ч#Лекция #ВысшаяМатематика
# Лекция 1. Введение
1. Комплексные числа
2. Теория матриц
3. Решение линейных алгебраических систем
4. Аналитическая геометрия (векторы в трехмерном пространстве, плоскости и прямые в трехмерном пространстве)
5. Математический анализ
## Множества чисел
$N$ - натуральные числа (${1; 2; 3; 4; \dots}$)
$Z$ - множество целых чисел (${\dots; -2; -1; 0; 1; 2; \dots}$)
$Z_{+}$ - множество неотрицательных чисел
$Z_{-}$ - множество неположительных чисел
$Q = \left\{\frac{m}{n}\right\}$, где $m\in Z_{+}$, а $n\in N$
$R$ - вещественные или действительное числа
## Модуль числа
$$
|x| =
  \begin{cases}
    x, x > 0\\
    0, x = 0 \\
    -x, x < 0
  \end{cases}
$$
Свойства модулей:
1. $|x| \geq 0$
2. $|x_{1}x_{2}| = |x_{1}| * |x_{2}|$
3. $|\frac{x_{1}}{x_{2}}| = \frac{|x_{1}|}{|x_{2}|}$
4. $|x_{1}+x_{2}|$

## Константные переменные
$\pi=3.141596\dots$
$e=2.718281828\dots$
$\log_{e}x=\ln x$

## Комплексные числа в алгебраической форме
Комлексное число - выражение вида $x+iy$, где $x, y$ - вещественные числа, а $i$ - мнимая единица ($i^2 = -1$)
Геометрическая интерпретация комплексного числа - точка в пространстве.

$x = x + 0*i$ - вещественное число становится частным случаем комплексного числа.
$yi$ - чисто мнимое число
### Углы
Все углы измеряются в радианах.
$\varepsilon=\sqrt{ x^2+y^2 }$ = $|Z|$ - модуль комплексного числа
$Z = x + iy = r\cos \varphi + ir\sin \varphi = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$

Налево (против часовой стрелки) - положительные углы
Направо (по часовой стрелке) - отрицательные углы
### Пример
1. $Z=1+i\sqrt{ 3 }=2\left( \cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3} \right)$
   $|Z|=\sqrt{ 1^2 + \sqrt{ 3 }^2 }=2$
   $\cos \varphi=\frac{1}{2}$
   $\sin \varphi=\frac{\sqrt{ 3 }}{2}$
   $\varphi=\frac{\pi}{3}$
2. $Z=1-i=\sqrt{ 2 }\left( \cos \frac{7\pi}{4}+i\sin \frac{7\pi}{4} \right)$
   $arg\text{ Z}=\frac{7\pi}{4}$

$arg\text{ Z}$ - главное значение так, что $arg\text{ Z}\in[0;2\pi)$
$\varphi=Arg\text{ Z}=arg\text{ Z} + 2\pi k$, где $k\in Z$

$Z=x+iy$
$x=\mathrm{Re}Z$ ($\mathrm{Re}$ - real, вещественный)
$y=\mathrm{Im}Z$ ($\mathrm{Im}$ - imaginaire, мнимый)
### Действия
1. **Равенство**
   $Z_{1}=x_{1}+iy_{1};Z_{2}=x_{2}+iy_{2}$
   $Z_{1}=Z_{2}\Leftrightarrow \begin{cases} x_{1}=x_{2}\\y_{1}=y_{2} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}r_{1}=r_{2}\\\varphi_{1}+2\pi k=\varphi_{2}+2\pi k, k\in Z_{+}\end{cases}$
   $(Z=0\Leftrightarrow\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases})$
2. **Сложение**
   $Z=Z_{1}+Z_{2}\Leftrightarrow\begin{cases}x=x_{1}+x_{2}\\y=y_{1}+y_{2}\end{cases}$
   Пример: $(2+3i)+(1-i)=(2+1)+i(3-1)=3+2i$
3. **Вычитание**
   Обратное сложению действие
4. **Умножение**
   $Z=Z_{1}*Z_{2}\Leftrightarrow\begin{cases}x=x_{1}x_{2}\\y=y_{1}y_{2}\end{cases}$
   $(x_{1}+iy_{1})(x_{2}+iy_{2})=x_{1}x_{2}+ix_{1}y_{2}+ix_{2}y_{1}+i^2y_{1}y_{2}$
   Пример: $(2-3i)(5+i)=2*5-3*5i+7i-3i^2=10+3+i(-15+2)=13-13i$