Лекция 1. Введение

Комплексные числа
Теория матриц
Решение линейных алгебраических систем
Аналитическая геометрия (векторы в трехмерном пространстве, плоскости и прямые в трехмерном пространстве)
Математический анализ

Множества чисел

N - натуральные числа ({1; 2; 3; 4; \dots}) Z - множество целых чисел ({\dots; -2; -1; 0; 1; 2; \dots}) Z_{+} - множество неотрицательных чисел Z_{-} - множество неположительных чисел Q = \left\{\frac{m}{n}\right\}, где m\in Z_{+}, а n\in N R - вещественные или действительное числа

Модуль числа


|x| =
  \begin{cases}
    x, x > 0\\
    0, x = 0 \\
    -x, x < 0
  \end{cases}

Свойства модулей:

|x| \geq 0
|x_{1}x_{2}| = |x_{1}| * |x_{2}|
|\frac{x_{1}}{x_{2}}| = \frac{|x_{1}|}{|x_{2}|}
|x_{1}+x_{2}|

Константные переменные

\pi=3.141596\dots e=2.718281828\dots \log_{e}x=\ln x

Комплексные числа в алгебраической форме

Комлексное число - выражение вида x+iy, где x, y - вещественные числа, а i - мнимая единица (i^2 = -1) Геометрическая интерпретация комплексного числа - точка в пространстве.

x = x + 0*i - вещественное число становится частным случаем комплексного числа. yi - чисто мнимое число

Углы

Все углы измеряются в радианах. \varepsilon=\sqrt{ x^2+y^2 } = |Z| - модуль комплексного числа Z = x + iy = r\cos \varphi + ir\sin \varphi = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)

Налево (против часовой стрелки) - положительные углы Направо (по часовой стрелке) - отрицательные углы

Пример

Z=1+i\sqrt{ 3 }=2\left( \cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3} \right) |Z|=\sqrt{ 1^2 + \sqrt{ 3 }^2 }=2 \cos \varphi=\frac{1}{2} \sin \varphi=\frac{\sqrt{ 3 }}{2} \varphi=\frac{\pi}{3}
Z=1-i=\sqrt{ 2 }\left( \cos \frac{7\pi}{4}+i\sin \frac{7\pi}{4} \right) arg\text{ Z}=\frac{7\pi}{4}

arg\text{ Z} - главное значение так, что arg\text{ Z}\in[0;2\pi) \varphi=Arg\text{ Z}=arg\text{ Z} + 2\pi k, где k\in Z

Z=x+iy x=\mathrm{Re}Z (\mathrm{Re} - real, вещественный) y=\mathrm{Im}Z (\mathrm{Im} - imaginaire, мнимый)

Действия

Равенство Z_{1}=x_{1}+iy_{1};Z_{2}=x_{2}+iy_{2} Z_{1}=Z_{2}\Leftrightarrow \begin{cases} x_{1}=x_{2}\\y_{1}=y_{2} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}r_{1}=r_{2}\\\varphi_{1}+2\pi k=\varphi_{2}+2\pi k, k\in Z_{+}\end{cases} (Z=0\Leftrightarrow\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases})
Сложение Z=Z_{1}+Z_{2}\Leftrightarrow\begin{cases}x=x_{1}+x_{2}\\y=y_{1}+y_{2}\end{cases} Пример: (2+3i)+(1-i)=(2+1)+i(3-1)=3+2i
Вычитание Обратное сложению действие
Умножение Z=Z_{1}*Z_{2}\Leftrightarrow\begin{cases}x=x_{1}x_{2}\\y=y_{1}y_{2}\end{cases} (x_{1}+iy_{1})(x_{2}+iy_{2})=x_{1}x_{2}+ix_{1}y_{2}+ix_{2}y_{1}+i^2y_{1}y_{2} Пример: (2-3i)(5+i)=2*5-3*5i+7i-3i^2=10+3+i(-15+2)=13-13i

3.7 KiB Raw Blame History Unescape Escape