^2}=\dfrac12\cdot\dfrac{u}{1+u^2}+\dfrac12\arctan u$
|
||||
|
||||
$I=\dfrac{1}{ab^3}(\dfrac12\cdot\dfrac{u}{1+u^2}+\dfrac12\arctan u)=\dfrac{1}{2ab^3}(\dfrac{u}{1+u^2}+\arctan u)+C$
|
||||
|
||||
$u=\dfrac{a}{b}\tan x;$
|
||||
$\dfrac{u}{1+u^2}=\dfrac{\frac{a}{b}\tan x}{1+(\frac{a}{b}\tan x)^2}=\dfrac{ab\tan x}{b^2+a^2\tan^2x}=\dfrac{ab\sin x\cos x}{a^2\sin^2x+b^2\cos^2x}$
|
||||
|
||||
${\,I=\dfrac{\sin x\cos x}{2b^{2}(a^{2}\sin ^{2}x+b^{2}\cos ^{2}x)}+\dfrac{1}{2ab^{3}}\arctan(\dfrac{a\tan x}{b})+C\,}$
|
||||
|
||||
## 82 номер – Д 2032
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{\sin x\cos x}{\sin x+\cos x} \, dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\sin x+\cos x\neq0;$
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{\sin x\cos x}{\sin x+\cos x}dx$
|
||||
|
||||
$t=x-\dfrac{\pi}{4};\ x=t+\dfrac{\pi}{4};\ dt=dx$
|
||||
$\sin x=\sin(t+\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sin t+\cos t}{\sqrt2};$
|
||||
$\cos x=\cos(t+\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\cos t-\sin t}{\sqrt2};$
|
||||
|
||||
$\sin x+\cos x=\dfrac{\sin t+\cos t+\cos t-\sin t}{\sqrt2}=\sqrt2\cos t;$
|
||||
$\sin x\cos x=\dfrac{(\sin t+\cos t)(\cos t-\sin t)}{2}=\dfrac{\cos^2t-\sin^2t}{2}=\dfrac12\cos2t;$
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{\frac12\cos2t}{\sqrt2\cos t}dt=\dfrac{1}{2\sqrt2}\int\dfrac{\cos2t}{\cos t}dt$
|
||||
$\cos2t=2\cos^2t-1$
|
||||
$\dfrac{\cos2t}{\cos t}=2\cos t-\sec t$
|
||||
|
||||
$I=\dfrac{1}{2\sqrt2}\int(2\cos t-\sec t)dt=\dfrac{1}{\sqrt2}\int\cos t\,dt-\dfrac{1}{2\sqrt2}\int\sec t\,dt$
|
||||
$I=\dfrac{1}{\sqrt2}\sin t-\dfrac{1}{2\sqrt2}\ln|\sec t+\tan t|+C$
|
||||
|
||||
$\sin t=\sin(x-\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sin x-\cos x}{\sqrt2};$
|
||||
$\sec t+\tan t=\dfrac{1+\sin t}{\cos t};\ \sin t=\dfrac{\sin x-\cos x}{\sqrt2};\ \cos t=\cos(x-\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sin x+\cos x}{\sqrt2};$
|
||||
$\sec t+\tan t=\dfrac{\sqrt2+\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}$
|
||||
|
||||
${\,I=\dfrac{\sin x-\cos x}{2}-\dfrac{1}{2\sqrt2}\ln|\dfrac{\sqrt2+\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}|+C\,}$
|
||||
|
||||
## 83 номер – Д 2033
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{dx}{(a\sin x+b\cos x)^{2}}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$a^{2}+b^{2}\neq0;\ a\sin x+b\cos x\neq0;$
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{dx}{(a\sin x+b\cos x)^{2}}$
|
||||
|
||||
$u=a\sin x+b\cos x;\ u'=a\cos x-b\sin x$
|
||||
$v=a\cos x-b\sin x;\ v'=-a\sin x-b\cos x=-u$
|
||||
|
||||
$(\dfrac{v}{u})'=\dfrac{v'u-vu'}{u^{2}}=\dfrac{(-u)u-v^{2}}{u^{2}}=-\dfrac{u^{2}+v^{2}}{u^{2}}$
|
||||
|
||||
$u^{2}+v^{2}=(a\sin x+b\cos x)^{2}+(a\cos x-b\sin x)^{2}=a^{2}+b^{2}$
|
||||
|
||||
$(\dfrac{v}{u})'=-\dfrac{a^{2}+b^{2}}{(a\sin x+b\cos x)^{2}}$
|
||||
$\dfrac{1}{(a\sin x+b\cos x)^{2}}=-\dfrac{1}{a^{2}+b^{2}}(\dfrac{v}{u})'$
|
||||
|
||||
$I=-\dfrac{1}{a^{2}+b^{2}}\int(\dfrac{v}{u})'dx=-\dfrac{1}{a^{2}+b^{2}}\cdot\dfrac{v}{u}+C$
|
||||
|
||||
${\,I=-\dfrac{a\cos x-b\sin x}{(a^{2}+b^{2})(a\sin x+b\cos x)}+C\,}$
|
||||
|
||||
## 84 номер – Д 2072
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int x^{7}e^{ -x^{2} } \, dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int x^{7}e^{-x^{2}}dx$
|
||||
|
||||
$t=x^{2};\ dt=2x\,dx;\ x^{7}dx=x^{6}\cdot x\,dx=(x^{2})^{3}\cdot x\,dx=t^{3}\cdot\dfrac12dt$
|
||||
$I=\dfrac12\int t^{3}e^{-t}dt$
|
||||
|
||||
$J=\int t^{3}e^{-t}dt;\ J=\int u\,dv;\ u=t^{3};\ dv=e^{-t}dt$
|
||||
$du=3t^{2}dt;\ v=-e^{-t}$
|
||||
$J=uv-\int v\,du=-t^{3}e^{-t}+3\int t^{2}e^{-t}dt$
|
||||
|
||||
$J_1=\int t^{2}e^{-t}dt;\ J_1=\int u\,dv;\ u=t^{2};\ dv=e^{-t}dt$
|
||||
$du=2t\,dt;\ v=-e^{-t}$
|
||||
$J_1=-t^{2}e^{-t}+2\int t e^{-t}dt$
|
||||
|
||||
$J_2=\int t e^{-t}dt;\ J_2=\int u\,dv;\ u=t;\ dv=e^{-t}dt$
|
||||
$du=dt;\ v=-e^{-t}$
|
||||
$J_2=-t e^{-t}+\int e^{-t}dt=-t e^{-t}-e^{-t}$
|
||||
|
||||
$J_1=-t^{2}e^{-t}+2(-t e^{-t}-e^{-t})=-(t^{2}+2t+2)e^{-t}$
|
||||
$J=-t^{3}e^{-t}+3J_1=-t^{3}e^{-t}-3(t^{2}+2t+2)e^{-t}=-(t^{3}+3t^{2}+6t+6)e^{-t}$
|
||||
|
||||
$I=-\dfrac12(t^{3}+3t^{2}+6t+6)e^{-t}+C$
|
||||
$t=x^{2}$
|
||||
|
||||
${\,I=-\dfrac12e^{-x^{2}}(x^{6}+3x^{4}+6x^{2}+6)+C\,}$
|
||||
|
||||
## 85 номер – Д 2073
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int x^{2}e^{ \sqrt{ x } }dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$x\ge0$
|
||||
$I=\int x^{2}e^{\sqrt{x}}dx$
|
||||
|
||||
$t=\sqrt{x};\ x=t^{2};\ dx=2t\,dt$
|
||||
$I=\int t^{4}e^{t}\cdot2t\,dt=2\int t^{5}e^{t}dt$
|
||||
$I=2J$
|
||||
|
||||
$J=\int t^{5}e^{t}dt;\ J=\int u\,dv;\ u=t^{5};\ dv=e^{t}dt$
|
||||
$du=5t^{4}dt;\ v=e^{t}$
|
||||
$J=t^{5}e^{t}-5\int t^{4}e^{t}dt=t^{5}e^{t}-5J_{1}$
|
||||
|
||||
$J_{1}=\int t^{4}e^{t}dt=t^{4}e^{t}-4\int t^{3}e^{t}dt=t^{4}e^{t}-4J_{2}$
|
||||
$J_{2}=\int t^{3}e^{t}dt=t^{3}e^{t}-3\int t^{2}e^{t}dt=t^{3}e^{t}-3J_{3}$
|
||||
$J_{3}=\int t^{2}e^{t}dt=t^{2}e^{t}-2\int te^{t}dt=t^{2}e^{t}-2J_{4}$
|
||||
$J_{4}=\int te^{t}dt=te^{t}-\int e^{t}dt=te^{t}-e^{t}$
|
||||
|
||||
$J_{3}=t^{2}e^{t}-2(te^{t}-e^{t})=e^{t}(t^{2}-2t+2)$
|
||||
$J_{2}=t^{3}e^{t}-3e^{t}(t^{2}-2t+2)=e^{t}(t^{3}-3t^{2}+6t-6)$
|
||||
$J_{1}=t^{4}e^{t}-4e^{t}(t^{3}-3t^{2}+6t-6)=e^{t}(t^{4}-4t^{3}+12t^{2}-24t+24)$
|
||||
$J=t^{5}e^{t}-5e^{t}(t^{4}-4t^{3}+12t^{2}-24t+24)=e^{t}(t^{5}-5t^{4}+20t^{3}-60t^{2}+120t-120)$
|
||||
|
||||
$I=2e^{t}(t^{5}-5t^{4}+20t^{3}-60t^{2}+120t-120)+C$
|
||||
$t=\sqrt{x}$
|
||||
|
||||
${\,I=2e^{\sqrt{x}}(x^{2}\sqrt{x}-5x^{2}+20x\sqrt{x}-60x+120\sqrt{x}-120)+C\,}$
|
||||
|
||||
## 86 номер – Д 2074
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int e^{ ax }\cos ^{2}bx \, dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int e^{ax}\cos^{2}(bx)\,dx$
|
||||
|
||||
$\cos^{2}(bx)=\dfrac{1+\cos(2bx)}{2}$
|
||||
$I=\dfrac12\int e^{ax}dx+\dfrac12\int e^{ax}\cos(2bx)\,dx$
|
||||
$I=I_1+I_2$
|
||||
|
||||
$a\neq0;$
|
||||
$I_1=\dfrac12\int e^{ax}dx=\dfrac12\cdot\dfrac{e^{ax}}{a}=\dfrac{e^{ax}}{2a}$
|
||||
|
||||
$I_2=\dfrac12\int e^{ax}\cos(2bx)\,dx$
|
||||
$\int e^{ax}\cos(kx)\,dx=\dfrac{e^{ax}}{a^{2}+k^{2}}(a\cos(kx)+k\sin(kx))$
|
||||
$k=2b$
|
||||
$I_2=\dfrac12\cdot\dfrac{e^{ax}}{a^{2}+4b^{2}}(a\cos(2bx)+2b\sin(2bx))$
|
||||
|
||||
${\,I=\dfrac{e^{ax}}{2a}+\dfrac{e^{ax}}{2(a^{2}+4b^{2})}(a\cos(2bx)+2b\sin(2bx))+C\,}$
|
||||
|
||||
$a=0;$
|
||||
$I=\int \cos^{2}(bx)\,dx=\int\dfrac{1+\cos(2bx)}{2}dx=\dfrac{x}{2}+\dfrac{\sin(2bx)}{4b}+C;\ (b\neq0)$
|
||||
|
||||
## 87 номер – Д 2075
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int e^{ ax }\sin ^{3}bx \, dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int e^{ax}\sin^{3}(bx)\,dx$
|
||||
|
||||
$\sin 3u=3\sin u-4\sin^{3}u$
|
||||
$\sin^{3}u=\dfrac{3\sin u-\sin 3u}{4}$
|
||||
$u=bx$
|
||||
$\sin^{3}(bx)=\dfrac{3\sin(bx)-\sin(3bx)}{4}$
|
||||
|
||||
$I=\dfrac14\int e^{ax}(3\sin(bx)-\sin(3bx))dx=\dfrac34\int e^{ax}\sin(bx)dx-\dfrac14\int e^{ax}\sin(3bx)dx$
|
||||
$I=\dfrac34 I_1-\dfrac14 I_2$
|
||||
|
||||
$\int e^{ax}\sin(kx)\,dx=\dfrac{e^{ax}}{a^{2}+k^{2}}(a\sin(kx)-k\cos(kx))+C$
|
||||
|
||||
$I_1=\int e^{ax}\sin(bx)\,dx=\dfrac{e^{ax}}{a^{2}+b^{2}}(a\sin(bx)-b\cos(bx))$
|
||||
$I_2=\int e^{ax}\sin(3bx)\,dx=\dfrac{e^{ax}}{a^{2}+9b^{2}}(a\sin(3bx)-3b\cos(3bx))$
|
||||
|
||||
${\,I=\dfrac{e^{ax}}{4}(\dfrac{3(a\sin bx-b\cos bx)}{a^{2}+b^{2}}-\dfrac{a\sin 3bx-3b\cos 3bx}{a^{2}+9b^{2}})+C\,}$
|
||||
|
||||
## 88 номер – Д 2076
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int xe^{ x }\sin x \, dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int xe^{x}\sin x\,dx$
|
||||
|
||||
$I=\int u\,dv;\ \int u\,dv=uv-\int v\,du$
|
||||
$u=x;\ du=dx$
|
||||
$dv=e^{x}\sin x\,dx$
|
||||
|
||||
$v=\int e^{x}\sin x\,dx=\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)$
|
||||
|
||||
$I=x\cdot\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)-\int\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)\,dx$
|
||||
$I=\dfrac{x e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)-\dfrac12\int e^{x}\sin x\,dx+\dfrac12\int e^{x}\cos x\,dx$
|
||||
|
||||
$\int e^{x}\sin x\,dx=\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)$
|
||||
$\int e^{x}\cos x\,dx=\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x+\cos x)$
|
||||
|
||||
$I=\dfrac{x e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)-\dfrac12\cdot\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)+\dfrac12\cdot\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x+\cos x)+C$
|
||||
$I=\dfrac{x e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)+\dfrac{e^{x}}{2}\cos x+C$
|
||||
|
||||
${\,I=\dfrac{e^{x}}{2}(x\sin x+(1-x)\cos x)+C\,}$
|
||||
|
||||
## 89 номер – Д 2077
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int x^{2}e^{ x }\cos x \, dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int x^{2}e^{x}\cos x\,dx$
|
||||
|
||||
$I=\int u\,dv;\ \int u\,dv=uv-\int v\,du$
|
||||
$u=x^{2};\ du=2x\,dx$
|
||||
$dv=e^{x}\cos x\,dx$
|
||||
|
||||
$v=\int e^{x}\cos x\,dx=\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x+\cos x)$
|
||||
|
||||
$I=\dfrac{x^{2}e^{x}}{2}(\sin x+\cos x)-\int x e^{x}(\sin x+\cos x)\,dx$
|
||||
$I=\dfrac{x^{2}e^{x}}{2}(\sin x+\cos x)-J$
|
||||
|
||||
$J=\int x e^{x}(\sin x+\cos x)\,dx=\int x e^{x}\sin x\,dx+\int x e^{x}\cos x\,dx$
|
||||
$J=J_{1}+J_{2}$
|
||||
|
||||
$J_{1}=\int x e^{x}\sin x\,dx$
|
||||
$J_{1}=\int u\,dv;\ u=x;\ du=dx;\ dv=e^{x}\sin x\,dx$
|
||||
$\int e^{x}\sin x\,dx=\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)$
|
||||
$J_{1}=x\cdot\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)-\int\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)\,dx$
|
||||
$\int e^{x}\sin x\,dx=\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x);\ \int e^{x}\cos x\,dx=\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x+\cos x)$
|
||||
$J_{1}=\dfrac{x e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)-\dfrac12\cdot\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)+\dfrac12\cdot\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x+\cos x)$
|
||||
$J_{1}=\dfrac{e^{x}}{2}(x\sin x+(1-x)\cos x)$
|
||||
|
||||
$J_{2}=\int x e^{x}\cos x\,dx$
|
||||
$J_{2}=\int u\,dv;\ u=x;\ du=dx;\ dv=e^{x}\cos x\,dx$
|
||||
$J_{2}=x\cdot\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x+\cos x)-\int\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x+\cos x)\,dx$
|
||||
$\int e^{x}(\sin x+\cos x)\,dx=\int e^{x}\sin x\,dx+\int e^{x}\cos x\,dx=e^{x}\sin x$
|
||||
$J_{2}=\dfrac{x e^{x}}{2}(\sin x+\cos x)-\dfrac{e^{x}}{2}\sin x$
|
||||
|
||||
$J=\dfrac{e^{x}}{2}(x\sin x+(1-x)\cos x)+\dfrac{e^{x}}{2}(x(\sin x+\cos x)-\sin x)=\dfrac{e^{x}}{2}((2x-1)\sin x+\cos x)$
|
||||
|
||||
$I=\dfrac{x^{2}e^{x}}{2}(\sin x+\cos x)-\dfrac{e^{x}}{2}((2x-1)\sin x+\cos x)+C$
|
||||
|
||||
${\,I=\dfrac{e^{x}}{2}((x-1)^{2}\sin x+(x^{2}-1)\cos x)+C\,}$
|
||||
@@ -0,0 +1,456 @@
|
||||
## 11 номер – Д 2239
|
||||
#учеба #семестр_1 #высшая_математика
|
||||
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int_{0}^{\ln2} xe^{ -x } \, dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int_{0}^{\ln2} xe^{-x}dx$
|
||||
|
||||
$I=\int u\,dv;\ \int u\,dv=uv-\int v\,du$
|
||||
$u=x;\ du=dx$
|
||||
$dv=e^{-x}dx;\ v=-e^{-x}$
|
||||
|
||||
$I=.x(-e^{-x})|_{0}^{\ln2}-\int_{0}^{\ln2}(-e^{-x})dx=.-xe^{-x}|_{0}^{\ln2}+\int_{0}^{\ln2}e^{-x}dx$
|
||||
|
||||
$\int e^{-x}dx=-e^{-x}$
|
||||
$I=.-xe^{-x}|_{0}^{\ln2}+.-e^{-x}|_{0}^{\ln2}$
|
||||
|
||||
$e^{-\ln2}=\dfrac12$
|
||||
$I=-(\ln2)\cdot\dfrac12- \dfrac12- (0\cdot1-1)=-\dfrac{\ln2}{2}-\dfrac12+1=\dfrac12-\dfrac{\ln2}{2}$
|
||||
|
||||
## 13 номер – Д 2241
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int_{0}^{2\pi} x^{2}\cos x \, dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int_{0}^{2\pi} x^{2}\cos x\,dx$
|
||||
|
||||
$I=\int u\,dv;\ \int u\,dv=uv-\int v\,du$
|
||||
$u=x^{2};\ du=2x\,dx$
|
||||
$dv=\cos x\,dx;\ v=\sin x$
|
||||
|
||||
$I=.x^{2}\sin x|_{0}^{2\pi}-\int_{0}^{2\pi}2x\sin x\,dx=-2\int_{0}^{2\pi}x\sin x\,dx$
|
||||
|
||||
$J=\int_{0}^{2\pi}x\sin x\,dx$
|
||||
$J=\int u\,dv;\ \int u\,dv=uv-\int v\,du$
|
||||
$u=x;\ du=dx$
|
||||
$dv=\sin x\,dx;\ v=-\cos x$
|
||||
|
||||
$J=.-x\cos x|_{0}^{2\pi}+\int_{0}^{2\pi}\cos x\,dx=.-x\cos x|_{0}^{2\pi}+.\sin x|_{0}^{2\pi}$
|
||||
$J=-2\pi\cdot1+0-0=-2\pi$
|
||||
|
||||
$I=-2J=-2(-2\pi)=4\pi$
|
||||
|
||||
## 15 номер – Д 2244
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int_{0}^{\sqrt{ 3 }} x\ \text{arccot} x\, dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int_{0}^{\sqrt3}x\,\text{arccot}\,x\,dx$
|
||||
|
||||
$I=\int u\,dv;\ \int u\,dv=uv-\int v\,du$
|
||||
$u=\text{arccot}\,x;\ du=-\dfrac{1}{1+x^{2}}dx$
|
||||
$dv=x\,dx;\ v=\dfrac{x^{2}}{2}$
|
||||
|
||||
$I=.\dfrac{x^{2}}{2}\text{arccot}\,x|_{0}^{\sqrt3}-\int_{0}^{\sqrt3}\dfrac{x^{2}}{2}(-\dfrac{1}{1+x^{2}})dx=.\dfrac{x^{2}}{2}\text{arccot}\,x|_{0}^{\sqrt3}+\dfrac12\int_{0}^{\sqrt3}\dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}dx$
|
||||
|
||||
$\dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}=1-\dfrac{1}{1+x^{2}}$
|
||||
$I=.\dfrac{x^{2}}{2}\text{arccot}\,x|_{0}^{\sqrt3}+\dfrac12\int_{0}^{\sqrt3}(1-\dfrac{1}{1+x^{2}})dx$
|
||||
$\int \dfrac{dx}{1+x^{2}}=\arctan x$
|
||||
$I=.\dfrac{x^{2}}{2}\text{arccot}\,x|_{0}^{\sqrt3}+\dfrac12.(x-\arctan x)|_{0}^{\sqrt3}$
|
||||
|
||||
$\text{arccot}\sqrt3=\dfrac{\pi}{6};\ \arctan\sqrt3=\dfrac{\pi}{3}$
|
||||
$I=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{\pi}{6}+\dfrac12(\sqrt3-\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\pi}{12}$
|
||||
|
||||
## 17 номер – Д 2246
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int_{0}^{a} x^{2}\sqrt{ a^{2}-x^{2} } \, dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$a>0$
|
||||
$I=\int_{0}^{a} x^{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}}\,dx$
|
||||
|
||||
$x=a\sin t;\ dx=a\cos t\,dt;\ \sqrt{a^{2}-x^{2}}=a\cos t$
|
||||
$x=0\implies t=0;\ x=a\implies t=\dfrac{\pi}{2}$
|
||||
|
||||
$I=\int_{0}^{\pi/2}(a^{2}\sin^{2}t)\cdot(a\cos t)\cdot(a\cos t)\,dt=a^{4}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}t\cos^{2}t\,dt$
|
||||
|
||||
$\sin^{2}t\cos^{2}t=\dfrac14\sin^{2}2t;\ \sin^{2}2t=\dfrac{1-\cos4t}{2}$
|
||||
$I=a^{4}\int_{0}^{\pi/2}\dfrac18(1-\cos4t)\,dt=\dfrac{a^{4}}{8}(t-\dfrac{\sin4t}{4})\Big|_{0}^{\pi/2}$
|
||||
|
||||
$I=\dfrac{a^{4}}{8}(\dfrac{\pi}{2}-0)=\dfrac{\pi a^{4}}{16}$
|
||||
|
||||
## 19 номер – Д 2248
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int_{0}^{\ln 2} \sqrt{ e^{ x }-1 } \, dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int_{0}^{\ln2}\sqrt{e^{x}-1}\,dx$
|
||||
|
||||
$t=e^{x};\ dt=e^{x}dx;\ dx=\dfrac{dt}{t}$
|
||||
$x=0\implies t=1;\ x=\ln2\implies t=2$
|
||||
|
||||
$I=\int_{1}^{2}\dfrac{\sqrt{t-1}}{t}\,dt$
|
||||
|
||||
$u=\sqrt{t-1};\ t=u^{2}+1;\ dt=2u\,du$
|
||||
$t=1\implies u=0;\ t=2\implies u=1$
|
||||
|
||||
$I=\int_{0}^{1}\dfrac{u}{u^{2}+1}\cdot2u\,du=2\int_{0}^{1}\dfrac{u^{2}}{u^{2}+1}\,du$
|
||||
$\dfrac{u^{2}}{u^{2}+1}=1-\dfrac{1}{u^{2}+1}$
|
||||
|
||||
$I=2\int_{0}^{1}(1-\dfrac{1}{u^{2}+1})du=2(u-\arctan u)\Big|_{0}^{1}$
|
||||
$I=2(1-\dfrac{\pi}{4})=2-\dfrac{\pi}{2}$
|
||||
|
||||
## 21 номер – Д 2269
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int_{-1}^{1} \dfrac{xdx}{x^{2}+x+1}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int_{-1}^{1}\dfrac{x}{x^{2}+x+1}dx$
|
||||
|
||||
$x=\dfrac12(2x+1)-\dfrac12$
|
||||
$I=\dfrac12\int_{-1}^{1}\dfrac{2x+1}{x^{2}+x+1}dx-\dfrac12\int_{-1}^{1}\dfrac{dx}{x^{2}+x+1}$
|
||||
|
||||
$I_1=\dfrac12\int_{-1}^{1}\dfrac{2x+1}{x^{2}+x+1}dx=\dfrac12.\ln(x^{2}+x+1)|_{-1}^{1}=\dfrac12(\ln3-\ln1)=\dfrac12\ln3$
|
||||
|
||||
$x^{2}+x+1=(x+\dfrac12)^{2}+\dfrac34$
|
||||
$I_2=-\dfrac12\int_{-1}^{1}\dfrac{dx}{(x+\dfrac12)^{2}+(\dfrac{\sqrt3}{2})^{2}}$
|
||||
|
||||
$\int\dfrac{dx}{(x-a)^{2}+b^{2}}=\dfrac{1}{b}\arctan\dfrac{x-a}{b}$
|
||||
$I_2=-\dfrac12\cdot\dfrac{2}{\sqrt3}.\arctan(\dfrac{x+\frac12}{\frac{\sqrt3}{2}})|_{-1}^{1}=-\dfrac{1}{\sqrt3}.\arctan(\dfrac{2x+1}{\sqrt3})|_{-1}^{1}$
|
||||
|
||||
$\arctan\dfrac{3}{\sqrt3}=\arctan\sqrt3=\dfrac{\pi}{3};\ \arctan\dfrac{-1}{\sqrt3}=-\dfrac{\pi}{6}$
|
||||
$I_2=-\dfrac{1}{\sqrt3}(\dfrac{\pi}{3}-(-\dfrac{\pi}{6}))=-\dfrac{1}{\sqrt3}\cdot\dfrac{\pi}{2}=-\dfrac{\pi}{2\sqrt3}$
|
||||
|
||||
$I=I_1+I_2=\dfrac12\ln3-\dfrac{\pi}{2\sqrt3}$
|
||||
|
||||
## 23 номер – Д 2271
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int_{1}^{9} x\sqrt[ 3 ]{ 1-x } \, dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int_{1}^{9}x\sqrt[3]{1-x}\,dx$
|
||||
|
||||
$t=1-x;\ dt=-dx;\ x=1-t$
|
||||
$x=1; t=0;\ x=9; t=-8$
|
||||
|
||||
$I=\int_{0}^{-8}(1-t)t^{\frac13}(-dt)=\int_{-8}^{0}(1-t)t^{\frac13}dt=\int_{-8}^{0}(t^{\frac13}-t^{\frac43})dt$
|
||||
|
||||
$I=.(\dfrac{3}{4}t^{\frac43}-\dfrac{3}{7}t^{\frac73})|_{-8}^{0}=-(\dfrac{3}{4}(-8)^{\frac43}-\dfrac{3}{7}(-8)^{\frac73})$
|
||||
|
||||
$\sqrt[3]{-8}=-2;\ (-8)^{\frac43}=(\sqrt[3]{-8})^{4}=(-2)^{4}=16;\ (-8)^{\frac73}=(\sqrt[3]{-8})^{7}=(-2)^{7}=-128$
|
||||
$I=-(\dfrac{3}{4}\cdot16-\dfrac{3}{7}\cdot(-128))=-(12+\dfrac{384}{7})=-\dfrac{468}{7}$
|
||||
|
||||
## 25 номер – Д 2273
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int_{0}^{1} x^{15} \, \sqrt{ 1+3x^{8} } \, dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int_{0}^{1}x^{15}\sqrt{1+3x^{8}}dx$
|
||||
|
||||
$u=1+3x^{8};\ du=24x^{7}dx;\ x^{7}dx=\dfrac{1}{24}du$
|
||||
$x^{15}dx=x^{8}\cdot x^{7}dx$
|
||||
|
||||
$x=0;\ u=1$
|
||||
$x=1;\ u=4$
|
||||
|
||||
$x^{8}=\dfrac{u-1}{3}$
|
||||
$I=\int_{1}^{4}\dfrac{u-1}{3}\cdot\sqrt{u}\cdot\dfrac{1}{24}du=\dfrac{1}{72}\int_{1}^{4}(u-1)u^{\frac12}du=\dfrac{1}{72}\int_{1}^{4}(u^{\frac32}-u^{\frac12})du$
|
||||
|
||||
$I=\dfrac{1}{72}(\dfrac{2}{5}u^{\frac52}-\dfrac{2}{3}u^{\frac32})\Big|_{1}^{4}=\dfrac{1}{72}(\dfrac{2}{5}(4^{\frac52}-1)-\dfrac{2}{3}(4^{\frac32}-1))$
|
||||
$4^{\frac52}=32;\ 4^{\frac32}=8$
|
||||
$I=\dfrac{1}{72}(\dfrac{2}{5}\cdot31-\dfrac{2}{3}\cdot7)=\dfrac{1}{72}(\dfrac{62}{5}-\dfrac{14}{3})=\dfrac{1}{72}\cdot\dfrac{116}{15}=\dfrac{29}{270}$
|
||||
|
||||
## 27 номер – Д 2275
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int_{0}^{2\pi} \dfrac{dx}{(2+\cos x)(3+\cos x)}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int_{0}^{2\pi}\dfrac{dx}{(2+\cos x)(3+\cos x)}$
|
||||
|
||||
$\dfrac{1}{(2+\cos x)(3+\cos x)}=\dfrac{1}{2+\cos x}-\dfrac{1}{3+\cos x}$
|
||||
$I=I_1-I_2$
|
||||
$I_1=\int_{0}^{2\pi}\dfrac{dx}{2+\cos x}$
|
||||
$I_2=\int_{0}^{2\pi}\dfrac{dx}{3+\cos x}$
|
||||
|
||||
$\cos(\pi+t)=-\cos t$
|
||||
$\int_{0}^{2\pi}\dfrac{dx}{a+\cos x}=2\int_{0}^{\pi}\dfrac{dx}{a+\cos x}\ (a>1)$
|
||||
|
||||
$I_1=2\int_{0}^{\pi}\dfrac{dx}{2+\cos x}$
|
||||
$t=\tan\dfrac{x}{2}$
|
||||
$\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$
|
||||
$dx=\dfrac{2dt}{1+t^2}$
|
||||
$x:0\to\pi;\ t:0\to+\infty$
|
||||
|
||||
$I_1=2\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\frac{2dt}{1+t^2}}{2+\frac{1-t^2}{1+t^2}}=2\int_{0}^{+\infty}\dfrac{2dt}{3+t^2}=4\int_{0}^{+\infty}\dfrac{dt}{t^2+3}$
|
||||
$\int\dfrac{dt}{t^2+a^2}=\dfrac{1}{a}\arctan\dfrac{t}{a}$
|
||||
$I_1=4\cdot\dfrac{1}{\sqrt3}\arctan\dfrac{t}{\sqrt3}\Big|_{0}^{+\infty}=4\cdot\dfrac{1}{\sqrt3}(\dfrac{\pi}{2}-0)=\dfrac{2\pi}{\sqrt3}$
|
||||
|
||||
$I_2=2\int_{0}^{\pi}\dfrac{dx}{3+\cos x}$
|
||||
$t=\tan\dfrac{x}{2}$
|
||||
$\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$
|
||||
$dx=\dfrac{2dt}{1+t^2}$
|
||||
$x:0\to\pi;\ t:0\to+\infty$
|
||||
|
||||
$I_2=2\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\frac{2dt}{1+t^2}}{3+\frac{1-t^2}{1+t^2}}=2\int_{0}^{+\infty}\dfrac{2dt}{4+2t^2}=2\int_{0}^{+\infty}\dfrac{dt}{t^2+2}$
|
||||
$I_2=2\cdot\dfrac{1}{\sqrt2}\arctan\dfrac{t}{\sqrt2}\Big|_{0}^{+\infty}=2\cdot\dfrac{1}{\sqrt2}(\dfrac{\pi}{2}-0)=\dfrac{\pi}{\sqrt2}$
|
||||
|
||||
$I=\dfrac{2\pi}{\sqrt3}-\dfrac{\pi}{\sqrt2}$
|
||||
|
||||
## 29 номер – Д 2278
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int_{0}^{\pi} (x\sin x)^{2} \, dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int_{0}^{\pi}(x\sin x)^2dx=\int_{0}^{\pi}x^{2}\sin^{2}x\,dx$
|
||||
|
||||
$\sin^{2}x=\dfrac{1-\cos2x}{2}$
|
||||
$I=\dfrac12\int_{0}^{\pi}x^{2}dx-\dfrac12\int_{0}^{\pi}x^{2}\cos2x\,dx$
|
||||
$I=\dfrac12.\dfrac{x^{3}}{3}|_{0}^{\pi}-\dfrac12J=\dfrac{\pi^{3}}{6}-\dfrac12J$
|
||||
|
||||
$J=\int_{0}^{\pi}x^{2}\cos2x\,dx$
|
||||
$J=\int u\,dv;\ \int u\,dv=uv-\int v\,du$
|
||||
$u=x^{2};\ du=2x\,dx$
|
||||
$dv=\cos2x\,dx;\ v=\dfrac12\sin2x$
|
||||
|
||||
$J=.\dfrac{x^{2}}{2}\sin2x|_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi}x\sin2x\,dx=-K$
|
||||
|
||||
$K=\int_{0}^{\pi}x\sin2x\,dx$
|
||||
$K=\int u\,dv;\ \int u\,dv=uv-\int v\,du$
|
||||
$u=x;\ du=dx$
|
||||
$dv=\sin2x\,dx;\ v=-\dfrac12\cos2x$
|
||||
|
||||
$K=.-\dfrac{x}{2}\cos2x|_{0}^{\pi}+\dfrac12\int_{0}^{\pi}\cos2x\,dx$
|
||||
$\int\cos2x\,dx=\dfrac12\sin2x$
|
||||
$K=-\dfrac{\pi}{2}\cdot1+\dfrac12.\dfrac12\sin2x|_{0}^{\pi}=-\dfrac{\pi}{2}$
|
||||
|
||||
$J=-K=\dfrac{\pi}{2}$
|
||||
$I=\dfrac{\pi^{3}}{6}-\dfrac12\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi^{3}}{6}-\dfrac{\pi}{4}$
|
||||
|
||||
## 40 номер – Д 2395
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$v.p. \int_{-\infty}^{+\infty} \text{arccot}x \, dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\text{v.p.}\int_{-\infty}^{+\infty}\text{arccot}\,x\,dx=\lim_{A\to+\infty}\int_{-A}^{A}\text{arccot}\,x\,dx$
|
||||
|
||||
$\text{arccot}\,x=\dfrac{\pi}{2}-\arctan x$
|
||||
$I(A)=\int_{-A}^{A}(\dfrac{\pi}{2}-\arctan x)dx=\dfrac{\pi}{2}\int_{-A}^{A}dx-\int_{-A}^{A}\arctan x\,dx$
|
||||
|
||||
$\arctan x\ \text{нечётная}$
|
||||
$\int_{-A}^{A}\arctan x\,dx=0$
|
||||
$I(A)=\dfrac{\pi}{2}\cdot2A=\pi A$
|
||||
|
||||
$I=\lim_{A\to+\infty}\pi A=+\infty$
|
||||
$\text{v.p. интеграл расходится увы}$
|
||||
|
||||
## 42 номер – Д 2398
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
Площадь
|
||||
$y=x^{2};x+y=2$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$y=x^2;\ y=2-x$
|
||||
|
||||
$x^2=2-x$
|
||||
$x^2+x-2=0$
|
||||
$(x+2)(x-1)=0$
|
||||
$x_1=-2;\ x_2=1$
|
||||
|
||||
$S=\int_{-2}^{1}\big((2-x)-x^2\big)\,dx=\int_{-2}^{1}(2-x-x^2)\,dx$
|
||||
$S=(2x-\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3})\Big|_{-2}^{1}$
|
||||
$S=(2-\dfrac12-\dfrac13)-(-4-\dfrac{4}{2}+\dfrac{8}{3})=\dfrac{7}{6}+\dfrac{10}{3}=\dfrac{9}{2}$
|
||||
|
||||
## 44 номер – Д 2400
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
Площадь
|
||||
$y=|lg x|; y=0;x=0,1;x=10;$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$S=\int_{0,1}^{10}|lg x|\,dx$
|
||||
$lg x<0\ (0<x<1);\ lg x>0\ (x>1)$
|
||||
$S=\int_{0,1}^{1}(-lg x)\,dx+\int_{1}^{10}lg x\,dx$
|
||||
|
||||
$lg x=\dfrac{\ln x}{\ln 10}$
|
||||
$\int lg x\,dx=\dfrac{1}{\ln 10}\int \ln x\,dx=\dfrac{1}{\ln 10}(x\ln x-x)$
|
||||
|
||||
$S_2=\int_{1}^{10}lg x\,dx=\dfrac{1}{\ln 10}(x\ln x-x)\Big|_{1}^{10}=10-\dfrac{9}{\ln 10}$
|
||||
$S_1=\int_{0,1}^{1}(-lg x)\,dx=-\dfrac{1}{\ln 10}(x\ln x-x)\Big|_{0,1}^{1}=-(-\dfrac{1}{\ln 10}+0,1+\dfrac{0,1}{\ln 10})=-0,1+\dfrac{0,9}{\ln 10}$
|
||||
|
||||
$S=S_1+S_2=9,9-\dfrac{8,1}{\ln 10}=\dfrac{99}{10}-\dfrac{81}{10\ln 10}$
|
||||
|
||||
## 46 номер – Д 2414
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
Площадь
|
||||
$x=2t-t^{2};y=2t^{2}-t^{3};$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$x=t(2-t);\ y=t^{2}(2-t)$
|
||||
$t=0;\ x=0;\ y=0$
|
||||
$t=2;\ x=0;\ y=0$
|
||||
|
||||
$S=\dfrac12\int\limits_{0}^{2}(x\dfrac{dy}{dt}-y\dfrac{dx}{dt})dt$
|
||||
|
||||
$y=tx$
|
||||
$\dfrac{dy}{dt}=x+t\dfrac{dx}{dt}$
|
||||
$x\dfrac{dy}{dt}-y\dfrac{dx}{dt}=x(x+t\dfrac{dx}{dt})-tx\dfrac{dx}{dt}=x^{2}$
|
||||
|
||||
$S=\dfrac12\int\limits_{0}^{2}x^{2}dt=\dfrac12\int\limits_{0}^{2}(t(2-t))^{2}dt=\dfrac12\int\limits_{0}^{2}(4t^{2}-4t^{3}+t^{4})dt$
|
||||
$S=\dfrac12(\dfrac{4}{3}t^{3}-t^{4}+\dfrac{1}{5}t^{5})\Big|_{0}^{2}=\dfrac12(\dfrac{32}{3}-16+\dfrac{32}{5})=\dfrac12\cdot\dfrac{16}{15}=\dfrac{8}{15}$
|
||||
|
||||
## 48 номер – Д 2418
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
Площадь
|
||||
$r^{2}=a^{2}\cos 2\phi \, (лемниската)$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$r^{2}=a^{2}\cos2\phi$
|
||||
$\cos2\phi\ge0;\ \phi\in[-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{4}] \ \text{(одна петля)}$
|
||||
|
||||
$S_1=\dfrac12\int\limits_{-\pi/4}^{\pi/4}r^{2}d\phi=\dfrac12\int\limits_{-\pi/4}^{\pi/4}a^{2}\cos2\phi\,d\phi$
|
||||
$S_1=\dfrac{a^{2}}{2}\cdot\dfrac12\sin2\phi\Big|_{-\pi/4}^{\pi/4}=\dfrac{a^{2}}{4}(\sin\dfrac{\pi}{2}-\sin(-\dfrac{\pi}{2}))=\dfrac{a^{2}}{4}(1-(-1))=\dfrac{a^{2}}{2}$
|
||||
|
||||
$S=2S_1=a^{2}$
|
||||
|
||||
## 50 номер – Д 2431
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
Длины дуг кривой
|
||||
$y=x^{\frac{3}{2}}; (0 \leq x \leq 4)$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$l=\int\limits_{0}^{4}\sqrt{1+(y')^{2}}\,dx$
|
||||
$y=x^{\frac32};\ y'=\dfrac32x^{\frac12}$
|
||||
$(y')^{2}=\dfrac{9}{4}x$
|
||||
$l=\int\limits_{0}^{4}\sqrt{1+\dfrac{9}{4}x}\,dx=\dfrac12\int\limits_{0}^{4}\sqrt{9x+4}\,dx$
|
||||
|
||||
$u=9x+4;\ du=9dx;\ dx=\dfrac{du}{9}$
|
||||
$x=0;\ u=4$
|
||||
$x=4;\ u=40$
|
||||
|
||||
$l=\dfrac12\int\limits_{4}^{40}\sqrt{u}\cdot\dfrac{du}{9}=\dfrac{1}{18}\int\limits_{4}^{40}u^{\frac12}du=\dfrac{1}{18}\cdot\dfrac{2}{3}u^{\frac32}\Big|_{4}^{40}=\dfrac{1}{27}(40^{\frac32}-4^{\frac32})$
|
||||
$40^{\frac32}=40\sqrt{40}=80\sqrt{10};\ 4^{\frac32}=8$
|
||||
$l=\dfrac{1}{27}(80\sqrt{10}-8)=\dfrac{8}{27}(10\sqrt{10}-1)$
|
||||
|
||||
## 52 номер – Д 2433
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
Длины дуг кривой
|
||||
$y=a\cosh \dfrac{x}{a}; \text{от точки A(0,a) до точки B(b,h)}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$a>0$
|
||||
$l=\int\limits_{0}^{b}\sqrt{1+(y')^{2}}\,dx$
|
||||
$y=a\cosh\dfrac{x}{a}$
|
||||
$y'=a(\cosh\dfrac{x}{a})'=a\cdot\sinh\dfrac{x}{a}\cdot\dfrac{1}{a}=\sinh\dfrac{x}{a}$
|
||||
|
||||
$1+(y')^{2}=1+\sinh^{2}\dfrac{x}{a}=\cosh^{2}\dfrac{x}{a}$
|
||||
$\sqrt{1+(y')^{2}}=\cosh\dfrac{x}{a}$
|
||||
|
||||
$l=\int\limits_{0}^{b}\cosh\dfrac{x}{a}\,dx=a\sinh\dfrac{x}{a}\Big|_{0}^{b}=a\sinh\dfrac{b}{a}$
|
||||
|
||||
$h=y(b)=a\cosh\dfrac{b}{a}$
|
||||
$\sinh\dfrac{b}{a}=\sqrt{\cosh^{2}\dfrac{b}{a}-1}=\sqrt{(\dfrac{h}{a})^{2}-1}=\dfrac{\sqrt{h^{2}-a^{2}}}{a}$
|
||||
$l=a\sinh\dfrac{b}{a}=\sqrt{h^{2}-a^{2}}$
|
||||
|
||||
## 54 номер – Д 2462
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
Объём
|
||||
$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1;z=\dfrac{c}{a}x;z=0;$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$V=\iiint\limits_{(V)}dV=\iint\limits_{D}(z_{\text{верх}}-z_{\text{низ}})\,dS$
|
||||
|
||||
$D:\ \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}\le1$
|
||||
$z_{\text{низ}}=0;\ z_{\text{верх}}=\dfrac{c}{a}x$
|
||||
|
||||
$z_{\text{верх}}\ge z_{\text{низ}};\ \dfrac{c}{a}x\ge0;\ x\ge0$
|
||||
$D_{1}=D\cap\{x\ge0\}$
|
||||
|
||||
$V=\iint\limits_{D_{1}}\dfrac{c}{a}x\,dS=\dfrac{c}{a}\iint\limits_{D_{1}}x\,dS$
|
||||
|
||||
$x=a r\cos t;\ y=b r\sin t;\ 0\le r\le1;\ -\dfrac{\pi}{2}\le t\le\dfrac{\pi}{2}$
|
||||
$dS=ab\,r\,dr\,dt$
|
||||
|
||||
$\iint\limits_{D_{1}}x\,dS=\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int\limits_{0}^{1}(a r\cos t)\,ab\,r\,dr\,dt=a^{2}b\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos t\,dt\int\limits_{0}^{1}r^{2}\,dr$
|
||||
$\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos t\,dt=.\sin t|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=2;\ \int\limits_{0}^{1}r^{2}\,dr=.\dfrac{r^{3}}{3}|_{0}^{1}=\dfrac13$
|
||||
$\iint\limits_{D_{1}}x\,dS=a^{2}b\cdot2\cdot\dfrac13=\dfrac{2a^{2}b}{3}$
|
||||
|
||||
$V=\dfrac{c}{a}\cdot\dfrac{2a^{2}b}{3}=\dfrac{2abc}{3}$
|
||||
|
||||
## 56 номер – Д 2464
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
Объём
|
||||
$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}-\dfrac{z^{2}}{c^{2}}=1;z=\pm c$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$V=\int\limits_{-c}^{c}S(z)\,dz$
|
||||
|
||||
$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}-\dfrac{z^{2}}{c^{2}}=1$
|
||||
$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}$
|
||||
|
||||
$S(z)=\pi\cdot a\sqrt{1+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}}\cdot b\sqrt{1+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}}=\pi ab(1+\dfrac{z^{2}}{c^{2}})$
|
||||
|
||||
$V=\int\limits_{-c}^{c}\pi ab(1+\dfrac{z^{2}}{c^{2}})dz=\pi ab(\int\limits_{-c}^{c}dz+\dfrac{1}{c^{2}}\int\limits_{-c}^{c}z^{2}dz)$
|
||||
$\int\limits_{-c}^{c}dz=2c;\ \int\limits_{-c}^{c}z^{2}dz=.\dfrac{z^{3}}{3}|_{-c}^{c}=\dfrac{2c^{3}}{3}$
|
||||
$V=\pi ab(2c+\dfrac{1}{c^{2}}\cdot\dfrac{2c^{3}}{3})=\pi ab(2c+\dfrac{2c}{3})=\dfrac{8\pi abc}{3}$
|
||||
|
||||
## 58 номер – Д 2666
|
||||
АЦЦЦККИИИИИЙ НОМЕР он ещё и последний
|
||||
и именно поэтому я его делать НЕ БУДУ :D
|
||||
BIN
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/Д-N-up.pdf
Normal file
BIN
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/Д-N-up.pdf
Normal file
Binary file not shown.
BIN
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/Д-N.pdf
Normal file
BIN
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/Д-N.pdf
Normal file
Binary file not shown.
5
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/Заметки.md
Normal file
5
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/Заметки.md
Normal file
@@ -0,0 +1,5 @@
|
||||
#учеба #семестр_1 #высшая_математика
|
||||
|
||||
>Внимание!
|
||||
>В примерах I.37 и I.38 (на комплексные числа) **опечатки**. Там должны быть биквадратные уравнения, со степенями аналогичными предыдущим примерам
|
||||
|
||||
15
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/Оценка.md
Normal file
15
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/Оценка.md
Normal file
@@ -0,0 +1,15 @@
|
||||
#учеба #семестр_1 #высшая_математика
|
||||
|
||||
Привет! Сейчас я пришлю тебе список всех заданий которые я сделал в модуле по домашнему заданию по высшей математике.
|
||||
|
||||
Мне нужна будет оценка от 1-100 всех заданий, без объяснений, просто в один столбец. Чем точнее оценка, тем больше ты мне поможешь.
|
||||
|
||||
ВАЖНО! Оценивай задания относительно всего модуля – лёгкие задания должны служить «отправной точкой» (грубо говоря 1). Чем больше баллов ты ставишь заданию, тем задание сложнее относительно всего содержания модуля.
|
||||
|
||||
Некоторые задания могут не иметь в себе ничего, их оценивай на твёрдый 0 (но естевственно не учитывай его в относительном подсчёте!). Так же визуальные задачи тоже оценивай на твёрдый 0.
|
||||
|
||||
Вот собственно, весь модуль:
|
||||
|
||||
```
|
||||
|
||||
```
|
||||
BIN
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/П-N.pdf
Normal file
BIN
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/П-N.pdf
Normal file
Binary file not shown.
15
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/Проверка.md
Normal file
15
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/Проверка.md
Normal file
@@ -0,0 +1,15 @@
|
||||
#учеба #семестр_1 #высшая_математика
|
||||
|
||||
Привет! Сейчас я пришлю тебе список всех заданий которые я сделал в модуле по домашнему заданию по высшей математике.
|
||||
|
||||
Мне нужна будет оценка: верно я решил задание, или нет. Чем точнее оценка, тем больше ты мне поможешь.
|
||||
|
||||
Мне нужен будет простой сто
|
||||
|
||||
Некоторые задания могут не иметь в себе ничего, их оценивай на НЕТ. Но визуальные задачи тоже оценивай на ДА.
|
||||
|
||||
Вот собственно, весь модуль:
|
||||
|
||||
```
|
||||
|
||||
```
|
||||
218
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/СДЕЛАНО.md
Normal file
218
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/СДЕЛАНО.md
Normal file
@@ -0,0 +1,218 @@
|
||||
## 1 РАЗДЕЛ:
|
||||
#учеба #семестр_1 #высшая_математика
|
||||
|
||||
- [x] 30
|
||||
- [x] 31
|
||||
- [x] 32
|
||||
- [x] 33
|
||||
- [x] 34
|
||||
- [x] 35
|
||||
- [x] 36
|
||||
- [x] 37
|
||||
- [x] 38
|
||||
- [x] 39
|
||||
- [x] 40
|
||||
- [x] 41
|
||||
- [x] 42
|
||||
- [x] 43
|
||||
- [x] 44
|
||||
|
||||
## 2 РАЗДЕЛ:
|
||||
- [x] 4
|
||||
- [x] 8
|
||||
- [x] 9
|
||||
- [x] 13
|
||||
- [x] 14
|
||||
- [x] 18
|
||||
- [x] 22
|
||||
- [x] 23
|
||||
- [x] 27
|
||||
- [x] 28
|
||||
- [x] 32
|
||||
- [x] 36
|
||||
- [x] 37
|
||||
- [x] 41
|
||||
- [x] 42
|
||||
- [x] 46
|
||||
- [x] 50
|
||||
- [x] 51
|
||||
- [x] 55
|
||||
- [x] 56
|
||||
- [x] 60
|
||||
- [x] 65
|
||||
- [x] 69
|
||||
- [x] 70
|
||||
- [x] 74
|
||||
|
||||
## 3 РАЗДЕЛ
|
||||
- [x] 11
|
||||
- [x] 13
|
||||
- [x] 15
|
||||
- [x] 17
|
||||
- [x] 19
|
||||
- [x] 21
|
||||
- [x] 23
|
||||
- [x] 25
|
||||
- [x] 27
|
||||
- [x] 29
|
||||
- [x] 40
|
||||
- [x] 42
|
||||
- [x] 44
|
||||
- [x] 46
|
||||
- [x] 48
|
||||
- [x] 50
|
||||
- [x] 52
|
||||
- [x] 54
|
||||
- [x] 56
|
||||
- [x] 58
|
||||
|
||||
## 4 РАЗДЕЛ
|
||||
- [x] 20
|
||||
- [x] 21
|
||||
- [x] 22
|
||||
- [x] 23
|
||||
- [x] 24
|
||||
- [x] 25
|
||||
- [x] 26
|
||||
- [x] 27
|
||||
- [x] 28
|
||||
- [x] 29
|
||||
|
||||
## 5 РАЗДЕЛ
|
||||
- [x] 3
|
||||
- [x] 7
|
||||
- [x] 11
|
||||
- [x] 15
|
||||
- [x] 19
|
||||
- [x] 22
|
||||
- [x] 23
|
||||
- [x] 26
|
||||
- [x] 27
|
||||
- [x] 30
|
||||
- [x] 34
|
||||
- [x] 38
|
||||
- [x] 42
|
||||
- [x] 46
|
||||
- [x] 50
|
||||
- [x] 53
|
||||
- [x] 54
|
||||
- [x] 57
|
||||
- [x] 58
|
||||
- [x] 61
|
||||
- [x] 65
|
||||
- [x] 69
|
||||
- [x] 73
|
||||
- [x] 77
|
||||
- [x] 80
|
||||
- [x] 81
|
||||
- [x] 84
|
||||
- [x] 85
|
||||
- [x] 88
|
||||
- [x] 89
|
||||
- [x] 92
|
||||
- [x] 96
|
||||
- [x] 100
|
||||
- [x] 104
|
||||
- [x] 108
|
||||
- [x] 111
|
||||
- [x] 112
|
||||
- [x] 115
|
||||
- [x] 116
|
||||
- [x] 119
|
||||
|
||||
## 6 РАЗДЕЛ
|
||||
- [x] 3
|
||||
- [x] 7
|
||||
- [x] 11
|
||||
- [x] 15
|
||||
- [x] 19
|
||||
- [x] 22
|
||||
- [x] 23
|
||||
- [x] 26
|
||||
- [x] 27
|
||||
- [x] 30
|
||||
- [x] 34
|
||||
- [x] 38
|
||||
- [x] 42
|
||||
- [x] 46
|
||||
- [x] 50
|
||||
- [x] 53
|
||||
- [x] 54
|
||||
- [x] 57
|
||||
- [x] 58
|
||||
- [x] 61
|
||||
- [x] 65
|
||||
- [x] 69
|
||||
- [x] 73
|
||||
- [x] 77
|
||||
- [x] 80
|
||||
- [x] 81
|
||||
- [x] 84
|
||||
- [x] 85
|
||||
- [x] 88
|
||||
- [x] 89
|
||||
- [x] 92
|
||||
- [x] 96
|
||||
- [x] 100
|
||||
- [ ] 104 - СЕКРЕТНОЕ
|
||||
- [ ] 105 - ДОП. СЕКРЕТНОЕ
|
||||
- [x] 108
|
||||
- [x] 111
|
||||
- [x] 112
|
||||
- [x] 115
|
||||
- [x] 116
|
||||
- [x] 119
|
||||
|
||||
## 7 РАЗДЕЛ
|
||||
- [x] 60
|
||||
- [x] 61
|
||||
- [x] 62
|
||||
- [x] 63
|
||||
- [x] 64
|
||||
- [x] 65
|
||||
- [x] 66
|
||||
- [x] 67
|
||||
- [x] 68
|
||||
- [x] 69
|
||||
- [ ] 70
|
||||
- [x] 71
|
||||
- [x] 72
|
||||
- [x] 73
|
||||
- [x] 74
|
||||
- [x] 75
|
||||
- [x] 76
|
||||
- [x] 77
|
||||
- [x] 78
|
||||
- [x] 79
|
||||
- [x] 80
|
||||
- [x] 81
|
||||
- [x] 82
|
||||
- [x] 83
|
||||
- [x] 84
|
||||
- [x] 85
|
||||
- [x] 86
|
||||
- [x] 87
|
||||
- [x] 88
|
||||
- [x] 89
|
||||
|
||||
## 8 РАЗДЕЛ
|
||||
- [x] 11
|
||||
- [x] 13
|
||||
- [x] 15
|
||||
- [x] 17
|
||||
- [x] 19
|
||||
- [x] 21
|
||||
- [x] 23
|
||||
- [x] 25
|
||||
- [x] 27
|
||||
- [x] 29
|
||||
- [x] 40
|
||||
- [x] 42
|
||||
- [x] 44
|
||||
- [x] 46
|
||||
- [x] 48
|
||||
- [x] 50
|
||||
- [x] 52
|
||||
- [x] 54
|
||||
- [x] 56
|
||||
- [x] 58
|
||||
528
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/овтеты.md
Normal file
528
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/овтеты.md
Normal file
@@ -0,0 +1,528 @@
|
||||
#учеба #семестр_1 #высшая_математика
|
||||
|
||||
1. Матрицы. Действия с матрицами.
|
||||
Матрица — это прямоугольная таблица чисел. Обычно её записывают как (A=(a_{ij})), где (a_{ij}) — число на пересечении (i)-й строки и (j)-го столбца. Размер матрицы (m\times n): (m) строк и (n) столбцов.
|
||||
|
||||
Сложение/вычитание. Можно только для матриц одинакового размера. Складывают “поэлементно”: ((A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}).
|
||||
Умножение на число (скаляр). ((kA)_{ij}=k\cdot a_{ij}).
|
||||
Транспонирование. (A^T) получают заменой строк на столбцы: ((A^T)_{ij}=a_{ji}).
|
||||
Умножение матриц. Определено, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Если (A) размера (m\times n), (B) размера (n\times p), то (AB) размера (m\times p), и
|
||||
[
|
||||
(AB)_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\dots+a_{in}b_{nj}.
|
||||
]
|
||||
Важно: обычно (AB\neq BA) (непереместительно).
|
||||
|
||||
Пример 1 (сложение).
|
||||
[
|
||||
\begin{pmatrix}1&3\-2&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4&-1\5&2\end{pmatrix}
|
||||
=\begin{pmatrix}1+4&3+(-1)\-2+5&0+2\end{pmatrix}
|
||||
=\begin{pmatrix}5&2\3&2\end{pmatrix}.
|
||||
]
|
||||
Пример 2 (умножение матриц).
|
||||
(A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}), (B=\begin{pmatrix}5\6\end{pmatrix}). Тогда
|
||||
[
|
||||
AB=\begin{pmatrix}1\cdot5+2\cdot6\3\cdot5+4\cdot6\end{pmatrix}
|
||||
=\begin{pmatrix}17\39\end{pmatrix}.
|
||||
]
|
||||
|
||||
Термины (в этом пункте).
|
||||
Матрица — таблица чисел.
|
||||
Элемент матрицы (a_{ij}) — число в (i)-й строке и (j)-м столбце.
|
||||
Размер (m\times n) — (m) строк и (n) столбцов.
|
||||
Поэлементно — отдельно в каждой позиции ((i,j)).
|
||||
Скаляр — просто число, которым умножают матрицу.
|
||||
Транспонирование — операция “строки ↔ столбцы”.
|
||||
Произведение матриц — операция, где элемент результата есть сумма произведений элементов строки на элементы столбца. ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_%28mathematics%29?utm_source=chatgpt.com "Matrix (mathematics)"))
|
||||
|
||||
2. Определитель матрицы, его вычисление и свойства.
|
||||
Определитель (\det A) — число, определённое для квадратной матрицы (n\times n). Он связан с обратимостью: если (\det A\neq 0), то матрица обратима (существует (A^{-1})); если (\det A=0), то обратной матрицы нет. Также (|\det A|) можно понимать как “коэффициент изменения площади/объёма” соответствующего линейного преобразования.
|
||||
|
||||
|
||||
Как вычислять (базовые случаи).
|
||||
Для (2\times2):
|
||||
[
|
||||
\det\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}=ad-bc.
|
||||
]
|
||||
Для (3\times3) часто используют приведение к треугольному виду элементарными преобразованиями строк (это удобно, потому что дальше будет метод Гаусса): у треугольной матрицы (\det) равен произведению диагональных элементов, но надо учитывать, как преобразования меняют (\det).
|
||||
|
||||
Как строковые преобразования влияют на (\det):
|
||||
|
||||
1. Поменять местами две строки → (\det) меняет знак.
|
||||
|
||||
2. Умножить строку на (k) → (\det) умножится на (k).
|
||||
|
||||
3. Прибавить к строке другую строку, умноженную на число → (\det) не меняется.
|
||||
|
||||
|
||||
Пример (через строки).
|
||||
[
|
||||
A=\begin{pmatrix}1&2&3\2&4&7\1&1&1\end{pmatrix}.
|
||||
]
|
||||
Сделаем (R_2\leftarrow R_2-2R_1):
|
||||
[
|
||||
\begin{pmatrix}1&2&3\0&0&1\1&1&1\end{pmatrix}
|
||||
]
|
||||
((\det) не изменился). Потом (R_3\leftarrow R_3-R_1):
|
||||
[
|
||||
\begin{pmatrix}1&2&3\0&0&1\0&-1&-2\end{pmatrix}
|
||||
]
|
||||
((\det) не изменился). Теперь поменяем строки (R_2) и (R_3) местами (одна перестановка → знак “минус”):
|
||||
[
|
||||
\begin{pmatrix}1&2&3\0&-1&-2\0&0&1\end{pmatrix}
|
||||
]
|
||||
Треугольная матрица: произведение диагонали (1\cdot(-1)\cdot1=-1). Но была одна перестановка строк, значит исходный (\det A=+1).
|
||||
|
||||
Ключевые свойства: (\det(AB)=\det A\cdot\det B), (\det(A^T)=\det A). ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Determinant?utm_source=chatgpt.com "Determinant"))
|
||||
|
||||
Термины.
|
||||
Квадратная матрица — одинаковое число строк и столбцов.
|
||||
Определитель (\det A) — число, связанное с “обратимостью” матрицы.
|
||||
Диагональные элементы — элементы (a_{11},a_{22},\dots).
|
||||
Треугольная матрица — ниже (или выше) диагонали стоят нули.
|
||||
Элементарные преобразования строк — три операции из списка 1)–3) выше.
|
||||
Произведение диагонали — перемножение всех диагональных элементов. ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Determinant?utm_source=chatgpt.com "Determinant"))
|
||||
|
||||
3. Обратная матрица, её вычисление и свойства.
|
||||
Обратная матрица (A^{-1}) к квадратной матрице (A) — это такая матрица, что
|
||||
[
|
||||
AA^{-1}=A^{-1}A=I,
|
||||
]
|
||||
где (I) — единичная матрица (на диагонали 1, остальные элементы 0). Обратная существует тогда и только тогда, когда (\det A\neq 0) (матрица “невырожденная”). ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Invertible_matrix?utm_source=chatgpt.com "Invertible matrix"))
|
||||
|
||||
|
||||
Как находить (A^{-1}).
|
||||
Способ A (формула для (2\times2)).
|
||||
Если (A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}) и (ad-bc\neq 0), то
|
||||
[
|
||||
A^{-1}=\frac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\-c&a\end{pmatrix}.
|
||||
]
|
||||
Способ B (Гаусс–Жордан). Приписывают справа единичную матрицу и строковыми преобразованиями превращают левую часть в (I); тогда справа получится (A^{-1}). ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Augmented_matrix?utm_source=chatgpt.com "Augmented matrix"))
|
||||
|
||||
Пример (по формуле (2\times2)).
|
||||
(A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}). (\det A=1\cdot4-2\cdot3=-2\neq 0).
|
||||
[
|
||||
A^{-1}=\frac1{-2}\begin{pmatrix}4&-2\-3&1\end{pmatrix}.
|
||||
]
|
||||
Проверка (коротко): (AA^{-1}=I) (перемножением). Это и есть смысл обратной.
|
||||
|
||||
Свойства: ((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}); ((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T); (\det(A^{-1})=1/\det(A)). ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Invertible_matrix?utm_source=chatgpt.com "Invertible matrix"))
|
||||
|
||||
Термины.
|
||||
Единичная матрица (I) — квадратная матрица с 1 на диагонали и 0 вне диагонали.
|
||||
Невырожденная (обратимая) матрица — матрица, у которой существует обратная; эквивалентно (\det\neq 0).
|
||||
Гаусс–Жордан — доведение матрицы строковыми преобразованиями до (I) (с одновременным преобразованием приписанной части). ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Augmented_matrix?utm_source=chatgpt.com "Augmented matrix"))
|
||||
|
||||
4. Ранг матрицы, его вычисление и свойства.
|
||||
Ранг матрицы (\mathrm{rank}(A)) — это максимальное число линейно независимых строк (то же самое, что максимальное число линейно независимых столбцов). Практически ранг чаще всего находят так: приводят матрицу к ступенчатому виду строковыми преобразованиями и считают число “опорных” строк (ненулевых строк), или число “пивотов” (ведущих элементов). ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Rank_%28linear_algebra%29?utm_source=chatgpt.com "Rank (linear algebra)"))
|
||||
|
||||
|
||||
Как вычислять (алгоритм).
|
||||
|
||||
1. Записать матрицу.
|
||||
|
||||
2. Привести к ступенчатому виду (как в методе Гаусса): сделать нули под ведущими элементами.
|
||||
|
||||
3. Посчитать количество ненулевых строк в получившейся ступенчатой матрице — это ранг.
|
||||
|
||||
|
||||
Пример.
|
||||
[
|
||||
A=\begin{pmatrix}1&2&1\2&4&2\0&1&3\end{pmatrix}.
|
||||
]
|
||||
Сделаем (R_2\leftarrow R_2-2R_1):
|
||||
[
|
||||
\begin{pmatrix}1&2&1\0&0&0\0&1&3\end{pmatrix}.
|
||||
]
|
||||
Переставим строки (R_2) и (R_3) местами:
|
||||
[
|
||||
\begin{pmatrix}1&2&1\0&1&3\0&0&0\end{pmatrix}.
|
||||
]
|
||||
Ненулевых строк 2, значит (\mathrm{rank}(A)=2).
|
||||
|
||||
Свойства: (\mathrm{rank}(A)\le \min(m,n)); (\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A^T)); для квадратной (n\times n): если (\det A\neq 0), то (\mathrm{rank}(A)=n). ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Rank_%28linear_algebra%29?utm_source=chatgpt.com "Rank (linear algebra)"))
|
||||
|
||||
Термины.
|
||||
Линейно независимые строки/столбцы — никакая строка (столбец) не выражается как линейная комбинация других.
|
||||
Ступенчатый вид (row echelon form) — форма, где ведущие элементы “спускаются вправо”, а ниже каждого ведущего элемента стоят нули.
|
||||
Ведущий элемент (pivot) — первый ненулевой элемент строки в ступенчатом виде. ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Rank_%28linear_algebra%29?utm_source=chatgpt.com "Rank (linear algebra)"))
|
||||
|
||||
5. СЛАУ. Решение с помощью обратной матрицы.
|
||||
Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) — это несколько линейных уравнений относительно нескольких неизвестных, например:
|
||||
[
|
||||
\begin{cases}
|
||||
a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1\
|
||||
a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2
|
||||
\end{cases}
|
||||
]
|
||||
Её удобно записывать матрично: (Ax=b), где (A) — матрица коэффициентов, (x) — столбец неизвестных, (b) — столбец правых частей.
|
||||
|
||||
|
||||
Если матрица (A) обратима ((\det A\neq 0)), то решение единственно и находится по формуле
|
||||
[
|
||||
x=A^{-1}b.
|
||||
]
|
||||
Идея простая: умножаем (Ax=b) слева на (A^{-1}): (A^{-1}Ax=A^{-1}b\Rightarrow Ix=A^{-1}b\Rightarrow x=A^{-1}b). ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Invertible_matrix?utm_source=chatgpt.com "Invertible matrix"))
|
||||
|
||||
Пример.
|
||||
[
|
||||
\begin{cases}
|
||||
x+2y=5\
|
||||
3x+4y=11
|
||||
\end{cases}
|
||||
\Rightarrow
|
||||
A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix},\
|
||||
x=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix},\
|
||||
b=\begin{pmatrix}5\11\end{pmatrix}.
|
||||
]
|
||||
Из пункта 3:
|
||||
[
|
||||
A^{-1}=\frac1{-2}\begin{pmatrix}4&-2\-3&1\end{pmatrix}.
|
||||
]
|
||||
Тогда
|
||||
[
|
||||
x=A^{-1}b=\frac1{-2}
|
||||
\begin{pmatrix}4\cdot5-2\cdot11\-3\cdot5+1\cdot11\end{pmatrix}
|
||||
=\frac1{-2}\begin{pmatrix}-2\-4\end{pmatrix}
|
||||
=\begin{pmatrix}1\2\end{pmatrix}.
|
||||
]
|
||||
|
||||
Термины.
|
||||
Линейное уравнение — уравнение, где неизвестные входят только в первой степени и не перемножаются друг с другом.
|
||||
СЛАУ — набор линейных уравнений с общими неизвестными.
|
||||
Матрица коэффициентов (A) — матрица чисел при неизвестных.
|
||||
Вектор неизвестных (x) — столбец ((x_1,\dots,x_n)^T).
|
||||
Вектор правых частей (b) — столбец чисел справа от “=”.
|
||||
Единственное решение — ровно один набор значений неизвестных. ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Invertible_matrix?utm_source=chatgpt.com "Invertible matrix"))
|
||||
|
||||
6. СЛАУ. Решение методом Крамера.
|
||||
Метод Крамера применим только к квадратной системе: число уравнений = числу неизвестных (n), то есть (A) — (n\times n). Если (\det A\neq 0), то решение единственно и задаётся формулами:
|
||||
[
|
||||
x_i=\frac{\det A_i}{\det A},
|
||||
]
|
||||
где (A_i) — матрица, полученная из (A) заменой (i)-го столбца на столбец (b). ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Cramer%27s_rule?utm_source=chatgpt.com "Cramer's rule"))
|
||||
|
||||
|
||||
Пример (тот же). (\det A=-2).
|
||||
Для (x) заменяем 1-й столбец на (b):
|
||||
[
|
||||
A_1=\begin{pmatrix}5&2\11&4\end{pmatrix},\quad \det A_1=5\cdot4-2\cdot11=-2,\quad x=\frac{-2}{-2}=1.
|
||||
]
|
||||
Для (y) заменяем 2-й столбец на (b):
|
||||
[
|
||||
A_2=\begin{pmatrix}1&5\3&11\end{pmatrix},\quad \det A_2=1\cdot11-5\cdot3=-4,\quad y=\frac{-4}{-2}=2.
|
||||
]
|
||||
|
||||
Термины.
|
||||
Метод Крамера — формулы решения через определители.
|
||||
Квадратная система — одинаковое число уравнений и неизвестных.
|
||||
Матрица (A_i) — матрица (A) с заменой (i)-го столбца на (b). ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Cramer%27s_rule?utm_source=chatgpt.com "Cramer's rule"))
|
||||
|
||||
7. СЛАУ. Теорема Кронекера–Капелли.
|
||||
Теорема Кронекера–Капелли (часто также Руше–Капелли) даёт критерий существования решений системы (Ax=b) через ранги.
|
||||
|
||||
|
||||
Строят расширенную (присоединённую) матрицу ((A|b)): это матрица (A), к которой справа приписали столбец (b).
|
||||
Тогда:
|
||||
• система совместна (есть хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда (\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A|b));
|
||||
• если эти ранги равны и равны числу неизвестных (n), то решение единственно;
|
||||
• если ранги равны, но меньше (n), решений бесконечно много (есть свободные переменные);
|
||||
• если (\mathrm{rank}(A|b)>\mathrm{rank}(A)), решений нет. ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Rouch%C3%A9%E2%80%93Capelli_theorem?utm_source=chatgpt.com "Rouché–Capelli theorem"))
|
||||
|
||||
Пример 1 (нет решений).
|
||||
[
|
||||
\begin{cases}
|
||||
x+y=1\
|
||||
2x+2y=3
|
||||
\end{cases}
|
||||
\Rightarrow
|
||||
(A|b)=\left(\begin{array}{cc|c}1&1&1\2&2&3\end{array}\right).
|
||||
]
|
||||
Приводим: (R_2\leftarrow R_2-2R_1\Rightarrow (0,0|1)). Это означает противоречие (0=1), значит (\mathrm{rank}(A|b)>\mathrm{rank}(A)) и решений нет. ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Rouch%C3%A9%E2%80%93Capelli_theorem?utm_source=chatgpt.com "Rouché–Capelli theorem"))
|
||||
|
||||
Пример 2 (бесконечно много решений).
|
||||
[
|
||||
\begin{cases}
|
||||
x+y=1\
|
||||
2x+2y=2
|
||||
\end{cases}
|
||||
\Rightarrow R_2\leftarrow R_2-2R_1\Rightarrow (0,0|0).
|
||||
]
|
||||
Ранги равны и меньше числа неизвестных (2), значит решений бесконечно много.
|
||||
|
||||
Термины.
|
||||
Теорема Кронекера–Капелли — критерий совместности по рангам (A) и ((A|b)).
|
||||
Расширенная матрица ((A|b)) — матрица коэффициентов с приписанным столбцом правых частей.
|
||||
Совместна — имеет хотя бы одно решение.
|
||||
Свободная переменная — неизвестная, которой можно задавать значения (появляется при ранге меньше числа неизвестных). ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Rouch%C3%A9%E2%80%93Capelli_theorem?utm_source=chatgpt.com "Rouché–Capelli theorem"))
|
||||
|
||||
8. СЛАУ. Решение методом Гаусса.
|
||||
Метод Гаусса — это решение системы через преобразования строк расширенной матрицы до ступенчатого вида.
|
||||
|
||||
|
||||
Шаги:
|
||||
|
||||
1. Составить расширенную матрицу ((A|b)).
|
||||
|
||||
2. Прямой ход: элементарными преобразованиями строк сделать нули под ведущими элементами (получить ступенчатый вид).
|
||||
|
||||
3. Обратный ход (обратная подстановка): начиная с последнего уравнения, находить неизвестные. ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_elimination?utm_source=chatgpt.com "Gaussian elimination"))
|
||||
|
||||
|
||||
Пример (3 неизвестных).
|
||||
[
|
||||
\begin{cases}
|
||||
x+y+z=6\
|
||||
2x+y+3z=13\
|
||||
x- y+2z=7
|
||||
\end{cases}
|
||||
\Rightarrow
|
||||
\left(\begin{array}{ccc|c}
|
||||
1&1&1&6\
|
||||
2&1&3&13\
|
||||
1&-1&2&7
|
||||
\end{array}\right)
|
||||
]
|
||||
Прямой ход:
|
||||
(R_2\leftarrow R_2-2R_1\Rightarrow (0,-1,1|1))
|
||||
(R_3\leftarrow R_3-R_1\Rightarrow (0,-2,1|1))
|
||||
Теперь уберём (-2) под (-1): (R_3\leftarrow R_3-2R_2\Rightarrow (0,0,-1|-1))
|
||||
|
||||
Получили:
|
||||
[
|
||||
\left(\begin{array}{ccc|c}
|
||||
1&1&1&6\
|
||||
0&-1&1&1\
|
||||
0&0&-1&-1
|
||||
\end{array}\right)
|
||||
]
|
||||
Обратный ход:
|
||||
Из 3-й строки: (-z=-1\Rightarrow z=1).
|
||||
Из 2-й: (-y+z=1\Rightarrow -y+1=1\Rightarrow y=0).
|
||||
Из 1-й: (x+y+z=6\Rightarrow x+0+1=6\Rightarrow x=5).
|
||||
|
||||
Термины.
|
||||
Метод Гаусса — приведение системы к ступенчатому виду и обратная подстановка.
|
||||
Прямой ход — шаги обнуления элементов “под диагональю”.
|
||||
Обратная подстановка — нахождение неизвестных снизу вверх.
|
||||
Ступенчатый вид — форма, где ниже ведущих элементов стоят нули. ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_elimination?utm_source=chatgpt.com "Gaussian elimination"))
|
||||
|
||||
9. Векторы в трёхмерном пространстве. Основные понятия. Орты.
|
||||
Вектор в 3D — направленный отрезок; в координатах его записывают как (\mathbf a=(a_x,a_y,a_z)).
|
||||
Длина (модуль) вектора:
|
||||
[
|
||||
|\mathbf a|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}.
|
||||
]
|
||||
Нулевой вектор (\mathbf 0=(0,0,0)) имеет длину 0 и не задаёт направления.
|
||||
Единичный вектор (орт) — вектор длины 1. Самые важные — стандартные орты (базисные):
|
||||
[
|
||||
\mathbf i=(1,0,0),\quad \mathbf j=(0,1,0),\quad \mathbf k=(0,0,1).
|
||||
]
|
||||
Любой вектор можно разложить по ним:
|
||||
[
|
||||
\mathbf a=a_x\mathbf i+a_y\mathbf j+a_z\mathbf k.
|
||||
]
|
||||
|
||||
|
||||
Пример 1. (\mathbf a=(2,-1,3)=2\mathbf i-1\mathbf j+3\mathbf k).
|
||||
Пример 2 (получить орт по направлению (\mathbf a)).
|
||||
(|\mathbf a|=\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2}=\sqrt{14}).
|
||||
Единичный вектор того же направления:
|
||||
[
|
||||
\hat{\mathbf a}=\frac{\mathbf a}{|\mathbf a|}=\left(\frac{2}{\sqrt{14}},\frac{-1}{\sqrt{14}},\frac{3}{\sqrt{14}}\right).
|
||||
]
|
||||
|
||||
Термины.
|
||||
Вектор — объект с направлением и длиной.
|
||||
Координаты вектора — числа ((a_x,a_y,a_z)) в выбранных осях.
|
||||
Модуль (длина) (|\mathbf a|) — длина вектора.
|
||||
Нулевой вектор (\mathbf 0) — вектор с координатами (0,0,0).
|
||||
Единичный вектор (орт) — вектор длины 1.
|
||||
Базисные орты (\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k) — стандартные единичные векторы вдоль осей. ([Math Insight](https://mathinsight.org/dot_product_formula_components?utm_source=chatgpt.com "The formula for the dot product in terms of vector components"))
|
||||
|
||||
10. Линейные операции с векторами.
|
||||
Две базовые линейные операции: сложение и умножение на число.
|
||||
|
||||
|
||||
Сложение: (\mathbf a+\mathbf b=(a_x+b_x,\ a_y+b_y,\ a_z+b_z)). Геометрически: правило параллелограмма или “конец к началу”.
|
||||
Умножение на число: (\lambda\mathbf a=(\lambda a_x,\lambda a_y,\lambda a_z)). Геометрически: длина умножается на (|\lambda|), а направление меняется на противоположное, если (\lambda<0).
|
||||
|
||||
Линейная комбинация — выражение вида (\lambda_1\mathbf a_1+\dots+\lambda_k\mathbf a_k). Это важно для темы ранга и СЛАУ (независимость, выражаемость).
|
||||
|
||||
Пример 1. (\mathbf a=(1,2,0)), (\mathbf b=(3,-1,5)).
|
||||
(\mathbf a+\mathbf b=(4,1,5)).
|
||||
Пример 2. (\lambda=-2): (-2\mathbf a=(-2,-4,0)).
|
||||
Пример 3 (линейная комбинация). (2\mathbf a-\mathbf b=2(1,2,0)-(3,-1,5)=(-1,5,-5)).
|
||||
|
||||
Термины.
|
||||
Линейные операции — операции “сложение” и “умножение на число”, сохраняющие линейную структуру.
|
||||
Линейная комбинация — сумма векторов с числовыми коэффициентами.
|
||||
Геометрическое правило параллелограмма — способ сложения векторов как диагональ параллелограмма. ([Math Insight](https://mathinsight.org/dot_product_formula_components?utm_source=chatgpt.com "The formula for the dot product in terms of vector components"))
|
||||
|
||||
11. Проекция вектора на ось и её свойства. Координаты вектора.
|
||||
Пусть есть ось (направление), заданная единичным вектором (\mathbf e) (то есть (|\mathbf e|=1)). Тогда:
|
||||
|
||||
|
||||
Скалярная проекция (\mathbf a) на ось:
|
||||
[
|
||||
\mathrm{comp}_{\mathbf e}\mathbf a=\mathbf a\cdot\mathbf e.
|
||||
]
|
||||
Это число: “сколько (\mathbf a) направлено вдоль оси” (со знаком).
|
||||
Векторная проекция:
|
||||
[
|
||||
\mathrm{proj}_{\mathbf e}\mathbf a=(\mathbf a\cdot\mathbf e)\mathbf e.
|
||||
]
|
||||
Это уже вектор, лежащий на этой оси.
|
||||
|
||||
Координаты вектора (\mathbf a=(a_x,a_y,a_z)) в стандартных осях можно понимать как скалярные проекции на оси (Ox,Oy,Oz), если берём (\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k):
|
||||
(a_x=\mathbf a\cdot\mathbf i), (a_y=\mathbf a\cdot\mathbf j), (a_z=\mathbf a\cdot\mathbf k). ([Math Insight](https://mathinsight.org/dot_product_formula_components?utm_source=chatgpt.com "The formula for the dot product in terms of vector components"))
|
||||
|
||||
Пример 1 (на ось (Ox)). (\mathbf a=(2,3,0)), (\mathbf e=\mathbf i=(1,0,0)).
|
||||
Скалярная проекция: (\mathbf a\cdot\mathbf i=2).
|
||||
Векторная: (2\mathbf i=(2,0,0)).
|
||||
Пример 2 (на наклонное направление). (\mathbf e=\frac1{\sqrt2}(1,1,0)) — единичный. Тогда
|
||||
(\mathbf a\cdot\mathbf e=\frac{2+3}{\sqrt2}=\frac5{\sqrt2}),
|
||||
(\mathrm{proj}_{\mathbf e}\mathbf a=\frac5{\sqrt2}\cdot\frac1{\sqrt2}(1,1,0)=\frac52(1,1,0)).
|
||||
|
||||
Термины.
|
||||
Ось (направление) — фиксированное направление в пространстве.
|
||||
Единичный вектор (\mathbf e) — вектор длины 1, задающий направление оси.
|
||||
Скалярная проекция — число (\mathbf a\cdot\mathbf e).
|
||||
Векторная проекция — вектор ((\mathbf a\cdot\mathbf e)\mathbf e).
|
||||
Координаты вектора — его компоненты ((a_x,a_y,a_z)) в выбранном базисе. ([Math Insight](https://mathinsight.org/dot_product_formula_components?utm_source=chatgpt.com "The formula for the dot product in terms of vector components"))
|
||||
|
||||
12. Скалярное произведение векторов и его свойства.
|
||||
Скалярное произведение (dot product) двух векторов (\mathbf a,\mathbf b) — это число:
|
||||
[
|
||||
\mathbf a\cdot\mathbf b=|\mathbf a|,|\mathbf b|\cos\varphi,
|
||||
]
|
||||
где (\varphi) — угол между векторами. В координатах:
|
||||
[
|
||||
(a_x,a_y,a_z)\cdot(b_x,b_y,b_z)=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z.
|
||||
]
|
||||
Основные свойства:
|
||||
• коммутативность: (\mathbf a\cdot\mathbf b=\mathbf b\cdot\mathbf a);
|
||||
• линейность: ((\mathbf a+\mathbf b)\cdot\mathbf c=\mathbf a\cdot\mathbf c+\mathbf b\cdot\mathbf c);
|
||||
• (\mathbf a\cdot\mathbf a=|\mathbf a|^2);
|
||||
• перпендикулярность: (\mathbf a\perp\mathbf b\iff \mathbf a\cdot\mathbf b=0). ([Math Insight](https://mathinsight.org/dot_product_formula_components?utm_source=chatgpt.com "The formula for the dot product in terms of vector components"))
|
||||
|
||||
|
||||
Пример 1. (\mathbf a=(1,3,-5)), (\mathbf b=(4,-2,-1)).
|
||||
(\mathbf a\cdot\mathbf b=1\cdot4+3\cdot(-2)+(-5)\cdot(-1)=4-6+5=3).
|
||||
Пример 2 (найти угол). Пусть (\mathbf a=(1,0,0)), (\mathbf b=(1,1,0)).
|
||||
(\mathbf a\cdot\mathbf b=1). (|\mathbf a|=1), (|\mathbf b|=\sqrt2).
|
||||
(\cos\varphi=\dfrac{1}{1\cdot\sqrt2}=\dfrac1{\sqrt2}\Rightarrow \varphi=45^\circ).
|
||||
|
||||
Термины.
|
||||
Скалярное произведение — операция, результатом которой является число.
|
||||
Угол между векторами (\varphi) — угол между их направлениями (берут от 0 до (\pi)).
|
||||
Перпендикулярность (\perp) — угол (90^\circ), эквивалентно нулевому скалярному произведению.
|
||||
Линейность — свойство “раскрывать скобки” и выносить числа. ([Math Insight](https://mathinsight.org/dot_product_formula_components?utm_source=chatgpt.com "The formula for the dot product in terms of vector components"))
|
||||
|
||||
13. Векторное произведение векторов и его свойства.
|
||||
Векторное произведение (cross product) (\mathbf a\times\mathbf b) определено в 3D. Результат — вектор, который:
|
||||
• перпендикулярен и (\mathbf a), и (\mathbf b);
|
||||
• имеет длину (|\mathbf a\times\mathbf b|=|\mathbf a|,|\mathbf b|\sin\varphi);
|
||||
• направлен по правилу правой руки. Геометрический смысл длины: площадь параллелограмма на (\mathbf a) и (\mathbf b). ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product?utm_source=chatgpt.com "Cross product"))
|
||||
|
||||
|
||||
В координатах:
|
||||
[
|
||||
\mathbf a\times\mathbf b=
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
a_yb_z-a_zb_y\
|
||||
a_zb_x-a_xb_z\
|
||||
a_xb_y-a_yb_x
|
||||
\end{pmatrix}.
|
||||
]
|
||||
Свойства:
|
||||
• антикоммутативность: (\mathbf a\times\mathbf b=-(\mathbf b\times\mathbf a));
|
||||
• дистрибутивность: (\mathbf a\times(\mathbf b+\mathbf c)=\mathbf a\times\mathbf b+\mathbf a\times\mathbf c);
|
||||
• (\mathbf a\times\mathbf a=\mathbf 0). ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product?utm_source=chatgpt.com "Cross product"))
|
||||
|
||||
Пример 1. (\mathbf i\times\mathbf j=\mathbf k), а (\mathbf j\times\mathbf i=-\mathbf k).
|
||||
Пример 2. (\mathbf a=(1,0,0)), (\mathbf b=(0,2,0)). Тогда
|
||||
(\mathbf a\times\mathbf b=(0,0,1\cdot2-0\cdot0)=(0,0,2)). Площадь параллелограмма равна 2.
|
||||
|
||||
Термины.
|
||||
Векторное произведение — операция двух 3D-векторов, результатом которой является вектор.
|
||||
Правило правой руки — способ определить направление (\mathbf a\times\mathbf b).
|
||||
Антикоммутативность — при перестановке множителей знак меняется.
|
||||
Дистрибутивность — “умножение” на сумму раскрывается в сумму. ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product?utm_source=chatgpt.com "Cross product"))
|
||||
|
||||
14. Смешанное произведение 3-х векторов и его свойства.
|
||||
Смешанное (скалярное тройное) произведение трёх векторов:
|
||||
[
|
||||
[\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c]=\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c).
|
||||
]
|
||||
Это число. Оно равно определителю матрицы, составленной из координат векторов:
|
||||
[
|
||||
\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)=
|
||||
\det\begin{pmatrix}
|
||||
a_x&a_y&a_z\
|
||||
b_x&b_y&b_z\
|
||||
c_x&c_y&c_z
|
||||
\end{pmatrix}.
|
||||
]
|
||||
Геометрический смысл: ориентированный объём параллелепипеда на (\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c); обычный объём равен модулю:
|
||||
[
|
||||
V=\left|\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)\right|.
|
||||
]
|
||||
Свойства: циклическая перестановка не меняет значение, перестановка двух векторов меняет знак; если значение 0, то векторы компланарны (лежат в одной плоскости). ([Math Insight](https://mathinsight.org/scalar_triple_product?utm_source=chatgpt.com "The scalar triple product"))
|
||||
|
||||
|
||||
Пример 1. ([\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k]=1) (объём единичного куба).
|
||||
Пример 2 (проверка компланарности). Если (\mathbf c=\mathbf a+\mathbf b), то
|
||||
([\mathbf a,\mathbf b,\mathbf a+\mathbf b]=[\mathbf a,\mathbf b,\mathbf a]+[\mathbf a,\mathbf b,\mathbf b]=0+0=0), значит (\mathbf a,\mathbf b,\mathbf a+\mathbf b) лежат в одной плоскости.
|
||||
|
||||
Термины.
|
||||
Смешанное произведение — число (\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)).
|
||||
Ориентированный объём — объём со знаком (может быть отрицательным).
|
||||
Параллелепипед — “коробка”, построенная на трёх ребрах-векторах.
|
||||
Компланарны — лежат в одной плоскости. ([Math Insight](https://mathinsight.org/scalar_triple_product?utm_source=chatgpt.com "The scalar triple product"))
|
||||
|
||||
15. Плоскость. Различные виды уравнений плоскости.
|
||||
Плоскость в 3D можно задавать разными эквивалентными уравнениями.
|
||||
|
||||
|
||||
(а) Общее (линейное) уравнение плоскости:
|
||||
[
|
||||
Ax+By+Cz+D=0.
|
||||
]
|
||||
Вектор (\mathbf n=(A,B,C)) перпендикулярен плоскости и называется нормальным. ([Mathematics LibreTexts](https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/CLP-3_Multivariable_Calculus_%28Feldman_Rechnitzer_and_Yeager%29/01%3A_Vectors_and_Geometry_in_Two_and_Three_Dimensions/1.04%3A_Equations_of_Planes_in_3d?utm_source=chatgpt.com "1.4: Equations of Planes in 3d"))
|
||||
|
||||
(б) Точка–нормаль (point–normal form). Если плоскость проходит через точку (P_0(x_0,y_0,z_0)) и имеет нормаль (\mathbf n=(A,B,C)), то:
|
||||
[
|
||||
A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.
|
||||
]
|
||||
Раскрывая скобки, получают общий вид. ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_planes_in_three-dimensional_space?utm_source=chatgpt.com "Euclidean planes in three-dimensional space"))
|
||||
|
||||
(в) Параметрическое задание. Если известна точка (\mathbf r_0) на плоскости и два неколлинеарных направляющих вектора (\mathbf v,\mathbf w), лежащих в плоскости, то любая точка плоскости:
|
||||
[
|
||||
\mathbf r=\mathbf r_0+s\mathbf v+t\mathbf w.
|
||||
]
|
||||
([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_planes_in_three-dimensional_space?utm_source=chatgpt.com "Euclidean planes in three-dimensional space"))
|
||||
|
||||
Пример 1 (по точке и нормали).
|
||||
Точка (P_0(1,0,0)), нормаль (\mathbf n=(2,-1,3)). Тогда
|
||||
[
|
||||
2(x-1)-1(y-0)+3(z-0)=0 \Rightarrow 2x-y+3z-2=0.
|
||||
]
|
||||
|
||||
Пример 2 (по трём точкам).
|
||||
Пусть (A(1,0,0)), (B(0,1,0)), (C(0,0,1)).
|
||||
Векторы в плоскости: (\overrightarrow{AB}=(-1,1,0)), (\overrightarrow{AC}=(-1,0,1)).
|
||||
Нормаль (\mathbf n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}). Считаем:
|
||||
[
|
||||
(-1,1,0)\times(-1,0,1)=(1,1,1).
|
||||
]
|
||||
Уравнение через точку (A(1,0,0)):
|
||||
[
|
||||
1(x-1)+1(y-0)+1(z-0)=0\Rightarrow x+y+z-1=0.
|
||||
]
|
||||
|
||||
Термины.
|
||||
Плоскость — множество точек, образующее “ровную” 2D-поверхность в 3D.
|
||||
Нормальный вектор (нормаль) (\mathbf n) — вектор, перпендикулярный плоскости.
|
||||
Точка–нормаль форма — задание плоскости через точку на ней и нормаль.
|
||||
Параметрическое уравнение — задание множества точек через параметры (s,t).
|
||||
Неколлинеарные векторы — не лежат на одной прямой (не являются кратными). ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_planes_in_three-dimensional_space?utm_source=chatgpt.com "Euclidean planes in three-dimensional space"))
|
||||
68
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/пример.md
Normal file
68
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/пример.md
Normal file
@@ -0,0 +1,68 @@
|
||||
#учеба #семестр_1 #высшая_математика
|
||||
|
||||
1. $y=5x^{4}$
|
||||
$y'=20x^{3}$
|
||||
2. $y=\sqrt{ x }$
|
||||
$y'=\dfrac{1}{2\sqrt{ x }}$
|
||||
3. $y=\dfrac{1}{x^{3}}$
|
||||
$y'=-3 \dfrac{1}{x^{4}}$
|
||||
4. $y=3x^{2}-7x+1$
|
||||
$y'=6x-7$
|
||||
5. $y=(x-2)^{5}$
|
||||
$a=(x-2)^{5}$
|
||||
$a'=5(x-2)^{4}$
|
||||
$b=x-2$
|
||||
$b'=1$
|
||||
$y'=a'b\cdot b'=5(x-2)^{4}$
|
||||
|
||||
6. $y=x^{2}\sin x$
|
||||
$y'=ab'+a'b$
|
||||
$a=x^{2}$
|
||||
$a'=2x$
|
||||
$b=\sin x$
|
||||
$b'=\cos x$
|
||||
$y'=x^{2}\cos x+2x\sin x$
|
||||
7. $y=(x+1)e^{ x }$
|
||||
$y'=ab'+a'b$
|
||||
$a=(x+1)$
|
||||
$a'=1$
|
||||
$b=b'=e^{ x }$
|
||||
$y'=e^{ x }+(x+1)e^{ x }=e^{ x }(x+2)$
|
||||
8. $y=\dfrac{x^{2}+1}{x-1}$
|
||||
$y'=\dfrac{a'b-ab'}{b^{2}}$
|
||||
$a=x^{2}+1$
|
||||
$a'=2x$
|
||||
$b=x-1$
|
||||
$b'=1$
|
||||
$y'=\dfrac{2x(x-1)-(x^{2}+1)}{(x-1)^{2}}$
|
||||
9. $y=\dfrac{\ln x}{x}$
|
||||
$y'=\dfrac{a'b-ab'}{b^{2}}$
|
||||
$a=\ln x$
|
||||
$a'=\dfrac{1}{x}$
|
||||
$b=x$
|
||||
$b'=1$
|
||||
$y'=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}$
|
||||
|
||||
10. $y=\sin(3x)$
|
||||
$y'=3\cos(3x)$
|
||||
11. $y=\cos(x^{2})$
|
||||
$y'=-2x\sin(x^{2})$
|
||||
12. $y=e^{ 2x-1 }$
|
||||
$y'=2e^{ 2x-1 }$
|
||||
13. $y=\ln(5x+2)$
|
||||
$y'=\dfrac{5}{5x+2}$
|
||||
14. $y=\sqrt{ 1-x^{2} }$
|
||||
$y'=-\dfrac{1}{\sqrt{ 1-x^{2} }}$
|
||||
|
||||
15. $y=\dfrac{x}{(1-x)^{2}(1+x)^{3}}$
|
||||
$y'=\dfrac{a'b-ab'}{b^{2}}$
|
||||
$a=x$
|
||||
$a'=1$
|
||||
$b=(1-x)^{2}(1+x)^{3}$
|
||||
$b'=mn'+m'n$
|
||||
$m=(1-x)^{2}$
|
||||
$m'=-2(1-x)$
|
||||
$n=(1+x)^{3}$
|
||||
$n'=3(1+x)^{2}$
|
||||
$b'=(1-x)^{2}\cdot3(1+x)^{2}-2(1-x)\cdot(1+x)^{3}=(1-x)(1+x)^{2}(3(1-x)-2(1+x))$
|
||||
$y'=\dfrac{(1-x)^{2}(1+x)^{3}-x((1-x)(1+x)^{2}(3(1-x)-2(1+x)))}{((1-x)^{2}(1+x)^{3})^{2}}$
|
||||
70
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/экзамены.md
Normal file
70
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/экзамены.md
Normal file
@@ -0,0 +1,70 @@
|
||||
#учеба #семестр_1 #высшая_математика
|
||||
|
||||
- [ ] 1 ОТВЕТИТЬ ЗАНОВО
|
||||
- [x] 2
|
||||
- [ ] 3 ОТВЕТИТЬ ЗАНОВО
|
||||
- [ ] 4
|
||||
- [ ] 5
|
||||
- [x] 6
|
||||
- [ ] 7 ОТВЕТИТЬ ЗАНОВО
|
||||
- [x] 8
|
||||
- [ ] 9
|
||||
- [ ] 10
|
||||
- [ ] 11
|
||||
- [x] 12
|
||||
- [ ] 13
|
||||
- [ ] 14
|
||||
- [x] 15
|
||||
- [ ] 16
|
||||
- [ ] 17
|
||||
- [ ] 18
|
||||
- [ ] 19
|
||||
- [ ] 20
|
||||
- [ ] 21
|
||||
- [ ] 22
|
||||
- [ ] 23
|
||||
- [ ] 24
|
||||
- [ ] 25
|
||||
- [x] 26
|
||||
- [ ] 27
|
||||
- [ ] 28
|
||||
- [ ] 29
|
||||
- [x] 30
|
||||
- [x] 31
|
||||
- [ ] 32
|
||||
- [ ] 33
|
||||
- [x] 34
|
||||
- [ ] 35
|
||||
- [ ] 36
|
||||
- [ ] 37
|
||||
- [x] 38
|
||||
- [x] 39
|
||||
- [ ] 40
|
||||
- [ ] 41
|
||||
- [ ] 42
|
||||
- [ ] 43
|
||||
- [ ] 44
|
||||
- [ ] 45
|
||||
- [ ] 46
|
||||
- [ ] 47
|
||||
- [ ] 48
|
||||
- [ ] 49
|
||||
- [ ] 50
|
||||
- [ ] 51 ОТВЕТИТЬ ПОЗЖЕ
|
||||
- [ ] 52 ОТВЕТИТЬ ПОЗЖЕ
|
||||
- [ ] 53
|
||||
- [ ] 54
|
||||
- [ ] 55
|
||||
- [ ] 56
|
||||
- [ ] 57
|
||||
- [ ] 58
|
||||
- [ ] 59
|
||||
- [ ] 60
|
||||
- [ ] 61
|
||||
- [ ] 62
|
||||
- [x] 63
|
||||
- [ ] 64
|
||||
- [ ] 65
|
||||
- [ ] 66
|
||||
- [ ] 67
|
||||
- [ ] 68
|
||||
@@ -0,0 +1,78 @@
|
||||
ч#Лекция #ВысшаяМатематика
|
||||
# Лекция 1. Введение
|
||||
#учеба #семестр_1 #высшая_математика
|
||||
|
||||
1. Комплексные числа
|
||||
2. Теория матриц
|
||||
3. Решение линейных алгебраических систем
|
||||
4. Аналитическая геометрия (векторы в трехмерном пространстве, плоскости и прямые в трехмерном пространстве)
|
||||
5. Математический анализ
|
||||
## Множества чисел
|
||||
$N$ - натуральные числа (${1; 2; 3; 4; \dots}$)
|
||||
$Z$ - множество целых чисел (${\dots; -2; -1; 0; 1; 2; \dots}$)
|
||||
$Z_{+}$ - множество неотрицательных чисел
|
||||
$Z_{-}$ - множество неположительных чисел
|
||||
$Q = \left\{\frac{m}{n}\right\}$, где $m\in Z_{+}$, а $n\in N$
|
||||
$R$ - вещественные или действительное числа
|
||||
## Модуль числа
|
||||
$$
|
||||
|x| =
|
||||
\begin{cases}
|
||||
x, x > 0\\
|
||||
0, x = 0 \\
|
||||
-x, x < 0
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
Свойства модулей:
|
||||
1. $|x| \geq 0$
|
||||
2. $|x_{1}x_{2}| = |x_{1}| * |x_{2}|$
|
||||
3. $|\frac{x_{1}}{x_{2}}| = \frac{|x_{1}|}{|x_{2}|}$
|
||||
4. $|x_{1}+x_{2}|$
|
||||
|
||||
## Константные переменные
|
||||
$\pi=3.141596\dots$
|
||||
$e=2.718281828\dots$
|
||||
$\log_{e}x=\ln x$
|
||||
|
||||
## Комплексные числа в алгебраической форме
|
||||
Комлексное число - выражение вида $x+iy$, где $x, y$ - вещественные числа, а $i$ - мнимая единица ($i^2 = -1$)
|
||||
Геометрическая интерпретация комплексного числа - точка в пространстве.
|
||||
|
||||
$x = x + 0*i$ - вещественное число становится частным случаем комплексного числа.
|
||||
$yi$ - чисто мнимое число
|
||||
### Углы
|
||||
Все углы измеряются в радианах.
|
||||
$\varepsilon=\sqrt{ x^2+y^2 }$ = $|Z|$ - модуль комплексного числа
|
||||
$Z = x + iy = r\cos \varphi + ir\sin \varphi = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$
|
||||
|
||||
Налево (против часовой стрелки) - положительные углы
|
||||
Направо (по часовой стрелке) - отрицательные углы
|
||||
### Пример
|
||||
1. $Z=1+i\sqrt{ 3 }=2\left( \cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3} \right)$
|
||||
$|Z|=\sqrt{ 1^2 + \sqrt{ 3 }^2 }=2$
|
||||
$\cos \varphi=\frac{1}{2}$
|
||||
$\sin \varphi=\frac{\sqrt{ 3 }}{2}$
|
||||
$\varphi=\frac{\pi}{3}$
|
||||
2. $Z=1-i=\sqrt{ 2 }\left( \cos \frac{7\pi}{4}+i\sin \frac{7\pi}{4} \right)$
|
||||
$arg\text{ Z}=\frac{7\pi}{4}$
|
||||
|
||||
$arg\text{ Z}$ - главное значение так, что $arg\text{ Z}\in[0;2\pi)$
|
||||
$\varphi=Arg\text{ Z}=arg\text{ Z} + 2\pi k$, где $k\in Z$
|
||||
|
||||
$Z=x+iy$
|
||||
$x=\mathrm{Re}Z$ ($\mathrm{Re}$ - real, вещественный)
|
||||
$y=\mathrm{Im}Z$ ($\mathrm{Im}$ - imaginaire, мнимый)
|
||||
### Действия
|
||||
1. **Равенство**
|
||||
$Z_{1}=x_{1}+iy_{1};Z_{2}=x_{2}+iy_{2}$
|
||||
$Z_{1}=Z_{2}\Leftrightarrow \begin{cases} x_{1}=x_{2}\\y_{1}=y_{2} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}r_{1}=r_{2}\\\varphi_{1}+2\pi k=\varphi_{2}+2\pi k, k\in Z_{+}\end{cases}$
|
||||
$(Z=0\Leftrightarrow\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases})$
|
||||
2. **Сложение**
|
||||
$Z=Z_{1}+Z_{2}\Leftrightarrow\begin{cases}x=x_{1}+x_{2}\\y=y_{1}+y_{2}\end{cases}$
|
||||
Пример: $(2+3i)+(1-i)=(2+1)+i(3-1)=3+2i$
|
||||
3. **Вычитание**
|
||||
Обратное сложению действие
|
||||
4. **Умножение**
|
||||
$Z=Z_{1}*Z_{2}\Leftrightarrow\begin{cases}x=x_{1}x_{2}\\y=y_{1}y_{2}\end{cases}$
|
||||
$(x_{1}+iy_{1})(x_{2}+iy_{2})=x_{1}x_{2}+ix_{1}y_{2}+ix_{2}y_{1}+i^2y_{1}y_{2}$
|
||||
Пример: $(2-3i)(5+i)=2*5-3*5i+7i-3i^2=10+3+i(-15+2)=13-13i$
|
||||
71
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/ДЗ Высшая математика.md
Normal file
71
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/ДЗ Высшая математика.md
Normal file
@@ -0,0 +1,71 @@
|
||||
#учеба #семестр_1 #высшая_математика
|
||||
|
||||
1)
|
||||
Пример:
|
||||
$\mathrm{Re}\left( \frac{3-i}{1+3i} \right)\times \mathrm{Im}\left( \frac{2-i}{1+3i} \right)$
|
||||
|
||||
Решение:
|
||||
$\mathrm{Re}:$
|
||||
$\frac{(3-i)(1-3i)}{1^{2}+3^{2}}=\frac{0-10i}{10}=-i$
|
||||
$\mathrm{Im}:$
|
||||
$\frac{(2-i)(1-3i)}{1^{2}+3^{2}}=\frac{-1-7i}{10}=-0.1-0.7i$
|
||||
$\mathrm{Re}\times \mathrm{Im}=0\times(-0.7)=0$
|
||||
|
||||
|
||||
3)
|
||||
Пример:
|
||||
$z^{2}+(2+4i)z+6+4i=0$
|
||||
|
||||
Решение:
|
||||
$D=(2+4i)^{2}-24-16i=4-16+16i-24-16i=-36$
|
||||
$z_{1,2}=\frac{-2-4i\pm\sqrt{ -36 }}{2}=-1-5i;-1+i$
|
||||
|
||||
|
||||
4)
|
||||
Пример:
|
||||
$|z|+z=8+4i$
|
||||
|
||||
Решение:
|
||||
$(z=a+ib)$
|
||||
$$
|
||||
\sqrt{ a^{2}+b^{2} }+a-8+ib-4i=0 \implies
|
||||
\begin{cases}
|
||||
\sqrt{ a^{2}+b^{2} }+a-8=0 \\
|
||||
ib-4i=0
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
$b=4$
|
||||
$\sqrt{ a^{2}+16 }=8-a\implies a\leq 8$
|
||||
$a^{2}+16=a^{2}-16a+64$
|
||||
$a=3$
|
||||
$z=3+4i$
|
||||
|
||||
|
||||
5)
|
||||
Пример:
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
2z_{1}+3z_{2}=7-i \\
|
||||
iz_{1}-2z_{2}=-3+4i
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Решение:
|
||||
$z_{1}=3.5-0.5i-1.5z_{2}$
|
||||
$3.5i+0.5-1.5iz_{2}-2z_{2}=-3+4i$
|
||||
$z_{2}(2+1.5i)=3-4i+3.5i+0.5$
|
||||
$z_{2}=\frac{3.5-0.5i}{2+1.5i}=\frac{(3.5-0.5i)(2-1.5i)}{4+2.25}=\frac{7-0.75-i-5.25i}{6.25}=1-i$
|
||||
$2z_{1}+3-3i=7-i$
|
||||
$z_{1}=2+i$
|
||||
$z_{2}=1-i$
|
||||
|
||||
|
||||
7)
|
||||
Пример:
|
||||
$\frac{(1-i)(-3-i\sqrt{ 3 })}{(2+2i)(i+\sqrt{ 3 })}$
|
||||
|
||||
Решение:
|
||||
$\frac{-\sqrt{ 3 }(1-i){(i+\sqrt{ 3 })}}{2(1+i){(i+\sqrt{ 3 })}}=$
|
||||
$-\frac{\sqrt{ 3 }}{2}\cdot\frac{(1-i)^{2}}{1^{2}+1^{2}}=$
|
||||
$-\frac{\sqrt{ 3 }}{2}\cdot\frac{-2i}{2}=\frac{i\sqrt{ 3 }}{2}$
|
||||
|
||||
@@ -0,0 +1,3 @@
|
||||
#учеба #семестр_1 #высшая_математика
|
||||
|
||||
$\int\frac{2x^2 + 5x + 5}{(x^2 - 1)(x + 1)}dx$
|
||||
29
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/Комплексные числа.md
Normal file
29
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/Комплексные числа.md
Normal file
@@ -0,0 +1,29 @@
|
||||
**[Методичка](https://t.me/c/3049795901/1/1290)**
|
||||
|
||||
$N$ – натуральные числа. $N$ это бесконечное множество чисел $(1, 2, 3...)$, которые используют для счёта.
|
||||
|
||||
Отрицальные, $0$ и $N$ – целые числа, обозначаемые $Z$.
|
||||
Из $Z$ иногда выделяют $Z+$ и $Z-$, где $Z+$ – множество неотрицательных чисел, а $Z-$ – множество неположительных чисел.
|
||||
|
||||
Рациональные числа – $Q = \{\frac{m}{n}, m \in Z, n \in N\}$
|
||||
Вещественные или действительные числа – $R$. Оно объединяет в себе рациональные и иррациональные числа. Они изображаются точками на вещественной оси. Вещественная ось – прямая, заданная направление, далее задана точка, означающая ноль, и масштаб. Тогда любая точка на такой оси означает вещественное число.
|
||||
|
||||
Символ принадлежности к множеству – $x$. Для любого вещественного числа можно ввести понятие модуля. Модуль – расстояние точки от начала координат до числа. Модуль всегда имеет неотрицательное значение. Модуль отношения является отношение модулей, а для суммы выполняется неравенство треугольника.
|
||||
|
||||
### Иррациональные числа
|
||||
#учеба #семестр_1 #высшая_математика
|
||||
|
||||
1. $\pi = 3.14159265...$
|
||||
2. $e = 2.7118281828...$
|
||||
|
||||
### Комплексные числа
|
||||
Комплексное числом называется выражение вида, где $xy \in R$
|
||||
|
||||
$i$ называется мнимая единица, обладает свойством $i^2 = -1$. В этом случае геометрическая интерпритация такого числа это точка на плоскости. У этой точки две координаты = $(x, y)$. Поэтому ось числе Y называется мнимой осью, а ось числа X называется вещественной осью. Вещественные числа становятся частным случаем комплексного числаeeeeeeee
|
||||
|
||||
Числа вида yi соотсвествтую чисто мнимым.
|
||||
|
||||
Точку на плоскости можно связать вектором, а
|
||||
|
||||
это пиздец
|
||||
короче потом надо переписать у кого-нибудь
|
||||
20
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/Контрольная.md
Normal file
20
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/Контрольная.md
Normal file
@@ -0,0 +1,20 @@
|
||||
### 1 (40 минут)
|
||||
#учеба #семестр_1 #высшая_математика
|
||||
|
||||
$\lim_{ x \to 3 } \frac{\sqrt{ x+13 }-2\sqrt{ x+1 }}{x^2-4x+3}$
|
||||
$\frac{\sqrt{ x+13 }-2\sqrt{ x+1 }}{x^2-4x+3}=\frac{\sqrt{ x+13 }-2\sqrt{ x+1 }}{(x-1)(x-3)}\cdot \frac{\sqrt{ x+13 }+2\sqrt{ x+1 }}{\sqrt{ x+13 }+2\sqrt{ x+1 }}=\frac{\sqrt{ x+13 }^2-(2\sqrt{ x+1 })^2}{(x-1)(x-3)(\sqrt{ x+13 }+2\sqrt{ x+1 })}=\frac{(x+13)-4(x+1)}{(x-1)(x-3)(\sqrt{ x+13 }+2\sqrt{ x+1 })}=$
|
||||
$=\frac{x+13-4x-4}{(x-1)(x-3)(\sqrt{ x+13 }+2\sqrt{ x+1 })}=\frac{-3x+9}{(x-1)(x-3)(\sqrt{ x+13 }+2\sqrt{ x+1 })}=\frac{-3(x-3)}{(x-1)(x-3)(\sqrt{ x+13 }+2\sqrt{ x+1 })}=\frac{-3}{(x-1)(\sqrt{ x+13 }+2\sqrt{ x+1 })}$
|
||||
$x \equiv 3$
|
||||
$\lim_{ x \to 3 } \frac{\sqrt{ x+13 }-2\sqrt{ x+1 }}{x^2-4x+3} = -\frac{3}{16}$
|
||||
|
||||
### 6 (20 минут)
|
||||
$$
|
||||
\begin{array} \\
|
||||
x=1+\ln(t+2) \\
|
||||
y=4t+e^{-5t}
|
||||
\end{array}
|
||||
$$
|
||||
$x' = (\ln(t+2))'\cdot(t+2)'=\frac{1}{t+2}\cdot 1=\frac{1}{t+2}$
|
||||
$y'=4-5e^{-5t}$
|
||||
$\frac{y'}{x'}=4-5e^{-5t}: \frac{1}{t+2}=(4-5e^{-5t})(t+2)$
|
||||
|
||||
13
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/Матрица.md
Normal file
13
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/Матрица.md
Normal file
@@ -0,0 +1,13 @@
|
||||
#учеба #семестр_1 #высшая_математика
|
||||
|
||||
Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел с некоторым количеством столбцов и строк.
|
||||
|
||||
$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots \\ a_{m_{1}} & a_{m_{2}} & \dots & a_{mn}\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$]$ - Математическое «пусть»
|
||||
$]A_{[mxa]} = ||a_{ij}||, B_{[mxa]} = ||b_{ij}||, М-ца С_{[mxa]} = ||c_{ij}||$
|
||||
|
||||
$] A_{[mxa]}, \lambda \in R$
|
||||
|
||||
|
||||
:LiFolder:
|
||||
@@ -0,0 +1,7 @@
|
||||
#учеба #семестр_1 #высшая_математика
|
||||
|
||||
$\int_{a}^{+\infty} f(x) \, dx=\lim_{ b \to +\infty }\int_{a}^{b} f(x) \, dx$
|
||||
|
||||
$f(x)=\frac{1}{x^2}$
|
||||
$\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^2} \, dx=\frac{1}{x}|_{1}^{+\infty}=-\frac{1}{+\infty}-\left( -\frac{1}{1} \right)=1$
|
||||
|
||||
@@ -0,0 +1,30 @@
|
||||
$\lim_{ n \to \infty } \sum_{i=1}^{n} f(\xi_{i})∂x_{i}=\int^{b}_{a} f(x)dx=F(b)-F(a)=F(x)|^b_{a}$
|
||||
$\lambda(P)\to 0$
|
||||
$\lambda(P)=max(\Delta x_{i})$
|
||||
$C+F(x)=\int f(x)dx$
|
||||
|
||||
$\int^{b}_{a}(\alpha f+\beta g)(x)dx=\alpha \int^b_{a}f(x)dz+\beta \int^b_{a}g(x)dx$
|
||||
|
||||
$\int^b_{a}f(x) \, dx=\int ^c_{a} f(x)\, dx+\int ^b_{c}f(x) \, dx; \forall a,b,c$
|
||||
$\int_{a}^{b} f(x) \, dx=-\int_{b}^{a} f(x) \, dx$
|
||||
|
||||
$\int_{a}^{b} (uv )'x\, dx=(uv)(x)|^b_{a}-\int_{a}^{b} (u'v)(x) \, dx$
|
||||
|
||||
$\int_{a}^{b} f(x) \, dx=\int_{\alpha}^{\beta} f(\gamma(t))\phi'(t) \, dt; \gamma(\alpha)=a,\gamma(\beta)=b$
|
||||
|
||||
## Пример 1
|
||||
#учеба #семестр_1 #высшая_математика
|
||||
|
||||
$\int_{-1}^{1} \sqrt{ 1-x^2 } \, dx=$
|
||||
$$\begin{array} \\
|
||||
x=\sin t \\
|
||||
dx=\cos t\cdot dt \\
|
||||
\sin (2)=1; \alpha=\arcsin1=\frac{\pi}{2}
|
||||
\sin(\beta)=-1; \beta=-\frac{\pi}{2}
|
||||
\end{array}$$
|
||||
$=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{ 1-\sin^2t }\cos t \, dt=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2t \, dt=\frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (1+\cos 2t) \, dt=$
|
||||
$=\frac{1}{2}t|^ \frac{\pi}{2}_{-\frac{\pi}{2}}-\frac{1}{4}\sin 2t|^ \frac{\pi}{2}_{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{2}\left( \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2} \right)-\frac{1}{4}(0-0)=\frac{\pi}{2}$
|
||||
|
||||
$\int_{-1}^{7} \frac{dt}{\sqrt{ 3t+4 }}$
|
||||
$(3t+4)^{-\frac{1}{2}}$
|
||||
$\frac{1}{5}-\dots$
|
||||
20
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/Приложения интеграла.md
Normal file
20
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/Приложения интеграла.md
Normal file
@@ -0,0 +1,20 @@
|
||||
|
||||
### S криволинейной трапеции
|
||||
#учеба #семестр_1 #высшая_математика
|
||||
|
||||
![[Pasted image 20251216164141.png]]
|
||||
$dx\to0$
|
||||
$\int aABb=\lim_{ dx \to 0 }\sum\dots=\int_{a}^{b} f(x) \, dx$
|
||||
|
||||
|
||||
![[Pasted image 20251216164449.png]]
|
||||
$x, f(x)=y(t(x))$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{array} \\
|
||||
t \in [0,1], x(t), y(t) \\
|
||||
a(t=0),b(t=1) \\
|
||||
l[a,b]=\int_{0}^{1} \sqrt{ \dot{x}^2(t) +\dot{y}^2(t)} \, dx \\
|
||||
l=\int_{a}^{b} \sqrt{ 1+(f'(x))^2 } \, dx \\
|
||||
\end{array}
|
||||
$$
|
||||
60
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/Производные.md
Normal file
60
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/Производные.md
Normal file
@@ -0,0 +1,60 @@
|
||||
|
||||
## Определение:
|
||||
#учеба #семестр_1 #высшая_математика
|
||||
|
||||
*Доска* \![[telegram-cloud-photo-size-2-5242271244680367817-w.jpg]]
|
||||
|
||||
Формула нахождения производной:
|
||||
$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$
|
||||
|
||||
|
||||
## Производная $(x^n)'$
|
||||
*Доска* \![[Pasted image 20251115145729.png]]
|
||||
|
||||
Формула нахождения *(неполная)*:
|
||||
$(x^n)' = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h} = n x^{n-1}$
|
||||
|
||||
|
||||
## Основные свойства производных
|
||||
*Доска-1* \![[telegram-cloud-photo-size-2-5242271244680367853-w.jpg]]
|
||||
*Доска-2* \![[telegram-cloud-photo-size-2-5242271244680367854-w.jpg]]
|
||||
|
||||
1. $(f(x)+g(x))' = f'(x) + g'(x)$
|
||||
2. $(fg)' = f'g + g'f$
|
||||
3. $\left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - g'f}{g^2}$
|
||||
4. $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
|
||||
## Примеры
|
||||
### 124.3
|
||||
$$
|
||||
\begin{array} \\
|
||||
f(x) = \sqrt{ x } \\
|
||||
\\
|
||||
f(x)' = \lim_{ h \to 0 }\frac{f(x + h)-f(x)}{h} = \lim_{ h \to 0 } \frac{\sqrt{ x + h } - \sqrt{ x }}{h} = \lim_{ h \to 0 } \frac{\sqrt{ x+h }- \sqrt{ x }}{h} \cdot \frac{\sqrt{ x+h }+\sqrt{ x }}{\sqrt{ x+h }+\sqrt{ x }} = \\
|
||||
= \lim_{ h \to 0 } \frac{(x+h) - x}{h(\sqrt{ x+h }+\sqrt{ x })} = \lim_{ h \to 0 } \frac{h}{h(\sqrt{ x+h }+\sqrt{ x })} = \lim_{ h \to 0 } \frac{1}{\sqrt{ x+h }+\sqrt{ x }} \\
|
||||
h = 0 \\
|
||||
Ответ:\frac{1}{2\sqrt{ x }}
|
||||
|
||||
\end{array}
|
||||
$$
|
||||
### N
|
||||
$$
|
||||
\begin{array} \\
|
||||
f(x) = (1 + 5x)^3 \\ \\
|
||||
|
||||
f(x)' = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{ h \to 0 } \frac{(1 + 5(x + h))^3 - (1+5x)^3}{h} = \lim_{ h \to 0 } \frac{(1 + 5x+5h)^3-(1+5x)^3}{h} = \\
|
||||
= 15(1+5x)^2
|
||||
|
||||
\end{array}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
### ĎÐẞÆ
|
||||
|
||||
|
||||
# Изучить самому:
|
||||
Решить **домашку**!!
|
||||
**Дифференсация**
|
||||
Нормали кривой
|
||||
|
||||
|
||||
## Аутсайдерские записи с доски
|
||||
Какой-то график \![[telegram-cloud-photo-size-2-5242271244680367818-w.jpg]]
|
||||
@@ -0,0 +1,67 @@
|
||||
### 1. Хроники Никиты Хониата
|
||||
#учеба #семестр_1 #история_россии
|
||||
|
||||
1. **Вопрос:** Подумайте, почему рыцари-крестоносцы, целью которых была борьба с мусульманами, взяли штурмом и разграбили христианский город Константинополь?
|
||||
**Ответ:** Из-за долгов перед Венецией и обещанных, но не выплаченных выплат Алексея IV крестоносцы свернули поход, взяли богатый, но уязвимый Константинополь и удовлетворили финансовые и политические интересы, забыв первоначальную цель.
|
||||
2. **Вопрос:** Сравните поведение захвативших Константинополь христиан-крестоносцев с поведением язычников-монголов хана Батыя, бравших штурмом города Руси
|
||||
**Ответ:** Латиняне оскверняли храмы и реликвии единоверцев; монголы, хотя и уничтожали города, к религиозным объектам относились нейтрально, ограничиваясь тотальным военным подавлением.
|
||||
|
||||
### 2. Таблица «Великие географические открытия»
|
||||
|
||||
| Мореплаватель | Год | Территория |
|
||||
| ---------------------------------------- | --------- | -------------------------------------------- |
|
||||
| Бартоломеу Диаш | 1488 | мыс Доброй Надежды (юг Африки) |
|
||||
| Христофор Колумб | 1492 | острова Карибского моря (Америка) |
|
||||
| Васко да Гама | 1498 | морской путь в Индию вокруг Африки, Каликут |
|
||||
| Америго Веспуччи | 1501-1502 | восточное побережье Южной Америки |
|
||||
| Фернан Магеллан / Хуан Себастьян Элькано | 1519-1522 | первое кругосветное плавание |
|
||||
| Джон Кабот | 1497 | Ньюфаундленд, северо-восток Северной Америки
|
||||
|
||||
### 3. Грамота Едигея
|
||||
1. **Вопрос:** Какую позицию занимал московский князь Василий Дмитриевич по отношению к Орде?
|
||||
**Ответ:** Полу-самостоятельная позиция: формально признаёт Орду, но фактически игнорирует хана и уклоняется от дани.
|
||||
2. **Вопрос:** Как изменилось положение русских земель и Орды в XV в. по сравнению с предшествующим периодом (вторая половина XIII в.)?
|
||||
**Ответ:** Орда ослабла, распадаясь на части; Москва и другие русские княжества усилились и уже навязывают хану свою линию.
|
||||
3. **Вопрос:** Почему в письме упоминается Великое княжество Литовское?
|
||||
**Ответ:** Литва была главным внешним врагом Москвы; Едигей использует этот конфликт как аргумент, что князю всё равно нужна Орда, значит следует платить выход.
|
||||
|
||||
### 4. Духовная грамота Дмитрия Ивановича
|
||||
1. **Вопрос:** Назовите наследников Дмитрия Донского.
|
||||
**Ответ:** Василий, Юрий, Андрей, Пётр, Иван Дмитриевичи.
|
||||
2. **Вопрос:** Кому из наследников передал власть Дмитрий Донской?
|
||||
**Ответ:** Старшему сыну Василию Дмитриевичу (будущему Василию I).
|
||||
3. **Вопрос:** Кто должен был наследовать московский престол во вторую очередь?
|
||||
**Ответ:** Юрий Дмитриевич (князь Звенигородский).
|
||||
4. **Вопрос:** Почему Юрий Дмитриевич мог претендовать на московский стол после смерти старшего брата Василия I?
|
||||
**Ответ:** Потому что завещание Дмитрия прямо предусматривает передачу власти следующему брату, то есть Юрию, если Василий умрёт.
|
||||
5. **Вопрос:** Что говорит Дмитрий Донской о выплате дани Орде?
|
||||
**Ответ:** Платить дань, пока Орда сильна, если Орда падёт, дани больше не давать.
|
||||
|
||||
### 6. Таблица «Расширение территории Московского государства в конце XIV – середине XV в.»
|
||||
|
||||
| Годы | События |
|
||||
| --------- | ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
|
||||
| 1389 | По духовной грамоте Дмитрия Донского Коломна, Дмитров, Можайск окончательно закреплены за великокняжеским домом Москвы. |
|
||||
| 1392 | Василий I, получив ханский ярлык, присоединил Нижегородско-Суздальское княжество. |
|
||||
| 1397–1398 | К Москве отошли Муром, Таруса, Бежецкий Верх, Углич. |
|
||||
| 1428 | Галич-Белозерские князья «вышли на службу» Москве; их земли фактически включены в состав великого княжества. |
|
||||
| 1456 | Яжелбицкий мир: Новгород признал верховенство Москвы и ограничил свою политическую самостоятельность. |
|
||||
|
||||
### 7. Текст «Новгород и Псков в начале XV в.»
|
||||
1. **Вопрос:** Через какие земли путешественник проехал по дороге в Новгород?
|
||||
**Ответ:** Рига – Ливонские города Зегевальд, Венден, Вольдемария, Вейсенштейн – Нарва – замок Низлот – Новгород.
|
||||
2. **Вопрос:** Что интересного путешественник сообщает о жителях Новгорода и Пскова?
|
||||
**Ответ:** Новгородцы богаты, самоуправляемы, расчёт шкурками и слитками, жён покупают; псковичи тоже независимы, суровы к чужим, имеют особый вид причёсок/головных уборов.
|
||||
3. **Вопрос:** Какие товары продавали в Новгороде?
|
||||
**Ответ:** Замороженные мясо, рыба, птица; пушнина (белка, куница) используется и как товар, и как мелкая монета.
|
||||
4. **Вопрос:** Насколько сильно были укреплены Новгород и Псков?
|
||||
**Ответ:** Новгород – слабые земляные стены, Псков — мощные каменные укрепления.
|
||||
|
||||
### 8. Таблица «Русская культура в XIII–XV вв.»
|
||||
| Сфера | Ключевые черты / примеры XIII–XV вв. |
|
||||
| -------------------------------------- | ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
|
||||
| Письменность, грамотность, образование | - Берестяные грамоты Новгорода (до XV в.) <br>- Летописные своды: Лаврентьевская (1377), Ипатьевская редакции <br>- Книжное писание в монастырях; школы при епископских дворах |
|
||||
| Литература | - «Слово о житии и преставлении Александра Невского» (XIII в.) <br>- «Повесть о разорении Рязани Батыем» <br>- «Задонщина» и «Сказание о Мамаевом побоище» (конец XIV – начало XV в.) <br>- Жития Епифания Премудрого: Сергия Радонежского, Стефана Пермского |
|
||||
| Архитектура | - Белокаменный Кремль Дмитрия Донского (1367) <br>- Успенский собор во Владимире — образец для подражания <br>- Церковь Спаса на Ильине улице в Новгороде (1374) <br>- Псковско-новгородские одноглавые храмы с «кокошниками» |
|
||||
| Живопись | - Феофан Грек — росписи Спаса на Ильине (1378) <br>- Андрей Рублёв — «Троица», иконы Благовещенского собора (ок. 1408) <br>- Дионисий и его школа (конец XV в.) |
|
||||
| Общественная мысль | - Проповедь Сергия Радонежского о единстве Руси <br>- Борьба со стригольнической ересью (Новгород, XIV в.) <br>- Начало спора «нестяжатели» (Нил Сорский) – «иосифляне» (Иосиф Волоцкий) в конце XV в. |
|
||||
206
01 Учёба/1 семестр/История России/05.09 Лекция.md
Normal file
206
01 Учёба/1 семестр/История России/05.09 Лекция.md
Normal file
@@ -0,0 +1,206 @@
|
||||
**Конспекты вести правильно, будет спрашивать по лекции**
|
||||
Учебник, прочитать чтобы было легче на зачёте, [Истории России, Петрова](https://pstu.su/wp-content/uploads/2024/09/%D0%A3%D1%87%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B8%D0%BA_%D0%98%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%A0%D0%BE%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B8_%D0%B8%D0%BD%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D1%80%D1%8B.x98261.pdf)
|
||||
Для презентаций – *прослушал*
|
||||
|
||||
За непроветренные факты из Интернета будет ставить 2 балла
|
||||
За посещаемость легко получить зачёт, но автомат не поставит (как оказалось поставит!)
|
||||
Опаздывать не стоит
|
||||
|
||||
# **Предыстория России**
|
||||
#учеба #семестр_1 #история_россии
|
||||
|
||||
## **План лекции:**
|
||||
1. Понятие объект, предмет. Методология исторической науки
|
||||
2. Восточные-славянские времена в VIII - IX вв.
|
||||
3. Появление государства у восточных славян
|
||||
|
||||
### **Понятие объект, предмет. Методология исторической науки**
|
||||
История рассматривается в двух значениях:
|
||||
1. Процесс развития природы и человечества
|
||||
2. Система наук, изучающая прошлое природы и общества
|
||||
**Главная задача истории** – обобщение накопленного человечеством опыта.
|
||||
**Как область самостоятельного сознания история** формируется в XVIII - половине XIX вв.
|
||||
**Объект истории** – совокупность фактов характеризующих жизнь общества в прошлом и настоящем.
|
||||
**Предмет истории** – изучение человеческого общества, как единого и противоречивого процесса.
|
||||
|
||||
**Как наука история включает** всемирную историю и историю отдельных стран, при этом она подразделяется на историю первобытного общества, древнюю, средневековую, новую и новейшую.
|
||||
|
||||
### **Основные принципы истории**
|
||||
1. Принцип историзма
|
||||
2. Принцип объективности
|
||||
_–_ _Требует рассматривать факт явления события во всей многогранности и противоречивости_
|
||||
3. Принцип социального подхода
|
||||
_– Предполагает, что в развитии общественных процессов проявляются социальные интересы_
|
||||
4. Принцип альтернативности
|
||||
_– Определяет степень вероятности осуществления того или иного события_
|
||||
|
||||
**Методы:**
|
||||
|
||||
1. Общенаучные методы (например, логические)
|
||||
2. Собственно-исторические методы (например, хронологические, сравнительно-исторические)
|
||||
3. Специальные методы (например, математический анализ, социологической смены)
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
### **Восточные-славянские времена в XVIII - XIX вв.**
|
||||
|
||||
Славяне выделились из Индо-европейской культурной общности во втором тысячелетии до н.э. В III-VI вв. н.э. славяне освоили территории центральной, восточной и юго-восточной Европы.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Жили они в лесной, лесостепной зоне, а основным занятием было оседлое земледелие. Славяне так же занимались скотоводством, охотой, рыболовством и [бортничеством](https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B5%D0%B2%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%87%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE). В VI веке формируются племенные союзы восточных славян, включающие по 120-150 млн. славян.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
_Основа всех племенных союзов – военная._
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
**VI-VII вв. – появились первые дружины.** Поделились они на старшие и младшие.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Основой древнеславянского общества была соседская община, которая возникла из родовой общины.
|
||||
|
||||
Благодаря соседским общинам и военным походам появились личные сообщества.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
В передаче князьями права владения землёй старшедружинникам или феодалам, часть общин попала под контроль феодалов, которые затем будут называться боярами.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
А оставшиеся общины платили деньги князю, а затем государству.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
В VII в. от земледелия отделилось ремесло (_изначально литейное, кузнечное, гончарное и ювелирное_), которое сосредотачивалось в племенных центрах – городищах.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
### **Появление государства у восточных славян**
|
||||
|
||||
Образование государства было обусловленно разложением родоплеменных и кровнородственных отношений, на смену которым пришли территориальные, политические и военные связи. К VIII славяне сформировали 14 племенных союзов и организации сохранения этих союзов требовали усиление власти князей и правящей верхушки.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Затем эти союзы стали объединяться в супер-союзы и накануне образования древнерусского государства существовало 3 супер-союза. Названия: Куяба (Киев), Славия (Новгород) и Аркания (Рязани).
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
На основании летописной «Легенды» известно, что накануне образования государства северные славянские племена платили дань варягам (скандинавские воины), а южные платили дань хазарам. В 859 году славяне изгнали варягов и это привело к междоусобице. Чтобы прекратить конфликт, они призвали в качестве князей трёх варягов – Рюрика, Синеуса и Трувора. В XVII веке немецкие профессора сформировали нормандскую теорию образования государства.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
# **Государство Русь**
|
||||
|
||||
## **План лекции:**
|
||||
|
||||
1. Первые русские князья (Рюрик - ?)
|
||||
2. Правление Святослава
|
||||
3. Правление Владимира I
|
||||
4. Правление Ярослава Мудрого
|
||||
5. Государственная власть и становление ранних феодальных отношений
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
### **Первые русские князья**
|
||||
|
||||
**Князь Рюрик (862-879 годы правления)**
|
||||
|
||||
В 862 году Рюрик утвердился в Новгороде и по традиции с этой даты отсчитывают начало русской государственности.
|
||||
|
||||
Затем у Киева и Новгорода случился конфликт за земли Гринвича(?).
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
**Следующий князь после Рюрик – Олег (879-912 годы правления)**
|
||||
|
||||
В 882 году Олег совершил поход на Киев. По пути он взял Смоленск и Любич, затем захватил Киев и сделал его столицей объединенного Русского государства, а ? убил.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
С конца IX века в состав древнерусского государства были включены земли: древлян, северян, родимичей и другие. Эти территории были освобождены от казанской зависимости, в которой остались вядичие.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
В 907-911 годах Олег совершил два успешных похода на Византию и заключил выгодные для Руси договоры.
|
||||
|
||||
Объединив восточнославянские народы от врагов и от чужеземцев Олег придал княжеской власти невиданные авторитет и международный престиж. Киевский князь был сюзереном, а правители отдельных земель стали его вассалами.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
**Следующий князь после Олега – Игорь (912-945 годы правления)**
|
||||
|
||||
Игорь совершил два похода на Византию в 941 (неудачный) и в 944 (удачный). Благодаря этому ему удалось получить признание на присоединение новых земель и в основном подтвердить прежние договоры.
|
||||
|
||||
В 945 году произошло первое известное народное восстание – древлян.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
**Следующий правитель после Игоря – княгиня Ольга (945-957 годы правления)**
|
||||
|
||||
Ольга страшно отомстила за смерть мужа, но затем упорядочила сбор дани, установив уроки (размер дани) и погосты (места сбора дани).
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
В 957 году Ольга во главе посольства посетила Константинополь, подтвердила действие прежних договоров, и приняла крещение из рук Патриарха.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Княжение Игоря и Ольги ? были присоединены земли киевцев, улицей и окончательно земли древлян.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
**Правление Святослава (957-972 годы правления)**
|
||||
|
||||
В 964-967 годах, Святослав уничтожил хазарский каганат, и присоединил вятичей, разгромил Волжскую Булгарию, Буртасов, Ясов, оставив на завоеванной территории гарнизоны, он вернулся в Киев и начал давление на Византию.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
В результате договоров с Византией, Святослав получил её добро на поход против Дунайской Болгарии и обещал отступить от Крымских владений.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
В 967 году Святослав вместе с союзными венграми выступил против Дунайской Болгарии и разгромил её.
|
||||
|
||||
В 970 году Византия подписала со Святославом мир, на его условиях.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
В 971 году император из Византии неожиданно вошёл в Болгарию. В результате византийцы окружили Святослава в крепости. В том же году, под Ростовом состоялось несколько сражений, по итогам которых был заключен мир, но в этот раз на условиях Византии. По условиям мира Русь (то есть Святослав) уходили из Болгарии но сохранял Причерноморье и Поволжье, восстанавливались условия торговых договоров, кроме того была выплачена денежная компенсация семьям погибших воинов. Армия Святослава после битвы под Ростовом быстро ослабла.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Святослав умер 972. После смерти Святослава случилась первая усобица на Руси. В Киеве правила Ярополк, у древлян Олег, а в Новгороде Владимир.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Узнав о гибели брата Владимир бежал в варягам. А вскоре вернулся с наёмника. Ярополк не сумер собрать войска и во время военных переговорных были бил варягами.
|
||||
|
||||
**Правление Владимира I (980-1015 годы правления)**
|
||||
Владимир объединил все земли восточных славян в составе древнерусского государства. Окончательно были присоединены вятиче, земли по обе сторон Карпат, и Червенские города. Была решена задача защиты Руси от печенегов.
|
||||
|
||||
Во время правления Владимира обозначилось западное направление внешней политики Руси. Здесь появилась сильное Польское государство, к тому же принявшее Христианство, по католическому обряду. Владимир осваемые Польши пограничные земли Червенской Руси, а политическое объединение Руси он подкрепил религиозно. Первоначально сознал Пантеон важнейших Языческих Богов, а затем, в 988 году, он крестил Русь по православному обряду.
|
||||
|
||||
**Правление Ярослава Мудрого (1019-1054 годы правления)**
|
||||
У Владимира было 12 сыновей. ?. По приказу которого были безвинно убили ?. Против Святополка его брат Ярослав, из Новгорода, который опираясь на новгородцев и варягов, изгнал Святополка.
|
||||
|
||||
Ему удалось обезопасить Русь от печенегов, в 1030 году он основал город Юрев, в Прибалтике. Затем он вновь забрал у Польши Червенские города. Покровительствовал просвещению, заставлял боярских детей учиться.
|
||||
|
||||
После смерти брата Мстислава ?-ского, в 1035 году, владевшего землями ?, Ярослав объединил Русь, а Киев стал одним из крупнейших городов Европы. После войны с Византией 1043-1046 годов Ярослав самостоятельно назначил Киевским метрополитом, русского по происхождению, Леролион. Леролион написал «Слово о законе и благодати» обосновавшее государственно-идеологическую концепцию русского государства.
|
||||
|
||||
При Ярослава сформировалась русская письменная законодательство «Русская правда».
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
**Государственная власть и становление ранних феодальных отношений**
|
||||
Основная часть населения Руси делилась на: свободных и зависимых людей, хотя были и промежуточные категории. Свободные – городские жители или посадские люди и смердные общины.
|
||||
Само посадское население делилось на бояр, духовенство, купечество и низы. Кроме того существовали зависимые от феодалов смерды.
|
||||
Верхний слой общества – князья, бояре, княжьи мужи, а особую группу составляло духовенство (делились на белых (священники) и чёрные (монархи)).
|
||||
Государственный строй древней Руси можно определить как ранне феодальную монархию. Во главе стоит киевский князь, который опирается на дружину и совет старейшин, а значение народного собрания уменьшается. Управление на местах осуществляли наместники князя. Князья продолжили раздавать земли за службу. В это же время появляются первые боярские вотчины.
|
||||
Местное оформление осуществлялось с помощью системы кормлений, а орган крестьянского самоуправления достался общинам.
|
||||
23
01 Учёба/1 семестр/История России/13.09 Лекция.md
Normal file
23
01 Учёба/1 семестр/История России/13.09 Лекция.md
Normal file
@@ -0,0 +1,23 @@
|
||||
#Лекция #ИсторияРоссии
|
||||
Органом самоуправления крестьянства оставалась территориальная община или мир. Она сочитала в себе элементы ???. Община полностью управлялась делами села
|
||||
|
||||
В процессе создания единого государства, меняется городская жизнь. Зачатки – преждие городки, в которых жила рабоплеменная знать и находились языческие церкви, зато набираю силу города, стоявшие на оживлённых торговых путях, где осидали купцы и ремесленники. Наибольшую экономическую мощь и известность приобретают города, ставшие политическими и административными центрами. Там жили князь, бояре, размещалась дружина. Так же эти города становились религиозными центрами.
|
||||
|
||||
Начинают организовываться библиотеки. В середине XI - первой половине XII века, на Руси было 42 крупных города. А к середине XIII века уже 62. Каждый город был центром торговли в ближайшей округе.
|
||||
|
||||
|
||||
## Русские земли в начале XII - первой половине XIII века
|
||||
#учеба #семестр_1 #история_россии
|
||||
|
||||
План:
|
||||
- Предпосылки феодальной раздробленности
|
||||
- Новые политические ценности
|
||||
- Значения периода раздробленности
|
||||
|
||||
### Предпосылки
|
||||
С середины 11 - в начале 12 века русское госудраство, вступило в новый, удельный этап своей истории.
|
||||
Политическая раздробленность стала новой формой организации русской государственности. С самого начала Русь была обширным, но не стабильным государством.
|
||||
|
||||
В 11-12 веках появляются новые факторы, способствующие раздробленности. Главной силой распределительного процесса выступало боярство.
|
||||
|
||||
Рост населения и военного потенциала отдельных земель.
|
||||
26
01 Учёба/1 семестр/История России/Доклад 5.4.md
Normal file
26
01 Учёба/1 семестр/История России/Доклад 5.4.md
Normal file
@@ -0,0 +1,26 @@
|
||||
#ИсторияРоссии #Доклад
|
||||
### Введение
|
||||
#учеба #семестр_1 #история_россии
|
||||
|
||||
В западной истории «Северные Крестовые Походы» охватывают войны с 1198 по 1411 года, против язычников Прибалтики. Русская история же сужает его до столкновений с 1240 по 1242 года, когда Ливонский и Тевтонский ордена вторглись в земли Новгорода и Пскова. Эти походы велись под папскими индульгенциями и потому формально признавались крестовыми походами. На Руси их воспринимали не как «священную войну», а как обычную агрессию соседей‑католиков, при этом в летописях подчёркивался религиозный мотив врага
|
||||
|
||||
### Причины походов
|
||||
Причины северных крестовых походов лежали в узле идеологических, экономических и политических интересов латинского Запада. Для папства это был способ расширить полномочия Рима и отвлечь рыцарей от бесконечных междоусобиц; дарованная индульгенция придавала захвату чужих земель ореол духовного подвига. Тевтонский и Ливонский ордена одновременно искали себе новый ресурсный тыл: Орденам были нужны меха, воск и контроль над выходом к Балтийскому морю – всё это давали прибалтийские земли и новгородские торговые пути. После слияния меченосцев с тевтонцами в 1237 году объединённый орден нуждался в постоянных боевых действиях, иначе дисциплина и финансирование распались бы. Наконец, важным стимулирующим фактором стала угроза укрепления православной Руси и одновременное продвижение монголов: для Запада поход против Новгорода виделся шансом навязать собственную зону влияния до того, как там укоренится Орда. В итоге религиозный лозунг «креста» служил витриной для прагматичной борьбы за рынки, людей и пространство.
|
||||
|
||||
### Политический фон Руси в первой трети 13 в.
|
||||
К началу 12 века северо‑западные княжества оставались сравнительно независимыми от монгольской угрозы, но испытывали давление шведов, датчан и немцев, объединённых в рыцарские ордена. Новгород и Псков контролировали торговые пути между Балтийским и Чёрным морями и платили дань за сопредельные финские территории. Эти экономические интересы сделали их первыми целями конфедерации орденов после объединения меченосцев с Тевтонским.
|
||||
|
||||
### История крестовых походов на Руси
|
||||
В июле 1240 года шведская флотилия высадилась в устье Невы, рассчитывая отрезать Новгород от Балтики. Князь Александр Ярославич, действуя на опережение, атаковал лагерь противника и одержал победу, вошедшую в русскую историю как Невская битва. Хотя западные хроники почти не упоминают сражение, для Новгорода оно стало символом защиты православных рубежей.
|
||||
Успех шведов был локален, но вскоре крестоносцы Ливонского ордена захватили Изборск и Псков, опираясь на внутренние раздоры псковских бояр. Немцы построили крепость Копорье, чтобы контролировать выход к Финскому заливу. Для Новгорода это означало угрозу потери торговли на Варяжском море и постепенную католизацию региона.
|
||||
В 1241 году Александр Невский вернулся в Новгород, разрушил Копорье и освободил Псков. Решающее столкновение произошло 5 апреля 1242 года на льду Чудского озера. Соединённые силы Новгорода и Владимира разбили конницу Ливонского ордена; хроники отмечают, что ливонцы понесли тяжёлые потери, а орден на годы утратил наступательную инициативу.
|
||||
|
||||
### Русь и «восточные» крестовые походы: косвенные контакты
|
||||
Русские князья напрямую в ближневосточных крестовых походах не участвовали, но контакты были. Паломники из Новгорода и Киева посещали Святую землю, наблюдая жизнь Латинского королевства, о чём сохранились записи в дорожниках 12 века. С дипломатической точки зрения Русь поддерживала связи через Византию; именно константинопольские источники дали первые сведения о франкской Латинской империи русской книжности.
|
||||
|
||||
### Итоги и значение северных крестовых походов для Руси
|
||||
Отражение шведского и ливонского натиска сохранило независимость Новгорода и Пскова и закрепило православие на северо‑западе. Но главное – походы заметно отразились на обычных людях. Военные вторжения опустошили приграничные волости: деревни вокруг Пскова и Чудского озера выгорали, жители уходили глубже в страну или переселялись в укреплённые посадские слободы. Эти миграции увеличили население Новгорода, ускорили рост ремесленных кварталов и расширили рынок.
|
||||
Постоянная опасность сделала княжескую дружину и народное ополчение частью повседневной жизни. Весной горожане чинили стены и ладили оружие. Посадники вводили особые налоги на охрану застав; эти сборы распределялись по сельским общинам, так что крестьяне ощущали войну на собственном кошельке. Экономика изменилась. Караваны в Балтику шли под охраной, из‑за чего перевозка дорожала. Зато военные заказы на железо, дёготь и корабли давали заработок ремесленникам и лесным артельщикам.
|
||||
Культурным итогом стала консолидация памяти. Песни о «Ледовом побоище» быстро разошлись по Руси, а образ «чужеземца‑католика» укрепил границу между «своим» и «чужим». В 14 веке культ Александра Невского объединил и знать, и рядовых горожан: его имя включали в молебны «о здравии града».
|
||||
В долгосрочной перспективе северные походы сплотили общины вокруг идеи общей обороны и укрепили вечевой созыв: именно народные собрания решали, сколько дать продовольствия гарнизону и кого послать на стены. Этот опыт мобилизации пригодился позже, когда на северо‑восток пришла Орда.
|
||||
Таким образом, крестовые походы затронули народ не только через прямое насилие, но и через налоговую, хозяйственную и культурную перестройку, сделав оборону общим делом всего общества.
|
||||
32
01 Учёба/1 семестр/История России/Доклад 6.2.md
Normal file
32
01 Учёба/1 семестр/История России/Доклад 6.2.md
Normal file
@@ -0,0 +1,32 @@
|
||||
#ИсторияРоссии #Доклад
|
||||
|
||||
Эпоха Возрождения в общеевропейской оптике — это длинный процесс секуляризации знаний, возврата к античной учености и художественному подражанию природе. Для конца 13 — второй половины 14 веков речь идёт о ранней фазе, обычно локализуемой в Италии и частично в Византии, с прямыми и косвенными откликами в Северной и Восточной Европе. В этот период закладываются культурные и институциональные механизмы, благодаря которым ренессансные формы позже распространяются шире, в том числе в русских землях, хотя их непосредственное освоение Русью относится уже к 15 в.
|
||||
|
||||
### Европейский фон (слайд)
|
||||
#учеба #семестр_1 #история_россии
|
||||
|
||||
В итальянских коммунах укрепляется городской капитал и цеховая организация. Финансовые дома, торговые сети и университеты создают спрос на прикладные знания и грамотность. Кризис схоластики стимулирует новые формы чтения и комментария античных текстов. Символами перелома становятся Данте, Джотто с его объемной пластикой и наблюдением за реальным пространством, а затем Петрарка и Боккаччо, формирующие гуманистическое понимание античности как живого образа. Эти процессы прерываются или видоизменяются внешними шоками: Авиньонское пленение пап с 1309 по 1377 и падение авторитета папства, Столетняя война с 1337 года, Великая Чума 1347–1353 гг., резко сократившая население и перестроившая рынок труда и благотворительность. Но даже кризисы ускоряют институциональные изменения, усиливая роль светских городских элит и меценатства.
|
||||
|
||||
### Византия и «Палеологовское возрождение»
|
||||
После 1261 г. в Константинополе разворачивается оживление книжности, философии и искусства. Возрождаются филологические практики, развивается иконопись с утонченным рисунком и сложной колористикой, укрепляется интерес к античному наследию в христианском ключе. Именно этот византийский ренессанс важен для Руси, поскольку русские земли находятся в орбите православной традиции и церковно-славянского письма, а каналы культурной передачи идут через митрополию, монастыри, паломничества и мастерские иконописцев.
|
||||
|
||||
### Русь в политико-экономических условиях 14 века
|
||||
Русские княжества переживают ордынскую зависимость и внутреннюю конкуренцию центров. Речь про Владимир, Тверь, Москву, Новгород. Экономика опирается на земледелие, ремесло и транзитную торговлю. Новгород и Псков интегрированы в балтийские цепочки обмена через Ганзу; отсюда контакты с Северной Европой, денежная культура и правовые практики городских сообществ. Параллельно идёт сбор земель вокруг Москвы, формирование новой политической координации и церковного лидерства (митрополиты Пётр и Алексий). На фоне ордынской системы выстраиваются механизмы налогового и судебного администрирования, что косвенно поддерживает книжное дело и монастырскую экономику.
|
||||
|
||||
### Культурные каналы и формы влияния (слайд)
|
||||
Прямого «итальянского» гуманизма на Руси в 14 веке нет, но есть три ключевых траектории, сопрягающие Русь с ренессансным процессом:
|
||||
1. **Первая — византийская**: приезд мастеров и циркуляция рукописей обеспечивают перенос художественных норм. Феофан Грек, работавший в Византии, вероятно в Трапезунде и Константинополе, затем в Новгороде и Москве (кон. 14 в.), приносит сложную живописную манеру, внимание к индивидуализированному луку, пространству и свету. Это не «итальянская перспектива», но это рост наблюдательности к форме и внутренней психологии образа, согласующийся с византийским интеллектуальным оживлением.
|
||||
2. **Вторая — балтийско-ганзейская**: торговля Новгорода с Любеком, Готландом, Ригой и др. ведёт к обмену предметами, техникой, монетой и правовыми текстами. Через купеческие сети приходят технические новшества, пигменты, пергамент, инструмент, навыки счета, элементы городской культуры, которые в Европе питают ранний Ренессанс.
|
||||
3. **Третья — южнославянская**: контакты с Болгарией и Сербией на фоне их собственных культурных подъемов ведут к обновлению переводной литературы, стилистическим влияниям в книжном орнаменте и языковых нормативах. Эти течения, в свою очередь, связаны с византийской интеллектуальной средой.
|
||||
|
||||
### Интеллектуальные сдвиги (слайд)
|
||||
Ренессансный интерес к тексту и источнику в 14 в. отвечает русской традиции внимательного чтения и комментирования Священного Писания и отцов Церкви. На Руси укрепляются летописание и книжное производство; возникает спрос на компиляции, хронографы, поучения. Русские книжники упрочивают дисциплину текста и цитирования. Это не гуманизм Петрарки, но это совпадение в установке на систематизацию знания и филологическую добросовестность. На рубеже веков складывается иконописная школа, где в начале 15 в. проявится Андрей Рублёв; фундамент для этого — именно 14 век и византийско-русский художественный обмен.
|
||||
|
||||
### Вера, власть и публичность
|
||||
Авиньонское папство и Великая схизма 1378 г. подрывают западную церковную вертикаль. В православном мире авторитет Константинополя сохраняется, но империя слабеет, и растёт относительное значение местных центров. На Руси это облегчает более самостоятельную роль митрополии как культурного интегратора. Монастыри становятся производителями текстов и образов, инвесторами в ремесло и аграрные технологии, а также площадками передачи византийских норм письма и живописи.
|
||||
|
||||
### Черная смерть и экономические последствия
|
||||
Демографический шок 1347–1353 гг. в Европе меняет структуру заработков и цен, стимулирует мобильность и беспрецедентные благотворительные практики. Русь затронута меньше в силу иной траектории эпидемий и расселения, но испытывает косвенные эффекты через торговые каналы и цены. Это важно, потому что стоимость материалов и труда влияет на производство рукописей и икон, а значит — на объём тиражирования культурных образцов.
|
||||
|
||||
### Итог для заявленного периода (слайд)
|
||||
В конце 13 — второй половине 14 вв. Ренессанс существует как ранняя, неоднородная фаза. Его итальянские проявления ещё локальны, но уже институционально обеспечены городом, университетом и меценатством. Византия переживает собственное «возрождение» при Палеологах и транслирует его на Русь через церковь и искусство. Русские земли, находясь в ордынской политической системе и балтийских торговых сетях, аккумулируют художественные и книжные импульсы, подготавливая условия для всплеска 15 в. Таким образом, Русь не «участвует» в итальянском Ренессансе напрямую в 14 в., но включена в его восточно-христианскую и северо-европейскую периферию, что формирует культурную базу для последующего принятия и переработки ренессансных форм.
|
||||
@@ -0,0 +1,8 @@
|
||||
#учеба #семестр_1 #история_россии
|
||||
|
||||
- **Религия и ценности** – Запад вырос из латинского христианства и сделал ставку на личную ответственность; Россия держится православной «соборности», где коллектив важнее индивида.
|
||||
- **Власть** – В Европе власть ограничивали парламентами ещё со Средневековья; в России закрепилась монархия.
|
||||
- **Право и собственность** – Римско-германское право рано защитило частную собственность, в России её защита традиционно слабее.
|
||||
- **Ценность личности** – Запад ставит личные права выше всего, российская культура — общинное и государственное.
|
||||
- **Экономическая роль государства** – На Западе государство «ночной сторож», в России оно главный игрок и заказчик.
|
||||
- **Модернизация** – Запад развивался поступательно, Россия догоняла рывками через централизацию и мобилизацию.
|
||||
@@ -0,0 +1,23 @@
|
||||
## Россия и мир в конце XVI — начале XVII вв.
|
||||
#учеба #семестр_1 #история_россии
|
||||
|
||||
Русское государство вышло из Ливонской войны ослабленным, в 1598 пресеклась династия Рюриковичей, что запустило кризис легитимности. Великий голод 1600-ых резко обострил социально-экономическую ситуацию. Во внешней среде польско-литовский гарнизон стоял в Москве в 1610-х, Швеция навязала Столбовский мир в 1617 с потерей выхода к Балтике, на юге продолжались крымско-ногайские набеги. Современная история определяет Смуту как «период бурных социально-политических процессов начавшийся на рубеже 16–17 вв.».
|
||||
## Причины подъёма национально-освободительного движения
|
||||
1. Династический вакуум и борьба элит. Пресечение династии Рюриковичей и междоусобица превратили кризис власти в общеимперский конфликт, что открыло окно самозванцам и внешнему вмешательству.
|
||||
2. Экономический кризис и голод. Неурожай и Великий голод 1601–1603 подорвали хозяйство и социальную стабильность, спровоцировали разбой и восстания, усилив готовность к мобилизации.
|
||||
3. Ввод польско-литовского гарнизона в Москву и расширение интервенции. По решению «Семибоярщины» войска Жолкевского заняли Кремль, Китай-город и Белый город, что сделало сопротивление общенациональной задачей.
|
||||
4. Религиозно-ценностная мобилизация: грамоты патриарха Гермогена. С января 1611 его грамоты легитимировали «земское» движение и придали ему цель («стояли бы все за веру, не щадя живота своего»).
|
||||
## Народные ополчения как форма самоорганизации общества
|
||||
Термин закрепился за объединениями 1611 и 1612 годов: добровольные многосословные войска, сформированные «всем миром» через городские сходы и «Совет всей земли», с собственным управлением и сбором средств. Вербовка и снабжение шли за счёт чрезвычайных сборов, в том числе и «пятой деньгой», и пожертвований. Политическая цель – блокада и освобождение Москвы и восстановление законной власти. Второе ополчение отличалось устойчивым центром в Ярославле и более жёсткой дисциплиной, что обеспечило результат.
|
||||
### Первое ополчение 1611 года
|
||||
Ополчение состояло из дворянских полков уездов, стрельцов и казаков, а лидерами ополчения стали Прокопий Ляпунов, Иван Заруцкий и князь Дмитрий Трубецкой. Политическим центром был «Совет всей земли» из Ярославлся. Целью стала блокировка польско-литовского гарнизона и выбивание интервентов из страны. Весной 1611 года начался поход на Москву – в самой столице вспыхнуло восстание, но пожары и контрудары гарнизона сорвали успех. Конфликт между «дворянской» и «казачьей» частями привёл к убийству Ляпунова и распаду единого командования. Грамоты патриарха Гермогена начала 1611 г. – ключ к общерусской мобилизации. В них были отказ от повиновения «семибоярщине» и призыв «не поддерживать поляков», что и привело к моральной легитимации сопротивления. В итоге же Гермоген был заточён и погиб мученически.
|
||||
### Второе ополчение (1611–1612)
|
||||
После кризиса Первого ополчения Нижний Новгород создал новое «земское» войско. Организатором финансов и набора был Кузьма Минин, а воеводой князь Дмитрий Пожарский. Введён чрезвычайный сбор «пятая деньга», учреждён «приказ» и регулярные выплаты ратным. Из Нижнего Новгорода оформился «Совет всей земли», который весной 1612 развернули в Ярославле и от имени которого рассылали грамоты, вели сбор ратников, припасов и денег, закрепив принцип не избирать государя без общего совета. Летом этого же года ополчение выступило к Москве, у столичных стен объединилось со лагерем Трубецкого, организовало осаду и с августа по сентябрь разбило корпус Ходкевича, сорвав деблокаду Кремля. 22 октября, взят Китай-город; 26 и 27 октября принята капитуляция гарнизона и ополченцы вступили в Кремль. Эта связка управления, снабжения и дисциплины обеспечила результат и открыла путь к Земскому собору 1613 г.
|
||||
#### Поход и освобождение Москвы
|
||||
С лета по осень 1612 года объединённые силы Второго и лагеря Первого ополчений отразили корпус гетмана Ходкевича у Москвы, сорвали подвоз в Кремль и перешли к штурму. 22 октября взят Китай-город, 26 октября гарнизон согласился на капитуляцию, а на следующий день ополченцы вступили в Кремль. 4 ноября в современной традиции связано с кульминацией московских событий и почитанием Казанской иконы, именно в эту дату отмечается государственный праздник – День народного единства.
|
||||
## Значение подъёма и ополчений
|
||||
Ополчения сняли угрозу распада государства, восстановили «вертикаль» власти снизу вверх, укрепили легитимацию «земского» представительства и практику межсословной солидарности города и уезда, а так же создали прецедент общенациональной мобилизации вокруг религиозно-патриотической идеи, что позже стало важным элементом политической культуры.
|
||||
## Завершение Смуты и внешнеполитические итоги
|
||||
В 1613 году Земский собор избрал Михаила Фёдоровича, после чего основным стало внешнеполитическое урегулирование. Со Швецией заключён Столбовский мир, по которому осуществлялся возврат Новгорода при утрате выхода к Балтике, это позволило сосредоточиться против Речи Посполитой. С Польшей подписано Деулинское перемирие, а то есть потеря Смоленска и ряда городов на 14 с половиной лет, но прекращение боевых действий и окно для восстановления. К концу 1618-го территория была освобождена от врагов, кроме уступленных участков.
|
||||
## Вывод
|
||||
Подъём национально-освободительного движения в Смуту – это не вспышка «стихии», а управляемая самоорганизация городских обществ и уездного дворянства, легитимированная церковной властью и опёртая на новую финансовую дисциплину. Первое ополчение показало потенциал и уязвимость «земского» механизма. Второе, устранив организационные слабости, решило главную задачу – освобождение Москвы – и открыло путь к восстановлению государственности.
|
||||
26
01 Учёба/1 семестр/ОДК/Доклад №27.md
Normal file
26
01 Учёба/1 семестр/ОДК/Доклад №27.md
Normal file
@@ -0,0 +1,26 @@
|
||||
## Введение
|
||||
#учеба #семестр_1 #одк
|
||||
|
||||
В любой профессиональной среде ключевую роль играет не только обмен информацией, но и умение обсуждать сложные вопросы, защищать свою позицию и слышать других. Именно поэтому спор, дискуссия и полемика занимают особое место в системе деловых коммуникаций. Они позволяют выявлять разногласия и превращать их в источник развития, способствуют рождению новых идей и формированию коллективных решений. Без умения аргументированно отстаивать мнение и конструктивно реагировать на возражения невозможно построить эффективное взаимодействие в команде, принять взвешенное управленческое решение или провести успешные переговоры.
|
||||
Ценность споров и дискуссий заключается в том, что они создают интеллектуальное напряжение, побуждающее участников глубже анализировать проблему. Полемика, в свою очередь, помогает оттачивать навыки убеждения, развивает риторику и уверенность в публичных выступлениях. Все эти формы общения делают коммуникацию живой, осмысленной и продуктивной, превращая разногласия не в конфликт, а в двигатель профессионального роста.
|
||||
## Что есть что?
|
||||
Под ==спором== в деловых коммуникациях понимается столкновение разных точек зрения, возникающее при расхождении мнений относительно определённого вопроса. Основная цель спора – доказать правоту своей позиции и убедить собеседника в её правильности. В отличие от повседневных ссор, деловой спор строится на аргументах, логике и фактах, а не на эмоциях. Он может быть полезен, если обе стороны придерживаются правил корректности и ориентированы на достижение истины. Однако если участники сосредоточены исключительно на победе, спор превращается в бесплодную конфронтацию, мешающую эффективному общению.
|
||||
==Дискуссия== же, это более мягкая и конструктивная форма обмена мнениями. Её цель — совместный поиск решения, выработка общего подхода к проблеме. В дискуссии участники не стремятся доказать свою правоту любой ценой. Напротив, они анализируют доводы друг друга, уточняют позиции, ищут компромиссы. Для деловых коммуникаций дискуссия — наиболее продуктивная форма взаимодействия, поскольку она способствует выработке коллективных решений и формированию атмосферы взаимного уважения. Именно в дискуссиях рождаются новые идеи, концепции и управленческие решения, когда каждая точка зрения рассматривается не как угроза, а как вклад в общий результат.
|
||||
==Полемика== представляет собой особую, наиболее острую форму спора. Это интеллектуальное противостояние, направленное не только на убеждение собеседника, но и на воздействие на аудиторию. Полемика чаще всего возникает в публичных выступлениях, дебатах, конференциях, когда важно не только аргументировать свою позицию, но и показать слабые стороны оппонента. В отличие от дискуссии, полемика допускает эмоциональные элементы, выразительные средства речи и даже элементы риторического давления. Однако и здесь необходимо соблюдать рамки корректности и профессиональной этики: переход на личности, насмешки или манипуляции недопустимы, особенно в деловой среде.
|
||||
В деловых коммуникациях выбор формы общения зависит от цели взаимодействия. Если необходимо найти компромисс и выработать общее решение, предпочтительна дискуссия. Когда нужно отстоять принципиальную позицию или доказать эффективность своего подхода, уместен конструктивный спор. Полемика же используется там, где важно публично защитить идею, повлиять на мнение аудитории или продемонстрировать профессиональную компетентность. Таким образом, каждая из трёх форм служит своим задачам и требует разного уровня эмоционального и риторического контроля.
|
||||
## Правила ведения конструктивного спора и дискуссии
|
||||
Эффективность любой формы делового обсуждения зависит от соблюдения определённых норм. Главный принцип – уважительное отношение к собеседнику. Важно не только говорить, но и слушать, не перебивать и не искажать позицию другого участника. Аргументы должны быть основаны на фактах, логике и опыте, а не на эмоциях или личных симпатиях. Любая дискуссия теряет смысл, если участники переходят на личности или пытаются «победить» ради самой победы.
|
||||
Не менее важно чётко формулировать свои мысли. Неясные, расплывчатые или эмоциональные высказывания мешают пониманию и создают атмосферу недоверия. В деловой дискуссии ценится лаконичность, точность и последовательность. Если спор или полемика происходят публично, необходимо также следить за тоном речи, жестами и интонацией: излишняя агрессия может подорвать восприятие аргументов, даже если они логически верны.
|
||||
Полезным навыком является умение признавать обоснованность чужой позиции. Это не проявление слабости, а показатель зрелости и гибкости мышления. В деловой среде выигрывает не тот, кто «переорал» оппонента, а тот, кто сумел объединить разные мнения ради общей цели.
|
||||
## Роль такого вида диалогов в деловых коммуникациях
|
||||
В современной организации спор и дискуссия выполняют несколько важных функций. Прежде всего, они позволяют выявить разные точки зрения на проблему и оценить их аргументированность. Это даёт возможность избежать ошибок при принятии решений, поскольку каждая позиция подвергается логической проверке. Кроме того, участие в спорах и дискуссиях формирует у сотрудников культуру аргументации, умение выстраивать логичные высказывания, слушать и понимать оппонента.
|
||||
Полемика же, особенно в публичной форме, играет роль инструмента убеждения. Она необходима при защите проектов, презентациях, деловых переговорах. Умение вести полемику помогает специалисту отстаивать свои идеи, влиять на мнение аудитории и поддерживать имидж компетентного профессионала. В итоге и выходит, что спор, дискуссия и полемика – это не просто формы общения, а средства развития коммуникационной компетентности и профессионального авторитета.
|
||||
## Практическое значение и примеры применения
|
||||
Споры и дискуссии постоянно возникают в профессиональной деятельности — при обсуждении стратегий, распределении ресурсов, принятии управленческих решений. Например, при разработке нового продукта в команде могут существовать разные подходы к его продвижению. Один специалист настаивает на традиционной рекламе, другой — на работе с блогерами, третий — на внутренней мотивации клиентов. Конструктивная дискуссия помогает объединить эти подходы, оценить их эффективность и выбрать оптимальный вариант.
|
||||
Полемика чаще встречается в публичных форматах: на конференциях, совещаниях с внешними партнёрами, переговорах с инвесторами. Здесь важно не только иметь аргументы, но и уметь убедительно их преподнести, управлять вниманием аудитории и демонстрировать уверенность. Именно такие формы коммуникации и формируют профессиональный имидж человека, показывая его способность мыслить логично, держать удар и сохранять самообладание.
|
||||
## Значение в формировании культуры общения
|
||||
Освоение навыков ведения спора, дискуссии и полемики способствует формированию общей культуры общения в коллективе. Когда сотрудники умеют грамотно обсуждать вопросы, организация получает более эффективную систему внутреннего взаимодействия. Конфликты становятся редкостью, а обмен идеями — нормой. Кроме того, культура аргументированного общения повышает доверие между коллегами и укрепляет корпоративную этику.
|
||||
Для руководителя эти формы общения — инструмент управления. Умение направить спор в конструктивное русло, поддерживать продуктивную дискуссию и контролировать полемику делает коммуникацию управляемой и результативной. Это снижает эмоциональную напряжённость в коллективе и способствует принятию взвешенных решений.
|
||||
## Итоги
|
||||
Спор, дискуссия и полемика – неотъемлемые элементы делового общения, каждая из которых выполняет свою функцию. Спор выявляет противоположные точки зрения и помогает уточнить границы проблемы. Дискуссия способствует совместному поиску решений и укрепляет взаимопонимание между участниками. Полемика, в свою очередь, развивает навыки убеждения и публичного выступления. Все три формы требуют соблюдения норм этики, логики и уважения. Их грамотное использование делает деловую коммуникацию более эффективной, а сам процесс взаимодействия – осмысленным и профессиональным.
|
||||
В конечном счёте умение грамотно вести такие диалоги является признаком высокой коммуникативной культуры личности. Тот, кто владеет этими формами общения, способен не только защищать свою позицию, но и находить компромиссы, понимать мотивы других людей и строить диалог, ведущий к результату. Это качество особенно важно в современном деловом мире, где успех зависит не только от знаний и компетенций, но и от способности слушать, убеждать и сотрудничать.
|
||||
@@ -0,0 +1,55 @@
|
||||
## 0) Введение
|
||||
#учеба #семестр_1 #одк
|
||||
|
||||
Публичный оратор — это человек, который умеет управлять вниманием и смыслом в большой аудитории: объяснять, убеждать, мотивировать, иногда менять поведение людей. Важно, что ораторство — не просто “красивые слова”, а работа с конкретной ситуацией: цель, аудитория и контекст.
|
||||
## План доклада
|
||||
1. Кто такой публичный оратор и по каким признакам речь “сильная”
|
||||
2. Исторические ораторы: несколько ключевых примеров и приёмов
|
||||
3. Современные ораторы
|
||||
4. Общие техники и вывод: короткий чеклист подготовки
|
||||
|
||||
---
|
||||
### 1) Кто такой публичный оратор и почему это важно
|
||||
Чтобы говорить о выдающихся ораторах, удобно опираться на базовые принципы риторики: **ethos** (доверие к личности), **logos** (логика/аргументы) и **pathos** (эмоции/сопричастность). Эта триада традиционно связывается с аристотелевской риторикой и до сих пор используется как рабочая модель анализа убедительности речи.
|
||||
|
||||
---
|
||||
### 2) Исторические ораторы: от античности до XX века
|
||||
|
||||
#### Античность: Демосфен и “ремесло речи”
|
||||
В античной Греции оратор был одновременно и политиком, и “медиа”. Один из самых известных примеров — **Демосфен**, которого часто приводят как символ того, что ораторство можно натренировать. В биографической традиции есть конкретные эпизоды про упражнения: проговаривание текста с камешками во рту, тренировка голоса и дикции в тяжёлых условиях. Это важно не как “лайфхак”, а как идея: сильная речь — результат дисциплины и техники, а не только таланта.
|
||||
#### Рим: Цицерон и системный подход к риторике
|
||||
В Древнем Риме образцовый оратор — **Цицерон**. В трактатах об ораторском искусстве он подчёркивает, что хорошая речь не сводится к красивым словам: оратору нужны знания, понимание людей и умение выстраивать аргументацию. В тексте “De Oratore” прямо звучит мысль, что оратор должен серьёзно разбираться в вопросах, иначе речь будет пустой.
|
||||
|
||||
От античности также идёт удобная “памятка” подготовки выступления — **пять канонов риторики**: изобретение (что сказать), расположение (как выстроить), стиль (как сформулировать), память, произнесение/подача. Эту схему часто связывают с римской традицией и объясняют как универсальные шаги подготовки речи.
|
||||
|
||||
---
|
||||
### 3) Классика публичных речей нового времени: когда речь меняла историю
|
||||
|
||||
#### Уинстон Черчилль
|
||||
Черчилль — пример “военного” оратора, у которого задача речи предельно практичная: удержать общество в стойкости. В знаменитом выступлении с повтором “We shall fight…” работает простая техника: **анафора** (повтор начала фраз), создающая ритм и ощущение неизбежности действия. Текст речи в стенограммах и архивах демонстрирует этот повтор буквально строка за строкой.
|
||||
Повтор — не украшение, а инструмент управления вниманием и эмоциями.
|
||||
#### Мартин Лютер Кинг
|
||||
Кинг — пример оратора, который соединяет **pathos** и **logos**: он не просто вызывает эмоции, а строит моральный аргумент и рисует конкретный образ будущего. В “I Have a Dream” ключевая сила — тоже в повторе (анафора “I have a dream…”) и в переходе от описания несправедливости к позитивной программе надежды.
|
||||
#### Нельсон Мандела
|
||||
Мандела интересен тем, что его риторика — это риторика примирения и “сборки” общества. В торжественной речи 1994 года он формулирует новую общую рамку для страны (“новая эра”, “победа для всех людей”), и это классический пример ораторства, где цель — создать общий язык для бывших противников. Тексты речи широко опубликованы в университетских и исторических коллекциях.
|
||||
|
||||
---
|
||||
### 4) Современные публичные ораторы: новые медиа и новые правила
|
||||
Главное отличие современности — среда. Речь живёт не только “в зале”, а в клипах, цитатах, нарезках. Оратор одновременно выступает и “на сцене”, и “в ленте”.
|
||||
#### Малала Юсуфзай и Грета Тунберг
|
||||
Современная публичная речь активистов часто выигрывает за счёт ясной морали и минимализма: “что происходит”, “кто отвечает”, “что нужно сделать”. У Малалы есть сильный пример обращения в ООН 2013 года: акцент на праве на образование и отказ от языка мести — это одновременно ethos (позиция) и pathos (человеческий смысл).
|
||||
У Греты Тунберг (ООН, 2019) работает “жёсткая” эмоциональная подача и прямые обвинительные формулировки (“How dare you”), что идеально ложится в логику медиа: фраза становится цитатой, а цитата — вирусным носителем смысла.
|
||||
#### TED-ораторы: “объяснить сложное просто”
|
||||
Отдельный тип современного оратора — популяризатор. Например, Кен Робинсон с лекцией “Do Schools Kill Creativity?” — это пример публичного выступления, которое живёт как культурная цитата и как образовательный продукт. Транскрипты речи широко распространяются в открытых источниках.
|
||||
Здесь важна техника: ясная идея, юмор, понятные примеры, аккуратная структура — то есть “ораторство для объяснения”, а не для мобилизации.
|
||||
|
||||
---
|
||||
### 5) Что объединяет великих ораторов?
|
||||
1. **Баланс ethos–logos–pathos**: доверие к личности + аргументы + эмоции.
|
||||
2. **Чёткая структура** (проблема → смысл → решение/призыв), что хорошо ложится на “каноны риторики” и базовую логику построения речи.
|
||||
3. **Ритм и повтор**: анафора как усилитель смысла (Кинг, Черчилль).
|
||||
4. **Соответствие моменту и аудитории** (kairos / риторическая ситуация): сильные речи всегда “попадают” в контекст.
|
||||
|
||||
---
|
||||
### 6) Вывод
|
||||
Исторические и современные ораторы отличаются контекстом и медиа, но логика силы речи примерно одна: оратор либо создаёт доверие и объясняет, либо мобилизует и объединяет, либо даёт людям смысл и направление. С античности до наших дней меняются площадки и скорость распространения, но остаются инструменты: структура, аргументы, эмоции, повтор и точное попадание в момент.
|
||||
113
01 Учёба/1 семестр/ОДК/Слухи, сплетни в ДК и работа с ними.md
Normal file
113
01 Учёба/1 семестр/ОДК/Слухи, сплетни в ДК и работа с ними.md
Normal file
@@ -0,0 +1,113 @@
|
||||
### 1) Вступление: почему тема важна
|
||||
#учеба #семестр_1 #одк
|
||||
|
||||
В любой организации есть формальные каналы коммуникации: письма, собрания, регламенты. Но параллельно всегда живёт – «неформальная сеть» — разговоры в чатах, на кухне, в личных переписках. Именно там быстрее всего распространяются слухи и сплетни.
|
||||
Проблема в том, что они напрямую влияют на доверие, мотивацию и поведение сотрудников: люди начинают принимать решения не на основе фактов, а на основе «я слышал(а), что…». HR-практика отмечает, что офисные сплетни могут снижать мораль, повышать тревожность и бить по продуктивности.
|
||||
|
||||
#### План доклада:
|
||||
1. Различия между слухами и сплетнями как явления деловой коммуникации.
|
||||
2. Принцип, почему они возникают и как распространяются.
|
||||
3. Определить рабочие методы профилактики и реакции.
|
||||
|
||||
---
|
||||
### 2) Понятия: слухи и сплетни
|
||||
**Слух** — это неподтверждённая информация о событиях или решениях («будут сокращения», «нас покупают», «премий не будет»).
|
||||
**Сплетня** — разновидность неформальной коммуникации, чаще о людях, которые сейчас отсутствуют (“он получил повышение через связи”, “она уходит, потому что конфликт”).
|
||||
|
||||
Важно: не вся сплетня = зло. Исследователи и управленцы отмечают, что “сплетни” могут выполнять социальные функции: помогать людям понимать нормы группы и ориентироваться в отношениях, хотя руководители часто воспринимают любые сплетни как “непрофессиональный”.
|
||||
Но граница проходит там, где начинается травля, дискриминация, подрыв репутации, нарушение приватности и рабочие конфликты — и это уже зона управленческого вмешательства.
|
||||
|
||||
---
|
||||
### 3) Почему слухи возникают?
|
||||
Классическая идея психологии слухов гласит, что слухи “разгоняются”, когда тема **важна** для людей и при этом есть **неопределённость/неясность**. У Аллпорта и Постмана это выражено формулой интенсивности слуха: $Слух \approx важность \times неопределенность$
|
||||
Современные работы продолжают использовать этот принцип: чем выше ставки и туманнее официальная информация — тем легче слуху стать “заменителем” фактов.
|
||||
|
||||
Практический вывод для менеджмента: слухи — это часто не “плохие люди”, а симптом информационного вакуума.
|
||||
|
||||
---
|
||||
|
||||
### 4) Чем слухи и сплетни опасны (и иногда полезны)?
|
||||
|
||||
**Риски для организации:**
|
||||
1. **Падение доверия** к руководству: если люди верят коллегам, а не Вам, значит официальный канал слабый.
|
||||
2. **Тревожность и выгорание**: при неопределённости мозг достраивает худшие сценарии.
|
||||
3. **Потери времени и продуктивности**: обсуждение замещает работу.
|
||||
4. **Репутационный и юридический хвост**: персональные сплетни могут переходить в травлю или дискриминацию, особенно если затрагивают защищённые признаки.
|
||||
5. **Срыв изменений**: при реорганизациях слухи могут саботировать внедрение решений ещё до их официального запуска. Психология организационных изменений прямо выделяет слухи как фактор периода перемен.
|
||||
|
||||
**Но есть и полезные функции**:
|
||||
- индикатор проблем (“почему люди так думают?”)
|
||||
- механизм социальной регуляции (группа обсуждает нормы)
|
||||
- быстрый “датчик” доверия и качества внутренних коммуникаций
|
||||
|
||||
---
|
||||
### 5) Как распространяются слухи?
|
||||
Упрощённо цикл выглядит так:
|
||||
1. **Рычаг** (новость, намёк, задержка выплат, странное письмо, кадровые изменения).
|
||||
2. **Вакуум информации** (нет ясного объяснения, сроки непонятны).
|
||||
3. **Интерпретация** (люди заполняют пробелы догадками).
|
||||
4. **Усиление** (каждый пересказ добавляет “детали”).
|
||||
5. **Закрепление** (слух становится “общеизвестным фактом”).
|
||||
|
||||
Если слух не остановить, он начинает влиять на поведение: кто-то срочно ищет работу, кто-то конфликтует, кто-то перестаёт вкладываться в проект.
|
||||
|
||||
---
|
||||
### 6) Что реально работает в работе со слухами и сплетнями?
|
||||
|
||||
#### A) Профилактика
|
||||
1. **Регулярная прозрачная коммуникация**
|
||||
Короткие новости “что происходит / что не происходит / когда будет ясно” снижают неопределенность — а значит, и спрос на слухи.
|
||||
2. **Официальный быстрый канал “вопрос–ответ”**
|
||||
Например: еженедельный пост руководителя, внутренний ЧаВо в корпоративном чате (без наказаний за вопросы, естественно).
|
||||
3. **Коммуникация в период изменений**
|
||||
Организационные изменения — “питательная среда” для слухов, поэтому нужны заранее подготовленные сообщения, частые синхронизации и объяснение причин решений.
|
||||
4. **Нормы и границы**
|
||||
Полезно проговорить: обсуждать рабочие процессы и решения — нормально, но обсуждать личную жизнь/унижать/распространять непроверенное про людей — отнюдь нет.
|
||||
#### B) Реакция: алгоритм из 5 шагов
|
||||
**Шаг 1. Зафиксировать слух точно**
|
||||
Не “там что-то говорят”, а конкретно: _что именно утверждают, где, кто аудитория, какой ущерб уже есть_.
|
||||
|
||||
**Шаг 2. Оценить риск**
|
||||
- безопасность, деньги, сокращения, репутацию?
|
||||
- конкретный человек (риск конфликта/травли)?
|
||||
- влияние на решения команды прямо сейчас?
|
||||
|
||||
**Шаг 3. Выбрать стратегию ответа**
|
||||
- **Если слух частично правдив, но преждевременный**, то дать рамку – “да, обсуждаем, решения будут такого-то числа; пока никаких действий от вас не требуется”.
|
||||
- **Если слух ложный**, то коротко и уверенно опровергнуть, без “воды”, прикрепив фактами.
|
||||
- **Если информацую пока нельзя раскрывать** (например, переговоры), то честно сказать “пока нельзя комментировать” и назвать дату/условие, когда сможете. Это лучше, чем просто молчать.
|
||||
|
||||
**Шаг 4. Донести через правильного “носителя доверия”**
|
||||
Иногда письмо от HR хуже работает, чем разговор руководителя команды. Важен источник: доверие к менеджменту снижает активность слухов — это отдельно обсуждается в исследованиях о слухах в организациях.
|
||||
|
||||
**Шаг 5. Закрепить и проверить**
|
||||
Сделать короткий созвон: “мы это обсудили, вопросы здесь”, и посмотреть, стихло ли. Если нет — значит, либо не хватает ясности, либо проблема глубже.
|
||||
#### C) Если сплетни направлены на конкретного сотрудника
|
||||
Тут важно действовать аккуратно:
|
||||
- не устраивать публичную “порку”
|
||||
- защитить человека
|
||||
- остановить распространение
|
||||
|
||||
Практичный подход: личный разговор с источником/активными распространителями, фиксация границ (“обсуждать человека за спиной недопустимо”), и перевод в конструктив: если есть претензия — поднимать по процедуре.
|
||||
|
||||
---
|
||||
|
||||
### 7) Мини-пример
|
||||
Допустим, в компании задержали объявление бонусов, и пошёл слух: “премий не будет, деньги кончились”.
|
||||
По модели $важность \times неопределенность$ это идеально: тема важная, ясности нет.
|
||||
Правильная реакция: руководитель/HR в тот же день пишет коротко:
|
||||
- “Премии будут, но дата сместилась из-за согласования бюджета”;
|
||||
- “Точная дата — пятница”;
|
||||
- “Если у вас есть персональные вопросы — приходите”.
|
||||
И отдельно: менеджеры команд проговаривают это на созвонах. Итог: неопределенность падает — слуху нечем “питаться”.
|
||||
|
||||
---
|
||||
|
||||
### 8) Вывод
|
||||
|
||||
Слухи и сплетни — не случайная “грязь”, а естественный продукт неформальной коммуникации. Они усиливаются там, где высока важность темы и низка ясность официальной информации.
|
||||
Управленческая задача — не “запретить людям говорить” (это невозможно), а:
|
||||
- закрывать информационные вакуумы
|
||||
- быстро и честно комментировать чувствительные темы
|
||||
- защищать сотрудников от персональных атак
|
||||
- строить культуру, где вопросы можно задавать напрямую
|
||||
29
01 Учёба/1 семестр/ОРГ/Моя малая родина.md
Normal file
29
01 Учёба/1 семестр/ОРГ/Моя малая родина.md
Normal file
@@ -0,0 +1,29 @@
|
||||
### 1 СЛАЙД
|
||||
#учеба #семестр_1 #орг
|
||||
|
||||
Я родом из Нового Уренгоя, города в Ямало-Ненецком Автономном Округе. Этот город довольно-таки молодой, по сравнению с городами России, в этом году ему исполнилось 50 лет. Новый Уренгой возник при освоении Уренгойского газового месторождения. Символический колышек будущего посёлка «Ягельное» забили 22 сентября 1973 года. В 1975 началось бурение и стройка, а 16 июня 1980 посёлок получил статус города. Самой датой основания посёлка считается 7 августа 1975 года.
|
||||
|
||||
### 2 СЛАЙД
|
||||
Новый Уренгой известен как «газовая столица России», ведь именно отсюда, а если быть точнее, то с Уренгойского супергигансткого газового месторождения, добывается около 60% всего природного газа страны. Оно было открыто ещё в 1966 году, а уже в 1978 началась промышленная добыча газа, и вскоре, в 1984, была открыта международная магистраль «Уренгой-Помары-Ужгород».
|
||||
|
||||
|
||||
### 3 СЛАЙД
|
||||
Климат здесь, конечно же, не особо гостеприимный, так как это все ещё Сибирь. Зима тут 6 месяцев в году, со снегом и тёмными днями. Средняя температура зимой составляет от -25 до -20 градусов, но за последние года часто доходило до -35. Не очень часто, но даже мне удалось застать температуру на улице ниже -40. Зимы тут «карикатурные», всё как по методичке – куча снега, все укутываются в 3 слоя одежды, темно на улице почти всегда, в день бывает от часа до получаса света, остальную часть дня мы проводим в тени. Зато зима здесь красивая, а так как неподалеку тут Тундра, то душа упивается такими видами. А вот в отличии от зимы, летом у нас очень светло. Темного времени суток почти нет, спутать день и ночь очень просто.
|
||||
|
||||
Лето тут тоже хорошее. Казалось бы, в таком месте лето тоже должно быть холодным, но за последнее время с мая по август средняя температура была от +20 до +25 градусов. Естественно ни о каком снеге речи и не идёт! Городок не обделен солнышком, которое тоже греет нас, как и всех летом. В общем, насколько хорошие тут зимы, настолько и приятные лета тут.
|
||||
|
||||
### 4 СЛАЙД
|
||||
Но несмотря на такой радужный рассказ скрывать минусы становится труднее и труднее:
|
||||
- Такой холод зимой утомляет, а вместе с вечной тьмой просыпаться и делать что-то по утру сравни с невозможным. Из-за отсутствия света появляется вечное чувство усталости, голова просыпается только ближе к вечеру, когда уже все важные дела закончились. Это безумно мешало учёбе, ведь первые пару уроков уходили просто на то, чтобы проснуться.
|
||||
- Наплыв снега очень большой. Его не всегда успевают чистить, и часто приходиться ходить и самому растаптывать себе путь. А когда попадаешь под этот снегопад, то и не видишь сам ни черта, из-за чего передвижение на улице становится ещё труднее.
|
||||
- Город вахтовой, рабочий. Тут нечего делать. Походить, полюбоваться видами – да, но на пару раз, а жить тут надо несколько лет, поэтому это становится скучнее-скучнее-и-скучнее, из-за чего и сложно.
|
||||
- Воздух грязный, что неудивительно. Газовая промышленность даёт о себе знать. За 18 лет конечно привыкаешь и не замечаешь, но вот новому человеку очень тяжело даётся атмосфера нашего города.
|
||||
|
||||
### 5 СЛАЙД
|
||||
И даже при всех минусах есть и плюсы, конечно же!
|
||||
- Самое главное, конечно же, доходность! Это север, так ещё и множество районных коэффициентов, в итоге обычный оклад поднимается с 90% до 100%! Работу тут найти не трудно. Если готовы к климату – езжайте сюда, не стесняйтесь!
|
||||
- Из-за важности города, его начали отстраивать. Это как раз идёт в противовес к одному из озвученных минусов. Конечно результаты этого всего наблюдаются не прямо сейчас, но обещают всё закончить в течении следующих трёх лет!
|
||||
- Природа тут шикарна. Если же вы такой человек, который всей душой ценит природу и её красоты, то вам сюда. Рядом располагающаяся Тундра станет для вас хорошим подарком, и зимой и летом. Зимой тут можно полюбоваться снежными видами, а летом пособирать грибов и других прелестей лесов.
|
||||
|
||||
### 6 СЛАЙД
|
||||
Новый Уренгой вызывает у меня тёплые чувства и воспоминания, так как всё своё детство я провёл именно здесь. Не знаю, посоветовал бы я приезжать сюда кому-нибудь, но сам я сюда буду возвращаться с улыбкой на лице!
|
||||
15
01 Учёба/2 семестр/Английский язык/Text summary 24 feb.md
Normal file
15
01 Учёба/2 семестр/Английский язык/Text summary 24 feb.md
Normal file
@@ -0,0 +1,15 @@
|
||||
#учеба #семестр_2 #английский_язык
|
||||
|
||||
1. **The title of the text/article**
|
||||
The text I have read is headlined “Computers from past to present”.
|
||||
2. **The main idea of the text/article**
|
||||
The main idea of the text is to describe how computers have developed from early calculating devices to modern systems and how this development has influenced everyday life.
|
||||
3. **The contents of the text/article. Some facts, names, figures**
|
||||
The text is divided into four logical parts.
|
||||
At the first logical part the author starts by gives a definition of a computer and explains the origin of the word “computer”.
|
||||
The second logical part is devoted to the five generations of computers and their main technological changes, with examples such as ENIAC and UNIVAC at the 1st generation, IBM 1620 at the 2nd, IBM-360 at the 3rd, CRAY-1 at the 4th, and modern PC systems at the 5th.
|
||||
The third logical part touches upon the next generation – quantum computers – and briefly explains the idea of qubits and why quantum computing may become important.
|
||||
The final, fourth logical part describes how computers are used today: banking and ATMs, e-commerce and contactless payments, smartphones, virtual reality, and education.
|
||||
In conclusion, the author states that computers have become essential in modern life and will continue to develop.
|
||||
4. **Your opinion**
|
||||
I found the text informative and useful because it presents the history of computers in a clear way and connects it with real-life applications.
|
||||
@@ -0,0 +1 @@
|
||||
#учеба #семестр_2 #дискретная_математика
|
||||
1
01 Учёба/2 семестр/Дискретная математика/16.02.md
Normal file
1
01 Учёба/2 семестр/Дискретная математика/16.02.md
Normal file
@@ -0,0 +1 @@
|
||||
#учеба #семестр_2 #дискретная_математика
|
||||
@@ -0,0 +1,15 @@
|
||||
#учеба #семестр_2 #дискретная_математика
|
||||
|
||||
$\bar{asd}$
|
||||
$\neg{test}$
|
||||
$\overline{test}$
|
||||
$\overline{test}$
|
||||
$\overline{test}$
|
||||
$A \land X$
|
||||
$A \lor B$
|
||||
$\cup$
|
||||
$\cap$
|
||||
$\$
|
||||
|
||||
$\forall$
|
||||
|
||||
469
01 Учёба/2 семестр/Неразобранное/10.02.md
Normal file
469
01 Учёба/2 семестр/Неразобранное/10.02.md
Normal file
@@ -0,0 +1,469 @@
|
||||
# Дискретная математика
|
||||
#учеба #семестр_2 #неразобранное
|
||||
|
||||
#ДискретнаяМатематика
|
||||
#Лекция
|
||||
|
||||
Дискретная математика изучает структуры, которые состоят из отдельных элементов, таких например, как целые числа, графы, логика и множества.
|
||||
Главное свойство таких объектов – дискретность, то есть их разделимость на отдельные неделимые части. Это отличается дискретную математика от мат. анализа и физика, где работают с непрерывными величинами, такими как функции и пределы.
|
||||
|
||||
**Множество** – это совокупность некоторых объектов произвольной природы, объединённых общим свойством.
|
||||
Важные свойства множества: порядок элементов не имеет значения, а одинаковые элементы не повторяются.
|
||||
|
||||
**Создателем** теории множеств считается **Георг Кантор**, немецкий математик, разработал:
|
||||
- Теорию бесконечных множеств
|
||||
- Теорию трансфинитивных чисел
|
||||
|
||||
==**Множество** – это элементарное неопределяемое понятие в математике. Мы не можем его определить так же, как точку в геометрии, числа в арифметике.==
|
||||
|
||||
## Основные понятия
|
||||
1. Объекты, обращующие некоторое множество, называются его элементами. Принадленость некоторго элемента $x$ множеству как $x \in A$ – «$x$ это элемент множества $A$»;
|
||||
Непринадлежность некоторых элемента $a$ множеству $M$ обозначается: $a \not\in M$;
|
||||
Знак «» или «» при описании множеств обозначает «такой, что» или «обладающий свойством».
|
||||
2. Существуют 3 основным способа заданий множеств:
|
||||
1. Перечисление элементов $X=\{x_{1},x_{2}\dots x_{n}\};$
|
||||
2. Задание порождающей процедуры $A=\{x|x=f\};$
|
||||
Порождающая процедура описывается способ получения элементов множества из уже полученных элементов либо из других объектов. Элементами множества считаются все объекты, которые могут быть посмотрены с помощью такой процедуры $B=\{B=x|x^{2}-3x+2=0\} \to B=\{1,2\}$
|
||||
3. Описание характеристического свойства $A=\{x|x=P(X)\}$
|
||||
3. Множества могут быть конечными (группа студентов) или бесконечными (натуральные числа). Множества, элементами которых также являются множества называются классом (семейством, системной) множеств.
|
||||
4. Для конечного множества $A=\{a_{1},a_{2},\dots,a_{n}\}$ количество элементов $n$ называется **мощностью** множества и обозначается $|A|$.
|
||||
Для конкретного элемента $a$ и множества $A$ можно определить, принадлежит элемент $a$ множеству $A$ или не принадлежит.
|
||||
Пример: $A=\{x\mid 5 \le x \le 10,\ x \in N\}\Rightarrow |A|=6$.
|
||||
Мощность пустого множества равна нулю: $|\varnothing|=0$.
|
||||
5. Множество, состоящее из одного элемента, обозначается $\{a\}$.
|
||||
Множество, не содержащее элементов, называется **пустым** и обозначается $\varnothing$ (например, $A=\varnothing$).
|
||||
Пустое множество является подмножеством любого множества.
|
||||
6. Множество $U$ называется **универсальным**, если оно содержит все элементы и все множества являются его подмножествами.
|
||||
Всегда необходимо оговаривать, что понимается под универсальным множеством $U$.
|
||||
7. Множество $A$ называется **подмножеством** множества $B$, если все элементы множества $A$ являются также элементами множества $B$.
|
||||
Говорят, что $A$ включается в $B$, и обозначают: $A \subseteq B$.
|
||||
Таким образом, $A \subseteq B$, если для любого элемента $x$: если $x \in A$, то $x \in B$.
|
||||
Если множество $B$ содержит хотя бы один элемент, не принадлежащий множеству $A$, то $A \subset B$ — строгое включение.
|
||||
8. Равенство двух множеств $A$ и $B$ означает, что множества состоят из одних и тех же элементов.
|
||||
То есть выполняются два включения: $A \subseteq B$ и $B \subseteq A$.
|
||||
9. Связь между произвольным множеством и всеми его подмножествами определяется **булеаном**.
|
||||
Булеан множества — это множество всех подмножеств данного множества $A$, включая пустое множество.
|
||||
Обозначения булеана: $P(A)$, $2^{A}$, $B(A)$.
|
||||
Пример: для $A=\{1,2,3\}$ булеан равен
|
||||
$P(A)=\{\varnothing,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}$.
|
||||
|
||||
## Операции над множествами
|
||||
1. **Объединение** ($A \cup B$) — множество всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $A$ или $B$.
|
||||
$A \cup B=\{x \mid x \in A \text{ или } x \in B\}$.
|
||||
Пример: $A=\{1,2\},\ B=\{2,3\}$, тогда $A \cup B=\{1,2,3\}$.
|
||||
Если $A=B$, то $A \cup B=A=B$.
|
||||
Если $B \subseteq A$, то $A \cup B=A$.
|
||||
Если $A \cap B=\varnothing$, то объединение состоит из всех элементов $A$ и $B$ без повторений.
|
||||
2. **Пересечение** ($A \cap B$) — множество всех элементов, которые одновременно принадлежат $A$ и $B$.
|
||||
$A \cap B=\{x \mid x \in A \text{ и } x \in B\}$.
|
||||
Пример: $A=\{1,2\},\ B=\{2,3\}$, тогда $A \cap B=\{2\}$.
|
||||
Если $A=B$, то $A \cap B=A=B$.
|
||||
Если $B \subseteq A$, то $A \cap B=B$.
|
||||
Если множества не имеют общих элементов, то $A \cap B=\varnothing$.
|
||||
3. **Разность множеств** ($A \setminus B$) — множество элементов, которые принадлежат $A$ и не принадлежат $B$.
|
||||
Обозначается $A \setminus B$ и читается как «разность множеств $A$ и $B$».
|
||||
$A \setminus B=\{x \mid x \in A \text{ и } x \notin B\}$.
|
||||
В общем случае $A \setminus B \ne B \setminus A$.
|
||||
Пример: пусть $A=\{4,5,8,12,16,21\}$, $B=\{1,2,5,7,12,17,21,30\}$.
|
||||
Тогда $A \setminus B=\{4,8,16\}$, а $B \setminus A=\{1,2,7,17,30\}$.
|
||||
4. **Симметрическая разность** множеств $A$ и $B$ — множество элементов, которые принадлежат исходным множествам, но не принадлежат одновременно обоим.
|
||||
Обозначается: $A \triangle B$.
|
||||
$A \triangle B=(A \cup B)\setminus(A \cap B)=(A \setminus B)\cup(B \setminus A)$.
|
||||
Пример: пусть $A=\{1,2,3,4\}$, $B=\{3,4,5,6\}$.
|
||||
Тогда $A \triangle B=\{1,2,5,6\}$.
|
||||
5. **Дополнение** (или **отрицание**) множества $A$ — множество элементов универсального множества $U$, не принадлежащих $A$.
|
||||
То есть дополнение к $A$ — это разность между универсальным множеством $U$ и множеством $A$.
|
||||
Обозначают: $\overline{A}$ (иногда $A^c$).
|
||||
$\overline{A}=U \setminus A=\{x \mid x \in U \text{ и } x \notin A\}$.
|
||||
Пример: $A=\{1,2,3,4,5\}$, $B=\{4,5,6,7\}$.
|
||||
Если рассматриваем только элементы из $A$ и $B$, то универсальное множество
|
||||
$U=A \cup B=\{1,2,3,4,5,6,7\}$.
|
||||
Тогда $\overline{A}=U \setminus A=\{6,7\}$, а $\overline{B}=U \setminus B=\{1,2,3\}$.
|
||||
|
||||
## Законы и тождества алгебры множеств
|
||||
Пусть $U$ — универсальное множество, а $A,B,C$ — его подмножества. Тогда следующие равенства являются тождествами.
|
||||
|
||||
| Группа законов | Для объединения | Для пересечения |
|
||||
|---|---|---|
|
||||
| 1. Законы коммутативности | $A \cup B = B \cup A$ | $A \cap B = B \cap A$ |
|
||||
| 2. Законы ассоциативности | $A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C$ | $A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$ |
|
||||
| 3. Законы дистрибутивности | $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ | $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ |
|
||||
| 4. Законы тождества | $A \cup \varnothing = A$; $A \cup U = U$ | $A \cap U = A$; $A \cap \varnothing = \varnothing$ |
|
||||
| 5. Законы дополнения | $A \cup \overline{A} = U$; $\overline{\overline{A}} = A$ | $A \cap \overline{A} = \varnothing$; $\overline{\varnothing}=U,\ \overline{U}=\varnothing$ |
|
||||
| 6. Законы идемпотентности | $A \cup A = A$ | $A \cap A = A$ |
|
||||
| 7. Законы де Моргана | $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ | $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ |
|
||||
| 8. Законы поглощения | $A \cup (A \cap B) = A$ | $A \cap (A \cup B) = A$ |
|
||||
|
||||
## Основные свойства сложения (умножения)
|
||||
1. **Коммутативность** (перестановочный закон) означает, что можно менять местами слагаемые (множители), и результат не изменится:
|
||||
$a+b=b+a$, $ab=ba$.
|
||||
2. **Ассоциативность** (сочетательный закон) означает, что можно по-разному расставлять скобки при сложении и умножении:
|
||||
$a+(b+c)=(a+b)+c$,
|
||||
$a(bc)=(ab)c$.
|
||||
3. **Дистрибутивность** (распределительный закон) умножения относительно сложения:
|
||||
$a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.
|
||||
4. **Идемпотентность** — операция, которая при повторном применении к одному и тому же объекту не меняет результат.
|
||||
В теории множеств операции объединения и пересечения идемпотентны:
|
||||
$A\cup A=A$ и $A\cap A=A$ для любого множества $A$.
|
||||
|
||||
## Доказательство закона де Моргана
|
||||
Докажем один из законов алгебры множеств:
|
||||
$\overline{A \cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$.
|
||||
|
||||
Огастес (Август) де Морган (27.06.1806–18.03.1871) — шотландский математик и логик, первый президент Лондонского математического общества. С его именем связаны известные соотношения в логике и теории множеств (законы де Моргана).
|
||||
|
||||
**Доказательство:**
|
||||
$$
|
||||
\overline{A\cup B}=\{x\mid x\notin A\cup B\}=\{x\mid x\notin A\ \text{и}\ x\notin B\},
|
||||
$$
|
||||
$$
|
||||
\{x\mid x\notin A\ \text{и}\ x\notin B\}=\{x\mid x\in\overline{A}\ \text{и}\ x\in\overline{B}\}=\overline{A}\cap\overline{B}.
|
||||
$$
|
||||
Что и требовалось доказать.
|
||||
|
||||
Для доказательства законов множеств обычно используют два основных подхода:
|
||||
1. Аналитический метод: доказывается, что если элемент принадлежит одной стороне равенства, то он принадлежит и другой, и наоборот.
|
||||
2. Геометрический метод: используется наглядность диаграмм Эйлера-Венна.
|
||||
|
||||
Леонард Эйлер (15.04.1707–18.09.1783) — швейцарский, немецкий и российский математик и механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие математики, физики и астрономии.
|
||||
|
||||
Джон Венн (04.08.1834–04.04.1923) — английский логик и философ. Развил диаграммы Эйлера-Венна, которые широко применяются в теории множеств, вероятности, логике, статистике и информатике.
|
||||
|
||||
Приоритет операций в алгебре множеств:
|
||||
1. $\overline{A}$ (дополнение)
|
||||
2. $A \cap B$ (пересечение)
|
||||
3. $A \cup B$ (объединение)
|
||||
4. $A \setminus B$ (разность)
|
||||
|
||||
## Задачи
|
||||
1. Доказать свойство дистрибутивности:
|
||||
$A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$.
|
||||
|
||||
Доказательство.
|
||||
Пусть $x\in A\cap(B\cup C)$. Тогда $x\in A$ и $(x\in B$ или $x\in C)$.
|
||||
Значит, $(x\in A$ и $x\in B)$ или $(x\in A$ и $x\in C)$, то есть
|
||||
$x\in (A\cap B)\cup(A\cap C)$.
|
||||
|
||||
Обратно, пусть $x\in (A\cap B)\cup(A\cap C)$.
|
||||
Тогда $(x\in A$ и $x\in B)$ или $(x\in A$ и $x\in C)$.
|
||||
Следовательно, $x\in A$ и $(x\in B$ или $x\in C)$, то есть
|
||||
$x\in A\cap(B\cup C)$.
|
||||
|
||||
Итак, обе части равны:
|
||||
$A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$, что и требовалось доказать.
|
||||
|
||||
---
|
||||
# Философия
|
||||
#Философия
|
||||
#Лекция
|
||||
|
||||
## План
|
||||
1. Предмет философии, её функции и роль в развитии человека и общества.
|
||||
2. Философия как мировоззрение.
|
||||
3. Сущность современного антропоцентризма.
|
||||
4. Философия и частные науки.
|
||||
5. Структура философского знания.
|
||||
6. Эпистемология: философское учение о знании.
|
||||
7. Теоретическое «конструирование» знания.
|
||||
8. Научное и вненаучное знание.
|
||||
9. Картины мира: РКМ, ФКМ, НКМ. Синергетика как реальное видение.
|
||||
|
||||
## Понятие философии
|
||||
**Философия**:
|
||||
1. Форма общественного сознания, направленная на выработку целостного взгляда на мир и место в нём человека.
|
||||
2. Учение об общих принципах бытия и познания, об отношении человека к миру.
|
||||
3. Наука о всеобщих законах развития природы, общества и мышления.
|
||||
|
||||
### Ключевые отношения
|
||||
1. Человек - человек.
|
||||
2. Человек - общество.
|
||||
3. Человек - природа.
|
||||
4. Человек - мир.
|
||||
|
||||
Связанные сферы: **человек**, **общество**, **природа**, **окружающий мир**.
|
||||
|
||||
## Основной вопрос философии
|
||||
Традиционная трактовка: отношение сознания к материи, духа к природе.
|
||||
|
||||
1. Первая сторона: что первично — материя или сознание?
|
||||
- **Материализм**: материя первична, сознание — свойство высокоорганизованной материи.
|
||||
- **Дуализм**: материя и сознание — два первоначала, существующие независимо друг от друга.
|
||||
- **Идеализм**: первично сознание; материя независимо от сознания не существует.
|
||||
2. Вторая сторона: тождество мышления и бытия (вопрос о познаваемости мира).
|
||||
- **Мир познаваем**:
|
||||
- **Материализм**: сознание отражает объективный мир.
|
||||
- **Идеализм** (объективный идеализм): сознание человека есть постижение духовного основания мира, самопознание духа.
|
||||
- **Мир непознаваем**:
|
||||
- **Агностицизм** (в том числе субъективный идеализм).
|
||||
- Д. Юм (1711-1776): человек имеет дело только с ощущениями; мы не знаем, что за ними, каков мир и существует ли он вне нас.
|
||||
- И. Кант (1724-1804): мир «вещей в себе» непознаваем.
|
||||
|
||||
### Основной вопрос философии: решение материализмом
|
||||
Соотношение сознания и материального мира:
|
||||
1. Первичность материального мира и вторичность сознания:
|
||||
- материя -> сознание.
|
||||
2. Тождество мышления и бытия (познаваемость мира):
|
||||
- процесс познания и истина;
|
||||
- формы и методы познания;
|
||||
- практика как основа, цель и критерий познания.
|
||||
|
||||
Атрибуты материи:
|
||||
1. Движение.
|
||||
2. Пространство.
|
||||
3. Время.
|
||||
4. Отражение.
|
||||
|
||||
#### Основные характеристики материализма
|
||||
Материализм — направление в философии, признающее первичность материи и считающее сознание свойством материи, то есть вторичным по отношению к ней.
|
||||
|
||||
Различают:
|
||||
1. По отношению к общественно-исторической практике:
|
||||
- созерцательный материализм;
|
||||
- практически действенный материализм.
|
||||
2. С точки зрения используемого метода:
|
||||
- метафизический материализм;
|
||||
- диалектический материализм.
|
||||
3. По толкованию сущности сознания:
|
||||
- научный материализм;
|
||||
- вульгарный материализм.
|
||||
4. С точки зрения оценки роли сторон процесса познания:
|
||||
- рационалистический материализм;
|
||||
- сенсуалистический материализм.
|
||||
5. По степени философской оформленности:
|
||||
- сознательный материализм;
|
||||
- стихийный (наивный), философски не оформленный материализм.
|
||||
|
||||
#### Основные формы материализма
|
||||
1. **Наивный (созерцательный) материализм**.
|
||||
Основной метод познания: созерцательный.
|
||||
Представители:
|
||||
- Фалес (625-547 до н.э.);
|
||||
- Гераклит (544-482 до н.э.);
|
||||
- Демокрит (460-371 до н.э.);
|
||||
- Эпикур (341-270 до н.э.);
|
||||
- Лукреций Кар (99-55 до н.э.).
|
||||
2. **Метафизический материализм**.
|
||||
Основной метод познания: метафизический.
|
||||
Представители:
|
||||
- Ф. Бэкон (1561-1626);
|
||||
- Б. Спиноза (1632-1677);
|
||||
- Д. Локк (1632-1704);
|
||||
- П. Гольбах (1723-1789);
|
||||
- М. Ломоносов (1711-1765);
|
||||
- Л. Фейербах (1804-1872).
|
||||
3. **Диалектический материализм**.
|
||||
Основной метод познания: диалектический.
|
||||
Представители:
|
||||
- К. Маркс (1818-1883);
|
||||
- Ф. Энгельс (1820-1895);
|
||||
- И. Дицген (1828-1888);
|
||||
- Г. Плеханов (1856-1918);
|
||||
- В. Ленин (1870-1924).
|
||||
|
||||
#### Общая характеристика идеализма
|
||||
Идеализм — направление в философии, исходящее из первичности духа, идеи, сознания и вторичности материи, природы, бытия.
|
||||
|
||||
1. **Объективный идеализм**.
|
||||
Объективные идеалисты принимают за первичное некую идею вообще, безликий разум, который называют «абсолютной идеей», «мировой волей». Идеальное начало, мировой дух, по их мнению, творит мир и все бытие.
|
||||
Представители:
|
||||
- Платон (460-370 до н.э.);
|
||||
- Г. Лейбниц (1647-1716);
|
||||
- Г. Гегель (1770-1831);
|
||||
- Ф. Шеллинг (1775-1854);
|
||||
- неотомизм.
|
||||
2. **Субъективный идеализм**.
|
||||
За первичное принимается сознание субъекта, чувствующего и мыслящего «Я», а природа выводится из человеческого сознания. На этом основании в той или иной форме отрицается самостоятельное существование предметов реального мира и объективный характер законов его развития; человек воспринимает прежде всего свои ощущения.
|
||||
Представители:
|
||||
- Дж. Беркли (1685-1753);
|
||||
- Д. Юм (1711-1776);
|
||||
- И. Фихте (1762-1814);
|
||||
- Э. Мах (1838-1916);
|
||||
- Р. Авенариус (1843-1896).
|
||||
|
||||
## Функции философии
|
||||
Функции философии — основные направления применения философии, через которые реализуется её назначение.
|
||||
|
||||
### Основные функции
|
||||
1. **Мировоззренческая**:
|
||||
- выработка средств мировоззренческой ориентации человека;
|
||||
- выработка системы взглядов на объективный мир и место в нём человека, на отношение человека к окружающей действительности и самому себе, а также связанных с этим жизненных позиций, убеждений, идеалов, принципов познания и деятельности, ценностных ориентаций.
|
||||
2. **Методологическая**:
|
||||
- выработка системы принципов и способов теоретической и практической деятельности;
|
||||
- выработка методологических принципов исследования в области частных наук.
|
||||
|
||||
### Другие функции
|
||||
1. Гносеологическая.
|
||||
2. Аксиологическая.
|
||||
3. Воспитательно-гуманитарная.
|
||||
4. Логическая.
|
||||
5. Критическая.
|
||||
6. Прогностическая.
|
||||
|
||||
### Краткие пояснения к функциям
|
||||
1. **Мировоззренческая** — рационально-теоретический способ ориентации в мире как следствие обобщения и интеграции всех видов человеческой практики и культуры.
|
||||
2. **Гносеологическая** — оценка принципиальных возможностей познания, разработка учения о характере и закономерностях познавательного процесса.
|
||||
3. **Методологическая** — разработка теории поисковой деятельности, её принципов, способов, норм (на основе логической субординации).
|
||||
4. **Социальная** — гармонизация общественных отношений на гуманитарных основаниях.
|
||||
5. **Аксиологическая** — утверждение социально-удостоверенных ценностей, стандартов, идеалов, регламентирующих многообразие общественных и личных отношений.
|
||||
6. **Гуманистическая** — сверхзадача философии: показать, «каким» надо быть, чтобы быть человеком.
|
||||
|
||||
## Философия и мировоззрение
|
||||
**Мировоззрение** — обобщённая система взглядов человека на мир в целом, на своё собственное место в нём, понимание и оценка смысла своей жизни и деятельности.
|
||||
|
||||
**Философия** — рационально-теоретическая форма общественного сознания, направленная на выработку целостного взгляда на мир и на место в нём человека, исследующая вытекающие отсюда познавательные, этические и эстетические отношения человека к миру.
|
||||
|
||||
### Связь философии и мировоззрения
|
||||
#### Общее
|
||||
Мировоззрение и философия объединяет поиск ответов на вопросы:
|
||||
1. Что представляет собой природа, окружающий мир?
|
||||
2. Каково место человека в этом мире?
|
||||
3. Может ли человек познать мир и каким образом достигается познание?
|
||||
4. Как человек должен вести себя по отношению к другим людям?
|
||||
5. Что такое истина, добро, красота и т.д.?
|
||||
|
||||
#### Различие
|
||||
1. Понятие «мировоззрение» шире по объёму, чем понятие «философия».
|
||||
2. Мировоззрение появляется задолго до того, как возникает философия.
|
||||
3. Существуют различные типы мировоззрения, в том числе мифология и религия.
|
||||
4. Философия, в отличие от мировоззрения, не является достоянием широких масс.
|
||||
5. Философия отличается от стихийного мировоззрения тем, что реализует мировоззренческую функцию на основе теоретического отношения к действительности.
|
||||
|
||||
### Исторические типы мировоззрения
|
||||
1. **Мифология**.
|
||||
Миф — ранняя форма духовной культуры человечества, объединявшая в себе зачатки знания, фантазии и верования.
|
||||
2. **Религия**.
|
||||
Удвоение мира, вера в существование сверхъестественных сил и в их главенствующую роль в мироздании и жизни людей.
|
||||
3. **Философия**.
|
||||
Рационально-теоретическая форма мировоззрения, система общих теоретических взглядов на мир и на место в нём человека.
|
||||
|
||||
#### Общее
|
||||
Все три формы относятся к типам мировоззрения и отвечают на фундаментальные вопросы о мире и человеке.
|
||||
|
||||
#### Различия
|
||||
1. Мифология и религия в большей степени опираются на веру, переживание, эмоционально-образное восприятие.
|
||||
2. Философия опирается на разум, реальные наблюдения, логический анализ, обобщения, выводы и доказательства.
|
||||
|
||||
### Основные типы мировоззрения
|
||||
1. **Повседневное (обыденное) мировоззрение**.
|
||||
Существует в форме здравого смысла, стихийных, несистематизированных, традиционных представлений о мире.
|
||||
2. **Религиозное мировоззрение**.
|
||||
Связано с признанием сверхъестественного мирового начала; его основа выражается в иррациональной и эмоционально-образной форме.
|
||||
3. **Философское мировоззрение**.
|
||||
Выступает в понятийной, категориальной форме, опираясь на достижения науки о природе и обществе, и обладает определённой мерой логической доказательности.
|
||||
4. **Научное мировоззрение**.
|
||||
Теоретические взгляды на окружающий мир, основанные на данных науки.
|
||||
|
||||
#### Уровни (аспекты) мировоззрения
|
||||
1. **Мироощущение, мировосприятие, миросозерцание** — целостное осознание и переживание воздействующей на человека реальности в форме ощущений, восприятий, представлений и эмоций.
|
||||
2. **Миропонимание** — понятийный, категориальный, интеллектуальный аспект мировоззрения.
|
||||
|
||||
## Структура философского знания
|
||||
1. Онтология (учение о бытии).
|
||||
2. Гносеология (учение о познании).
|
||||
3. Методология (учение о методе).
|
||||
4. Логика.
|
||||
5. Философия природы.
|
||||
6. Социальная философия.
|
||||
7. Философская антропология.
|
||||
8. Эстетика (учение о прекрасном).
|
||||
9. Этика (теория морали).
|
||||
10. История философии.
|
||||
|
||||
## Классификация философских учений (история и современность)
|
||||
### История философии (исторические формы)
|
||||
1. Философия Древнего мира.
|
||||
2. Философия Средних веков.
|
||||
3. Философия Возрождения.
|
||||
4. Философия Нового времени.
|
||||
5. Философия XVIII-XIX вв.
|
||||
6. Философия XX века — современные типы философских систем:
|
||||
- отечественная философия;
|
||||
- западноевропейская философия;
|
||||
- американская философия;
|
||||
- восточная философия и т.д.
|
||||
|
||||
### Теория философии
|
||||
1. Теория всеобщего.
|
||||
2. Теория бытия.
|
||||
3. Философия природы.
|
||||
4. Теория развития (диалектика).
|
||||
5. Социальная философия.
|
||||
6. Философия истории.
|
||||
7. Философия политики.
|
||||
8. Философия науки, техники, морали.
|
||||
9. Философия человека.
|
||||
10. Философская антропология.
|
||||
11. Философия познания.
|
||||
12. Теория мышления (логика).
|
||||
13. Философия войны, мира и армии.
|
||||
|
||||
## РКМ (религиозная картина мира)
|
||||
Религия — определённая система взглядов и чувств, обусловленная верой в сверхъестественное.
|
||||
|
||||
И философия, и религия обсуждают проблемы устройства мироздания, природы и сущности человека, однако между ними существуют принципиальные отличия:
|
||||
1. Религиозный результат формулируется в конкретных и наглядных образах.
|
||||
2. Религия предлагает человеку верить и сопереживать.
|
||||
3. Религия предлагает готовые ответы на мировоззренческие вопросы и не предусматривает критики фундаментальных положений.
|
||||
4. Религия предлагает человеку абсолютные идеалы и ценности.
|
||||
5. Религиозные идеи сопровождаются конкретными действиями: обрядами, ритуалами, молитвами.
|
||||
|
||||
## Центр религиозной картины мира
|
||||
1. Центр религиозной картины мира — Бог или множество богов.
|
||||
2. Бог непознаваем, поскольку является существом, чьи качества превосходят возможности человеческого восприятия и понимания.
|
||||
3. Способом объединения верующего с Богом выступает культ: обряды, ритуалы, молитвы; местом для них служит храм.
|
||||
|
||||
## Сакральный и профанный мир
|
||||
Принципиальная особенность религиозного миропонимания — удвоение мира.
|
||||
Действительность существует в двух плоскостях:
|
||||
1. Сакральной: священное, божественное, почитаемое.
|
||||
2. Профанной: обыденное, мирское.
|
||||
|
||||
Мир сакрального и мир профанного определяются через противопоставление друг другу: они взаимно исключаются, но соотносятся.
|
||||
|
||||
## Типы религиозных картин мира
|
||||
1. **Атеизм**:
|
||||
- в широком смысле — отвержение веры в существование богов;
|
||||
- в узком смысле — убеждение в том, что богов не существует.
|
||||
2. **Пантеизм** — религиозно-философское учение, объединяющее и иногда отождествляющее Бога и мир.
|
||||
3. **Деизм** — религиозно-философское направление, признающее существование Бога и сотворение им мира, но отрицающее его дальнейшее вмешательство в ход мира.
|
||||
|
||||
## Картина мироздания
|
||||
Общая картина мироздания включает:
|
||||
1. Мифологическую картину мира.
|
||||
2. Религиозную картину мира.
|
||||
3. Естественнонаучную картину мира.
|
||||
4. Философскую картину мира.
|
||||
|
||||
## Общая научная картина мира
|
||||
Общая научная картина мира выступает особой формой теоретического знания. Она интегрирует наиболее важные достижения естественных, гуманитарных и технических наук.
|
||||
|
||||
Любая философская система, построенная на принципах рационального объяснения бытия, затрагивает проблему всеобщей обусловленности явлений и процессов в мире, которая обозначается понятием **детерминизм** (от лат. *determinare* — определять, отделять, отграничивать).
|
||||
|
||||
**Детерминизм** — учение о всеобщей обусловленности объективных явлений: любое событие, факт, явление имеют свою причину и могут выступать причиной других событий, фактов и явлений.
|
||||
|
||||
## НКМ (научная картина мира)
|
||||
Выделяют три этапа НКМ:
|
||||
1. Классическая.
|
||||
2. Неклассическая.
|
||||
3. Постнеклассическая.
|
||||
|
||||
### Классическая картина мира
|
||||
1. Связана с научной революцией Ньютона и классическим естествознанием.
|
||||
2. Период: XVII-XIX века.
|
||||
3. Основная идея: переход от геоцентрической модели мира к гелиоцентрической.
|
||||
4. Ключевые открытия связаны с Н. Коперником, Г. Галилеем, И. Кеплером, Р. Декартом.
|
||||
5. И. Ньютон подвёл итог этим исследованиям и сформулировал базовые принципы новой научной картины мира.
|
||||
|
||||
### Неклассическая картина мира
|
||||
1. Связана с эйнштейновской революцией.
|
||||
2. Период: рубеж XIX-XX веков.
|
||||
3. Важные открытия:
|
||||
- сложная структура атома;
|
||||
- явление радиоактивности;
|
||||
- развитие теории относительности и квантовых представлений о мире.
|
||||
|
||||
### Постнеклассическая картина мира
|
||||
1. Центральная идея — синергетика как междисциплинарное направление исследований.
|
||||
2. Задача: изучение природных явлений и процессов на основе принципов самоорганизации систем (состоящих из подсистем).
|
||||
3. Особое внимание уделяется структурам, возникающим в процессе самоорганизации.
|
||||
4. В познание включаются ценностные аспекты.
|
||||
Reference in New Issue
Block a user