bonch/Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/овтеты.md

1. Матрицы. Действия с матрицами.  
    Матрица — это прямоугольная таблица чисел. Обычно её записывают как (A=(a_{ij})), где (a_{ij}) — число на пересечении (i)-й строки и (j)-го столбца. Размер матрицы (m\times n): (m) строк и (n) столбцов.
    
Сложение/вычитание. Можно только для матриц одинакового размера. Складывают “поэлементно”: ((A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}).  
Умножение на число (скаляр). ((kA)_{ij}=k\cdot a_{ij}).  
Транспонирование. (A^T) получают заменой строк на столбцы: ((A^T)_{ij}=a_{ji}).  
Умножение матриц. Определено, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Если (A) размера (m\times n), (B) размера (n\times p), то (AB) размера (m\times p), и  
[  
(AB)_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\dots+a_{in}b_{nj}.  
]  
Важно: обычно (AB\neq BA) (непереместительно).

Пример 1 (сложение).  
[  
\begin{pmatrix}1&3\-2&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4&-1\5&2\end{pmatrix}  
=\begin{pmatrix}1+4&3+(-1)\-2+5&0+2\end{pmatrix}  
=\begin{pmatrix}5&2\3&2\end{pmatrix}.  
]  
Пример 2 (умножение матриц).  
(A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}), (B=\begin{pmatrix}5\6\end{pmatrix}). Тогда  
[  
AB=\begin{pmatrix}1\cdot5+2\cdot6\3\cdot5+4\cdot6\end{pmatrix}  
=\begin{pmatrix}17\39\end{pmatrix}.  
]

Термины (в этом пункте).  
Матрица — таблица чисел.  
Элемент матрицы (a_{ij}) — число в (i)-й строке и (j)-м столбце.  
Размер (m\times n) — (m) строк и (n) столбцов.  
Поэлементно — отдельно в каждой позиции ((i,j)).  
Скаляр — просто число, которым умножают матрицу.  
Транспонирование — операция “строки ↔ столбцы”.  
Произведение матриц — операция, где элемент результата есть сумма произведений элементов строки на элементы столбца. ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_%28mathematics%29?utm_source=chatgpt.com "Matrix (mathematics)"))

2. Определитель матрицы, его вычисление и свойства.  
    Определитель (\det A) — число, определённое для квадратной матрицы (n\times n). Он связан с обратимостью: если (\det A\neq 0), то матрица обратима (существует (A^{-1})); если (\det A=0), то обратной матрицы нет. Также (|\det A|) можно понимать как “коэффициент изменения площади/объёма” соответствующего линейного преобразования.
    

Как вычислять (базовые случаи).  
Для (2\times2):  
[  
\det\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}=ad-bc.  
]  
Для (3\times3) часто используют приведение к треугольному виду элементарными преобразованиями строк (это удобно, потому что дальше будет метод Гаусса): у треугольной матрицы (\det) равен произведению диагональных элементов, но надо учитывать, как преобразования меняют (\det).

Как строковые преобразования влияют на (\det):

1. Поменять местами две строки → (\det) меняет знак.
    
2. Умножить строку на (k) → (\det) умножится на (k).
    
3. Прибавить к строке другую строку, умноженную на число → (\det) не меняется.
    

Пример (через строки).  
[  
A=\begin{pmatrix}1&2&3\2&4&7\1&1&1\end{pmatrix}.  
]  
Сделаем (R_2\leftarrow R_2-2R_1):  
[  
\begin{pmatrix}1&2&3\0&0&1\1&1&1\end{pmatrix}  
]  
((\det) не изменился). Потом (R_3\leftarrow R_3-R_1):  
[  
\begin{pmatrix}1&2&3\0&0&1\0&-1&-2\end{pmatrix}  
]  
((\det) не изменился). Теперь поменяем строки (R_2) и (R_3) местами (одна перестановка → знак “минус”):  
[  
\begin{pmatrix}1&2&3\0&-1&-2\0&0&1\end{pmatrix}  
]  
Треугольная матрица: произведение диагонали (1\cdot(-1)\cdot1=-1). Но была одна перестановка строк, значит исходный (\det A=+1).

Ключевые свойства: (\det(AB)=\det A\cdot\det B), (\det(A^T)=\det A). ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Determinant?utm_source=chatgpt.com "Determinant"))

Термины.  
Квадратная матрица — одинаковое число строк и столбцов.  
Определитель (\det A) — число, связанное с “обратимостью” матрицы.  
Диагональные элементы — элементы (a_{11},a_{22},\dots).  
Треугольная матрица — ниже (или выше) диагонали стоят нули.  
Элементарные преобразования строк — три операции из списка 1)–3) выше.  
Произведение диагонали — перемножение всех диагональных элементов. ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Determinant?utm_source=chatgpt.com "Determinant"))

3. Обратная матрица, её вычисление и свойства.  
    Обратная матрица (A^{-1}) к квадратной матрице (A) — это такая матрица, что  
    [  
    AA^{-1}=A^{-1}A=I,  
    ]  
    где (I) — единичная матрица (на диагонали 1, остальные элементы 0). Обратная существует тогда и только тогда, когда (\det A\neq 0) (матрица “невырожденная”). ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Invertible_matrix?utm_source=chatgpt.com "Invertible matrix"))
    

Как находить (A^{-1}).  
Способ A (формула для (2\times2)).  
Если (A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}) и (ad-bc\neq 0), то  
[  
A^{-1}=\frac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\-c&a\end{pmatrix}.  
]  
Способ B (Гаусс–Жордан). Приписывают справа единичную матрицу и строковыми преобразованиями превращают левую часть в (I); тогда справа получится (A^{-1}). ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Augmented_matrix?utm_source=chatgpt.com "Augmented matrix"))

Пример (по формуле (2\times2)).  
(A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}). (\det A=1\cdot4-2\cdot3=-2\neq 0).  
[  
A^{-1}=\frac1{-2}\begin{pmatrix}4&-2\-3&1\end{pmatrix}.  
]  
Проверка (коротко): (AA^{-1}=I) (перемножением). Это и есть смысл обратной.

Свойства: ((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}); ((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T); (\det(A^{-1})=1/\det(A)). ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Invertible_matrix?utm_source=chatgpt.com "Invertible matrix"))

Термины.  
Единичная матрица (I) — квадратная матрица с 1 на диагонали и 0 вне диагонали.  
Невырожденная (обратимая) матрица — матрица, у которой существует обратная; эквивалентно (\det\neq 0).  
Гаусс–Жордан — доведение матрицы строковыми преобразованиями до (I) (с одновременным преобразованием приписанной части). ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Augmented_matrix?utm_source=chatgpt.com "Augmented matrix"))

4. Ранг матрицы, его вычисление и свойства.  
    Ранг матрицы (\mathrm{rank}(A)) — это максимальное число линейно независимых строк (то же самое, что максимальное число линейно независимых столбцов). Практически ранг чаще всего находят так: приводят матрицу к ступенчатому виду строковыми преобразованиями и считают число “опорных” строк (ненулевых строк), или число “пивотов” (ведущих элементов). ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Rank_%28linear_algebra%29?utm_source=chatgpt.com "Rank (linear algebra)"))
    

Как вычислять (алгоритм).

1. Записать матрицу.
    
2. Привести к ступенчатому виду (как в методе Гаусса): сделать нули под ведущими элементами.
    
3. Посчитать количество ненулевых строк в получившейся ступенчатой матрице — это ранг.
    

Пример.  
[  
A=\begin{pmatrix}1&2&1\2&4&2\0&1&3\end{pmatrix}.  
]  
Сделаем (R_2\leftarrow R_2-2R_1):  
[  
\begin{pmatrix}1&2&1\0&0&0\0&1&3\end{pmatrix}.  
]  
Переставим строки (R_2) и (R_3) местами:  
[  
\begin{pmatrix}1&2&1\0&1&3\0&0&0\end{pmatrix}.  
]  
Ненулевых строк 2, значит (\mathrm{rank}(A)=2).

Свойства: (\mathrm{rank}(A)\le \min(m,n)); (\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A^T)); для квадратной (n\times n): если (\det A\neq 0), то (\mathrm{rank}(A)=n). ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Rank_%28linear_algebra%29?utm_source=chatgpt.com "Rank (linear algebra)"))

Термины.  
Линейно независимые строки/столбцы — никакая строка (столбец) не выражается как линейная комбинация других.  
Ступенчатый вид (row echelon form) — форма, где ведущие элементы “спускаются вправо”, а ниже каждого ведущего элемента стоят нули.  
Ведущий элемент (pivot) — первый ненулевой элемент строки в ступенчатом виде. ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Rank_%28linear_algebra%29?utm_source=chatgpt.com "Rank (linear algebra)"))

5. СЛАУ. Решение с помощью обратной матрицы.  
    Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) — это несколько линейных уравнений относительно нескольких неизвестных, например:  
    [  
    \begin{cases}  
    a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1\  
    a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2  
    \end{cases}  
    ]  
    Её удобно записывать матрично: (Ax=b), где (A) — матрица коэффициентов, (x) — столбец неизвестных, (b) — столбец правых частей.
    

Если матрица (A) обратима ((\det A\neq 0)), то решение единственно и находится по формуле  
[  
x=A^{-1}b.  
]  
Идея простая: умножаем (Ax=b) слева на (A^{-1}): (A^{-1}Ax=A^{-1}b\Rightarrow Ix=A^{-1}b\Rightarrow x=A^{-1}b). ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Invertible_matrix?utm_source=chatgpt.com "Invertible matrix"))

Пример.  
[  
\begin{cases}  
x+2y=5\  
3x+4y=11  
\end{cases}  
\Rightarrow  
A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix},\  
x=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix},\  
b=\begin{pmatrix}5\11\end{pmatrix}.  
]  
Из пункта 3:  
[  
A^{-1}=\frac1{-2}\begin{pmatrix}4&-2\-3&1\end{pmatrix}.  
]  
Тогда  
[  
x=A^{-1}b=\frac1{-2}  
\begin{pmatrix}4\cdot5-2\cdot11\-3\cdot5+1\cdot11\end{pmatrix}  
=\frac1{-2}\begin{pmatrix}-2\-4\end{pmatrix}  
=\begin{pmatrix}1\2\end{pmatrix}.  
]

Термины.  
Линейное уравнение — уравнение, где неизвестные входят только в первой степени и не перемножаются друг с другом.  
СЛАУ — набор линейных уравнений с общими неизвестными.  
Матрица коэффициентов (A) — матрица чисел при неизвестных.  
Вектор неизвестных (x) — столбец ((x_1,\dots,x_n)^T).  
Вектор правых частей (b) — столбец чисел справа от “=”.  
Единственное решение — ровно один набор значений неизвестных. ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Invertible_matrix?utm_source=chatgpt.com "Invertible matrix"))

6. СЛАУ. Решение методом Крамера.  
    Метод Крамера применим только к квадратной системе: число уравнений = числу неизвестных (n), то есть (A) — (n\times n). Если (\det A\neq 0), то решение единственно и задаётся формулами:  
    [  
    x_i=\frac{\det A_i}{\det A},  
    ]  
    где (A_i) — матрица, полученная из (A) заменой (i)-го столбца на столбец (b). ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Cramer%27s_rule?utm_source=chatgpt.com "Cramer's rule"))
    

Пример (тот же). (\det A=-2).  
Для (x) заменяем 1-й столбец на (b):  
[  
A_1=\begin{pmatrix}5&2\11&4\end{pmatrix},\quad \det A_1=5\cdot4-2\cdot11=-2,\quad x=\frac{-2}{-2}=1.  
]  
Для (y) заменяем 2-й столбец на (b):  
[  
A_2=\begin{pmatrix}1&5\3&11\end{pmatrix},\quad \det A_2=1\cdot11-5\cdot3=-4,\quad y=\frac{-4}{-2}=2.  
]

Термины.  
Метод Крамера — формулы решения через определители.  
Квадратная система — одинаковое число уравнений и неизвестных.  
Матрица (A_i) — матрица (A) с заменой (i)-го столбца на (b). ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Cramer%27s_rule?utm_source=chatgpt.com "Cramer's rule"))

7. СЛАУ. Теорема Кронекера–Капелли.  
    Теорема Кронекера–Капелли (часто также Руше–Капелли) даёт критерий существования решений системы (Ax=b) через ранги.
    

Строят расширенную (присоединённую) матрицу ((A|b)): это матрица (A), к которой справа приписали столбец (b).  
Тогда:  
• система совместна (есть хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда (\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A|b));  
• если эти ранги равны и равны числу неизвестных (n), то решение единственно;  
• если ранги равны, но меньше (n), решений бесконечно много (есть свободные переменные);  
• если (\mathrm{rank}(A|b)>\mathrm{rank}(A)), решений нет. ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Rouch%C3%A9%E2%80%93Capelli_theorem?utm_source=chatgpt.com "Rouché–Capelli theorem"))

Пример 1 (нет решений).  
[  
\begin{cases}  
x+y=1\  
2x+2y=3  
\end{cases}  
\Rightarrow  
(A|b)=\left(\begin{array}{cc|c}1&1&1\2&2&3\end{array}\right).  
]  
Приводим: (R_2\leftarrow R_2-2R_1\Rightarrow (0,0|1)). Это означает противоречие (0=1), значит (\mathrm{rank}(A|b)>\mathrm{rank}(A)) и решений нет. ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Rouch%C3%A9%E2%80%93Capelli_theorem?utm_source=chatgpt.com "Rouché–Capelli theorem"))

Пример 2 (бесконечно много решений).  
[  
\begin{cases}  
x+y=1\  
2x+2y=2  
\end{cases}  
\Rightarrow R_2\leftarrow R_2-2R_1\Rightarrow (0,0|0).  
]  
Ранги равны и меньше числа неизвестных (2), значит решений бесконечно много.

Термины.  
Теорема Кронекера–Капелли — критерий совместности по рангам (A) и ((A|b)).  
Расширенная матрица ((A|b)) — матрица коэффициентов с приписанным столбцом правых частей.  
Совместна — имеет хотя бы одно решение.  
Свободная переменная — неизвестная, которой можно задавать значения (появляется при ранге меньше числа неизвестных). ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Rouch%C3%A9%E2%80%93Capelli_theorem?utm_source=chatgpt.com "Rouché–Capelli theorem"))

8. СЛАУ. Решение методом Гаусса.  
    Метод Гаусса — это решение системы через преобразования строк расширенной матрицы до ступенчатого вида.
    

Шаги:

1. Составить расширенную матрицу ((A|b)).
    
2. Прямой ход: элементарными преобразованиями строк сделать нули под ведущими элементами (получить ступенчатый вид).
    
3. Обратный ход (обратная подстановка): начиная с последнего уравнения, находить неизвестные. ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_elimination?utm_source=chatgpt.com "Gaussian elimination"))
    

Пример (3 неизвестных).  
[  
\begin{cases}  
x+y+z=6\  
2x+y+3z=13\  
x- y+2z=7  
\end{cases}  
\Rightarrow  
\left(\begin{array}{ccc|c}  
1&1&1&6\  
2&1&3&13\  
1&-1&2&7  
\end{array}\right)  
]  
Прямой ход:  
(R_2\leftarrow R_2-2R_1\Rightarrow (0,-1,1|1))  
(R_3\leftarrow R_3-R_1\Rightarrow (0,-2,1|1))  
Теперь уберём (-2) под (-1): (R_3\leftarrow R_3-2R_2\Rightarrow (0,0,-1|-1))

Получили:  
[  
\left(\begin{array}{ccc|c}  
1&1&1&6\  
0&-1&1&1\  
0&0&-1&-1  
\end{array}\right)  
]  
Обратный ход:  
Из 3-й строки: (-z=-1\Rightarrow z=1).  
Из 2-й: (-y+z=1\Rightarrow -y+1=1\Rightarrow y=0).  
Из 1-й: (x+y+z=6\Rightarrow x+0+1=6\Rightarrow x=5).

Термины.  
Метод Гаусса — приведение системы к ступенчатому виду и обратная подстановка.  
Прямой ход — шаги обнуления элементов “под диагональю”.  
Обратная подстановка — нахождение неизвестных снизу вверх.  
Ступенчатый вид — форма, где ниже ведущих элементов стоят нули. ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_elimination?utm_source=chatgpt.com "Gaussian elimination"))

9. Векторы в трёхмерном пространстве. Основные понятия. Орты.  
    Вектор в 3D — направленный отрезок; в координатах его записывают как (\mathbf a=(a_x,a_y,a_z)).  
    Длина (модуль) вектора:  
    [  
    |\mathbf a|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}.  
    ]  
    Нулевой вектор (\mathbf 0=(0,0,0)) имеет длину 0 и не задаёт направления.  
    Единичный вектор (орт) — вектор длины 1. Самые важные — стандартные орты (базисные):  
    [  
    \mathbf i=(1,0,0),\quad \mathbf j=(0,1,0),\quad \mathbf k=(0,0,1).  
    ]  
    Любой вектор можно разложить по ним:  
    [  
    \mathbf a=a_x\mathbf i+a_y\mathbf j+a_z\mathbf k.  
    ]
    

Пример 1. (\mathbf a=(2,-1,3)=2\mathbf i-1\mathbf j+3\mathbf k).  
Пример 2 (получить орт по направлению (\mathbf a)).  
(|\mathbf a|=\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2}=\sqrt{14}).  
Единичный вектор того же направления:  
[  
\hat{\mathbf a}=\frac{\mathbf a}{|\mathbf a|}=\left(\frac{2}{\sqrt{14}},\frac{-1}{\sqrt{14}},\frac{3}{\sqrt{14}}\right).  
]

Термины.  
Вектор — объект с направлением и длиной.  
Координаты вектора — числа ((a_x,a_y,a_z)) в выбранных осях.  
Модуль (длина) (|\mathbf a|) — длина вектора.  
Нулевой вектор (\mathbf 0) — вектор с координатами (0,0,0).  
Единичный вектор (орт) — вектор длины 1.  
Базисные орты (\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k) — стандартные единичные векторы вдоль осей. ([Math Insight](https://mathinsight.org/dot_product_formula_components?utm_source=chatgpt.com "The formula for the dot product in terms of vector components"))

10. Линейные операции с векторами.  
    Две базовые линейные операции: сложение и умножение на число.
    

Сложение: (\mathbf a+\mathbf b=(a_x+b_x,\ a_y+b_y,\ a_z+b_z)). Геометрически: правило параллелограмма или “конец к началу”.  
Умножение на число: (\lambda\mathbf a=(\lambda a_x,\lambda a_y,\lambda a_z)). Геометрически: длина умножается на (|\lambda|), а направление меняется на противоположное, если (\lambda<0).

Линейная комбинация — выражение вида (\lambda_1\mathbf a_1+\dots+\lambda_k\mathbf a_k). Это важно для темы ранга и СЛАУ (независимость, выражаемость).

Пример 1. (\mathbf a=(1,2,0)), (\mathbf b=(3,-1,5)).  
(\mathbf a+\mathbf b=(4,1,5)).  
Пример 2. (\lambda=-2): (-2\mathbf a=(-2,-4,0)).  
Пример 3 (линейная комбинация). (2\mathbf a-\mathbf b=2(1,2,0)-(3,-1,5)=(-1,5,-5)).

Термины.  
Линейные операции — операции “сложение” и “умножение на число”, сохраняющие линейную структуру.  
Линейная комбинация — сумма векторов с числовыми коэффициентами.  
Геометрическое правило параллелограмма — способ сложения векторов как диагональ параллелограмма. ([Math Insight](https://mathinsight.org/dot_product_formula_components?utm_source=chatgpt.com "The formula for the dot product in terms of vector components"))

11. Проекция вектора на ось и её свойства. Координаты вектора.  
    Пусть есть ось (направление), заданная единичным вектором (\mathbf e) (то есть (|\mathbf e|=1)). Тогда:
    

Скалярная проекция (\mathbf a) на ось:  
[  
\mathrm{comp}_{\mathbf e}\mathbf a=\mathbf a\cdot\mathbf e.  
]  
Это число: “сколько (\mathbf a) направлено вдоль оси” (со знаком).  
Векторная проекция:  
[  
\mathrm{proj}_{\mathbf e}\mathbf a=(\mathbf a\cdot\mathbf e)\mathbf e.  
]  
Это уже вектор, лежащий на этой оси.

Координаты вектора (\mathbf a=(a_x,a_y,a_z)) в стандартных осях можно понимать как скалярные проекции на оси (Ox,Oy,Oz), если берём (\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k):  
(a_x=\mathbf a\cdot\mathbf i), (a_y=\mathbf a\cdot\mathbf j), (a_z=\mathbf a\cdot\mathbf k). ([Math Insight](https://mathinsight.org/dot_product_formula_components?utm_source=chatgpt.com "The formula for the dot product in terms of vector components"))

Пример 1 (на ось (Ox)). (\mathbf a=(2,3,0)), (\mathbf e=\mathbf i=(1,0,0)).  
Скалярная проекция: (\mathbf a\cdot\mathbf i=2).  
Векторная: (2\mathbf i=(2,0,0)).  
Пример 2 (на наклонное направление). (\mathbf e=\frac1{\sqrt2}(1,1,0)) — единичный. Тогда  
(\mathbf a\cdot\mathbf e=\frac{2+3}{\sqrt2}=\frac5{\sqrt2}),  
(\mathrm{proj}_{\mathbf e}\mathbf a=\frac5{\sqrt2}\cdot\frac1{\sqrt2}(1,1,0)=\frac52(1,1,0)).

Термины.  
Ось (направление) — фиксированное направление в пространстве.  
Единичный вектор (\mathbf e) — вектор длины 1, задающий направление оси.  
Скалярная проекция — число (\mathbf a\cdot\mathbf e).  
Векторная проекция — вектор ((\mathbf a\cdot\mathbf e)\mathbf e).  
Координаты вектора — его компоненты ((a_x,a_y,a_z)) в выбранном базисе. ([Math Insight](https://mathinsight.org/dot_product_formula_components?utm_source=chatgpt.com "The formula for the dot product in terms of vector components"))

12. Скалярное произведение векторов и его свойства.  
    Скалярное произведение (dot product) двух векторов (\mathbf a,\mathbf b) — это число:  
    [  
    \mathbf a\cdot\mathbf b=|\mathbf a|,|\mathbf b|\cos\varphi,  
    ]  
    где (\varphi) — угол между векторами. В координатах:  
    [  
    (a_x,a_y,a_z)\cdot(b_x,b_y,b_z)=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z.  
    ]  
    Основные свойства:  
    • коммутативность: (\mathbf a\cdot\mathbf b=\mathbf b\cdot\mathbf a);  
    • линейность: ((\mathbf a+\mathbf b)\cdot\mathbf c=\mathbf a\cdot\mathbf c+\mathbf b\cdot\mathbf c);  
    • (\mathbf a\cdot\mathbf a=|\mathbf a|^2);  
    • перпендикулярность: (\mathbf a\perp\mathbf b\iff \mathbf a\cdot\mathbf b=0). ([Math Insight](https://mathinsight.org/dot_product_formula_components?utm_source=chatgpt.com "The formula for the dot product in terms of vector components"))
    

Пример 1. (\mathbf a=(1,3,-5)), (\mathbf b=(4,-2,-1)).  
(\mathbf a\cdot\mathbf b=1\cdot4+3\cdot(-2)+(-5)\cdot(-1)=4-6+5=3).  
Пример 2 (найти угол). Пусть (\mathbf a=(1,0,0)), (\mathbf b=(1,1,0)).  
(\mathbf a\cdot\mathbf b=1). (|\mathbf a|=1), (|\mathbf b|=\sqrt2).  
(\cos\varphi=\dfrac{1}{1\cdot\sqrt2}=\dfrac1{\sqrt2}\Rightarrow \varphi=45^\circ).

Термины.  
Скалярное произведение — операция, результатом которой является число.  
Угол между векторами (\varphi) — угол между их направлениями (берут от 0 до (\pi)).  
Перпендикулярность (\perp) — угол (90^\circ), эквивалентно нулевому скалярному произведению.  
Линейность — свойство “раскрывать скобки” и выносить числа. ([Math Insight](https://mathinsight.org/dot_product_formula_components?utm_source=chatgpt.com "The formula for the dot product in terms of vector components"))

13. Векторное произведение векторов и его свойства.  
    Векторное произведение (cross product) (\mathbf a\times\mathbf b) определено в 3D. Результат — вектор, который:  
    • перпендикулярен и (\mathbf a), и (\mathbf b);  
    • имеет длину (|\mathbf a\times\mathbf b|=|\mathbf a|,|\mathbf b|\sin\varphi);  
    • направлен по правилу правой руки. Геометрический смысл длины: площадь параллелограмма на (\mathbf a) и (\mathbf b). ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product?utm_source=chatgpt.com "Cross product"))
    

В координатах:  
[  
\mathbf a\times\mathbf b=  
\begin{pmatrix}  
a_yb_z-a_zb_y\  
a_zb_x-a_xb_z\  
a_xb_y-a_yb_x  
\end{pmatrix}.  
]  
Свойства:  
• антикоммутативность: (\mathbf a\times\mathbf b=-(\mathbf b\times\mathbf a));  
• дистрибутивность: (\mathbf a\times(\mathbf b+\mathbf c)=\mathbf a\times\mathbf b+\mathbf a\times\mathbf c);  
• (\mathbf a\times\mathbf a=\mathbf 0). ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product?utm_source=chatgpt.com "Cross product"))

Пример 1. (\mathbf i\times\mathbf j=\mathbf k), а (\mathbf j\times\mathbf i=-\mathbf k).  
Пример 2. (\mathbf a=(1,0,0)), (\mathbf b=(0,2,0)). Тогда  
(\mathbf a\times\mathbf b=(0,0,1\cdot2-0\cdot0)=(0,0,2)). Площадь параллелограмма равна 2.

Термины.  
Векторное произведение — операция двух 3D-векторов, результатом которой является вектор.  
Правило правой руки — способ определить направление (\mathbf a\times\mathbf b).  
Антикоммутативность — при перестановке множителей знак меняется.  
Дистрибутивность — “умножение” на сумму раскрывается в сумму. ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product?utm_source=chatgpt.com "Cross product"))

14. Смешанное произведение 3-х векторов и его свойства.  
    Смешанное (скалярное тройное) произведение трёх векторов:  
    [  
    [\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c]=\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c).  
    ]  
    Это число. Оно равно определителю матрицы, составленной из координат векторов:  
    [  
    \mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)=  
    \det\begin{pmatrix}  
    a_x&a_y&a_z\  
    b_x&b_y&b_z\  
    c_x&c_y&c_z  
    \end{pmatrix}.  
    ]  
    Геометрический смысл: ориентированный объём параллелепипеда на (\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c); обычный объём равен модулю:  
    [  
    V=\left|\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)\right|.  
    ]  
    Свойства: циклическая перестановка не меняет значение, перестановка двух векторов меняет знак; если значение 0, то векторы компланарны (лежат в одной плоскости). ([Math Insight](https://mathinsight.org/scalar_triple_product?utm_source=chatgpt.com "The scalar triple product"))
    

Пример 1. ([\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k]=1) (объём единичного куба).  
Пример 2 (проверка компланарности). Если (\mathbf c=\mathbf a+\mathbf b), то  
([\mathbf a,\mathbf b,\mathbf a+\mathbf b]=[\mathbf a,\mathbf b,\mathbf a]+[\mathbf a,\mathbf b,\mathbf b]=0+0=0), значит (\mathbf a,\mathbf b,\mathbf a+\mathbf b) лежат в одной плоскости.

Термины.  
Смешанное произведение — число (\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)).  
Ориентированный объём — объём со знаком (может быть отрицательным).  
Параллелепипед — “коробка”, построенная на трёх ребрах-векторах.  
Компланарны — лежат в одной плоскости. ([Math Insight](https://mathinsight.org/scalar_triple_product?utm_source=chatgpt.com "The scalar triple product"))

15. Плоскость. Различные виды уравнений плоскости.  
    Плоскость в 3D можно задавать разными эквивалентными уравнениями.
    

(а) Общее (линейное) уравнение плоскости:  
[  
Ax+By+Cz+D=0.  
]  
Вектор (\mathbf n=(A,B,C)) перпендикулярен плоскости и называется нормальным. ([Mathematics LibreTexts](https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/CLP-3_Multivariable_Calculus_%28Feldman_Rechnitzer_and_Yeager%29/01%3A_Vectors_and_Geometry_in_Two_and_Three_Dimensions/1.04%3A_Equations_of_Planes_in_3d?utm_source=chatgpt.com "1.4: Equations of Planes in 3d"))

(б) Точка–нормаль (point–normal form). Если плоскость проходит через точку (P_0(x_0,y_0,z_0)) и имеет нормаль (\mathbf n=(A,B,C)), то:  
[  
A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.  
]  
Раскрывая скобки, получают общий вид. ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_planes_in_three-dimensional_space?utm_source=chatgpt.com "Euclidean planes in three-dimensional space"))

(в) Параметрическое задание. Если известна точка (\mathbf r_0) на плоскости и два неколлинеарных направляющих вектора (\mathbf v,\mathbf w), лежащих в плоскости, то любая точка плоскости:  
[  
\mathbf r=\mathbf r_0+s\mathbf v+t\mathbf w.  
]  
([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_planes_in_three-dimensional_space?utm_source=chatgpt.com "Euclidean planes in three-dimensional space"))

Пример 1 (по точке и нормали).  
Точка (P_0(1,0,0)), нормаль (\mathbf n=(2,-1,3)). Тогда  
[  
2(x-1)-1(y-0)+3(z-0)=0 \Rightarrow 2x-y+3z-2=0.  
]

Пример 2 (по трём точкам).  
Пусть (A(1,0,0)), (B(0,1,0)), (C(0,0,1)).  
Векторы в плоскости: (\overrightarrow{AB}=(-1,1,0)), (\overrightarrow{AC}=(-1,0,1)).  
Нормаль (\mathbf n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}). Считаем:  
[  
(-1,1,0)\times(-1,0,1)=(1,1,1).  
]  
Уравнение через точку (A(1,0,0)):  
[  
1(x-1)+1(y-0)+1(z-0)=0\Rightarrow x+y+z-1=0.  
]

Термины.  
Плоскость — множество точек, образующее “ровную” 2D-поверхность в 3D.  
Нормальный вектор (нормаль) (\mathbf n) — вектор, перпендикулярный плоскости.  
Точка–нормаль форма — задание плоскости через точку на ней и нормаль.  
Параметрическое уравнение — задание множества точек через параметры (s,t).  
Неколлинеарные векторы — не лежат на одной прямой (не являются кратными). ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_planes_in_three-dimensional_space?utm_source=chatgpt.com "Euclidean planes in three-dimensional space"))