bonch/01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/modules/2 MODULE.md

4 номер – П 3.2.17

#учеба #семестр_1 #высшая_математика

Доказать:

\overline{d}=\overline{c}\cdot(\overline{b}\cdot\overline{a})-\overline{a}\cdot(\overline{b}\cdot\overline{c}) \overline{d}\perp \overline{b}

Доказательство:

\overline{b}\cdot \overline{d}=\overline{b}\cdot(\overline{c}\cdot(\overline{b}\cdot\overline{a})-\overline{a}\cdot(\overline{b}\cdot\overline{c}))=\overline{b}(\overline{c}(\overline{b}\overline{c}))-\overline{b}(\overline{a}(\overline{b}\overline{a}))=(\overline{b}\overline{a})(\overline{b}\overline{c})-(\overline{b}\overline{c})(\overline{b}\overline{a})=0 \text{Скалярное произведение векторов равно 0, значит векторы расположены перпендикулярно.}

8 номер – П 3.2.21

Пример:

\vec{F}_{1}=\vec{i}-\vec{j}+\vec{k} \vec{F}_{2}=2\vec{i}+\vec{j}+3\vec{k} M(2;-1;-1)

Решение:

\vec{F}=\vec{F}_{1}+\vec{F_{2}}=3\vec{i}+0\vec{j}+4\vec{k}=(3;0;4) A=\vec{F}\cdot \vec{s}; \vec{s}=(2;-1;-1) A=3\cdot2+4\cdot(-1)=2 \text{Ответ: 2}

9 номер – П 3.2.22

Пример:

\vec{b}=\lambda \vec{i}-5\vec{j}+3\vec{k} \vec{c}=\vec{i}+2\vec{j}-\lambda \vec{k} \lambda = ?;\ \vec{b}\cdot \vec{c}=0

Решение:

\vec{b}\cdot \vec{c}=\lambda-10-3\lambda=-2\lambda-10 -2\lambda-10=0;\ -2\lambda=10;\ \lambda=-5

\text{Ответ: -5}

13 номер – П 3.3.6

Пример:

\vec{a}=\vec{i}-2\vec{j}+5\vec{k} \vec{b}=5\vec{j}-7\vec{k} \vec{a}=(1;-2;5) \vec{b}=(0;5;-7)

Решение:

S=\dfrac{1}{2}|\vec{a}\cdot\vec{b}|

\vec{a}\cdot\vec{b}=-11\vec{i}+7\vec{j}+5\vec{k}=(-11;7;5)

|\vec{a}\cdot\vec{b}|=\sqrt{(-11)^2+7^2+5^2}=\sqrt{121+49+25}=\sqrt{195}

S=\dfrac{1}{2}\sqrt{195}

\text{Ответ: }\dfrac{\sqrt{195}}{2}

14 номер – П 3.3.15

Пример:

|\vec{a}|=3 |\vec{b}|=20 \vec{a}\vec{b}=30 |\vec{a}\cdot\vec{b}|=\ ?

Решение:

|\vec{a}\cdot\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2\cdot|\vec{b}|^2-(\vec{a}\vec{b})^2

|\vec{a}\cdot\vec{b}|^2=3^2\cdot 20^2-30^2=9\cdot 400-900=3600-900=2700

|\vec{a}\cdot\vec{b}|=\sqrt{2700}=\sqrt{900\cdot 3}=30\sqrt{3}

\text{Ответ: }30\sqrt{3}

18 номер – П 3.3.19

Дано:

\vec{a}=3\vec{p}+2\vec{q} \vec{b}=2\vec{p}-\vec{q} |\vec{p}|=4 |\vec{q}|=3 \angle(\vec{p},\vec{q})=\dfrac{3\pi}{4} S=\ ?

Решение:

S=|\vec{a}\cdot\vec{b}|

\vec{a}\cdot\vec{b}=3\vec{p}\cdot\vec{p}+3\vec{p}\cdot(-\vec{q})+2\vec{q}\cdot2\vec{p}+2\vec{q}\cdot(-\vec{q})=0-3(\vec{p}\cdot\vec{q})+4(\vec{q}\cdot\vec{p})+0=-7(\vec{p}\cdot\vec{q})

|\vec{a}\cdot\vec{b}|=7|\vec{p}\cdot\vec{q}|

|\vec{p}\cdot\vec{q}|=|\vec{p}|\cdot|\vec{q}|\cdot\sin\angle(\vec{p},\vec{q})=4\cdot 3\cdot\sin(\dfrac{3\pi}{4})=12\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}

S=7\cdot 6\sqrt{2}=42\sqrt{2}

\text{Ответ: }42\sqrt{2}

22 номер – П 3.3.25

Дано:

\vec{a}=(2;\,-2;\,1) \vec{b}=(2;\,3;\,6) \sin\alpha=\ ?

Решение:

\sin\alpha=\dfrac{|\vec{a}\cdot\vec{b}|}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}

\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{i}\big((-2)\cdot 6-1\cdot 3\big)-\vec{j}\big(2\cdot 6-1\cdot 2\big)+\vec{k}\big(2\cdot 3-(-2)\cdot 2\big)=(-15;\,-10;\,10)

|\vec{a}\cdot\vec{b}|=\sqrt{(-15)^2+(-10)^2+10^2}=\sqrt{225+100+100}=\sqrt{425}=5\sqrt{17} |\vec{a}|=\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}=3 |\vec{b}|=\sqrt{2^2+3^2+6^2}=7

\sin\alpha=\dfrac{5\sqrt{17}}{3\cdot 7}=\dfrac{5\sqrt{17}}{21}

\text{Ответ: }\dfrac{5\sqrt{17}}{21}

23 номер – П 3.4.14

Дано:

\vec{a}\vec{b}\vec{c}=5 \vec{b}(\vec{c}+\vec{a})(\vec{b}+2\vec{c})=\ ?

Решение:

\vec{b}(\vec{c}+\vec{a})(\vec{b}+2\vec{c})=\vec{b}\vec{c}(\vec{b}+2\vec{c})+\vec{b}\vec{a}(\vec{b}+2\vec{c})=\vec{b}\vec{c}\vec{b}+2\vec{b}\vec{c}\vec{c}+\vec{b}\vec{a}\vec{b}+2\vec{b}\vec{a}\vec{c}

\vec{b}\vec{c}\vec{b}=0,\ \vec{b}\vec{c}\vec{c}=0,\ \vec{b}\vec{a}\vec{b}=0

\vec{b}(\vec{c}+\vec{a})(\vec{b}+2\vec{c})=2\vec{b}\vec{a}\vec{c} \vec{b}\vec{a}\vec{c}=-\vec{a}\vec{b}\vec{c}=-5

\vec{b}(\vec{c}+\vec{a})(\vec{b}+2\vec{c})=2\cdot(-5)=-10

\text{Ответ: }-10

27 номер – П 3.4.19

Дано:

V=5 A(2;\,1;\,-1) B(3;\,0;\,1) C(2;\,-1;\,3) D \ \text{лежит на оси}\ Oy D=\ ?

Решение:

D=(0;\,t;\,0)

\vec{AB}=B-A=(3-2;\,0-1;\,1-(-1))=(1;\,-1;\,2) \vec{AC}=C-A=(2-2;\,-1-1;\,3-(-1))=(0;\,-2;\,4) \vec{AD}=D-A=(0-2;\,t-1;\,0-(-1))=(-2;\,t-1;\,1)

V=\dfrac{1}{6}|\vec{AB}\vec{AC}\vec{AD}|

\vec{AB}\vec{AC}\vec{AD}=1\cdot\big((-2)\cdot 1-(t-1)\cdot 4\big)= -2-4(t-1)=2-4t=-2(2t-1)

5=\dfrac{1}{6}|-2(2t-1)|=\dfrac{1}{3}|2t-1|

|2t-1|=15 2t-1=15;\ t=8 2t-1=-15;\ t=-7

D_1=(0;\,8;\,0),\quad D_2=(0;\,-7;\,0)

\text{Ответ: }(0;\,8;\,0)\ \text{или}\ (0;\,-7;\,0)

28 номер – П 3.4.21

Дано:

A_{1}(1;\,2;\,3),\ A_{2}(-2;\,4;\,1),\ A_{3}(7;\,6;\,3),\ A_{4}(4;\,-3;\,-1)

Найти:

а) |A_{1}A_{2}|,\ |A_{1}A_{3}|,\ |A_{1}A_{4}| б) S_{\triangle A_{1}A_{2}A_{3}} в) \angle(A_{1}A_{4},A_{1}A_{3}) г) V д) h на грань A_{1}A_{2}A_{3}

Решение:

\vec{A_{1}A_{2}}=(-3;\,2;\,-2) \vec{A_{1}A_{3}}=(6;\,4;\,0) \vec{A_{1}A_{4}}=(3;\,-5;\,-4)

а) |A_{1}A_{2}|=\sqrt{(-3)^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{17} |A_{1}A_{3}|=\sqrt{6^2+4^2+0^2}=2\sqrt{13} |A_{1}A_{4}|=\sqrt{3^2+(-5)^2+(-4)^2}=5\sqrt{2}

б) S=\dfrac{1}{2}|\vec{A_{1}A_{2}}\cdot\vec{A_{1}A_{3}}| \vec{A_{1}A_{2}}\cdot\vec{A_{1}A_{3}}=(8;\,-12;\,-24) |\vec{A_{1}A_{2}}\cdot\vec{A_{1}A_{3}}|=\sqrt{784}=28 S=\dfrac{1}{2}\cdot 28=14

в) \cos\varphi=\dfrac{\vec{A_{1}A_{4}}\cdot\vec{A_{1}A_{3}}}{|A_{1}A_{4}|\cdot|A_{1}A_{3}|} \vec{A_{1}A_{4}}\cdot\vec{A_{1}A_{3}}=-2 \cos\varphi=\dfrac{-2}{(5\sqrt{2})(2\sqrt{13})}=-\dfrac{1}{5\sqrt{26}} \varphi=\arccos(-\dfrac{1}{5\sqrt{26}})

г) V=\dfrac{1}{6}|\vec{A_{1}A_{2}}\vec{A_{1}A_{3}}\vec{A_{1}A_{4}}| \vec{A_{1}A_{2}}\vec{A_{1}A_{3}}\vec{A_{1}A_{4}}=\begin{vmatrix}-3 & 2 & -2 \\ 6 & 4 & 0 \\ 3 & -5 & -4\end{vmatrix}=180 V=\dfrac{1}{6}|180|=30

д) V=\dfrac{1}{3}S_{\triangle A_{1}A_{2}A_{3}}\cdot h h=6\dfrac{3}{7}

\text{Ответ: }|A_{1}A_{2}|=\sqrt{17};\ |A_{1}A_{3}|=2\sqrt{13};\ |A_{1}A_{4}|=5\sqrt{2};\ S=14;\ \varphi=\arccos(-\dfrac{1}{5\sqrt{26}});\ V=30;\ h=\dfrac{45}{7};

32 номер – П 4.1.13

Пример:

A(1;\,-5),\ B(4;\,3)

Решение:

\vec{AB}=B-A=(4-1;\,3-(-5))=(3;\,8)

\vec{AC}=\dfrac{1}{3}\vec{AB}=(\dfrac{3}{3};\,\dfrac{8}{3})=(1;\,\dfrac{8}{3}) \vec{AD}=\dfrac{2}{3}\vec{AB}=(\dfrac{6}{3};\,\dfrac{16}{3})=(2;\,\dfrac{16}{3})

C=A+\vec{AC}=(2;\,-2\dfrac{1}{3}) D=A+\vec{AD}=(3;\,\dfrac{1}{3})

\text{Ответ: }C(2;\,-2\dfrac{1}{3}),\ D(3;\,\dfrac{1}{3})

36 номер – П 4.1.23

Дано:

A(2;\,1),\ B(-2;\,-2),\ C(-8;\,6)

Найти:

h_{B}

Решение:

\vec{AB}=B-A=(-2-2;\,-2-1)=(-4;\,-3) \vec{AC}=C-A=(-8-2;\,6-1)=(-10;\,5)

|AC|=\sqrt{(-10)^2+5^2}=5\sqrt{5}

S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}|\vec{AB}\vec{AC}| \vec{AB}\vec{AC}=(-4)\cdot5-(-3)\cdot(-10)=-50 S=\dfrac{1}{2}\cdot|-50|=25

S=\dfrac{1}{2}\cdot |AC|\cdot h_{B} h_{B}=\dfrac{2S}{|AC|}=\dfrac{2\cdot 25}{5\sqrt{5}}=\dfrac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}

\text{Ответ: }h_{B}=2\sqrt{5}

37 номер – П 4.1.24

Дано:

A(-2;\,6),\ B(2;\,8),\ M(2;\,2)

Найти:

C,\ D

Решение:

\text{Точка }M\ \text{середина диагоналей} M=\dfrac{A+C}{2}=\dfrac{B+D}{2}

C=2M-A=(6;\,-2) D=2M-B=(2;\,-4)

\text{Ответ: }C(6;\,-2),\ D(2;\,-4)

41 номер – П 5.1.14

Пример:

\text{В каких октантах могут быть расположены точки, координаты которых удовлетворяют:} 1)\ x-y=0;\quad 2)\ x+z=0;\quad 3)\ xy>0;\quad 4)\ xyz<0

Решение:

\text{Октанты: } I:(+,+,+),\ II:(+,-,+),\ III:(+,-,-),\ IV:(+,+,-),\ V:(-,+,+),\ VI:(-,-,+),\ VII:(-,-,-),\ VIII:(-,+,-)

1)\ x-y=0; x=y x>0,\ y>0; I,\ IV x<0,\ y<0; VI,\ VII \text{Ответ: }I,\ IV,\ VI,\ VII

2)\ x+z=0; z=-x x>; z<; III,\ IV x<0; z>0; V,\ VI \text{Ответ: }III,\ IV,\ V,\ VI

3)\ xy>0 x>0,\ y>0; I,\ IV x<0,\ y<0; VI,\ VII \text{Ответ: }I,\ IV,\ VI,\ VII

4)\ xyz<0; \text{нечётное число отрицательных координат} II:(+,-,+),\ IV:(+,+,-),\ V:(-,+,+),\ VII:(-,-,-) \text{Ответ: }II,\ IV,\ V,\ VII

42 номер – П 5.1.15

Дано:

A(4;\,-1;\,-1) \text{Сфера касается плоскостей }x=0,\ y=0,\ z=0

Найти:

O(x_{0};y_{0};z_{0}),\ R

Решение:

|x_{0}|=R |y_{0}|=R |z_{0}|=R

O=(\varepsilon_{1}R;\ \varepsilon_{2}R;\ \varepsilon_{3}R),\ \varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\varepsilon_{3}\in\{-1;1\}

OA=R (\varepsilon_{1}R-4)^2+(\varepsilon_{2}R+1)^2+(\varepsilon_{3}R+1)^2=R^2

R^2+(-4\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3})R+9=0

\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}\in\{-2;0;2\} \varepsilon_{1}=1; -4\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}\in\{-6;-4;-2\} \text{Только }-6:\ R^2-6R+9=0; (R-3)^2=0; R=3 -4\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}=-6; \varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}=-2; \varepsilon_{2}=-1,\ \varepsilon_{3}=-1 чё 5:22 утра ЧЁ тут произошло

O=(3;\,-3;\,-3)

\text{Ответ: }O(3;\,-3;\,-3),\ R=3

46 номер – П 4.2.2

Пример:

y=2x-3

Решение:

y=2x-3 y+3=2x \dfrac{y+3}{2}=x

x=0; y=-3; (0;\,-3) y=0; 2x-3=0; x=\dfrac{3}{2}; (\dfrac{3}{2};\,0)

\text{Ответ: }\dfrac{x}{\frac{3}{2}}+\dfrac{y}{-3}=1;\ (0;\,-3),\ (\dfrac{3}{2};\,0)

50 номер – П 4.2.7

Пример:

П 4.2.7 я хз как это записать

Решение:

y=-\dfrac{A}{B}x-\dfrac{C}{B} \text{Расстояние от }O:\ p=\dfrac{|C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} \text{Нормальное: }\dfrac{A}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}x+\dfrac{B}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}y=-\dfrac{C}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\ (p\ge0)

а) 2x-3y+6=0 -3y=-2x-6 y=\dfrac{2}{3}x+2 k=\dfrac{2}{3}

y=0; 2x+6=0 \implies x=-3 x=0; -3y+6=0 \implies y=2 \text{В отрезках: }\dfrac{x}{-3}+\dfrac{y}{2}=1

\sqrt{A^{2}+B^{2}}=\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{13} \dfrac{2}{\sqrt{13}}x-\dfrac{3}{\sqrt{13}}y=-\dfrac{6}{\sqrt{13}} \text{Нормальное (}p\ge0\text{): }-\dfrac{2}{\sqrt{13}}x+\dfrac{3}{\sqrt{13}}y=\dfrac{6}{\sqrt{13}} p=\dfrac{|6|}{\sqrt{13}}=\dfrac{6}{\sqrt{13}}

б) x+2{,}5=0 x=-2{,}5 k\ \text{не определён (прямая вертикальная)}

\text{Нормальное: }-x=2{,}5 p=2{,}5

в) y=x-1 x-y-1=0 y=1\cdot x-1 k=1

y=0; x=1 x=0; y=-1 \text{В отрезках: }\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{-1}=1

\sqrt{A^{2}+B^{2}}=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2} \dfrac{1}{\sqrt{2}}x-\dfrac{1}{\sqrt{2}}y=\dfrac{1}{\sqrt{2}} p=\dfrac{|{-1}|}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}

г) x+5y=0 y=-\dfrac{1}{5}x k=-\dfrac{1}{5}

\text{Прямая проходит через }O; \text{в отрезках не записывается (}a=0,\ b=0\text{)}

\sqrt{A^{2}+B^{2}}=\sqrt{1^{2}+5^{2}}=\sqrt{26} \dfrac{1}{\sqrt{26}}x+\dfrac{5}{\sqrt{26}}y=0 p=\dfrac{|0|}{\sqrt{26}}=0

51 номер – П 4.2.9

Дано:

A(1;\,1) B(-2;\,3) k=\ ?,\ y_{Oy}=\ ?

Решение:

k=\dfrac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\dfrac{3-1}{-2-1}=\dfrac{2}{-3}=-\dfrac{2}{3}

y=-\dfrac{2}{3}x+b

1=-\dfrac{2}{3}\cdot 1 + b b=1+\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{3}

y=-\dfrac{2}{3}\cdot 0 + b = b = \dfrac{5}{3}

\text{Ответ: }k=-\dfrac{2}{3};\ \text{ордината: }\dfrac{5}{3}

55 номер – П 4.2.24

Пример:

A(3;\,2),\ B(3;\,8),\ C(6;\,2)

Решение:

\text{1) } AB: x_{A}=3,\ x_{B}=3; \text{координаты } x \text{ совпадают}

\text{2) } AC: y_{A}=2,\ y_{C}=2; \text{координаты } y \text{ совпадают}

\text{3) } BC: \dfrac{x-x_{B}}{x_{C}-x_{B}}=\dfrac{y-y_{B}}{y_{C}-y_{B}}

\dfrac{x-3}{6-3}=\dfrac{y-8}{2-8}

\dfrac{x-3}{3}=\dfrac{y-8}{-6}

-2(x-3)=1(y-8) -2x+6=y-8 2x+y-14=0

\text{Ответ: }AB:\ x=3;\ AC:\ y=2;\ BC:\ 2x+y-14=0

56 номер – П 5.2.2

Пример:

M(-2;\,3;\,1) 1)\ ||\ Oxy;\ 2)\ M\ \text{и ось}\ Oy

Решение:

1) Oxy; z=z_{M} z=1; z-1=0

2) Oy ; Ax+Cz=0 -2A+1\cdot C=0; C=2A A=1 C=2 x+2z=0

\text{Ответ: }z-1=0;\ x+2z=0

60 номер – П 5.2.9

Пример:

M(1;\, -1;\, 0) \vec{a}=(0;\, 2;\, 3),\ \vec{b}=(-1;\, 4;\, 2)

Решение:

\vec{n}=\vec{a}\times\vec{b} \vec{n}=\vec{i}(4-12)-\vec{j}(0+3)+\vec{k}(0+2)=(-8;\,-3;\,2)

-8(x-1)-3(y+1)+2(z-0)=0 -8x+8-3y-3+2z=0 8x+3y-2z-5=0

\text{Ответ: }8x+3y-2z-5=0

65 номер – П 5.2.19

Пример:

-Oy \implies M(0;\,-4;\,0) \vec{n}=(3;\, -2;\, 4)

Решение:

A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0

3(x-0)-2(y-(-4))+4(z-0)=0 3x-2(y+4)+4z=0 3x-2y-8+4z=0

\text{Ответ: }3x-2y+4z-8=0

69 номер – П 5.3.6

Пример:

1)\ M(1;\,0;\,-1),\ \vec{a}=(2;\,3;\,0) 2)\ A(2;\,2;\,2),\ B(6;\,2;\,1)

Решение:

1) \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3t \\ z = -1 \end{cases}

2) \vec{s} = \vec{AB} = B - A = (4;\, 0;\, -1) \begin{cases} x = 2 + 4t \\ y = 2 + 0t \\ z = 2 - t \end{cases} ; \begin{cases} x = 2 + 4t \\ y = 2 \\ z = 2 - t \end{cases}

\text{Ответ: } 1)\ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3t \\ z = -1 \end{cases};\ 2)\ \begin{cases} x = 2 + 4t \\ y = 2 \\ z = 2 - t \end{cases}

70 номер – П 5.3.7

Пример:

M_0(4;\,3;\,-2) 1)\ ||\ \vec{a}=(3;\,-6;\,5) 2)\ ||\ \begin{cases} x + 3y + z - 6 = 0 \\ 2x - y - 4z + 1 = 0 \end{cases}

Решение:

1) \vec{s}=\vec{a}=(3;\,-6;\,5) \dfrac{x-4}{3}=\dfrac{y-3}{-6}=\dfrac{z+2}{5}

2) \vec{n_1}=(1;\,3;\,1) \vec{n_2}=(2;\,-1;\,-4)

\vec{s}=\vec{n_1}\times\vec{n_2}=\vec{i}(-12+1)-\vec{j}(-4-2)+\vec{k}(-1-6)=(-11;\,6;\,-7)

\dfrac{x-4}{-11}=\dfrac{y-3}{6}=\dfrac{z+2}{-7}

\text{Ответ: } 1)\ \dfrac{x-4}{3}=\dfrac{y-3}{-6}=\dfrac{z+2}{5};\ 2)\ \dfrac{x-4}{-11}=\dfrac{y-3}{6}=\dfrac{z+2}{-7}

74 номер – П 5.3.12

Пример:

\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z-5}{5}

Решение:

1)\ Oxy; z=0 \dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{0-5}{5}=-1 x-3=1; x=4 y+2=-2; y=-4 M_1(4;\,-4;\,0)

2)\ Oxz; y=0 \dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{z-5}{5}=\dfrac{0+2}{2}=1 x-3=-1; x=2 z-5=5; z=10 M_2(2;\,0;\,10)

3)\ Oyz; x=0 \dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z-5}{5}=\dfrac{0-3}{-1}=3 y+2=6; y=4 z-5=15; z=20 M_3(0;\,4;\,20)

\text{Ответ: }(4;\,-4;\,0),\ (2;\,0;\,10),\ (0;\,4;\,20)