sync: 01-03
This commit is contained in:
snusxd
2
.obsidian/workspace.json
vendored
2
.obsidian/workspace.json
vendored
@@ -181,6 +181,7 @@
|
|||||||
},
|
},
|
||||||
"active": "6dd4447182c2e2b7",
|
"active": "6dd4447182c2e2b7",
|
||||||
"lastOpenFiles": [
|
"lastOpenFiles": [
|
||||||
|
"Работы/Практики/~$хПрог-ПР1.docx",
|
||||||
"Задания/ВышМат/math-200/modules/7 MODULE.md",
|
"Задания/ВышМат/math-200/modules/7 MODULE.md",
|
||||||
"Задания/ВышМат/math-200/modules/1 MODULE.md",
|
"Задания/ВышМат/math-200/modules/1 MODULE.md",
|
||||||
"Учебники/Английский.pdf",
|
"Учебники/Английский.pdf",
|
||||||
@@ -220,7 +221,6 @@
|
|||||||
"Конспекты/1 СЕМ/Английский/4 UNIT/Part 1/1 задание.md",
|
"Конспекты/1 СЕМ/Английский/4 UNIT/Part 1/1 задание.md",
|
||||||
"2026-02-10.md",
|
"2026-02-10.md",
|
||||||
"Конспекты/1 СЕМ/Вышмат/Производные.md",
|
"Конспекты/1 СЕМ/Вышмат/Производные.md",
|
||||||
"Конспекты/1 СЕМ/Вышмат/Определённый интеграл.md",
|
|
||||||
"_images/Pasted image 20251216164141.png",
|
"_images/Pasted image 20251216164141.png",
|
||||||
"_images/Pasted image 20251216164139.png",
|
"_images/Pasted image 20251216164139.png",
|
||||||
"Английский/Untitled.canvas",
|
"Английский/Untitled.canvas",
|
||||||
|
|||||||
BIN
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/! 200 ПРИМЕРОВ.pdf
Normal file
BIN
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/! 200 ПРИМЕРОВ.pdf
Normal file
Binary file not shown.
9
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/.obsidian/app.json
vendored
Normal file
9
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/.obsidian/app.json
vendored
Normal file
@@ -0,0 +1,9 @@
|
|||||||
|
{
|
||||||
|
"promptDelete": false,
|
||||||
|
"pdfExportSettings": {
|
||||||
|
"pageSize": "Letter",
|
||||||
|
"landscape": false,
|
||||||
|
"margin": "0",
|
||||||
|
"downscalePercent": 100
|
||||||
|
}
|
||||||
|
}
|
||||||
1
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/.obsidian/appearance.json
vendored
Normal file
1
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/.obsidian/appearance.json
vendored
Normal file
@@ -0,0 +1 @@
|
|||||||
|
{}
|
||||||
4
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/.obsidian/community-plugins.json
vendored
Normal file
4
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/.obsidian/community-plugins.json
vendored
Normal file
@@ -0,0 +1,4 @@
|
|||||||
|
[
|
||||||
|
"obsidian-latex-suite",
|
||||||
|
"quick-latex"
|
||||||
|
]
|
||||||
33
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/.obsidian/core-plugins.json
vendored
Normal file
33
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/.obsidian/core-plugins.json
vendored
Normal file
@@ -0,0 +1,33 @@
|
|||||||
|
{
|
||||||
|
"file-explorer": true,
|
||||||
|
"global-search": true,
|
||||||
|
"switcher": true,
|
||||||
|
"graph": true,
|
||||||
|
"backlink": true,
|
||||||
|
"canvas": true,
|
||||||
|
"outgoing-link": true,
|
||||||
|
"tag-pane": true,
|
||||||
|
"footnotes": false,
|
||||||
|
"properties": true,
|
||||||
|
"page-preview": true,
|
||||||
|
"daily-notes": true,
|
||||||
|
"templates": true,
|
||||||
|
"note-composer": true,
|
||||||
|
"command-palette": true,
|
||||||
|
"slash-command": false,
|
||||||
|
"editor-status": true,
|
||||||
|
"bookmarks": true,
|
||||||
|
"markdown-importer": false,
|
||||||
|
"zk-prefixer": false,
|
||||||
|
"random-note": false,
|
||||||
|
"outline": true,
|
||||||
|
"word-count": true,
|
||||||
|
"slides": false,
|
||||||
|
"audio-recorder": false,
|
||||||
|
"workspaces": false,
|
||||||
|
"file-recovery": true,
|
||||||
|
"publish": false,
|
||||||
|
"sync": true,
|
||||||
|
"bases": true,
|
||||||
|
"webviewer": false
|
||||||
|
}
|
||||||
22
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/.obsidian/graph.json
vendored
Normal file
22
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/.obsidian/graph.json
vendored
Normal file
@@ -0,0 +1,22 @@
|
|||||||
|
{
|
||||||
|
"collapse-filter": true,
|
||||||
|
"search": "",
|
||||||
|
"showTags": false,
|
||||||
|
"showAttachments": false,
|
||||||
|
"hideUnresolved": false,
|
||||||
|
"showOrphans": true,
|
||||||
|
"collapse-color-groups": true,
|
||||||
|
"colorGroups": [],
|
||||||
|
"collapse-display": true,
|
||||||
|
"showArrow": false,
|
||||||
|
"textFadeMultiplier": 0,
|
||||||
|
"nodeSizeMultiplier": 1,
|
||||||
|
"lineSizeMultiplier": 1,
|
||||||
|
"collapse-forces": true,
|
||||||
|
"centerStrength": 0.518713248970312,
|
||||||
|
"repelStrength": 10,
|
||||||
|
"linkStrength": 1,
|
||||||
|
"linkDistance": 250,
|
||||||
|
"scale": 1,
|
||||||
|
"close": true
|
||||||
|
}
|
||||||
817
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/.obsidian/plugins/obsidian-excalidraw-plugin/data.json
vendored
Normal file
817
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/.obsidian/plugins/obsidian-excalidraw-plugin/data.json
vendored
Normal file
@@ -0,0 +1,817 @@
|
|||||||
|
{
|
||||||
|
"copyLinkToElemenetAnchorTo100": false,
|
||||||
|
"copyFrameLinkByName": false,
|
||||||
|
"disableDoubleClickTextEditing": false,
|
||||||
|
"folder": "Excalidraw",
|
||||||
|
"cropFolder": "",
|
||||||
|
"annotateFolder": "",
|
||||||
|
"embedUseExcalidrawFolder": false,
|
||||||
|
"templateFilePath": "Excalidraw/Template.excalidraw",
|
||||||
|
"scriptFolderPath": "Excalidraw/Scripts",
|
||||||
|
"fontAssetsPath": "Excalidraw/CJK Fonts",
|
||||||
|
"loadChineseFonts": false,
|
||||||
|
"loadJapaneseFonts": false,
|
||||||
|
"loadKoreanFonts": false,
|
||||||
|
"compress": true,
|
||||||
|
"decompressForMDView": false,
|
||||||
|
"onceOffCompressFlagReset": true,
|
||||||
|
"onceOffGPTVersionReset": true,
|
||||||
|
"autosave": true,
|
||||||
|
"autosaveIntervalDesktop": 60000,
|
||||||
|
"autosaveIntervalMobile": 30000,
|
||||||
|
"drawingFilenamePrefix": "Drawing ",
|
||||||
|
"drawingEmbedPrefixWithFilename": true,
|
||||||
|
"drawingFilnameEmbedPostfix": " ",
|
||||||
|
"drawingFilenameDateTime": "YYYY-MM-DD HH.mm.ss",
|
||||||
|
"useExcalidrawExtension": true,
|
||||||
|
"cropSuffix": "",
|
||||||
|
"cropPrefix": "cropped_",
|
||||||
|
"annotateSuffix": "",
|
||||||
|
"annotatePrefix": "annotated_",
|
||||||
|
"annotatePreserveSize": false,
|
||||||
|
"previewImageType": "SVGIMG",
|
||||||
|
"renderingConcurrency": 3,
|
||||||
|
"allowImageCache": true,
|
||||||
|
"allowImageCacheInScene": true,
|
||||||
|
"displayExportedImageIfAvailable": false,
|
||||||
|
"previewMatchObsidianTheme": false,
|
||||||
|
"width": "400",
|
||||||
|
"height": "",
|
||||||
|
"overrideObsidianFontSize": false,
|
||||||
|
"dynamicStyling": "colorful",
|
||||||
|
"isLeftHanded": false,
|
||||||
|
"desktopUIMode": "tray",
|
||||||
|
"tabletUIMode": "compact",
|
||||||
|
"iframeMatchExcalidrawTheme": true,
|
||||||
|
"matchTheme": false,
|
||||||
|
"matchThemeAlways": false,
|
||||||
|
"matchThemeTrigger": false,
|
||||||
|
"defaultMode": "normal",
|
||||||
|
"defaultPenMode": "never",
|
||||||
|
"penModeDoubleTapEraser": true,
|
||||||
|
"penModeSingleFingerPanning": true,
|
||||||
|
"penModeCrosshairVisible": true,
|
||||||
|
"panWithRightMouseButton": false,
|
||||||
|
"renderImageInMarkdownReadingMode": false,
|
||||||
|
"renderImageInHoverPreviewForMDNotes": false,
|
||||||
|
"renderImageInMarkdownToPDF": false,
|
||||||
|
"allowPinchZoom": false,
|
||||||
|
"allowWheelZoom": false,
|
||||||
|
"zoomToFitOnOpen": true,
|
||||||
|
"zoomToFitOnResize": false,
|
||||||
|
"zoomToFitMaxLevel": 2,
|
||||||
|
"zoomStep": 0.05,
|
||||||
|
"zoomMin": 0.1,
|
||||||
|
"zoomMax": 30,
|
||||||
|
"linkPrefix": "📍",
|
||||||
|
"urlPrefix": "🌐",
|
||||||
|
"parseTODO": false,
|
||||||
|
"todo": "☐",
|
||||||
|
"done": "🗹",
|
||||||
|
"hoverPreviewWithoutCTRL": false,
|
||||||
|
"linkOpacity": 1,
|
||||||
|
"openInAdjacentPane": true,
|
||||||
|
"showSecondOrderLinks": true,
|
||||||
|
"focusOnFileTab": true,
|
||||||
|
"openInMainWorkspace": true,
|
||||||
|
"showLinkBrackets": true,
|
||||||
|
"allowCtrlClick": true,
|
||||||
|
"forceWrap": false,
|
||||||
|
"pageTransclusionCharLimit": 200,
|
||||||
|
"wordWrappingDefault": 0,
|
||||||
|
"removeTransclusionQuoteSigns": true,
|
||||||
|
"iframelyAllowed": true,
|
||||||
|
"pngExportScale": 1,
|
||||||
|
"exportWithTheme": true,
|
||||||
|
"exportWithBackground": true,
|
||||||
|
"exportPaddingSVG": 10,
|
||||||
|
"exportEmbedScene": false,
|
||||||
|
"keepInSync": false,
|
||||||
|
"autoexportSVG": false,
|
||||||
|
"autoexportPNG": false,
|
||||||
|
"autoExportLightAndDark": false,
|
||||||
|
"autoexportExcalidraw": false,
|
||||||
|
"embedType": "excalidraw",
|
||||||
|
"embedMarkdownCommentLinks": true,
|
||||||
|
"embedWikiLink": true,
|
||||||
|
"syncExcalidraw": false,
|
||||||
|
"experimentalFileType": false,
|
||||||
|
"experimentalFileTag": "✏️",
|
||||||
|
"experimentalLivePreview": true,
|
||||||
|
"fadeOutExcalidrawMarkup": false,
|
||||||
|
"loadPropertySuggestions": false,
|
||||||
|
"experimentalEnableFourthFont": false,
|
||||||
|
"experimantalFourthFont": "Virgil",
|
||||||
|
"addDummyTextElement": false,
|
||||||
|
"zoteroCompatibility": false,
|
||||||
|
"fieldSuggester": true,
|
||||||
|
"compatibilityMode": false,
|
||||||
|
"drawingOpenCount": 0,
|
||||||
|
"library": "deprecated",
|
||||||
|
"library2": {
|
||||||
|
"type": "excalidrawlib",
|
||||||
|
"version": 2,
|
||||||
|
"source": "https://github.com/zsviczian/obsidian-excalidraw-plugin/releases/tag/2.18.3",
|
||||||
|
"libraryItems": []
|
||||||
|
},
|
||||||
|
"imageElementNotice": true,
|
||||||
|
"mdSVGwidth": 500,
|
||||||
|
"mdSVGmaxHeight": 800,
|
||||||
|
"mdFont": "Virgil",
|
||||||
|
"mdFontColor": "Black",
|
||||||
|
"mdBorderColor": "Black",
|
||||||
|
"mdCSS": "",
|
||||||
|
"scriptEngineSettings": {},
|
||||||
|
"previousRelease": "2.18.3",
|
||||||
|
"showReleaseNotes": true,
|
||||||
|
"compareManifestToPluginVersion": true,
|
||||||
|
"showNewVersionNotification": true,
|
||||||
|
"latexBoilerplate": "\\color{blue}",
|
||||||
|
"latexPreambleLocation": "preamble.sty",
|
||||||
|
"taskboneEnabled": false,
|
||||||
|
"taskboneAPIkey": "",
|
||||||
|
"pinnedScripts": [],
|
||||||
|
"customPens": [
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"type": "default",
|
||||||
|
"freedrawOnly": false,
|
||||||
|
"strokeColor": "#000000",
|
||||||
|
"backgroundColor": "transparent",
|
||||||
|
"fillStyle": "hachure",
|
||||||
|
"strokeWidth": 0,
|
||||||
|
"roughness": 0,
|
||||||
|
"penOptions": {
|
||||||
|
"highlighter": false,
|
||||||
|
"constantPressure": false,
|
||||||
|
"hasOutline": false,
|
||||||
|
"outlineWidth": 1,
|
||||||
|
"options": {
|
||||||
|
"thinning": 0.6,
|
||||||
|
"smoothing": 0.5,
|
||||||
|
"streamline": 0.5,
|
||||||
|
"easing": "easeOutSine",
|
||||||
|
"start": {
|
||||||
|
"cap": true,
|
||||||
|
"taper": 0,
|
||||||
|
"easing": "linear"
|
||||||
|
},
|
||||||
|
"end": {
|
||||||
|
"cap": true,
|
||||||
|
"taper": 0,
|
||||||
|
"easing": "linear"
|
||||||
|
}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"type": "highlighter",
|
||||||
|
"freedrawOnly": true,
|
||||||
|
"strokeColor": "#FFC47C",
|
||||||
|
"backgroundColor": "#FFC47C",
|
||||||
|
"fillStyle": "solid",
|
||||||
|
"strokeWidth": 2,
|
||||||
|
"roughness": null,
|
||||||
|
"penOptions": {
|
||||||
|
"highlighter": true,
|
||||||
|
"constantPressure": true,
|
||||||
|
"hasOutline": true,
|
||||||
|
"outlineWidth": 4,
|
||||||
|
"options": {
|
||||||
|
"thinning": 1,
|
||||||
|
"smoothing": 0.5,
|
||||||
|
"streamline": 0.5,
|
||||||
|
"easing": "linear",
|
||||||
|
"start": {
|
||||||
|
"taper": 0,
|
||||||
|
"cap": true,
|
||||||
|
"easing": "linear"
|
||||||
|
},
|
||||||
|
"end": {
|
||||||
|
"taper": 0,
|
||||||
|
"cap": true,
|
||||||
|
"easing": "linear"
|
||||||
|
}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"type": "finetip",
|
||||||
|
"freedrawOnly": false,
|
||||||
|
"strokeColor": "#3E6F8D",
|
||||||
|
"backgroundColor": "transparent",
|
||||||
|
"fillStyle": "hachure",
|
||||||
|
"strokeWidth": 0.5,
|
||||||
|
"roughness": 0,
|
||||||
|
"penOptions": {
|
||||||
|
"highlighter": false,
|
||||||
|
"hasOutline": false,
|
||||||
|
"outlineWidth": 1,
|
||||||
|
"constantPressure": true,
|
||||||
|
"options": {
|
||||||
|
"smoothing": 0.4,
|
||||||
|
"thinning": -0.5,
|
||||||
|
"streamline": 0.4,
|
||||||
|
"easing": "linear",
|
||||||
|
"start": {
|
||||||
|
"taper": 5,
|
||||||
|
"cap": false,
|
||||||
|
"easing": "linear"
|
||||||
|
},
|
||||||
|
"end": {
|
||||||
|
"taper": 5,
|
||||||
|
"cap": false,
|
||||||
|
"easing": "linear"
|
||||||
|
}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"type": "fountain",
|
||||||
|
"freedrawOnly": false,
|
||||||
|
"strokeColor": "#000000",
|
||||||
|
"backgroundColor": "transparent",
|
||||||
|
"fillStyle": "hachure",
|
||||||
|
"strokeWidth": 2,
|
||||||
|
"roughness": 0,
|
||||||
|
"penOptions": {
|
||||||
|
"highlighter": false,
|
||||||
|
"constantPressure": false,
|
||||||
|
"hasOutline": false,
|
||||||
|
"outlineWidth": 1,
|
||||||
|
"options": {
|
||||||
|
"smoothing": 0.2,
|
||||||
|
"thinning": 0.6,
|
||||||
|
"streamline": 0.2,
|
||||||
|
"easing": "easeInOutSine",
|
||||||
|
"start": {
|
||||||
|
"taper": 150,
|
||||||
|
"cap": true,
|
||||||
|
"easing": "linear"
|
||||||
|
},
|
||||||
|
"end": {
|
||||||
|
"taper": 1,
|
||||||
|
"cap": true,
|
||||||
|
"easing": "linear"
|
||||||
|
}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"type": "marker",
|
||||||
|
"freedrawOnly": true,
|
||||||
|
"strokeColor": "#B83E3E",
|
||||||
|
"backgroundColor": "#FF7C7C",
|
||||||
|
"fillStyle": "dashed",
|
||||||
|
"strokeWidth": 2,
|
||||||
|
"roughness": 3,
|
||||||
|
"penOptions": {
|
||||||
|
"highlighter": false,
|
||||||
|
"constantPressure": true,
|
||||||
|
"hasOutline": true,
|
||||||
|
"outlineWidth": 4,
|
||||||
|
"options": {
|
||||||
|
"thinning": 1,
|
||||||
|
"smoothing": 0.5,
|
||||||
|
"streamline": 0.5,
|
||||||
|
"easing": "linear",
|
||||||
|
"start": {
|
||||||
|
"taper": 0,
|
||||||
|
"cap": true,
|
||||||
|
"easing": "linear"
|
||||||
|
},
|
||||||
|
"end": {
|
||||||
|
"taper": 0,
|
||||||
|
"cap": true,
|
||||||
|
"easing": "linear"
|
||||||
|
}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"type": "thick-thin",
|
||||||
|
"freedrawOnly": true,
|
||||||
|
"strokeColor": "#CECDCC",
|
||||||
|
"backgroundColor": "transparent",
|
||||||
|
"fillStyle": "hachure",
|
||||||
|
"strokeWidth": 0,
|
||||||
|
"roughness": null,
|
||||||
|
"penOptions": {
|
||||||
|
"highlighter": true,
|
||||||
|
"constantPressure": true,
|
||||||
|
"hasOutline": false,
|
||||||
|
"outlineWidth": 1,
|
||||||
|
"options": {
|
||||||
|
"thinning": 1,
|
||||||
|
"smoothing": 0.5,
|
||||||
|
"streamline": 0.5,
|
||||||
|
"easing": "linear",
|
||||||
|
"start": {
|
||||||
|
"taper": 0,
|
||||||
|
"cap": true,
|
||||||
|
"easing": "linear"
|
||||||
|
},
|
||||||
|
"end": {
|
||||||
|
"cap": true,
|
||||||
|
"taper": true,
|
||||||
|
"easing": "linear"
|
||||||
|
}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"type": "thin-thick-thin",
|
||||||
|
"freedrawOnly": true,
|
||||||
|
"strokeColor": "#CECDCC",
|
||||||
|
"backgroundColor": "transparent",
|
||||||
|
"fillStyle": "hachure",
|
||||||
|
"strokeWidth": 0,
|
||||||
|
"roughness": null,
|
||||||
|
"penOptions": {
|
||||||
|
"highlighter": true,
|
||||||
|
"constantPressure": true,
|
||||||
|
"hasOutline": false,
|
||||||
|
"outlineWidth": 1,
|
||||||
|
"options": {
|
||||||
|
"thinning": 1,
|
||||||
|
"smoothing": 0.5,
|
||||||
|
"streamline": 0.5,
|
||||||
|
"easing": "linear",
|
||||||
|
"start": {
|
||||||
|
"cap": true,
|
||||||
|
"taper": true,
|
||||||
|
"easing": "linear"
|
||||||
|
},
|
||||||
|
"end": {
|
||||||
|
"cap": true,
|
||||||
|
"taper": true,
|
||||||
|
"easing": "linear"
|
||||||
|
}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"type": "default",
|
||||||
|
"freedrawOnly": false,
|
||||||
|
"strokeColor": "#000000",
|
||||||
|
"backgroundColor": "transparent",
|
||||||
|
"fillStyle": "hachure",
|
||||||
|
"strokeWidth": 0,
|
||||||
|
"roughness": 0,
|
||||||
|
"penOptions": {
|
||||||
|
"highlighter": false,
|
||||||
|
"constantPressure": false,
|
||||||
|
"hasOutline": false,
|
||||||
|
"outlineWidth": 1,
|
||||||
|
"options": {
|
||||||
|
"thinning": 0.6,
|
||||||
|
"smoothing": 0.5,
|
||||||
|
"streamline": 0.5,
|
||||||
|
"easing": "easeOutSine",
|
||||||
|
"start": {
|
||||||
|
"cap": true,
|
||||||
|
"taper": 0,
|
||||||
|
"easing": "linear"
|
||||||
|
},
|
||||||
|
"end": {
|
||||||
|
"cap": true,
|
||||||
|
"taper": 0,
|
||||||
|
"easing": "linear"
|
||||||
|
}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"type": "default",
|
||||||
|
"freedrawOnly": false,
|
||||||
|
"strokeColor": "#000000",
|
||||||
|
"backgroundColor": "transparent",
|
||||||
|
"fillStyle": "hachure",
|
||||||
|
"strokeWidth": 0,
|
||||||
|
"roughness": 0,
|
||||||
|
"penOptions": {
|
||||||
|
"highlighter": false,
|
||||||
|
"constantPressure": false,
|
||||||
|
"hasOutline": false,
|
||||||
|
"outlineWidth": 1,
|
||||||
|
"options": {
|
||||||
|
"thinning": 0.6,
|
||||||
|
"smoothing": 0.5,
|
||||||
|
"streamline": 0.5,
|
||||||
|
"easing": "easeOutSine",
|
||||||
|
"start": {
|
||||||
|
"cap": true,
|
||||||
|
"taper": 0,
|
||||||
|
"easing": "linear"
|
||||||
|
},
|
||||||
|
"end": {
|
||||||
|
"cap": true,
|
||||||
|
"taper": 0,
|
||||||
|
"easing": "linear"
|
||||||
|
}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"type": "default",
|
||||||
|
"freedrawOnly": false,
|
||||||
|
"strokeColor": "#000000",
|
||||||
|
"backgroundColor": "transparent",
|
||||||
|
"fillStyle": "hachure",
|
||||||
|
"strokeWidth": 0,
|
||||||
|
"roughness": 0,
|
||||||
|
"penOptions": {
|
||||||
|
"highlighter": false,
|
||||||
|
"constantPressure": false,
|
||||||
|
"hasOutline": false,
|
||||||
|
"outlineWidth": 1,
|
||||||
|
"options": {
|
||||||
|
"thinning": 0.6,
|
||||||
|
"smoothing": 0.5,
|
||||||
|
"streamline": 0.5,
|
||||||
|
"easing": "easeOutSine",
|
||||||
|
"start": {
|
||||||
|
"cap": true,
|
||||||
|
"taper": 0,
|
||||||
|
"easing": "linear"
|
||||||
|
},
|
||||||
|
"end": {
|
||||||
|
"cap": true,
|
||||||
|
"taper": 0,
|
||||||
|
"easing": "linear"
|
||||||
|
}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
],
|
||||||
|
"numberOfCustomPens": 0,
|
||||||
|
"pdfScale": 4,
|
||||||
|
"pdfBorderBox": true,
|
||||||
|
"pdfFrame": false,
|
||||||
|
"pdfGapSize": 20,
|
||||||
|
"pdfGroupPages": false,
|
||||||
|
"pdfLockAfterImport": true,
|
||||||
|
"pdfNumColumns": 1,
|
||||||
|
"pdfNumRows": 1,
|
||||||
|
"pdfDirection": "right",
|
||||||
|
"pdfImportScale": 0.3,
|
||||||
|
"gridSettings": {
|
||||||
|
"DYNAMIC_COLOR": true,
|
||||||
|
"COLOR": "#000000",
|
||||||
|
"OPACITY": 50,
|
||||||
|
"GRID_DIRECTION": {
|
||||||
|
"horizontal": true,
|
||||||
|
"vertical": true
|
||||||
|
}
|
||||||
|
},
|
||||||
|
"laserSettings": {
|
||||||
|
"DECAY_LENGTH": 50,
|
||||||
|
"DECAY_TIME": 1000,
|
||||||
|
"COLOR": "#ff0000"
|
||||||
|
},
|
||||||
|
"embeddableMarkdownDefaults": {
|
||||||
|
"useObsidianDefaults": false,
|
||||||
|
"backgroundMatchCanvas": false,
|
||||||
|
"backgroundMatchElement": true,
|
||||||
|
"backgroundColor": "#fff",
|
||||||
|
"backgroundOpacity": 60,
|
||||||
|
"borderMatchElement": true,
|
||||||
|
"borderColor": "#fff",
|
||||||
|
"borderOpacity": 0,
|
||||||
|
"filenameVisible": false
|
||||||
|
},
|
||||||
|
"markdownNodeOneClickEditing": false,
|
||||||
|
"canvasImmersiveEmbed": true,
|
||||||
|
"startupScriptPath": "",
|
||||||
|
"aiEnabled": true,
|
||||||
|
"openAIAPIToken": "",
|
||||||
|
"openAIDefaultTextModel": "gpt-3.5-turbo-1106",
|
||||||
|
"openAIDefaultTextModelMaxTokens": 4096,
|
||||||
|
"openAIDefaultVisionModel": "gpt-4o",
|
||||||
|
"openAIDefaultImageGenerationModel": "dall-e-3",
|
||||||
|
"openAIURL": "https://api.openai.com/v1/chat/completions",
|
||||||
|
"openAIImageGenerationURL": "https://api.openai.com/v1/images/generations",
|
||||||
|
"openAIImageEditsURL": "https://api.openai.com/v1/images/edits",
|
||||||
|
"openAIImageVariationURL": "https://api.openai.com/v1/images/variations",
|
||||||
|
"modifierKeyConfig": {
|
||||||
|
"Mac": {
|
||||||
|
"LocalFileDragAction": {
|
||||||
|
"defaultAction": "image-import",
|
||||||
|
"rules": [
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"shift": false,
|
||||||
|
"ctrl_cmd": false,
|
||||||
|
"alt_opt": false,
|
||||||
|
"meta_ctrl": false,
|
||||||
|
"result": "image-import"
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"shift": true,
|
||||||
|
"ctrl_cmd": false,
|
||||||
|
"alt_opt": true,
|
||||||
|
"meta_ctrl": false,
|
||||||
|
"result": "link"
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"shift": true,
|
||||||
|
"ctrl_cmd": false,
|
||||||
|
"alt_opt": false,
|
||||||
|
"meta_ctrl": false,
|
||||||
|
"result": "image-url"
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"shift": false,
|
||||||
|
"ctrl_cmd": false,
|
||||||
|
"alt_opt": true,
|
||||||
|
"meta_ctrl": false,
|
||||||
|
"result": "embeddable"
|
||||||
|
}
|
||||||
|
]
|
||||||
|
},
|
||||||
|
"WebBrowserDragAction": {
|
||||||
|
"defaultAction": "image-url",
|
||||||
|
"rules": [
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"shift": false,
|
||||||
|
"ctrl_cmd": false,
|
||||||
|
"alt_opt": false,
|
||||||
|
"meta_ctrl": false,
|
||||||
|
"result": "image-url"
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"shift": true,
|
||||||
|
"ctrl_cmd": false,
|
||||||
|
"alt_opt": true,
|
||||||
|
"meta_ctrl": false,
|
||||||
|
"result": "link"
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"shift": false,
|
||||||
|
"ctrl_cmd": false,
|
||||||
|
"alt_opt": true,
|
||||||
|
"meta_ctrl": false,
|
||||||
|
"result": "embeddable"
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"shift": true,
|
||||||
|
"ctrl_cmd": false,
|
||||||
|
"alt_opt": false,
|
||||||
|
"meta_ctrl": false,
|
||||||
|
"result": "image-import"
|
||||||
|
}
|
||||||
|
]
|
||||||
|
},
|
||||||
|
"InternalDragAction": {
|
||||||
|
"defaultAction": "link",
|
||||||
|
"rules": [
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"shift": false,
|
||||||
|
"ctrl_cmd": false,
|
||||||
|
"alt_opt": false,
|
||||||
|
"meta_ctrl": false,
|
||||||
|
"result": "link"
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"shift": false,
|
||||||
|
"ctrl_cmd": false,
|
||||||
|
"alt_opt": false,
|
||||||
|
"meta_ctrl": true,
|
||||||
|
"result": "embeddable"
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"shift": true,
|
||||||
|
"ctrl_cmd": false,
|
||||||
|
"alt_opt": false,
|
||||||
|
"meta_ctrl": false,
|
||||||
|
"result": "image"
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"shift": true,
|
||||||
|
"ctrl_cmd": false,
|
||||||
|
"alt_opt": false,
|
||||||
|
"meta_ctrl": true,
|
||||||
|
"result": "image-fullsize"
|
||||||
|
}
|
||||||
|
]
|
||||||
|
},
|
||||||
|
"LinkClickAction": {
|
||||||
|
"defaultAction": "new-tab",
|
||||||
|
"rules": [
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"shift": false,
|
||||||
|
"ctrl_cmd": false,
|
||||||
|
"alt_opt": false,
|
||||||
|
"meta_ctrl": false,
|
||||||
|
"result": "active-pane"
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"shift": false,
|
||||||
|
"ctrl_cmd": true,
|
||||||
|
"alt_opt": false,
|
||||||
|
"meta_ctrl": false,
|
||||||
|
"result": "new-tab"
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"shift": false,
|
||||||
|
"ctrl_cmd": true,
|
||||||
|
"alt_opt": true,
|
||||||
|
"meta_ctrl": false,
|
||||||
|
"result": "new-pane"
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"shift": true,
|
||||||
|
"ctrl_cmd": true,
|
||||||
|
"alt_opt": true,
|
||||||
|
"meta_ctrl": false,
|
||||||
|
"result": "popout-window"
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"shift": false,
|
||||||
|
"ctrl_cmd": true,
|
||||||
|
"alt_opt": false,
|
||||||
|
"meta_ctrl": true,
|
||||||
|
"result": "md-properties"
|
||||||
|
}
|
||||||
|
]
|
||||||
|
}
|
||||||
|
},
|
||||||
|
"Win": {
|
||||||
|
"LocalFileDragAction": {
|
||||||
|
"defaultAction": "image-import",
|
||||||
|
"rules": [
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"shift": false,
|
||||||
|
"ctrl_cmd": false,
|
||||||
|
"alt_opt": false,
|
||||||
|
"meta_ctrl": false,
|
||||||
|
"result": "image-import"
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"shift": false,
|
||||||
|
"ctrl_cmd": true,
|
||||||
|
"alt_opt": false,
|
||||||
|
"meta_ctrl": false,
|
||||||
|
"result": "link"
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"shift": true,
|
||||||
|
"ctrl_cmd": false,
|
||||||
|
"alt_opt": false,
|
||||||
|
"meta_ctrl": false,
|
||||||
|
"result": "image-url"
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"shift": true,
|
||||||
|
"ctrl_cmd": true,
|
||||||
|
"alt_opt": false,
|
||||||
|
"meta_ctrl": false,
|
||||||
|
"result": "embeddable"
|
||||||
|
}
|
||||||
|
]
|
||||||
|
},
|
||||||
|
"WebBrowserDragAction": {
|
||||||
|
"defaultAction": "image-url",
|
||||||
|
"rules": [
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"shift": false,
|
||||||
|
"ctrl_cmd": false,
|
||||||
|
"alt_opt": false,
|
||||||
|
"meta_ctrl": false,
|
||||||
|
"result": "image-url"
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"shift": false,
|
||||||
|
"ctrl_cmd": true,
|
||||||
|
"alt_opt": false,
|
||||||
|
"meta_ctrl": false,
|
||||||
|
"result": "link"
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"shift": true,
|
||||||
|
"ctrl_cmd": true,
|
||||||
|
"alt_opt": false,
|
||||||
|
"meta_ctrl": false,
|
||||||
|
"result": "embeddable"
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"shift": true,
|
||||||
|
"ctrl_cmd": false,
|
||||||
|
"alt_opt": false,
|
||||||
|
"meta_ctrl": false,
|
||||||
|
"result": "image-import"
|
||||||
|
}
|
||||||
|
]
|
||||||
|
},
|
||||||
|
"InternalDragAction": {
|
||||||
|
"defaultAction": "link",
|
||||||
|
"rules": [
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"shift": false,
|
||||||
|
"ctrl_cmd": false,
|
||||||
|
"alt_opt": false,
|
||||||
|
"meta_ctrl": false,
|
||||||
|
"result": "link"
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"shift": true,
|
||||||
|
"ctrl_cmd": true,
|
||||||
|
"alt_opt": false,
|
||||||
|
"meta_ctrl": false,
|
||||||
|
"result": "embeddable"
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"shift": true,
|
||||||
|
"ctrl_cmd": false,
|
||||||
|
"alt_opt": false,
|
||||||
|
"meta_ctrl": false,
|
||||||
|
"result": "image"
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"shift": false,
|
||||||
|
"ctrl_cmd": true,
|
||||||
|
"alt_opt": true,
|
||||||
|
"meta_ctrl": false,
|
||||||
|
"result": "image-fullsize"
|
||||||
|
}
|
||||||
|
]
|
||||||
|
},
|
||||||
|
"LinkClickAction": {
|
||||||
|
"defaultAction": "new-tab",
|
||||||
|
"rules": [
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"shift": false,
|
||||||
|
"ctrl_cmd": false,
|
||||||
|
"alt_opt": false,
|
||||||
|
"meta_ctrl": false,
|
||||||
|
"result": "active-pane"
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"shift": false,
|
||||||
|
"ctrl_cmd": true,
|
||||||
|
"alt_opt": false,
|
||||||
|
"meta_ctrl": false,
|
||||||
|
"result": "new-tab"
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"shift": false,
|
||||||
|
"ctrl_cmd": true,
|
||||||
|
"alt_opt": true,
|
||||||
|
"meta_ctrl": false,
|
||||||
|
"result": "new-pane"
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"shift": true,
|
||||||
|
"ctrl_cmd": true,
|
||||||
|
"alt_opt": true,
|
||||||
|
"meta_ctrl": false,
|
||||||
|
"result": "popout-window"
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"shift": false,
|
||||||
|
"ctrl_cmd": true,
|
||||||
|
"alt_opt": false,
|
||||||
|
"meta_ctrl": true,
|
||||||
|
"result": "md-properties"
|
||||||
|
}
|
||||||
|
]
|
||||||
|
}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
},
|
||||||
|
"slidingPanesSupport": false,
|
||||||
|
"areaZoomLimit": 1,
|
||||||
|
"longPressDesktop": 500,
|
||||||
|
"longPressMobile": 500,
|
||||||
|
"doubleClickLinkOpenViewMode": true,
|
||||||
|
"isDebugMode": false,
|
||||||
|
"rank": "Bronze",
|
||||||
|
"modifierKeyOverrides": [
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"modifiers": [
|
||||||
|
"Mod"
|
||||||
|
],
|
||||||
|
"key": "Enter"
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"modifiers": [
|
||||||
|
"Mod"
|
||||||
|
],
|
||||||
|
"key": "k"
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"modifiers": [
|
||||||
|
"Mod"
|
||||||
|
],
|
||||||
|
"key": "G"
|
||||||
|
}
|
||||||
|
],
|
||||||
|
"showSplashscreen": true,
|
||||||
|
"pdfSettings": {
|
||||||
|
"pageSize": "A4",
|
||||||
|
"pageOrientation": "portrait",
|
||||||
|
"fitToPage": 1,
|
||||||
|
"paperColor": "white",
|
||||||
|
"customPaperColor": "#ffffff",
|
||||||
|
"alignment": "center",
|
||||||
|
"margin": "normal"
|
||||||
|
},
|
||||||
|
"disableContextMenu": false
|
||||||
|
}
|
||||||
10
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/.obsidian/plugins/obsidian-excalidraw-plugin/main.js
vendored
Normal file
10
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/.obsidian/plugins/obsidian-excalidraw-plugin/main.js
vendored
Normal file
File diff suppressed because one or more lines are too long
12
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/.obsidian/plugins/obsidian-excalidraw-plugin/manifest.json
vendored
Normal file
12
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/.obsidian/plugins/obsidian-excalidraw-plugin/manifest.json
vendored
Normal file
@@ -0,0 +1,12 @@
|
|||||||
|
{
|
||||||
|
"id": "obsidian-excalidraw-plugin",
|
||||||
|
"name": "Excalidraw",
|
||||||
|
"version": "2.18.3",
|
||||||
|
"minAppVersion": "1.5.7",
|
||||||
|
"description": "Sketch Your Mind. An Obsidian plugin to edit and view Excalidraw drawings. Enter the world of 4D Visual PKM.",
|
||||||
|
"author": "Zsolt Viczian",
|
||||||
|
"authorUrl": "https://excalidraw-obsidian.online",
|
||||||
|
"fundingUrl": "https://ko-fi.com/zsolt",
|
||||||
|
"helpUrl": "https://github.com/zsviczian/obsidian-excalidraw-plugin#readme",
|
||||||
|
"isDesktopOnly": false
|
||||||
|
}
|
||||||
1
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/.obsidian/plugins/obsidian-excalidraw-plugin/styles.css
vendored
Normal file
1
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/.obsidian/plugins/obsidian-excalidraw-plugin/styles.css
vendored
Normal file
File diff suppressed because one or more lines are too long
30
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/.obsidian/plugins/obsidian-latex-suite/data.json
vendored
Normal file
30
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/.obsidian/plugins/obsidian-latex-suite/data.json
vendored
Normal file
File diff suppressed because one or more lines are too long
15605
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/.obsidian/plugins/obsidian-latex-suite/main.js
vendored
Normal file
15605
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/.obsidian/plugins/obsidian-latex-suite/main.js
vendored
Normal file
File diff suppressed because one or more lines are too long
11
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/.obsidian/plugins/obsidian-latex-suite/manifest.json
vendored
Normal file
11
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/.obsidian/plugins/obsidian-latex-suite/manifest.json
vendored
Normal file
@@ -0,0 +1,11 @@
|
|||||||
|
{
|
||||||
|
"id": "obsidian-latex-suite",
|
||||||
|
"name": "Latex Suite",
|
||||||
|
"version": "1.9.8",
|
||||||
|
"minAppVersion": "1.0.0",
|
||||||
|
"description": "Make typesetting LaTeX math as fast as handwriting through snippets, text expansion, and editor enhancements",
|
||||||
|
"author": "artisticat",
|
||||||
|
"authorUrl": "https://github.com/artisticat1",
|
||||||
|
"fundingUrl": "https://ko-fi.com/artisticat",
|
||||||
|
"isDesktopOnly": false
|
||||||
|
}
|
||||||
235
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/.obsidian/plugins/obsidian-latex-suite/styles.css
vendored
Normal file
235
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/.obsidian/plugins/obsidian-latex-suite/styles.css
vendored
Normal file
@@ -0,0 +1,235 @@
|
|||||||
|
/* Settings panel */
|
||||||
|
|
||||||
|
.setting-item.hidden {
|
||||||
|
display: none;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
.setting-item.setting-item-heading .latex-suite-settings-icon {
|
||||||
|
margin-right: var(--size-4-2);
|
||||||
|
display: inline-flex;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
.setting-item.setting-item-heading:has(.latex-suite-settings-icon) {
|
||||||
|
border-bottom: 1px solid var(--background-modifier-border);
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
.setting-item.setting-item-heading:has(.latex-suite-settings-icon) + .setting-item {
|
||||||
|
border-top: none;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
.setting-item.setting-item-heading:has(.latex-suite-settings-icon) ~ .setting-item:not(.setting-item-heading), .latex-suite-snippet-variables-setting + .setting-item-control {
|
||||||
|
width: calc(100% - 26px);
|
||||||
|
margin-left: 26px;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
.latex-suite-snippet-variables-setting .setting-item-control {
|
||||||
|
height: 120px;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
.latex-suite-snippet-variables-setting .setting-item-control textarea {
|
||||||
|
width: 100%;
|
||||||
|
height: 100%;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
.snippets-text-area, .latex-suite-snippet-variables-setting {
|
||||||
|
display: inline-block;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
.snippets-text-area .setting-item-info, .latex-suite-snippet-variables-setting .setting-item-info {
|
||||||
|
margin-bottom: 0.75rem;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
.snippets-text-area .setting-item-control {
|
||||||
|
flex-direction: column;
|
||||||
|
align-items: flex-end;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
.snippets-editor-wrapper {
|
||||||
|
width: 100%;
|
||||||
|
margin-bottom: 0.75rem;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
.snippets-editor-wrapper .cm-editor {
|
||||||
|
border: 1px solid var(--background-modifier-border);
|
||||||
|
border-radius: 4px;
|
||||||
|
font-size: var(--font-inputs);
|
||||||
|
height: 20em;
|
||||||
|
outline: none !important;
|
||||||
|
text-align: left;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
.snippets-editor-wrapper .cm-line, .snippets-editor-wrapper .cm-lineNumbers {
|
||||||
|
font-family: var(--font-monospace);
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
.snippets-footer {
|
||||||
|
width: 100%;
|
||||||
|
display: flex;
|
||||||
|
align-items: center;
|
||||||
|
justify-content: space-between;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
.snippets-editor-validity {
|
||||||
|
display: flex;
|
||||||
|
align-items: center;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
.snippets-editor-validity-indicator {
|
||||||
|
color: white;
|
||||||
|
display: inline-block;
|
||||||
|
border-radius: 1em;
|
||||||
|
margin-right: 10px;
|
||||||
|
cursor: default;
|
||||||
|
visibility: hidden;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
.snippets-editor-validity-indicator svg {
|
||||||
|
width: 16px !important;
|
||||||
|
height: 16px !important;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
.snippets-editor-validity-indicator:hover {
|
||||||
|
color: white;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
.snippets-editor-validity-indicator.valid {
|
||||||
|
background-color: var(--color-green);
|
||||||
|
visibility: visible;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
.snippets-editor-validity-indicator.invalid {
|
||||||
|
background-color: var(--color-red);
|
||||||
|
visibility: visible;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
.snippets-editor-buttons {
|
||||||
|
display: flex;
|
||||||
|
flex-direction: row;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
.latex-suite-confirmation-modal .setting-item {
|
||||||
|
border: none;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
.search-input-container input.latex-suite-location-input-el {
|
||||||
|
width: initial;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
/*
|
||||||
|
Snippet color classes.
|
||||||
|
*/
|
||||||
|
|
||||||
|
/* These extra selectors enforce their color on all children, because CodeMirror does weird nesting of spans when
|
||||||
|
nesting multiple decorations. */
|
||||||
|
|
||||||
|
.latex-suite-snippet-placeholder {
|
||||||
|
border-radius: 2px;
|
||||||
|
background-color: var(--placeholder-bg);
|
||||||
|
outline: var(--placeholder-outline) solid 1px;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
.latex-suite-snippet-placeholder-0, span.latex-suite-snippet-placeholder-0 span {
|
||||||
|
--placeholder-bg: #87cefa2e;
|
||||||
|
--placeholder-outline: #87cefa6e;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
.theme-dark .latex-suite-snippet-placeholder-0, span.latex-suite-snippet-placeholder-0 span {
|
||||||
|
--placeholder-outline: #87cefa43;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
.latex-suite-snippet-placeholder-1, span.latex-suite-snippet-placeholder-1 span {
|
||||||
|
--placeholder-bg: #ffa50033;
|
||||||
|
--placeholder-outline: #ffa5006b;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
.theme-dark .latex-suite-snippet-placeholder-1, span.latex-suite-snippet-placeholder-1 span {
|
||||||
|
--placeholder-outline: #ffa5004d;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
.latex-suite-snippet-placeholder-2, span.latex-suite-snippet-placeholder-2 span {
|
||||||
|
--placeholder-bg: #00ff0022;
|
||||||
|
--placeholder-outline: #00ff0060;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
.theme-dark .latex-suite-snippet-placeholder-2, span.latex-suite-snippet-placeholder-2 span {
|
||||||
|
--placeholder-outline: #00ff003d;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
/* Conceal */
|
||||||
|
|
||||||
|
span.cm-math.cm-concealed-bold {
|
||||||
|
font-weight: bold;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
span.cm-math.cm-concealed-underline {
|
||||||
|
text-decoration: underline;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
span.cm-math.cm-concealed-mathrm, sub.cm-math.cm-concealed-mathrm {
|
||||||
|
font-style: normal;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
/* Conceal superscripts without changing line height */
|
||||||
|
sup.cm-math {
|
||||||
|
line-height: 0;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
sup.cm-math, sub.cm-math {
|
||||||
|
font-style: italic;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
/* Inline math tooltip styling */
|
||||||
|
|
||||||
|
.theme-light .cm-tooltip.cm-tooltip-cursor {
|
||||||
|
box-shadow: 0px 1px 2px rgba(0, 0, 0, 0.028), 0px 3.4px 6.7px rgba(0, 0, 0, .042), 0px 5px 20px rgba(0, 0, 0, .07);
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
.theme-dark .cm-tooltip.cm-tooltip-cursor {
|
||||||
|
box-shadow: 0px 1px 2px rgba(0, 0, 0, 0.1),
|
||||||
|
0px 3.4px 6.7px rgba(0, 0, 0, 0.15),
|
||||||
|
0px 0px 30px rgba(0, 0, 0, 0.27);
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
/* Highlight brackets */
|
||||||
|
.theme-light .latex-suite-highlighted-bracket, .theme-light .latex-suite-highlighted-bracket [class^="latex-suite-color-bracket-"] {
|
||||||
|
background-color: hsl(var(--accent-h), var(--accent-s), 40%, 0.3);
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
.theme-dark .latex-suite-highlighted-bracket, .theme-dark .latex-suite-highlighted-bracket [class^="latex-suite-color-bracket-"] {
|
||||||
|
background-color: hsl(var(--accent-h), var(--accent-s), 70%, 0.6);
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
/* Color matching brackets */
|
||||||
|
|
||||||
|
.theme-light .latex-suite-color-bracket-0, .theme-light .latex-suite-color-bracket-0 .cm-bracket {
|
||||||
|
color: #527aff;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
.theme-dark .latex-suite-color-bracket-0, .theme-dark .latex-suite-color-bracket-0 .cm-bracket {
|
||||||
|
color: #47b8ff;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
.theme-light .latex-suite-color-bracket-1, .theme-light .latex-suite-color-bracket-1 .cm-bracket {
|
||||||
|
color: #ff50b7;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
.theme-dark .latex-suite-color-bracket-1, .theme-dark .latex-suite-color-bracket-1 .cm-bracket {
|
||||||
|
color: #ff55cd;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
.theme-light .latex-suite-color-bracket-2, .theme-light .latex-suite-color-bracket-2 .cm-bracket {
|
||||||
|
color: #69ba00;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
.theme-dark .latex-suite-color-bracket-2, .theme-dark .latex-suite-color-bracket-2 .cm-bracket {
|
||||||
|
color: #73ff63;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
/* .latex-suite-color-bracket-3 {
|
||||||
|
color: #8de15c;
|
||||||
|
} */
|
||||||
1967
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/.obsidian/plugins/quick-latex/main.js
vendored
Normal file
1967
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/.obsidian/plugins/quick-latex/main.js
vendored
Normal file
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
10
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/.obsidian/plugins/quick-latex/manifest.json
vendored
Normal file
10
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/.obsidian/plugins/quick-latex/manifest.json
vendored
Normal file
@@ -0,0 +1,10 @@
|
|||||||
|
{
|
||||||
|
"id": "quick-latex",
|
||||||
|
"name": "Quick Latex",
|
||||||
|
"version": "2.6.5",
|
||||||
|
"minAppVersion": "0.9.12",
|
||||||
|
"description": "Speedup latex math typing with auto fraction, custom shorthand, align block shortcut, matrix shortcut...etc",
|
||||||
|
"author": "joeyuping",
|
||||||
|
"authorUrl": "https://github.com/joeyuping/quick_latex_obsidian",
|
||||||
|
"isDesktopOnly": false
|
||||||
|
}
|
||||||
13
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/.obsidian/plugins/quick-latex/styles.css
vendored
Normal file
13
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/.obsidian/plugins/quick-latex/styles.css
vendored
Normal file
@@ -0,0 +1,13 @@
|
|||||||
|
.text-snippets-class > * > textarea{
|
||||||
|
width:40em;
|
||||||
|
height: 100%;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
.text-snippets-class > * {
|
||||||
|
height: 100%;
|
||||||
|
width: 60em;
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
.text-snippets-class {
|
||||||
|
height: 70%;
|
||||||
|
}
|
||||||
248
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/.obsidian/workspace.json
vendored
Normal file
248
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/.obsidian/workspace.json
vendored
Normal file
@@ -0,0 +1,248 @@
|
|||||||
|
{
|
||||||
|
"main": {
|
||||||
|
"id": "dab45533e7b49b4f",
|
||||||
|
"type": "split",
|
||||||
|
"children": [
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"id": "53dabfb20cb41cb4",
|
||||||
|
"type": "tabs",
|
||||||
|
"children": [
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"id": "82ca47a70ca68946",
|
||||||
|
"type": "leaf",
|
||||||
|
"state": {
|
||||||
|
"type": "markdown",
|
||||||
|
"state": {
|
||||||
|
"file": "экзамены.md",
|
||||||
|
"mode": "source",
|
||||||
|
"source": false
|
||||||
|
},
|
||||||
|
"icon": "lucide-file",
|
||||||
|
"title": "экзамены"
|
||||||
|
}
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"id": "e74beb5f1c931739",
|
||||||
|
"type": "leaf",
|
||||||
|
"state": {
|
||||||
|
"type": "markdown",
|
||||||
|
"state": {
|
||||||
|
"file": "Untitled.md",
|
||||||
|
"mode": "source",
|
||||||
|
"source": false
|
||||||
|
},
|
||||||
|
"icon": "lucide-file",
|
||||||
|
"title": "Untitled"
|
||||||
|
}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
],
|
||||||
|
"currentTab": 1
|
||||||
|
}
|
||||||
|
],
|
||||||
|
"direction": "vertical"
|
||||||
|
},
|
||||||
|
"left": {
|
||||||
|
"id": "7c890d92279ac81e",
|
||||||
|
"type": "split",
|
||||||
|
"children": [
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"id": "400ddae87462076c",
|
||||||
|
"type": "tabs",
|
||||||
|
"children": [
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"id": "685d828d3a253b20",
|
||||||
|
"type": "leaf",
|
||||||
|
"state": {
|
||||||
|
"type": "file-explorer",
|
||||||
|
"state": {
|
||||||
|
"sortOrder": "alphabetical",
|
||||||
|
"autoReveal": false
|
||||||
|
},
|
||||||
|
"icon": "lucide-folder-closed",
|
||||||
|
"title": "Files"
|
||||||
|
}
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"id": "2a9c7ace8b359120",
|
||||||
|
"type": "leaf",
|
||||||
|
"state": {
|
||||||
|
"type": "search",
|
||||||
|
"state": {
|
||||||
|
"query": "",
|
||||||
|
"matchingCase": false,
|
||||||
|
"explainSearch": false,
|
||||||
|
"collapseAll": true,
|
||||||
|
"extraContext": false,
|
||||||
|
"sortOrder": "alphabetical"
|
||||||
|
},
|
||||||
|
"icon": "lucide-search",
|
||||||
|
"title": "Search"
|
||||||
|
}
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"id": "567532ed5a9d87a3",
|
||||||
|
"type": "leaf",
|
||||||
|
"state": {
|
||||||
|
"type": "bookmarks",
|
||||||
|
"state": {},
|
||||||
|
"icon": "lucide-bookmark",
|
||||||
|
"title": "Bookmarks"
|
||||||
|
}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
]
|
||||||
|
}
|
||||||
|
],
|
||||||
|
"direction": "horizontal",
|
||||||
|
"width": 236.50260543823242
|
||||||
|
},
|
||||||
|
"right": {
|
||||||
|
"id": "1e6b84067372eb3a",
|
||||||
|
"type": "split",
|
||||||
|
"children": [
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"id": "50d352ba631893db",
|
||||||
|
"type": "tabs",
|
||||||
|
"children": [
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"id": "417857636acc10ae",
|
||||||
|
"type": "leaf",
|
||||||
|
"state": {
|
||||||
|
"type": "backlink",
|
||||||
|
"state": {
|
||||||
|
"file": "Разделы/1/30.md",
|
||||||
|
"collapseAll": false,
|
||||||
|
"extraContext": false,
|
||||||
|
"sortOrder": "alphabetical",
|
||||||
|
"showSearch": false,
|
||||||
|
"searchQuery": "",
|
||||||
|
"backlinkCollapsed": false,
|
||||||
|
"unlinkedCollapsed": true
|
||||||
|
},
|
||||||
|
"icon": "links-coming-in",
|
||||||
|
"title": "Backlinks for 30"
|
||||||
|
}
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"id": "347ca79f9c98e405",
|
||||||
|
"type": "leaf",
|
||||||
|
"state": {
|
||||||
|
"type": "outgoing-link",
|
||||||
|
"state": {
|
||||||
|
"file": "Разделы/1/30.md",
|
||||||
|
"linksCollapsed": false,
|
||||||
|
"unlinkedCollapsed": true
|
||||||
|
},
|
||||||
|
"icon": "links-going-out",
|
||||||
|
"title": "Outgoing links from 30"
|
||||||
|
}
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"id": "9bc836a0325a5419",
|
||||||
|
"type": "leaf",
|
||||||
|
"state": {
|
||||||
|
"type": "tag",
|
||||||
|
"state": {
|
||||||
|
"sortOrder": "frequency",
|
||||||
|
"useHierarchy": true,
|
||||||
|
"showSearch": false,
|
||||||
|
"searchQuery": ""
|
||||||
|
},
|
||||||
|
"icon": "lucide-tags",
|
||||||
|
"title": "Tags"
|
||||||
|
}
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"id": "aebbce8667dcc77a",
|
||||||
|
"type": "leaf",
|
||||||
|
"state": {
|
||||||
|
"type": "all-properties",
|
||||||
|
"state": {
|
||||||
|
"sortOrder": "frequency",
|
||||||
|
"showSearch": false,
|
||||||
|
"searchQuery": ""
|
||||||
|
},
|
||||||
|
"icon": "lucide-archive",
|
||||||
|
"title": "All properties"
|
||||||
|
}
|
||||||
|
},
|
||||||
|
{
|
||||||
|
"id": "b1d935a5ed34be21",
|
||||||
|
"type": "leaf",
|
||||||
|
"state": {
|
||||||
|
"type": "outline",
|
||||||
|
"state": {
|
||||||
|
"file": "Разделы/1/30.md",
|
||||||
|
"followCursor": false,
|
||||||
|
"showSearch": false,
|
||||||
|
"searchQuery": ""
|
||||||
|
},
|
||||||
|
"icon": "lucide-list",
|
||||||
|
"title": "Outline of 30"
|
||||||
|
}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
]
|
||||||
|
}
|
||||||
|
],
|
||||||
|
"direction": "horizontal",
|
||||||
|
"width": 300,
|
||||||
|
"collapsed": true
|
||||||
|
},
|
||||||
|
"left-ribbon": {
|
||||||
|
"hiddenItems": {
|
||||||
|
"switcher:Open quick switcher": false,
|
||||||
|
"graph:Open graph view": false,
|
||||||
|
"canvas:Create new canvas": false,
|
||||||
|
"daily-notes:Open today's daily note": false,
|
||||||
|
"templates:Insert template": false,
|
||||||
|
"command-palette:Open command palette": false,
|
||||||
|
"bases:Create new base": false
|
||||||
|
}
|
||||||
|
},
|
||||||
|
"active": "e74beb5f1c931739",
|
||||||
|
"lastOpenFiles": [
|
||||||
|
"СДЕЛАНО.md",
|
||||||
|
"экзамены.md",
|
||||||
|
"Untitled.md",
|
||||||
|
"овтеты.md",
|
||||||
|
"пример.md",
|
||||||
|
"modules/1 MODULE.md",
|
||||||
|
"Д-N.pdf",
|
||||||
|
"modules/8 MODULE.md",
|
||||||
|
"modules/6 MODULE.md",
|
||||||
|
"modules/3 MODULE.md",
|
||||||
|
"modules/2 MODULE.md",
|
||||||
|
"modules/4 MODULE.md",
|
||||||
|
"! 200 ПРИМЕРОВ.pdf",
|
||||||
|
"PDFs/p89.zip",
|
||||||
|
"PDFs/p.zip",
|
||||||
|
"PDFs/Archive.zip",
|
||||||
|
"PDFs/8 MODULE.pdf",
|
||||||
|
"modules/5 MODULE.md",
|
||||||
|
"PDFs/5 MODULE.pdf",
|
||||||
|
"PDFs/3 MODULE.pdf",
|
||||||
|
"PDFs/1 MODULE.pdf",
|
||||||
|
"modules/7 MODULE.md",
|
||||||
|
"PDFs/7 MODULE.pdf",
|
||||||
|
"images/telegram-cloud-document-2-5407087289899717974.jpg",
|
||||||
|
"Проверка.md",
|
||||||
|
"images/IMG_0056.jpeg",
|
||||||
|
"images/IMG_0055.jpeg",
|
||||||
|
"Оценка.md",
|
||||||
|
"Заметки.md",
|
||||||
|
"modules/!EXAMPLE.md",
|
||||||
|
"images/Pasted image 20251225172031.png",
|
||||||
|
"images/Pasted image 20251225174710.png",
|
||||||
|
"images/Pasted image 20251225174115.png",
|
||||||
|
"images/Pasted image 20251225173000.png",
|
||||||
|
"images/Pasted image 20251225172459.png",
|
||||||
|
"Разделы/1/35.md",
|
||||||
|
"Разделы/1/40.md",
|
||||||
|
"Разделы/1/36.md",
|
||||||
|
"Разделы/1/34.md",
|
||||||
|
"Разделы/1/32.md",
|
||||||
|
"Разделы/1/31.md",
|
||||||
|
"Разделы/1/44.md",
|
||||||
|
"Разделы/1/43.md",
|
||||||
|
"Разделы/1/42.md"
|
||||||
|
]
|
||||||
|
}
|
||||||
BIN
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/PDFs/1 MODULE.pdf
Normal file
BIN
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/PDFs/1 MODULE.pdf
Normal file
Binary file not shown.
BIN
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/PDFs/2 MODULE.pdf
Normal file
BIN
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/PDFs/2 MODULE.pdf
Normal file
Binary file not shown.
BIN
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/PDFs/3 MODULE.pdf
Normal file
BIN
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/PDFs/3 MODULE.pdf
Normal file
Binary file not shown.
BIN
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/PDFs/4 MODULE.pdf
Normal file
BIN
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/PDFs/4 MODULE.pdf
Normal file
Binary file not shown.
BIN
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/PDFs/5 MODULE.pdf
Normal file
BIN
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/PDFs/5 MODULE.pdf
Normal file
Binary file not shown.
BIN
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/PDFs/6 MODULE.pdf
Normal file
BIN
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/PDFs/6 MODULE.pdf
Normal file
Binary file not shown.
BIN
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/PDFs/7 MODULE.pdf
Normal file
BIN
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/PDFs/7 MODULE.pdf
Normal file
Binary file not shown.
BIN
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/PDFs/8 MODULE.pdf
Normal file
BIN
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/PDFs/8 MODULE.pdf
Normal file
Binary file not shown.
BIN
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/PDFs/p89.zip
Normal file
BIN
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/PDFs/p89.zip
Normal file
Binary file not shown.
6
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/Untitled.md
Normal file
6
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/Untitled.md
Normal file
@@ -0,0 +1,6 @@
|
|||||||
|
$y=2^{\arctan(\sqrt{ x })}$
|
||||||
|
$y=p'(g(f(x)))\cdot g'(f(x))\cdot f'(x)$
|
||||||
|
$p'=2^{\arctan(\sqrt{ x })}\cdot \ln 2$
|
||||||
|
$g'=\dfrac{1}{1+x}$
|
||||||
|
$f'=\dfrac{1}{2\sqrt{ x }}$
|
||||||
|
$y'=2^{\arctan(\sqrt{ x })}\cdot \ln 2\cdot\dfrac{1}{1+x}\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{ x }}=\dfrac{2^{\arctan \sqrt{ x }}\ln 2}{2\sqrt{ x }(1+x)}$
|
||||||
BIN
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/images/IMG_0055.jpeg
Normal file
BIN
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/images/IMG_0055.jpeg
Normal file
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 43 KiB |
BIN
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/images/IMG_0056.jpeg
Normal file
BIN
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/images/IMG_0056.jpeg
Normal file
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 37 KiB |
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 178 KiB |
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 696 KiB |
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 117 KiB |
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 175 KiB |
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 179 KiB |
Binary file not shown.
|
After Width: | Height: | Size: 92 KiB |
5
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/modules/!EXAMPLE.md
Normal file
5
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/modules/!EXAMPLE.md
Normal file
@@ -0,0 +1,5 @@
|
|||||||
|
## N номер
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
465
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/modules/1 MODULE.md
Normal file
465
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/modules/1 MODULE.md
Normal file
@@ -0,0 +1,465 @@
|
|||||||
|
## 30 номер
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$x^3+1=0$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$
|
||||||
|
$x = -1;$
|
||||||
|
$x^2-x+1=0$
|
||||||
|
$D = -3$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ: } x=\dfrac{1\pm i\sqrt{ 3 }}{2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 31 номер
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$x^4-4x^2+5=0$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$t=x^{2}$
|
||||||
|
$t^2-4t+5=0$
|
||||||
|
$D=-4$
|
||||||
|
$t=\dfrac{4\pm 2i}{2}=2\pm i$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x^2=2\pm i$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{1. }x^2=2+i$
|
||||||
|
$x=a+bi$
|
||||||
|
$(a+bi)^2=(a^2-b^2)+2abi=2+i$
|
||||||
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
\begin{cases}
|
||||||
|
a^2-b^2=2 \\
|
||||||
|
2abi=i; 2ab=1
|
||||||
|
\end{cases}
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
$(a^2+b^2)^2=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2=2^2+1^2=5$
|
||||||
|
$a^2+b^2=\sqrt{5}$
|
||||||
|
$a^2=\dfrac{(a^2+b^2)+(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{ 5 }+2}{2}$
|
||||||
|
$b^2=\dfrac{(a^2+b^2)-(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{ 5 }-2}{2}$
|
||||||
|
$x_{1}=\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }+2}{2} }+i\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }-2}{2} }$
|
||||||
|
$x_{2}=-( \sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }+2}{2} }+i\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }-2}{2} } )$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{2. }x^2=2-i$
|
||||||
|
$2-i=\overline{(2+i)}$
|
||||||
|
$x_{3}=\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }+2}{2} }-i\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }-2}{2} }$
|
||||||
|
$x_{4}=-( \sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }+2}{2} }-i\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }-2}{2} } )$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ:}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
\begin{array} \\
|
||||||
|
x_{1}=\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }+2}{2} }+i\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }-2}{2} } \\
|
||||||
|
x_{2}=-( \sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }+2}{2} }+i\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }-2}{2} } ) \\
|
||||||
|
x_{3}=\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }+2}{2} }-i\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }-2}{2} } \\
|
||||||
|
x_{4}=-( \sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }+2}{2} }-i\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }-2}{2} } )
|
||||||
|
\end{array}
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 32 номер
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$x^4+4x^2+20=0$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$t=x^{2}$
|
||||||
|
$t^2+4t+20=0$
|
||||||
|
$D=-64$
|
||||||
|
$t=\dfrac{-4\pm 8i}{2}=-2\pm 4i$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x^2=-2\pm 4i$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{1. }x^2=-2+4i$
|
||||||
|
$x=a+bi$
|
||||||
|
$(a+bi)^2=(a^2-b^2)+2abi=-2+4i$
|
||||||
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
\begin{cases}
|
||||||
|
a^2-b^2=-2 \\
|
||||||
|
2ab=4
|
||||||
|
\end{cases}
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
$(a^2+b^2)^2=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2=(-2)^2+4^2=20$
|
||||||
|
$a^2+b^2=\sqrt{20}=2\sqrt5$
|
||||||
|
$a^2=\dfrac{(a^2+b^2)+(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{2\sqrt5-2}{2}=\sqrt5-1$
|
||||||
|
$b^2=\dfrac{(a^2+b^2)-(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{2\sqrt5+2}{2}=\sqrt5+1$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x_{1}=\sqrt{\sqrt5-1}+i\sqrt{\sqrt5+1}$
|
||||||
|
$x_{2}=-(\sqrt{\sqrt5-1}+i\sqrt{\sqrt5+1})$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{2. }x^2=-2-4i$
|
||||||
|
$-2-4i=\overline{(-2+4i)}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x_{3}=\sqrt{\sqrt5-1}-i\sqrt{\sqrt5+1}$
|
||||||
|
$x_{4}=-(\sqrt{\sqrt5-1}-i\sqrt{\sqrt5+1})$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ:}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
\begin{array}{l}
|
||||||
|
x_{1}=\sqrt{\sqrt5-1}+i\sqrt{\sqrt5+1}\\
|
||||||
|
x_{2}=-(\sqrt{\sqrt5-1}+i\sqrt{\sqrt5+1})\\
|
||||||
|
x_{3}=\sqrt{\sqrt5-1}-i\sqrt{\sqrt5+1}\\
|
||||||
|
x_{4}=-(\sqrt{\sqrt5-1}-i\sqrt{\sqrt5+1})
|
||||||
|
\end{array}
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 33 номер
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$x^4-6x^2+13=0$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$t=x^{2}$
|
||||||
|
$t^2-6t+13=0$
|
||||||
|
$D=-16$
|
||||||
|
$t=\dfrac{6\pm4i}{2}=3\pm2i$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x^2=3\pm2i$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{1. }x^2=3+2i$
|
||||||
|
$x=a+bi$
|
||||||
|
$(a+bi)^2=(a^2-b^2)+2abi=3+2i$
|
||||||
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
\begin{cases}
|
||||||
|
a^2-b^2=3 \\
|
||||||
|
2ab=2
|
||||||
|
\end{cases}
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
$(a^2+b^2)^2=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2=3^2+2^2=13$
|
||||||
|
$a^2+b^2=\sqrt{13}$
|
||||||
|
$a^2=\dfrac{(a^2+b^2)+(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{13}+3}{2}$
|
||||||
|
$b^2=\dfrac{(a^2+b^2)-(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x_{1}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}+3}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}}$
|
||||||
|
$x_{2}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}+3}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}})$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{2. }x^2=3-2i$
|
||||||
|
$3-2i=\overline{(3+2i)}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x_{3}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}+3}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}}$
|
||||||
|
$x_{4}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}+3}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}})$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ:}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
\begin{array}{l}
|
||||||
|
x_{1}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}+3}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}}\\
|
||||||
|
x_{2}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}+3}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}})\\
|
||||||
|
x_{3}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}+3}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}}\\
|
||||||
|
x_{4}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}+3}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}})
|
||||||
|
\end{array}
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 34 номер
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$x^4 + 2x^2 + 17 = 0$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$t=x^{2}$
|
||||||
|
$t^2+2t+17=0$
|
||||||
|
$D=-64$
|
||||||
|
$t=\dfrac{-2\pm 8i}{2}=-1\pm 4i$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x^2=-1\pm 4i$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{1. }x^2=-1+4i$
|
||||||
|
$x=a+bi$
|
||||||
|
$(a+bi)^2=(a^2-b^2)+2abi=-1+4i$
|
||||||
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
\begin{cases}
|
||||||
|
a^2-b^2=-1 \\
|
||||||
|
2ab=4
|
||||||
|
\end{cases}
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
$(a^2+b^2)^2=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2=(-1)^2+4^2=17$
|
||||||
|
$a^2+b^2=\sqrt{17}$
|
||||||
|
$a^2=\dfrac{(a^2+b^2)+(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{17}-1}{2}$
|
||||||
|
$b^2=\dfrac{(a^2+b^2)-(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{17}+1}{2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x_{1}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}-1}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}+1}{2}}$
|
||||||
|
$x_{2}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}-1}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}+1}{2}})$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{2. }x^2=-1-4i$
|
||||||
|
$-1-4i=\overline{(-1+4i)}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x_{3}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}-1}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}+1}{2}}$
|
||||||
|
$x_{4}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}-1}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}+1}{2}})$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ:}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
\begin{array}{l}
|
||||||
|
x_{1}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}-1}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}+1}{2}}\\
|
||||||
|
x_{2}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}-1}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}+1}{2}})\\
|
||||||
|
x_{3}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}-1}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}+1}{2}}\\
|
||||||
|
x_{4}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}-1}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}+1}{2}})
|
||||||
|
\end{array}
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 35 номер
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$x^4 + 10x^2 + 61 = 0$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$t=x^{2}$
|
||||||
|
$t^2+10t+61=0$
|
||||||
|
$D-144$
|
||||||
|
$t=\dfrac{-10\pm 12i}{2}=-5\pm 6i$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x^2=-5\pm 6i$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{1. }x^2=-5+6i$
|
||||||
|
$x=a+bi$
|
||||||
|
$(a+bi)^2=(a^2-b^2)+2abi=-5+6i$
|
||||||
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
\begin{cases}
|
||||||
|
a^2-b^2=-5 \\
|
||||||
|
2ab=6
|
||||||
|
\end{cases}
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
$(a^2+b^2)^2=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2=(-5)^2+6^2=61$
|
||||||
|
$a^2+b^2=\sqrt{61}$
|
||||||
|
$a^2=\dfrac{(a^2+b^2)+(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{61}-5}{2}$
|
||||||
|
$b^2=\dfrac{(a^2+b^2)-(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{61}+5}{2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x_{1}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}-5}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}+5}{2}}$
|
||||||
|
$x_{2}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}-5}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}+5}{2}})$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{2. }x^2=-5-6i$
|
||||||
|
$-5-6i=\overline{(-5+6i)}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x_{3}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}-5}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}+5}{2}}$
|
||||||
|
$x_{4}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}-5}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}+5}{2}})$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ:}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
\begin{array}{l}
|
||||||
|
x_{1}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}-5}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}+5}{2}}\\
|
||||||
|
x_{2}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}-5}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}+5}{2}})\\
|
||||||
|
x_{3}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}-5}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}+5}{2}}\\
|
||||||
|
x_{4}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}-5}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}+5}{2}})
|
||||||
|
\end{array}
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 36 номер
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$x^4 − x^2 + 37 = 0$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$t=x^{2}$
|
||||||
|
$t^2-t+37=0$
|
||||||
|
$D-147$
|
||||||
|
$t=\dfrac{1\pm\sqrt{-147}}{2}=\dfrac{1\pm 7i\sqrt3}{2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x^2=\dfrac{1\pm 7i\sqrt3}{2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{1. }x^2=\dfrac{1+7i\sqrt3}{2}$
|
||||||
|
$x=a+bi$
|
||||||
|
$(a+bi)^2=(a^2-b^2)+2abi=\dfrac{1+7i\sqrt3}{2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
\begin{cases}
|
||||||
|
a^2-b^2=\dfrac{1}{2} \\
|
||||||
|
2ab=\dfrac{7\sqrt3}{2}
|
||||||
|
\end{cases}
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
$(a^2+b^2)^2=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2=(\dfrac{1}{2})^2+(\dfrac{7\sqrt3}{2})^2=\dfrac{1}{4}+\dfrac{147}{4}=37$
|
||||||
|
$a^2+b^2=\sqrt{37}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$a^2=\dfrac{(a^2+b^2)+(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{37}+\frac{1}{2}}{2}=\dfrac{2\sqrt{37}+1}{4}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$b^2=\dfrac{(a^2+b^2)-(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{37}-\frac{1}{2}}{2}=\dfrac{2\sqrt{37}-1}{4}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x_{1}=\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}+1}{4}}+i\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}-1}{4}}$
|
||||||
|
$x_{2}=-(\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}+1}{4}}+i\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}-1}{4}})$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{2. }x^2=\dfrac{1-7i\sqrt3}{2}$
|
||||||
|
$\dfrac{1-7i\sqrt3}{2}=\overline{(\dfrac{1+7i\sqrt3}{2})}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x_{3}=\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}+1}{4}}-i\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}-1}{4}}$
|
||||||
|
$x_{4}=-(\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}+1}{4}}-i\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}-1}{4}})$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ:}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
\begin{array}{l}
|
||||||
|
x_{1}=\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}+1}{4}}+i\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}-1}{4}}\\
|
||||||
|
x_{2}=-(\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}+1}{4}}+i\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}-1}{4}})\\
|
||||||
|
x_{3}=\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}+1}{4}}-i\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}-1}{4}}\\
|
||||||
|
x_{4}=-(\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}+1}{4}}-i\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}-1}{4}})
|
||||||
|
\end{array}
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 37 номер
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$x^4 + 6x^2 + 8 = 0$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$t=x^{2}$
|
||||||
|
$t^2+6t+8=0$
|
||||||
|
$D=6^2-4\cdot1\cdot8=36-32=4$
|
||||||
|
$t=\dfrac{-6\pm\sqrt{4}}{2}=-3\pm1$
|
||||||
|
|
||||||
|
$t_1=-2,\quad t_2=-4$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x^2=-2\ \ \text{or}\ \ x^2=-4$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{1. }x^2=-2$
|
||||||
|
$x=\pm\sqrt{-2}=\pm i\sqrt2$
|
||||||
|
$x_{1}=i\sqrt2$
|
||||||
|
$x_{2}=-i\sqrt2$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{2. }x^2=-4$
|
||||||
|
$x=\pm\sqrt{-4}=\pm 2i$
|
||||||
|
$x_{3}=2i$
|
||||||
|
$x_{4}=-2i$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ:}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
\begin{array}{l}
|
||||||
|
x_{1}=i\sqrt2\\
|
||||||
|
x_{2}=-i\sqrt2\\
|
||||||
|
x_{3}=2i\\
|
||||||
|
x_{4}=-2i
|
||||||
|
\end{array}
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 38 номер
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$x4 + 8x^2 + 41 = 0$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$t=x^{2}$
|
||||||
|
$t^2+8t+41=0$
|
||||||
|
$D=8^2-4\cdot1\cdot41=64-164=-100$
|
||||||
|
$t=\dfrac{-8\pm\sqrt{-100}}{2}=\dfrac{-8\pm 10i}{2}=-4\pm 5i$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x^2=-4\pm 5i$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{1. }x^2=-4+5i$
|
||||||
|
$x=a+bi$
|
||||||
|
$(a+bi)^2=(a^2-b^2)+2abi=-4+5i$
|
||||||
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
\begin{cases}
|
||||||
|
a^2-b^2=-4 \\
|
||||||
|
2ab=5
|
||||||
|
\end{cases}
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
$(a^2+b^2)^2=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2=(-4)^2+5^2=41$
|
||||||
|
$a^2+b^2=\sqrt{41}$
|
||||||
|
$a^2=\dfrac{(a^2+b^2)+(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{41}-4}{2}$
|
||||||
|
$b^2=\dfrac{(a^2+b^2)-(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{41}+4}{2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x_{1}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}-4}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}+4}{2}}$
|
||||||
|
$x_{2}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}-4}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}+4}{2}})$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{2. }x^2=-4-5i$
|
||||||
|
$-4-5i=\overline{(-4+5i)}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x_{3}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}-4}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}+4}{2}}$
|
||||||
|
$x_{4}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}-4}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}+4}{2}})$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ:}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
\begin{array}{l}
|
||||||
|
x_{1}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}-4}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}+4}{2}}\\
|
||||||
|
x_{2}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}-4}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}+4}{2}})\\
|
||||||
|
x_{3}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}-4}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}+4}{2}}\\
|
||||||
|
x_{4}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}-4}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}+4}{2}})
|
||||||
|
\end{array}
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 39 номер
|
||||||
|
|
||||||
|
### Условие:
|
||||||
|
|
||||||
|
$z-i\leq 1$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Область:
|
||||||
|
|
||||||
|
![[Pasted image 20251225172031.png]]
|
||||||
|
|
||||||
|
## 40 номер
|
||||||
|
|
||||||
|
### Условие:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\mathrm{Re}(z)\leq 3$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Область:
|
||||||
|
|
||||||
|
![[Pasted image 20251225172459.png]]
|
||||||
|
|
||||||
|
## 41 номер
|
||||||
|
|
||||||
|
### Условие:
|
||||||
|
|
||||||
|
$z\leq 2 \ \ \text{and} \ \ \mathrm{Re}(z)\geq 0$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Область:
|
||||||
|
|
||||||
|
![[Pasted image 20251225173000.png]]
|
||||||
|
|
||||||
|
## 42 номер
|
||||||
|
|
||||||
|
### Условие:
|
||||||
|
|
||||||
|
$arg(z)\leq \dfrac{\pi}{6}$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Область:
|
||||||
|
|
||||||
|
![[Pasted image 20251225174710.png]]
|
||||||
|
|
||||||
|
## 43 номер
|
||||||
|
|
||||||
|
### Условие:
|
||||||
|
$z=5;arg(z)\leq \dfrac{\pi}{3}$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Область:
|
||||||
|
![[IMG_0055.jpeg]]
|
||||||
|
|
||||||
|
## 44 номер
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
$z+i\leq1; \mathrm{Im}\leq -1$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
![[IMG_0056.jpeg]]
|
||||||
613
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/modules/2 MODULE.md
Normal file
613
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/modules/2 MODULE.md
Normal file
@@ -0,0 +1,613 @@
|
|||||||
|
## 4 номер – П 3.2.17
|
||||||
|
|
||||||
|
### Доказать:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\overline{d}=\overline{c}\cdot(\overline{b}\cdot\overline{a})-\overline{a}\cdot(\overline{b}\cdot\overline{c})$
|
||||||
|
$\overline{d}\perp \overline{b}$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Доказательство:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\overline{b}\cdot \overline{d}=\overline{b}\cdot(\overline{c}\cdot(\overline{b}\cdot\overline{a})-\overline{a}\cdot(\overline{b}\cdot\overline{c}))=\overline{b}(\overline{c}(\overline{b}\overline{c}))-\overline{b}(\overline{a}(\overline{b}\overline{a}))=(\overline{b}\overline{a})(\overline{b}\overline{c})-(\overline{b}\overline{c})(\overline{b}\overline{a})=0$
|
||||||
|
$\text{Скалярное произведение векторов равно 0, значит векторы расположены перпендикулярно.}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 8 номер – П 3.2.21
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\vec{F}_{1}=\vec{i}-\vec{j}+\vec{k}$
|
||||||
|
$\vec{F}_{2}=2\vec{i}+\vec{j}+3\vec{k}$
|
||||||
|
$M(2;-1;-1)$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\vec{F}=\vec{F}_{1}+\vec{F_{2}}=3\vec{i}+0\vec{j}+4\vec{k}=(3;0;4)$
|
||||||
|
$A=\vec{F}\cdot \vec{s};$
|
||||||
|
$\vec{s}=(2;-1;-1)$
|
||||||
|
$A=3\cdot2+4\cdot(-1)=2$
|
||||||
|
$\text{Ответ: 2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 9 номер – П 3.2.22
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\vec{b}=\lambda \vec{i}-5\vec{j}+3\vec{k}$
|
||||||
|
$\vec{c}=\vec{i}+2\vec{j}-\lambda \vec{k}$
|
||||||
|
$\lambda = ?;\ \vec{b}\cdot \vec{c}=0$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\vec{b}\cdot \vec{c}=\lambda-10-3\lambda=-2\lambda-10$
|
||||||
|
$-2\lambda-10=0;\ -2\lambda=10;\ \lambda=-5$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ: -5}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 13 номер – П 3.3.6
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\vec{a}=\vec{i}-2\vec{j}+5\vec{k}$
|
||||||
|
$\vec{b}=5\vec{j}-7\vec{k}$
|
||||||
|
$\vec{a}=(1;-2;5)$
|
||||||
|
$\vec{b}=(0;5;-7)$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$S=\dfrac{1}{2}|\vec{a}\cdot\vec{b}|$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\vec{a}\cdot\vec{b}=-11\vec{i}+7\vec{j}+5\vec{k}=(-11;7;5)$
|
||||||
|
|
||||||
|
$|\vec{a}\cdot\vec{b}|=\sqrt{(-11)^2+7^2+5^2}=\sqrt{121+49+25}=\sqrt{195}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$S=\dfrac{1}{2}\sqrt{195}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ: }\dfrac{\sqrt{195}}{2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 14 номер – П 3.3.15
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$|\vec{a}|=3$
|
||||||
|
$|\vec{b}|=20$
|
||||||
|
$\vec{a}\vec{b}=30$
|
||||||
|
$|\vec{a}\cdot\vec{b}|=\ ?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$|\vec{a}\cdot\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2\cdot|\vec{b}|^2-(\vec{a}\vec{b})^2$
|
||||||
|
|
||||||
|
$|\vec{a}\cdot\vec{b}|^2=3^2\cdot 20^2-30^2=9\cdot 400-900=3600-900=2700$
|
||||||
|
|
||||||
|
$|\vec{a}\cdot\vec{b}|=\sqrt{2700}=\sqrt{900\cdot 3}=30\sqrt{3}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ: }30\sqrt{3}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 18 номер – П 3.3.19
|
||||||
|
|
||||||
|
### Дано:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\vec{a}=3\vec{p}+2\vec{q}$
|
||||||
|
$\vec{b}=2\vec{p}-\vec{q}$
|
||||||
|
$|\vec{p}|=4$
|
||||||
|
$|\vec{q}|=3$
|
||||||
|
$\angle(\vec{p},\vec{q})=\dfrac{3\pi}{4}$
|
||||||
|
$S=\ ?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$S=|\vec{a}\cdot\vec{b}|$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\vec{a}\cdot\vec{b}=3\vec{p}\cdot\vec{p}+3\vec{p}\cdot(-\vec{q})+2\vec{q}\cdot2\vec{p}+2\vec{q}\cdot(-\vec{q})=0-3(\vec{p}\cdot\vec{q})+4(\vec{q}\cdot\vec{p})+0=-7(\vec{p}\cdot\vec{q})$
|
||||||
|
|
||||||
|
$|\vec{a}\cdot\vec{b}|=7|\vec{p}\cdot\vec{q}|$
|
||||||
|
|
||||||
|
$|\vec{p}\cdot\vec{q}|=|\vec{p}|\cdot|\vec{q}|\cdot\sin\angle(\vec{p},\vec{q})=4\cdot 3\cdot\sin(\dfrac{3\pi}{4})=12\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$S=7\cdot 6\sqrt{2}=42\sqrt{2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ: }42\sqrt{2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 22 номер – П 3.3.25
|
||||||
|
|
||||||
|
### Дано:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\vec{a}=(2;\,-2;\,1)$
|
||||||
|
$\vec{b}=(2;\,3;\,6)$
|
||||||
|
$\sin\alpha=\ ?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\sin\alpha=\dfrac{|\vec{a}\cdot\vec{b}|}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{i}\big((-2)\cdot 6-1\cdot 3\big)-\vec{j}\big(2\cdot 6-1\cdot 2\big)+\vec{k}\big(2\cdot 3-(-2)\cdot 2\big)=(-15;\,-10;\,10)$
|
||||||
|
|
||||||
|
$|\vec{a}\cdot\vec{b}|=\sqrt{(-15)^2+(-10)^2+10^2}=\sqrt{225+100+100}=\sqrt{425}=5\sqrt{17}$
|
||||||
|
$|\vec{a}|=\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}=3$
|
||||||
|
$|\vec{b}|=\sqrt{2^2+3^2+6^2}=7$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\sin\alpha=\dfrac{5\sqrt{17}}{3\cdot 7}=\dfrac{5\sqrt{17}}{21}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ: }\dfrac{5\sqrt{17}}{21}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 23 номер – П 3.4.14
|
||||||
|
|
||||||
|
### Дано:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\vec{a}\vec{b}\vec{c}=5$
|
||||||
|
$\vec{b}(\vec{c}+\vec{a})(\vec{b}+2\vec{c})=\ ?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\vec{b}(\vec{c}+\vec{a})(\vec{b}+2\vec{c})=\vec{b}\vec{c}(\vec{b}+2\vec{c})+\vec{b}\vec{a}(\vec{b}+2\vec{c})=\vec{b}\vec{c}\vec{b}+2\vec{b}\vec{c}\vec{c}+\vec{b}\vec{a}\vec{b}+2\vec{b}\vec{a}\vec{c}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\vec{b}\vec{c}\vec{b}=0,\ \vec{b}\vec{c}\vec{c}=0,\ \vec{b}\vec{a}\vec{b}=0$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\vec{b}(\vec{c}+\vec{a})(\vec{b}+2\vec{c})=2\vec{b}\vec{a}\vec{c}$
|
||||||
|
$\vec{b}\vec{a}\vec{c}=-\vec{a}\vec{b}\vec{c}=-5$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\vec{b}(\vec{c}+\vec{a})(\vec{b}+2\vec{c})=2\cdot(-5)=-10$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ: }-10$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 27 номер – П 3.4.19
|
||||||
|
|
||||||
|
### Дано:
|
||||||
|
|
||||||
|
$V=5$
|
||||||
|
$A(2;\,1;\,-1)$
|
||||||
|
$B(3;\,0;\,1)$
|
||||||
|
$C(2;\,-1;\,3)$
|
||||||
|
$D \ \text{лежит на оси}\ Oy$
|
||||||
|
$D=\ ?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$D=(0;\,t;\,0)$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\vec{AB}=B-A=(3-2;\,0-1;\,1-(-1))=(1;\,-1;\,2)$
|
||||||
|
$\vec{AC}=C-A=(2-2;\,-1-1;\,3-(-1))=(0;\,-2;\,4)$
|
||||||
|
$\vec{AD}=D-A=(0-2;\,t-1;\,0-(-1))=(-2;\,t-1;\,1)$
|
||||||
|
|
||||||
|
$V=\dfrac{1}{6}|\vec{AB}\vec{AC}\vec{AD}|$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\vec{AB}\vec{AC}\vec{AD}=1\cdot\big((-2)\cdot 1-(t-1)\cdot 4\big)= -2-4(t-1)=2-4t=-2(2t-1)$
|
||||||
|
|
||||||
|
$5=\dfrac{1}{6}|-2(2t-1)|=\dfrac{1}{3}|2t-1|$
|
||||||
|
|
||||||
|
$|2t-1|=15$
|
||||||
|
$2t-1=15;\ t=8$
|
||||||
|
$2t-1=-15;\ t=-7$
|
||||||
|
|
||||||
|
$D_1=(0;\,8;\,0),\quad D_2=(0;\,-7;\,0)$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ: }(0;\,8;\,0)\ \text{или}\ (0;\,-7;\,0)$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 28 номер – П 3.4.21
|
||||||
|
|
||||||
|
### Дано:
|
||||||
|
|
||||||
|
$A_{1}(1;\,2;\,3),\ A_{2}(-2;\,4;\,1),\ A_{3}(7;\,6;\,3),\ A_{4}(4;\,-3;\,-1)$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Найти:
|
||||||
|
|
||||||
|
а) $|A_{1}A_{2}|,\ |A_{1}A_{3}|,\ |A_{1}A_{4}|$
|
||||||
|
б) $S_{\triangle A_{1}A_{2}A_{3}}$
|
||||||
|
в) $\angle(A_{1}A_{4},A_{1}A_{3})$
|
||||||
|
г) $V$
|
||||||
|
д) $h$ на грань $A_{1}A_{2}A_{3}$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\vec{A_{1}A_{2}}=(-3;\,2;\,-2)$
|
||||||
|
$\vec{A_{1}A_{3}}=(6;\,4;\,0)$
|
||||||
|
$\vec{A_{1}A_{4}}=(3;\,-5;\,-4)$
|
||||||
|
|
||||||
|
а)
|
||||||
|
$|A_{1}A_{2}|=\sqrt{(-3)^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{17}$
|
||||||
|
$|A_{1}A_{3}|=\sqrt{6^2+4^2+0^2}=2\sqrt{13}$
|
||||||
|
$|A_{1}A_{4}|=\sqrt{3^2+(-5)^2+(-4)^2}=5\sqrt{2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
б)
|
||||||
|
$S=\dfrac{1}{2}|\vec{A_{1}A_{2}}\cdot\vec{A_{1}A_{3}}|$
|
||||||
|
$\vec{A_{1}A_{2}}\cdot\vec{A_{1}A_{3}}=(8;\,-12;\,-24)$
|
||||||
|
$|\vec{A_{1}A_{2}}\cdot\vec{A_{1}A_{3}}|=\sqrt{784}=28$
|
||||||
|
$S=\dfrac{1}{2}\cdot 28=14$
|
||||||
|
|
||||||
|
в)
|
||||||
|
$\cos\varphi=\dfrac{\vec{A_{1}A_{4}}\cdot\vec{A_{1}A_{3}}}{|A_{1}A_{4}|\cdot|A_{1}A_{3}|}$
|
||||||
|
$\vec{A_{1}A_{4}}\cdot\vec{A_{1}A_{3}}=-2$
|
||||||
|
$\cos\varphi=\dfrac{-2}{(5\sqrt{2})(2\sqrt{13})}=-\dfrac{1}{5\sqrt{26}}$
|
||||||
|
$\varphi=\arccos(-\dfrac{1}{5\sqrt{26}})$
|
||||||
|
|
||||||
|
г)
|
||||||
|
$V=\dfrac{1}{6}|\vec{A_{1}A_{2}}\vec{A_{1}A_{3}}\vec{A_{1}A_{4}}|$
|
||||||
|
$\vec{A_{1}A_{2}}\vec{A_{1}A_{3}}\vec{A_{1}A_{4}}=\begin{vmatrix}-3 & 2 & -2 \\ 6 & 4 & 0 \\ 3 & -5 & -4\end{vmatrix}=180$
|
||||||
|
$V=\dfrac{1}{6}|180|=30$
|
||||||
|
|
||||||
|
д)
|
||||||
|
$V=\dfrac{1}{3}S_{\triangle A_{1}A_{2}A_{3}}\cdot h$
|
||||||
|
$h=6\dfrac{3}{7}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ: }|A_{1}A_{2}|=\sqrt{17};\ |A_{1}A_{3}|=2\sqrt{13};\ |A_{1}A_{4}|=5\sqrt{2};\ S=14;\ \varphi=\arccos(-\dfrac{1}{5\sqrt{26}});\ V=30;\ h=\dfrac{45}{7};$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 32 номер – П 4.1.13
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$A(1;\,-5),\ B(4;\,3)$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\vec{AB}=B-A=(4-1;\,3-(-5))=(3;\,8)$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\vec{AC}=\dfrac{1}{3}\vec{AB}=(\dfrac{3}{3};\,\dfrac{8}{3})=(1;\,\dfrac{8}{3})$
|
||||||
|
$\vec{AD}=\dfrac{2}{3}\vec{AB}=(\dfrac{6}{3};\,\dfrac{16}{3})=(2;\,\dfrac{16}{3})$
|
||||||
|
|
||||||
|
$C=A+\vec{AC}=(2;\,-2\dfrac{1}{3})$
|
||||||
|
$D=A+\vec{AD}=(3;\,\dfrac{1}{3})$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ: }C(2;\,-2\dfrac{1}{3}),\ D(3;\,\dfrac{1}{3})$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 36 номер – П 4.1.23
|
||||||
|
|
||||||
|
### Дано:
|
||||||
|
|
||||||
|
$A(2;\,1),\ B(-2;\,-2),\ C(-8;\,6)$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Найти:
|
||||||
|
|
||||||
|
$h_{B}$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\vec{AB}=B-A=(-2-2;\,-2-1)=(-4;\,-3)$
|
||||||
|
$\vec{AC}=C-A=(-8-2;\,6-1)=(-10;\,5)$
|
||||||
|
|
||||||
|
$|AC|=\sqrt{(-10)^2+5^2}=5\sqrt{5}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}|\vec{AB}\vec{AC}|$
|
||||||
|
$\vec{AB}\vec{AC}=(-4)\cdot5-(-3)\cdot(-10)=-50$
|
||||||
|
$S=\dfrac{1}{2}\cdot|-50|=25$
|
||||||
|
|
||||||
|
$S=\dfrac{1}{2}\cdot |AC|\cdot h_{B}$
|
||||||
|
$h_{B}=\dfrac{2S}{|AC|}=\dfrac{2\cdot 25}{5\sqrt{5}}=\dfrac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ: }h_{B}=2\sqrt{5}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 37 номер – П 4.1.24
|
||||||
|
|
||||||
|
### Дано:
|
||||||
|
|
||||||
|
$A(-2;\,6),\ B(2;\,8),\ M(2;\,2)$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Найти:
|
||||||
|
|
||||||
|
$C,\ D$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Точка }M\ \text{середина диагоналей}$
|
||||||
|
$M=\dfrac{A+C}{2}=\dfrac{B+D}{2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$C=2M-A=(6;\,-2)$
|
||||||
|
$D=2M-B=(2;\,-4)$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ: }C(6;\,-2),\ D(2;\,-4)$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 41 номер – П 5.1.14
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{В каких октантах могут быть расположены точки, координаты которых удовлетворяют:}$
|
||||||
|
$1)\ x-y=0;\quad 2)\ x+z=0;\quad 3)\ xy>0;\quad 4)\ xyz<0$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Октанты: }$
|
||||||
|
$I:(+,+,+),\ II:(+,-,+),\ III:(+,-,-),\ IV:(+,+,-),\ V:(-,+,+),\ VI:(-,-,+),\ VII:(-,-,-),\ VIII:(-,+,-)$
|
||||||
|
|
||||||
|
$1)\ x-y=0; x=y$
|
||||||
|
$x>0,\ y>0; I,\ IV$
|
||||||
|
$x<0,\ y<0; VI,\ VII$
|
||||||
|
$\text{Ответ: }I,\ IV,\ VI,\ VII$
|
||||||
|
|
||||||
|
$2)\ x+z=0; z=-x$
|
||||||
|
$x>; z<; III,\ IV$
|
||||||
|
$x<0; z>0; V,\ VI$
|
||||||
|
$\text{Ответ: }III,\ IV,\ V,\ VI$
|
||||||
|
|
||||||
|
$3)\ xy>0$
|
||||||
|
$x>0,\ y>0; I,\ IV$
|
||||||
|
$x<0,\ y<0; VI,\ VII$
|
||||||
|
$\text{Ответ: }I,\ IV,\ VI,\ VII$
|
||||||
|
|
||||||
|
$4)\ xyz<0; \text{нечётное число отрицательных координат}$
|
||||||
|
$II:(+,-,+),\ IV:(+,+,-),\ V:(-,+,+),\ VII:(-,-,-)$
|
||||||
|
$\text{Ответ: }II,\ IV,\ V,\ VII$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 42 номер – П 5.1.15
|
||||||
|
|
||||||
|
### Дано:
|
||||||
|
|
||||||
|
$A(4;\,-1;\,-1)$
|
||||||
|
$\text{Сфера касается плоскостей }x=0,\ y=0,\ z=0$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Найти:
|
||||||
|
|
||||||
|
$O(x_{0};y_{0};z_{0}),\ R$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$|x_{0}|=R$
|
||||||
|
$|y_{0}|=R$
|
||||||
|
$|z_{0}|=R$
|
||||||
|
|
||||||
|
$O=(\varepsilon_{1}R;\ \varepsilon_{2}R;\ \varepsilon_{3}R),\ \varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\varepsilon_{3}\in\{-1;1\}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$OA=R$
|
||||||
|
$(\varepsilon_{1}R-4)^2+(\varepsilon_{2}R+1)^2+(\varepsilon_{3}R+1)^2=R^2$
|
||||||
|
|
||||||
|
$R^2+(-4\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3})R+9=0$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}\in\{-2;0;2\}$
|
||||||
|
$\varepsilon_{1}=1; -4\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}\in\{-6;-4;-2\}$
|
||||||
|
$\text{Только }-6:\ R^2-6R+9=0; (R-3)^2=0; R=3$
|
||||||
|
$-4\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}=-6; \varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}=-2; \varepsilon_{2}=-1,\ \varepsilon_{3}=-1$
|
||||||
|
чё
|
||||||
|
5:22 утра ЧЁ тут произошло
|
||||||
|
|
||||||
|
$O=(3;\,-3;\,-3)$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ: }O(3;\,-3;\,-3),\ R=3$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 46 номер – П 4.2.2
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=2x-3$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=2x-3$
|
||||||
|
$y+3=2x$
|
||||||
|
$\dfrac{y+3}{2}=x$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x=0; y=-3; (0;\,-3)$
|
||||||
|
$y=0; 2x-3=0; x=\dfrac{3}{2}; (\dfrac{3}{2};\,0)$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ: }\dfrac{x}{\frac{3}{2}}+\dfrac{y}{-3}=1;\ (0;\,-3),\ (\dfrac{3}{2};\,0)$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 50 номер – П 4.2.7
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
П 4.2.7 я хз как это записать
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=-\dfrac{A}{B}x-\dfrac{C}{B}$
|
||||||
|
$\text{Расстояние от }O:\ p=\dfrac{|C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$
|
||||||
|
$\text{Нормальное: }\dfrac{A}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}x+\dfrac{B}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}y=-\dfrac{C}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\ (p\ge0)$
|
||||||
|
|
||||||
|
а)
|
||||||
|
$2x-3y+6=0$
|
||||||
|
$-3y=-2x-6$
|
||||||
|
$y=\dfrac{2}{3}x+2$
|
||||||
|
$k=\dfrac{2}{3}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=0; 2x+6=0 \implies x=-3$
|
||||||
|
$x=0; -3y+6=0 \implies y=2$
|
||||||
|
$\text{В отрезках: }\dfrac{x}{-3}+\dfrac{y}{2}=1$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\sqrt{A^{2}+B^{2}}=\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{13}$
|
||||||
|
$\dfrac{2}{\sqrt{13}}x-\dfrac{3}{\sqrt{13}}y=-\dfrac{6}{\sqrt{13}}$
|
||||||
|
$\text{Нормальное (}p\ge0\text{): }-\dfrac{2}{\sqrt{13}}x+\dfrac{3}{\sqrt{13}}y=\dfrac{6}{\sqrt{13}}$
|
||||||
|
$p=\dfrac{|6|}{\sqrt{13}}=\dfrac{6}{\sqrt{13}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
б)
|
||||||
|
$x+2{,}5=0$
|
||||||
|
$x=-2{,}5$
|
||||||
|
$k\ \text{не определён (прямая вертикальная)}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Нормальное: }-x=2{,}5$
|
||||||
|
$p=2{,}5$
|
||||||
|
|
||||||
|
в)
|
||||||
|
$y=x-1$
|
||||||
|
$x-y-1=0$
|
||||||
|
$y=1\cdot x-1$
|
||||||
|
$k=1$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=0; x=1$
|
||||||
|
$x=0; y=-1$
|
||||||
|
$\text{В отрезках: }\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{-1}=1$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\sqrt{A^{2}+B^{2}}=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}$
|
||||||
|
$\dfrac{1}{\sqrt{2}}x-\dfrac{1}{\sqrt{2}}y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
|
||||||
|
$p=\dfrac{|{-1}|}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
г)
|
||||||
|
$x+5y=0$
|
||||||
|
$y=-\dfrac{1}{5}x$
|
||||||
|
$k=-\dfrac{1}{5}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Прямая проходит через }O; \text{в отрезках не записывается (}a=0,\ b=0\text{)}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\sqrt{A^{2}+B^{2}}=\sqrt{1^{2}+5^{2}}=\sqrt{26}$
|
||||||
|
$\dfrac{1}{\sqrt{26}}x+\dfrac{5}{\sqrt{26}}y=0$
|
||||||
|
$p=\dfrac{|0|}{\sqrt{26}}=0$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 51 номер – П 4.2.9
|
||||||
|
|
||||||
|
### Дано:
|
||||||
|
|
||||||
|
$A(1;\,1)$
|
||||||
|
$B(-2;\,3)$
|
||||||
|
$k=\ ?,\ y_{Oy}=\ ?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$k=\dfrac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\dfrac{3-1}{-2-1}=\dfrac{2}{-3}=-\dfrac{2}{3}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=-\dfrac{2}{3}x+b$
|
||||||
|
|
||||||
|
$1=-\dfrac{2}{3}\cdot 1 + b$
|
||||||
|
$b=1+\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{3}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=-\dfrac{2}{3}\cdot 0 + b = b = \dfrac{5}{3}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ: }k=-\dfrac{2}{3};\ \text{ордината: }\dfrac{5}{3}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 55 номер – П 4.2.24
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$A(3;\,2),\ B(3;\,8),\ C(6;\,2)$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{1) } AB:$
|
||||||
|
$x_{A}=3,\ x_{B}=3; \text{координаты } x \text{ совпадают}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{2) } AC:$
|
||||||
|
$y_{A}=2,\ y_{C}=2; \text{координаты } y \text{ совпадают}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{3) } BC:$
|
||||||
|
$\dfrac{x-x_{B}}{x_{C}-x_{B}}=\dfrac{y-y_{B}}{y_{C}-y_{B}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\dfrac{x-3}{6-3}=\dfrac{y-8}{2-8}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\dfrac{x-3}{3}=\dfrac{y-8}{-6}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$-2(x-3)=1(y-8)$
|
||||||
|
$-2x+6=y-8$
|
||||||
|
$2x+y-14=0$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ: }AB:\ x=3;\ AC:\ y=2;\ BC:\ 2x+y-14=0$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 56 номер – П 5.2.2
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$M(-2;\,3;\,1)$
|
||||||
|
$1)\ ||\ Oxy;\ 2)\ M\ \text{и ось}\ Oy$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$1)$
|
||||||
|
$Oxy; z=z_{M}$
|
||||||
|
$z=1; z-1=0$
|
||||||
|
|
||||||
|
$2)$
|
||||||
|
$Oy ; Ax+Cz=0$
|
||||||
|
$-2A+1\cdot C=0;$
|
||||||
|
$C=2A$
|
||||||
|
$A=1$
|
||||||
|
$C=2$
|
||||||
|
$x+2z=0$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ: }z-1=0;\ x+2z=0$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 60 номер – П 5.2.9
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$M(1;\, -1;\, 0)$
|
||||||
|
$\vec{a}=(0;\, 2;\, 3),\ \vec{b}=(-1;\, 4;\, 2)$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\vec{n}=\vec{a}\times\vec{b}$
|
||||||
|
$\vec{n}=\vec{i}(4-12)-\vec{j}(0+3)+\vec{k}(0+2)=(-8;\,-3;\,2)$
|
||||||
|
|
||||||
|
$-8(x-1)-3(y+1)+2(z-0)=0$
|
||||||
|
$-8x+8-3y-3+2z=0$
|
||||||
|
$8x+3y-2z-5=0$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ: }8x+3y-2z-5=0$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 65 номер – П 5.2.19
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$-Oy \implies M(0;\,-4;\,0)$
|
||||||
|
$\vec{n}=(3;\, -2;\, 4)$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$
|
||||||
|
|
||||||
|
$3(x-0)-2(y-(-4))+4(z-0)=0$
|
||||||
|
$3x-2(y+4)+4z=0$
|
||||||
|
$3x-2y-8+4z=0$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ: }3x-2y+4z-8=0$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 69 номер – П 5.3.6
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$1)\ M(1;\,0;\,-1),\ \vec{a}=(2;\,3;\,0)$
|
||||||
|
$2)\ A(2;\,2;\,2),\ B(6;\,2;\,1)$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$1)$
|
||||||
|
$\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3t \\ z = -1 \end{cases}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$2)$
|
||||||
|
$\vec{s} = \vec{AB} = B - A = (4;\, 0;\, -1)$
|
||||||
|
$\begin{cases} x = 2 + 4t \\ y = 2 + 0t \\ z = 2 - t \end{cases} ; \begin{cases} x = 2 + 4t \\ y = 2 \\ z = 2 - t \end{cases}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ: } 1)\ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3t \\ z = -1 \end{cases};\ 2)\ \begin{cases} x = 2 + 4t \\ y = 2 \\ z = 2 - t \end{cases}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 70 номер – П 5.3.7
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$M_0(4;\,3;\,-2)$
|
||||||
|
$1)\ ||\ \vec{a}=(3;\,-6;\,5)$
|
||||||
|
$2)\ ||\ \begin{cases} x + 3y + z - 6 = 0 \\ 2x - y - 4z + 1 = 0 \end{cases}$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$1)$
|
||||||
|
$\vec{s}=\vec{a}=(3;\,-6;\,5)$
|
||||||
|
$\dfrac{x-4}{3}=\dfrac{y-3}{-6}=\dfrac{z+2}{5}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$2)$
|
||||||
|
$\vec{n_1}=(1;\,3;\,1)$
|
||||||
|
$\vec{n_2}=(2;\,-1;\,-4)$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\vec{s}=\vec{n_1}\times\vec{n_2}=\vec{i}(-12+1)-\vec{j}(-4-2)+\vec{k}(-1-6)=(-11;\,6;\,-7)$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\dfrac{x-4}{-11}=\dfrac{y-3}{6}=\dfrac{z+2}{-7}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ: } 1)\ \dfrac{x-4}{3}=\dfrac{y-3}{-6}=\dfrac{z+2}{5};\ 2)\ \dfrac{x-4}{-11}=\dfrac{y-3}{6}=\dfrac{z+2}{-7}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 74 номер – П 5.3.12
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z-5}{5}$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$1)\ Oxy; z=0$
|
||||||
|
$\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{0-5}{5}=-1$
|
||||||
|
$x-3=1; x=4$
|
||||||
|
$y+2=-2; y=-4$
|
||||||
|
$M_1(4;\,-4;\,0)$
|
||||||
|
|
||||||
|
$2)\ Oxz; y=0$
|
||||||
|
$\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{z-5}{5}=\dfrac{0+2}{2}=1$
|
||||||
|
$x-3=-1; x=2$
|
||||||
|
$z-5=5; z=10$
|
||||||
|
$M_2(2;\,0;\,10)$
|
||||||
|
|
||||||
|
$3)\ Oyz; x=0$
|
||||||
|
$\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z-5}{5}=\dfrac{0-3}{-1}=3$
|
||||||
|
$y+2=6; y=4$
|
||||||
|
$z-5=15; z=20$
|
||||||
|
$M_3(0;\,4;\,20)$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ: }(4;\,-4;\,0),\ (2;\,0;\,10),\ (0;\,4;\,20)$
|
||||||
386
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/modules/3 MODULE.md
Normal file
386
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/modules/3 MODULE.md
Normal file
@@ -0,0 +1,386 @@
|
|||||||
|
## 11 номер – П 1.1.51
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
|
||||||
|
$A^{n}=?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$A^2=A\cdot A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
|
||||||
|
$A^2=A$
|
||||||
|
$A^3=A^2A=AA=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
|
||||||
|
$A^4=A^3A=A^2A=AA\dots$
|
||||||
|
$\dots$
|
||||||
|
$Ответ: A^n=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 13 номер – П 1.1.67
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$A=\begin{pmatrix}1 & 2 & -3 & 4 \\ 5 & -6 & 7 & 8 \\ -9 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 & -6\end{pmatrix}$
|
||||||
|
$B=\begin{pmatrix}-6 & 5 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & -9 \\ 8 & 7 & -6 & 5 \\ 4 & -3 & 2 & 1\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$AB=\begin{pmatrix}1 & 2 & -3 & 4 \\ 5 & -6 & 7 & 8 \\ -9 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 & -6\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-6 & 5 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & -9 \\ 8 & 7 & -6 & 5 \\ 4 & -3 & 2 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-10 & -26 & 30 & -26 \\ 46 & 44 & -6 & 112 \\ 70 & -44 & -38 & -20 \\ 6 & 72 & -30 & -8\end{pmatrix}$
|
||||||
|
$BA=\begin{pmatrix}-6 & 5 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & -9 \\ 8 & 7 & -6 & 5 \\ 4 & -3 & 2 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 2 & -3 & 4 \\ 5 & -6 & 7 & 8 \\ -9 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 & -6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8 & -30 & 72 & 6 \\ -20 & -38 & -44 & 70 \\ 112 & -6 & 44 & 46 \\ -26 & 30 & -26 & -10\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$AB-BA\neq 0$
|
||||||
|
$\text{Ответ: Матрицы не коммутируют}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 15 номер – П 1.1.77
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}$
|
||||||
|
$\text{Найти:} \ AA^{T};A^{T}A;$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$A^T=\begin{pmatrix}1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$AA^{T}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}14 & 32 & 50 \\ 32 & 77 & 122 \\ 50 & 122 & 194\end{pmatrix}$
|
||||||
|
$A^{T}A=\begin{pmatrix}1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}66 & 78 & 90 \\ 78 & 93 & 108 \\ 90 & 108 & 126\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 17 номер – П 1.2.64
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$A=\begin{pmatrix}x & x-1 \\ x^{2}+x+1 & x^{2}\end{pmatrix}$
|
||||||
|
$\det A=?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\det 2\times2=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc$
|
||||||
|
$\det A=x\cdot x^{2}-(x-1)(x^{2}+x+1)=x^{3}-(x^{3}+x^{2}+x-x^{2}-x-1)=1$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 19 номер – П 1.2.73
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$A=\begin{pmatrix}-2 & 3 & 5 \\ 4 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & 2\end{pmatrix}$
|
||||||
|
$\det A=?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\det 3\times3=\begin{pmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{pmatrix}=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)$
|
||||||
|
$\det A=(-2)(1\cdot2-(-2)(-3))-3(4\cdot2-(-2)\cdot1)+5(4\cdot(-3)-1\cdot1)=-87$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 21 номер – П 1.2.95
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$A=\begin{pmatrix}0 & 5 & 2 & 0 \\ 8 & 3 & 5 & 4 \\ 7 & 2 & 4 & 1 \\ 0 & 4 & 1 & 0\end{pmatrix}$
|
||||||
|
$\det A=?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\det A=0\cdot(\dots)-5\cdot\begin{pmatrix}8 & 5 & 4 \\ 7 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}8 & 3 & 4 \\ 7 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & 0\end{pmatrix}-0\cdot(\dots)$
|
||||||
|
$\begin{pmatrix}8 & 5 & 4 \\ 7 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}=8(4\cdot0-1\cdot1)-5(7\cdot0-1\cdot0)+4(7\cdot1-4\cdot0)=20$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\begin{pmatrix}8 & 3 & 4 \\ 7 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & 0\end{pmatrix}=8(2\cdot0-1\cdot4)-3(7\cdot0-1\cdot0)+4(7\cdot4-2\cdot0)=80$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\det A=-5\cdot20+2\cdot80=60$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 23 номер – П 1.2.97
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$A=\begin{pmatrix}3 & 2 & 2 & 2 \\ 9 & -8 & 5 & 10 \\ 5 & -8 & 5 & 8 \\ 6 & -5 & 4 & 7\end{pmatrix}$
|
||||||
|
$\det A=?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\det A=3\cdot\begin{pmatrix}-8 & 5 & 10 \\ -8 & 5 & 8 \\ -5 & 4 & 7\end{pmatrix}-2\cdot\begin{pmatrix}9 & 5 & 10 \\ 5 & 5 & 8 \\ 6 & 4 & 7\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}9 & -8 & 10 \\ 5 & -8 & 8 \\ 6 & -5 & 7\end{pmatrix}-2\cdot\begin{pmatrix}9 & -8 & 5 \\ 5 & -8 & 5 \\ 6 & -5 & 4\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\begin{pmatrix}-8 & 5 & 10 \\ -8 & 5 & 8 \\ -5 & 4 & 7\end{pmatrix}=-8(5\cdot7-8\cdot4)-5((-8)\cdot7-8\cdot(-5))+10((-8)\cdot4-5\cdot(-5))=-14$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\begin{pmatrix}9 & 5 & 10 \\ 5 & 5 & 8 \\ 6 & 4 & 7\end{pmatrix}=9(5\cdot7-8\cdot4)-5(5\cdot7-8\cdot6)+10(5\cdot4-5\cdot6)=-8$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\begin{pmatrix}9 & -8 & 10 \\ 5 & -8 & 8 \\ 6 & -5 & 7\end{pmatrix}=9((-8)\cdot7-8\cdot(-5))-(-8)(5\cdot7-8\cdot6)+10(5\cdot(-5)-(-8)\cdot6)=-18$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\begin{pmatrix}9 & -8 & 5 \\ 5 & -8 & 5 \\ 6 & -5 & 4\end{pmatrix}=9((-8)\cdot4-5\cdot(-5))-(-8)(5\cdot4-5\cdot6)+5(5\cdot(-5)-(-8)\cdot6)=-28$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\det A=3\cdot(-14)-2\cdot(-8)+2\cdot(-18)-2\cdot(-28)=-6$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 25 номер – П 1.2.99
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$A=\begin{pmatrix}3 & 6 & 5 & 6 & 4 \\ 5 & 9 & 7 & 8 & 6 \\ 6 & 12 & 13 & 9 & 7 \\ 4 & 6 & 6 & 5 & 4 \\ 2 & 5 & 4 & 5 & 3\end{pmatrix}$
|
||||||
|
$\det A=?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\det A=\det\begin{pmatrix}3 & 6 & 5 & 6 & 4 \\ 2 & 3 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & -3 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 2 & 5 & 4 & 5 & 3\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\det A=3\cdot\begin{pmatrix}3 & 6 & 6 & 4 \\ 2 & 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 2 & 5 & 5 & 3\end{pmatrix}+3\cdot\begin{pmatrix}3 & 6 & 5 & 4 \\ 2 & 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & 4 & 3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3 & 6 & 5 & 6 \\ 2 & 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & -1 \\ 2 & 5 & 4 & 5\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\det\begin{pmatrix}3 & 6 & 6 & 4 \\ 2 & 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 2 & 5 & 5 & 3\end{pmatrix}=1\cdot\begin{pmatrix}6 & 6 & 4 \\ 3 & 2 & 2 \\ 5 & 5 & 3\end{pmatrix}+(-1)\cdot\begin{pmatrix}3 & 6 & 4 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 3\end{pmatrix}$
|
||||||
|
$\det\begin{pmatrix}6 & 6 & 4 \\ 3 & 2 & 2 \\ 5 & 5 & 3\end{pmatrix}=2$
|
||||||
|
$\det\begin{pmatrix}3 & 6 & 4 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 3\end{pmatrix}=1$
|
||||||
|
$\det\begin{pmatrix}3 & 6 & 6 & 4 \\ 2 & 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 2 & 5 & 5 & 3\end{pmatrix}=2-1 = 1$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\det\begin{pmatrix}3 & 6 & 5 & 4 \\ 2 & 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & 4 & 3\end{pmatrix}=1\cdot\begin{pmatrix}6 & 5 & 4 \\ 3 & 2 & 2 \\ 5 & 4 & 3\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}3 & 6 & 4 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 3\end{pmatrix}$
|
||||||
|
$\det\begin{pmatrix}6 & 5 & 4 \\ 3 & 2 & 2 \\ 5 & 4 & 3\end{pmatrix}=6(2\cdot3-2\cdot4)-5(3\cdot3-2\cdot5)+4(3\cdot4-2\cdot5)=1$
|
||||||
|
$\det\begin{pmatrix}3 & 6 & 5 & 4 \\ 2 & 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & 4 & 3\end{pmatrix}=1+2$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\det\begin{pmatrix}3 & 6 & 5 & 6 \\ 2 & 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & -1 \\ 2 & 5 & 4 & 5\end{pmatrix}=1\cdot\begin{pmatrix}6 & 5 & 6 \\ 3 & 2 & 2 \\ 5 & 4 & 5\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}3 & 6 & 6 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 5\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}3 & 6 & 5 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 4\end{pmatrix}$
|
||||||
|
$\det\begin{pmatrix}6 & 5 & 6 \\ 3 & 2 & 2 \\ 5 & 4 & 5\end{pmatrix}=-1$
|
||||||
|
$\det\begin{pmatrix}3 & 6 & 6 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 5\end{pmatrix}=3$
|
||||||
|
$\det\begin{pmatrix}3 & 6 & 5 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 4\end{pmatrix}=2$
|
||||||
|
$\det\begin{pmatrix}3 & 6 & 5 & 6 \\ 2 & 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & -1 \\ 2 & 5 & 4 & 5\end{pmatrix}=-1+3+2=4$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\det A=3\cdot1+3\cdot2-4=5$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 27 номер – П 1.2.104
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$A=\begin{pmatrix}a_{0} & a_{1} & a_{2} & \dots & a_{n-1} & a_{n} \\ -x & x & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & -x & x & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & -x & x \end{pmatrix}$
|
||||||
|
$\det A=?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Если }C_{i}=C_i+kC_j,\ \det A \text{ не меняется}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$C_{n-1}=C_{n-1}+C_n,\ C_{n-2}=C_{n-2}+C_{n-1},\ \dots,\ C_{0}=C_{0}+C_{1}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\det A=\det\begin{pmatrix}a_{0}+a_{1}+\dots+a_{n} & a_{1}+a_{2}+\dots+a_{n} & \dots & a_{n-1}+a_{n} & a_{n} \\0 & x & \dots & 0 & 0 \\0 & 0 & \ddots & 0 & 0 \\\vdots & \vdots & \ddots & x & 0 \\0 & 0 & \dots & 0 & x\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\det A=(a_{0}+a_{1}+\dots+a_{n})\cdot x\cdot x\cdots x=x^{n}(a_{0}+a_{1}+\dots+a_{n})$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 29 номер – П 1.2.85
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\begin{pmatrix}2 & 0 & -1 \\ 1 & x+5 & 2-x \\ 3 & -1 & 2\end{pmatrix} \leq 4$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\det A=2((x+5)\cdot2-(2-x)\cdot(-1))-0(1\cdot2-(2-x)\cdot3)+(-1)(1\cdot(-1)-(x+5)\cdot3)=5(x+8)$
|
||||||
|
|
||||||
|
$5(x+8)\le 4$
|
||||||
|
$x+8\le \dfrac{4}{5}$
|
||||||
|
$x\le \dfrac{4}{5}-8=x\leq-\dfrac{36}{5}$
|
||||||
|
$\text{Ответ: }x\le -\dfrac{36}{5}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 40 номер – П 1.4.42
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$A=\begin{pmatrix}5 & 8 & -1 \\ 2 & -3 & 2 \\ 1 & 2 & 3\end{pmatrix}$
|
||||||
|
$A^{-1} = ?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\det A=-104$
|
||||||
|
|
||||||
|
$C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$C_{11}=+\begin{pmatrix}-3 & 2 \\ 2 & 3\end{pmatrix}=-13$
|
||||||
|
$C_{12}=-\begin{pmatrix}2 & 2 \\ 1 & 3\end{pmatrix}=-4$
|
||||||
|
$C_{13}=+\begin{pmatrix}2 & -3 \\ 1 & 2\end{pmatrix}=7$
|
||||||
|
|
||||||
|
$C_{21}=-\begin{pmatrix}8 & -1 \\ 2 & 3\end{pmatrix}=-26$
|
||||||
|
$C_{22}=+\begin{pmatrix}5 & -1 \\ 1 & 3\end{pmatrix}=16$
|
||||||
|
$C_{23}=-\begin{pmatrix}5 & 8 \\ 1 & 2\end{pmatrix}=-2$
|
||||||
|
|
||||||
|
$C_{31}=+\begin{pmatrix}8 & -1 \\ -3 & 2\end{pmatrix}=13$
|
||||||
|
$C_{32}=-\begin{pmatrix}5 & -1 \\ 2 & 2\end{pmatrix}=-12$
|
||||||
|
$C_{33}=+\begin{pmatrix}5 & 8 \\ 2 & -3\end{pmatrix}=-31$
|
||||||
|
|
||||||
|
$C=\begin{pmatrix}-13 & -4 & 7 \\ -26 & 16 & -2 \\ 13 & -12 & -31\end{pmatrix}$
|
||||||
|
$C^{T}=\begin{pmatrix}-13 & -26 & 13 \\ -4 & 16 & -12 \\ 7 & -2 & -31\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}С^{T}=-\dfrac{1}{104}С^{T}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{8} & \dfrac{1}{4} & -\dfrac{1}{8} \\ \dfrac{1}{26} & -\dfrac{2}{13} & \dfrac{3}{26} \\ -\dfrac{7}{104} & \dfrac{1}{52} & \dfrac{31}{104}\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 42 номер – П 1.4.55
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 2 & 3\end{pmatrix}\cdot X\cdot \begin{pmatrix}2 & -2 \\ -4 & 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 2 & 3\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$A\cdot X\cdot B=A$
|
||||||
|
$\det A\neq0,\ \det B\neq0:\ A^{-1}AXBB^{-1}=A^{-1}A$
|
||||||
|
$X=B^{-1}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$B=\begin{pmatrix}2 & -2 \\ -4 & 5\end{pmatrix}$
|
||||||
|
$\det B=2\cdot5-(-2)\cdot(-4)=10-8=2$
|
||||||
|
$B^{-1}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}5 & 2 \\ 4 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{5}{2} & 1 \\ 2 & 1\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ: }X=\begin{pmatrix}\dfrac{5}{2} & 1 \\ 2 & 1\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 44 номер – П 1.4.57
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\begin{pmatrix}1 & -2 & 3 \\ 2 & 3 & -1 \\ 0 & -2 & 1\end{pmatrix}\cdot X=\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 3\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$A\cdot X=b$
|
||||||
|
$X=\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x_{1}=\dfrac{\Delta_{1}}{\Delta},\ x_{2}=\dfrac{\Delta_{2}}{\Delta},\ x_{3}=\dfrac{\Delta_{3}}{\Delta}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\Delta=\det A=\begin{pmatrix}1 & -2 & 3 \\ 2 & 3 & -1 \\ 0 & -2 & 1\end{pmatrix}=-7$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\Delta_{1}=\begin{pmatrix}2 & -2 & 3 \\ -1 & 3 & -1 \\ 3 & -2 & 1\end{pmatrix}=-15$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\Delta_{2}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & -1 \\ 0 & 3 & 1\end{pmatrix}=16$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\Delta_{3}=\begin{pmatrix}1 & -2 & 2 \\ 2 & 3 & -1 \\ 0 & -2 & 3\end{pmatrix}=11$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x_{1}=\dfrac{-15}{-7}=\dfrac{15}{7}$
|
||||||
|
$x_{2}=\dfrac{16}{-7}=-\dfrac{16}{7}$
|
||||||
|
$x_{3}=\dfrac{11}{-7}=-\dfrac{11}{7}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ: }X=\begin{pmatrix}\dfrac{15}{7}\\-\dfrac{16}{7}\\-\dfrac{11}{7}\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 46 номер – П 1.3.17
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$A=\begin{pmatrix}1 & -3 & 1 & -14 & 22 \\ -2 & 1 & 3 & 3 & -9 \\ -4 & -3 & 11 & -19 & 17\end{pmatrix}$
|
||||||
|
$rankA=?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$R_2=R_2+2R_1,\ R_3=R_3+4R_1$
|
||||||
|
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -3 & 1 & -14 & 22 \\0 & -5 & 5 & -25 & 35 \\0 & -15 & 15 & -75 & 105\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$R_3=R_3-3R_2$
|
||||||
|
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -3 & 1 & -14 & 22 \\0 & -5 & 5 & -25 & 35 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ: }rankA=2$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 48 номер – П 1.3.19
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$A=\begin{pmatrix}3 & -1 & 3 & 2 & 5 \\ 5 & -3 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & -3 & -5 & 0 & -7 \\ 7 & -5 & 1 & 4 & 1\end{pmatrix}$
|
||||||
|
$rankA=?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$R_{1}\to R_3$
|
||||||
|
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -3 & -5 & 0 & -7 \\ 5 & -3 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & -1 & 3 & 2 & 5 \\ 7 & -5 & 1 & 4 & 1\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$R_2=R_2-5R_1,\ R_3=R_3-3R_1,\ R_4=R_4-7R_1$
|
||||||
|
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -3 & -5 & 0 & -7 \\ 0 & 12 & 27 & 3 & 39 \\ 0 & 8 & 18 & 2 & 26 \\ 0 & 16 & 36 & 4 & 50\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$R_3=3R_3-2R_2,\ R_4=3R_4-4R_2$
|
||||||
|
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -3 & -5 & 0 & -7 \\ 0 & 12 & 27 & 3 & 39 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -6\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$R_3\to R_4$
|
||||||
|
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -3 & -5 & 0 & -7 \\ 0 & 12 & 27 & 3 & 39 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ: }rankA=3$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 50 номер – П 1.3.21
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$A=\begin{pmatrix}4 & 3 & -5 & 2 & 3 \\ 8 & 6 & -7 & 4 & 2 \\ 4 & 3 & -8 & 2 & 7 \\ 4 & 3 & 1 & 2 & -5 \\ 8 & 6 & -1 & 4 & -6\end{pmatrix}$
|
||||||
|
$rankA=?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$R_2=R_2-2R_1,\ R_3=R_3-R_1,\ R_4=R_4-R_1,\ R_5=R_5-2R_1$
|
||||||
|
$A\sim\begin{pmatrix}4 & 3 & -5 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & -3 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 6 & 0 & -8 \\ 0 & 0 & 9 & 0 & -12\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$R_3=R_3+R_2,\ R_4=R_4-2R_2,\ R_5=R_5-3R_2$
|
||||||
|
$A\sim\begin{pmatrix}4 & 3 & -5 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ: }rankA=2$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 52 номер – П 1.3.23
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$A=\begin{pmatrix}3 & -1 & 2 \\ 4 & -3 & 3 \\ 1 & 3 & 0\end{pmatrix}$
|
||||||
|
$rankA=?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$M_{1}=\begin{pmatrix}3\end{pmatrix}=3\neq0$
|
||||||
|
|
||||||
|
$M_{2}=\begin{pmatrix}3 & -1 \\ 4 & -3\end{pmatrix}=-5\neq0$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\det A=0$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ: }rankA=2$
|
||||||
|
$\text{Базисный минор: }M_{2}=\begin{pmatrix}3 & -1 \\ 4 & -3\end{pmatrix},\ \det M_{2}=-5$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 54 номер – П 1.3.35
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Как может измениться ранг матрицы при добавлении к ней одной произвольной строки? Одного произвольного столбца?}$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$rankA=r$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Добавим одну строку: }A\to \tilde A$
|
||||||
|
$\tilde r=rank\tilde A$
|
||||||
|
$\text{Новая строка линейно выражается через старые строки }; \tilde r=r$
|
||||||
|
$\text{Новая строка не выражается через старые строки }; \tilde r=r+1; \tilde r\in\{r,\ r+1\}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Добавим один столбец: }A\to \hat A$
|
||||||
|
$\hat r=rank\hat A$
|
||||||
|
$\text{Новый столбец линейно выражается через старые столбцы }; \hat r=r$
|
||||||
|
$\text{Новый столбец не выражается через старые столбцы }; \hat r=r+1$
|
||||||
|
$\hat r\in\{r,\ r+1\}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ: ранг либо не изменится, либо увеличится на 1 (уменьшиться не может).}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 56 номер – П 1.3.27
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$A=\begin{pmatrix}1 & -2 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & -1 & 1 & -2 \\ 2 & -5 & 1 & -2 & 2\end{pmatrix}$
|
||||||
|
$rankA=?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$R_2=R_2-2R_1,\ R_3=R_3-3R_1,\ R_4=R_4-2R_1$
|
||||||
|
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -2 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 5 & -3 & 4 & -5 \\ 0 & 4 & -4 & 4 & -5 \\ 0 & -1 & -1 & 0 & 0\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$R_3=5R_3-4R_2,\ R_4=5R_4+R_2$
|
||||||
|
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -2 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 5 & -3 & 4 & -5 \\ 0 & 0 & -8 & 4 & -5 \\ 0 & 0 & -8 & 4 & -5\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$R_4=R_4-R_3$
|
||||||
|
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -2 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 5 & -3 & 4 & -5 \\ 0 & 0 & -8 & 4 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ: }rankA=3$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 58 номер – П 1.3.29
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$A=\begin{pmatrix}1 & -3 & 2 & 0 \\ 2 & -3 & -1 & 3 \\ 3 & -6 & -1 & \lambda \\ 1 & -2 & 0 & 1\end{pmatrix}$
|
||||||
|
$rankA=?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$R_2=R_2-2R_1,\ R_3=R_3-3R_1,\ R_4=R_4-R_1$
|
||||||
|
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -3 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & -5 & 3 \\ 0 & 3 & -7 & \lambda \\ 0 & 1 & -2 & 1\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$R_2\to R_4$
|
||||||
|
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & -7 & \lambda \\ 0 & 3 & -5 & 3\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$R_3=R_3-3R_2,\ R_4=R_4-3R_2$
|
||||||
|
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & \lambda-3 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$R_4=R_4+R_3$
|
||||||
|
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & \lambda-3 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda-3\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\lambda\neq3; \lambda-3\neq0; rankA=4$
|
||||||
|
$\lambda=3; \lambda-3=0; rankA=3$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ: }rankA=\begin{cases}4,&\lambda\neq3\\3,&\lambda=3\end{cases}$
|
||||||
291
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/modules/4 MODULE.md
Normal file
291
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/modules/4 MODULE.md
Normal file
@@ -0,0 +1,291 @@
|
|||||||
|
## 20 номер – П 2.2.8
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
МЕТОД ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ
|
||||||
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
\begin{cases}
|
||||||
|
x+2y+3z=5 \\
|
||||||
|
4x+5y+6z=8 \\
|
||||||
|
7x+8y=2
|
||||||
|
\end{cases}
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 0\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x=\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$b=\begin{pmatrix}5 \\ 8 \\ 2\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\det A=27\neq 0$
|
||||||
|
$A^{-1}=\begin{pmatrix}-1 \dfrac{7}{9} & \dfrac{8}{9} & -\dfrac{1}{9} \\ 1 \dfrac{5}{9} & -\dfrac{7}{9} & \dfrac{2}{9} \\ -\dfrac{1}{9} & \dfrac{2}{9} & -\dfrac{1}{9}\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x=A^{-1}b=\begin{pmatrix}-1 \dfrac{7}{9} & \dfrac{8}{9} & -\dfrac{1}{9} \\ 1 \dfrac{5}{9} & -\dfrac{7}{9} & \dfrac{2}{9} \\ -\dfrac{1}{9} & \dfrac{2}{9} & -\dfrac{1}{9}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}5 \\ 8 \\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ: }x=-2; \ y=2; \ z=1;$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 21 номер – П 2.2.9
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
\begin{cases}
|
||||||
|
2x_{1}-3x_{2}+x_{3}=-7 \\
|
||||||
|
x_{1}+2x_{2}-3x_{3}=14 \\
|
||||||
|
-x_{1}-x_{2}+5x_{3}=-18
|
||||||
|
\end{cases}
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$A=\begin{pmatrix}2 & -3 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ -1 & -1 & 5\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x=\begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$b=\begin{pmatrix}-7 \\ 14 \\ -18\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\det A=21\neq 0$
|
||||||
|
|
||||||
|
$A^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3} \\ -\dfrac{2}{21} & \dfrac{11}{21} & \dfrac{1}{3} \\ \dfrac{1}{21} & \dfrac{5}{21} & \dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x=A^{-1}b=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3} \\ -\dfrac{2}{21} & \dfrac{11}{21} & \dfrac{1}{3} \\ \dfrac{1}{21} & \dfrac{5}{21} & \dfrac{1}{3}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-7 \\ 14 \\ -18\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ -3\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ: }x_{1}=1;\ x_{2}=2;\ x_{3}=-3;$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 22 номер – П 2.2.9
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
\begin{cases}
|
||||||
|
2x_{1}-3x_{2}+x_{3}=-7 \\
|
||||||
|
x_{1}+2x_{2}-3x_{3}=14 \\
|
||||||
|
-x_{1}-x_{2}+5x_{3}=-18
|
||||||
|
\end{cases}
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$A=\begin{pmatrix}2 & -3 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ -1 & -1 & 5\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x=\begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$b=\begin{pmatrix}-7 \\ 14 \\ -18\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\det A=21\neq 0$
|
||||||
|
|
||||||
|
$A^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3} \\ -\dfrac{2}{21} & \dfrac{11}{21} & \dfrac{1}{3} \\ \dfrac{1}{21} & \dfrac{5}{21} & \dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x=A^{-1}b=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3} \\ -\dfrac{2}{21} & \dfrac{11}{21} & \dfrac{1}{3} \\ \dfrac{1}{21} & \dfrac{5}{21} & \dfrac{1}{3}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-7 \\ 14 \\ -18\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ -3\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ: }x_{1}=1;\ x_{2}=2;\ x_{3}=-3;$
|
||||||
|
:D
|
||||||
|
|
||||||
|
## 23 номер – П 2.2.10
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
\begin{cases}
|
||||||
|
2x_{1}+x_{2}-x_{3}=3 \\
|
||||||
|
x_{1}+3x_{2}+2x_{3}=-1 \\
|
||||||
|
x_{1}+x_{2}=5
|
||||||
|
\end{cases}
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$A=\begin{pmatrix}2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x=\begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$b=\begin{pmatrix}3 \\ -1 \\ 5\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\det A=2(3\cdot0-2\cdot1)-1(1\cdot0-2\cdot1)+(-1)(1\cdot1-3\cdot1)=0$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\det A=0; A^{-1}\ \text{не существует}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ: решений нет}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 24 номер – П 2.2.11
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
\begin{cases}
|
||||||
|
x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=3 \\
|
||||||
|
2x_{1}+6x_{1}+4x_{3}=6 \\
|
||||||
|
3x_{1}+10x_{2}+8x_{3}=21
|
||||||
|
\end{cases}
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 8 & 0 & 4 \\ 3 & 10 & 8\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x=\begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$b=\begin{pmatrix}3 \\ 6 \\ 21\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\det A=96\neq 0$
|
||||||
|
|
||||||
|
$A^{-1}=\begin{pmatrix}-\dfrac{5}{12} & \dfrac{7}{48} & \dfrac{1}{12} \\ -\dfrac{13}{24} & -\dfrac{1}{96} & \dfrac{5}{24} \\ \dfrac{5}{6} & -\dfrac{1}{24} & -\dfrac{1}{6}\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x=A^{-1}b=\begin{pmatrix}-\dfrac{5}{12} & \dfrac{7}{48} & \dfrac{1}{12} \\ -\dfrac{13}{24} & -\dfrac{1}{96} & \dfrac{5}{24} \\ \dfrac{5}{6} & -\dfrac{1}{24} & -\dfrac{1}{6}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3 \\ 6 \\ 21\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\dfrac{3}{8} \\ 2\dfrac{11}{16} \\ -1\dfrac{1}{4}\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ: }x_{1}=1\dfrac{3}{8}; \ x_{2}=2\dfrac{11}{16}; \ x_{3}=-1\dfrac{1}{4};$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 25 номер – П 2.2.12
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
\begin{cases}
|
||||||
|
ax_{1}+x_{2}+x_{3}=1 \\
|
||||||
|
x_{1}+ax_{2}+x_{3}=a \\
|
||||||
|
x_{1}+x_{2}+ax_{3}=a^{2}
|
||||||
|
\end{cases}
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$A=\begin{pmatrix}a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x=\begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$b=\begin{pmatrix}1 \\ a \\ a^{2}\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$R_2=R_2-R_1,\ R_3=R_3-R_1$
|
||||||
|
$\det A=\det\begin{pmatrix}a & 1 & 1 \\ 1-a & a-1 & 0 \\ 1-a & 0 & a-1\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\det A=(a-1)^{2}\det\begin{pmatrix}a & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix}=(a-1)^{2}(a+2)$
|
||||||
|
|
||||||
|
$a\neq1,\ a\neq-2\ ; \ \det A\neq0$
|
||||||
|
|
||||||
|
$A^{-1}=\dfrac{1}{(a-1)(a+2)}\begin{pmatrix}a+1 & -1 & -1 \\ -1 & a+1 & -1 \\ -1 & -1 & a+1\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x=A^{-1}b=\dfrac{1}{(a-1)(a+2)}\begin{pmatrix}a+1 & -1 & -1 \\ -1 & a+1 & -1 \\ -1 & -1 &a+1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 \\ a \\ a^{2}\end{pmatrix}=\dfrac{1}{(a-1)(a+2)}\begin{pmatrix}1-a^{2} \\ a-1 \\ (a-1)(a+1)^{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{a+1}{a+2} \\ \dfrac{1}{a+2} \\ \dfrac{(a+1)^{2}}{a+2}\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$a=1; \det A=0$
|
||||||
|
$\begin{cases}x_{1}+x_{2}+x_{3}=1\\x_{1}+x_{2}+x_{3}=1\\x_{1}+x_{2}+x_{3}=1\end{cases}$
|
||||||
|
$x_{1}=1-x_{2}-x_{3}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$a=-2; \det A=0$
|
||||||
|
$\begin{cases}-2x_{1}+x_{2}+x_{3}=1\\x_{1}-2x_{2}+x_{3}=-2\\x_{1}+x_{2}-2x_{3}=4\end{cases}$
|
||||||
|
$\text{Решений нет}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 26 номер – П 2.2.13
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
\begin{cases}
|
||||||
|
3x_{1}-5x_{2}+2x_{3}-4x_{4}=0 \\
|
||||||
|
-3x_{1}+4x_{2}-5x_{3}+3x_{4}=-2 \\
|
||||||
|
-5x_{1}+7x_{2}-7x_{3}+5x_{4}=-2 \\
|
||||||
|
8x_{1}-8x_{2}+5x_{3}-6x_{4}=-5
|
||||||
|
\end{cases}
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$A=\begin{pmatrix}3 & -5 & 2 & -4 \\ -3 & 4 & -5 & 3 \\ -5 & 7 & -7 & 5 \\ 8 & -8 & 5 & -6\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x=\begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$b=\begin{pmatrix}0 \\ -2 \\ -2 \\ -5\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\det A=17\neq 0$
|
||||||
|
|
||||||
|
$A^{-1}=\dfrac{1}{17}\begin{pmatrix}-5 & -3 & 5 & 6 \\ 8 & -53 & 43 & 4 \\ -2 & -8 & 2 & -1 \\ -19 & 60 & -49 & -1\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x=A^{-1}b=\dfrac{1}{17}\begin{pmatrix}-5 & -3 & 5 & 6 \\ 8 & -53 & 43 & 4 \\ -2 & -8 & 2 & -1 \\ -19 & 60 & -49 & -1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0 \\ -2 \\ -2 \\ -5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 \\ 0 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ: }x_{1}=-2; \ x_{2}=0; \ x_{3}=1; \ x_{4}=-1;$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 27 номер – П 2.2.14
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
\begin{cases}
|
||||||
|
6x_{1}-5x_{2}+4x_{3}+7x_{4}=28 \\
|
||||||
|
5x_{1}-8x_{2}+5x_{3}+8x_{4}=36 \\
|
||||||
|
9x_{1}-8x_{2}+5x_{3}+10x_{4}=42 \\
|
||||||
|
3x_{1}+2x_{2}+2x_{3}+2x_{4}=2
|
||||||
|
\end{cases}
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$A=\begin{pmatrix}6 & -5 & 4 & 7 \\ 5 & -8 & 5 & 8 \\ 9 & -8 & 5 & 10 \\ 3 & 2 & 2 & 2\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x=\begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$b=\begin{pmatrix}28 \\ 36 \\ 42 \\ 2\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\det A=-6\neq 0$
|
||||||
|
|
||||||
|
$A^{-1}=\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix}-52 & 12 & 24 & 14 \\ 34 & -9 & -15 & -8 \\ -60 & 18 & 24 & 18 \\ 104 & -27 & -45 & -28\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x=A^{-1}b=\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix}-52 & 12 & 24 & 14 \\ 34 & -9 & -15 & -8 \\ -60 & 18 & 24 & 18 \\ 104 & -27 & -45 & -28\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}28 \\ 36 \\ 42 \\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ -3 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ: }x_{1}=2; \ x_{2}=-3; \ x_{3}=2; \ x_{4}=-1;$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 28 номер – П 2.2.15
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
\begin{cases}
|
||||||
|
2x_{1}+6x_{2}+x_{3}=0 \\
|
||||||
|
x_{1}+2x_{2}-2x_{3}+4x_{4}=0 \\
|
||||||
|
-x_{1}+4x_{2}+5x_{3}-4x_{4}=0 \\
|
||||||
|
3x_{1}+x_{3}+2x_{4}=0
|
||||||
|
\end{cases}
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$A=\begin{pmatrix}2 & 6 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & -2 & 4 \\ -1 & 4 & 5 & -4 \\ 3 & 0 & 1 & 2\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x=\begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$b=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\det A=240\neq 0$
|
||||||
|
$A^{-1}\ \text{существует}$
|
||||||
|
$x=A^{-1}b=A^{-1}\cdot\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ: }x_{1}=0; \ x_{2}=0; \ x_{3}=0; \ x_{4}=0;$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 29 номер – П 2.2.27
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
\begin{cases}
|
||||||
|
2x_{1}+x_{2}+4x_{3}+8x_{4}=0 \\
|
||||||
|
x_{1}+3x_{2}-6x_{3}+2x_{4}=0 \\
|
||||||
|
3x_{1}-2x_{2}+2x_{3}-2x_{4}=0 \\
|
||||||
|
2x_{1}-x_{2}+2x_{3}=0
|
||||||
|
\end{cases}
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 4 & 8 \\ 1 & 3 & -6 & 2 \\ 3 & -2 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & 2 & 0\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x=\begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$b=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\det A=24\neq 0$
|
||||||
|
$A^{-1}\ \text{существует}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x=A^{-1}b=A^{-1}\cdot\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{Ответ: }x_{1}=0;\ x_{2}=0;\ x_{3}=0;\ x_{4}=0;$
|
||||||
1037
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/modules/5 MODULE.md
Normal file
1037
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/modules/5 MODULE.md
Normal file
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
792
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/modules/6 MODULE.md
Normal file
792
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/modules/6 MODULE.md
Normal file
@@ -0,0 +1,792 @@
|
|||||||
|
## 3 номер - Д 847
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y= \dfrac{x}{(1-x)^{2}(1+x)^{3}}$
|
||||||
|
$y'=?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\dfrac{x}{(1-x)^{2}(1+x)^{3}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y= \dfrac{u}{v}; y'= \dfrac{u'v-uv'}{v^{2}};$
|
||||||
|
$u=x; v=(1-x)^{2}(1+x)^{3}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$u'=1;$
|
||||||
|
$v=ab; v'= a'b+b'a; a=(1-x)^{2}; b=(1+x)^{3};$
|
||||||
|
$a'=-2(1-x);$
|
||||||
|
$b'=3(1+x)^{2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$v'=(−2(1−x))(1+x)^{3}+(1−x)^{2}3(1+x)^{2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y'=\dfrac{(1-x)^{2}(1+x)^{3}-x[(-2(1-x))(1+x)^{3}+(1-x)^{2}3(1+x)^{2}]}{(1-x)^{4}(1+x)^{6}}=\dfrac{4x^{2}-x+1}{(1-x)^{3}(1+x)^{4}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 7 номер - Д 851
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=x+\sqrt{ x }+\sqrt[ 3 ]{ x }$
|
||||||
|
$y'=?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=x+x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{3}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$(x)'=1;$
|
||||||
|
$(x^{\frac{1}{2}})'=\dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}};$
|
||||||
|
$(x^{\frac{1}{3}})'=\dfrac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}};$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y'=1+\dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}+\dfrac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}=1+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 11 номер - Д 855
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=(1+x)\sqrt{ 2+x^{3} }\sqrt[ 3 ]{ 3+x^{3} }$
|
||||||
|
$y'=?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$(1+x)\sqrt{2+x^3}\sqrt[3]{3+x^3}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=abc; y'=a'bc+ab'c+abc';$
|
||||||
|
$a=1+x;\ b=\sqrt{2+x^3};\ c=\sqrt[3]{3+x^3}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$a'=1;$
|
||||||
|
$b=(2+x^3)^{\frac{1}{2}};\ b'=\dfrac{1}{2}(2+x^3)^{-\frac{1}{2}}(3x^2)=\dfrac{3x^2}{2\sqrt{2+x^3}};$
|
||||||
|
$c=(3+x^3)^{\frac{1}{3}};\ c'=\dfrac{1}{3}(3+x^3)^{-\frac{2}{3}}(3x^2)=\dfrac{x^2}{\sqrt[3]{(3+x^3)^2}};$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y'=\sqrt{2+x^3}\sqrt[3]{3+x^3}+(1+x)\dfrac{3x^2}{2\sqrt{2+x^3}}\sqrt[3]{3+x^3}+(1+x)\sqrt{2+x^3}\cdot\dfrac{x^2}{\sqrt[3]{(3+x^3)^2}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 15 номер - Д 859
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=\dfrac{1}{\sqrt{ 1+x^{2} }(x+\sqrt{ 1+x^{2} })}$
|
||||||
|
$y'=?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}(x+\sqrt{1+x^2})}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=\dfrac{u}{v};\ y'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2};$
|
||||||
|
$u=1;\ v=\sqrt{1+x^2}(x+\sqrt{1+x^2})$
|
||||||
|
|
||||||
|
$u'=0;$
|
||||||
|
$v=ab;\ v'=a'b+b'a;$
|
||||||
|
$a=\sqrt{1+x^2};\ b=x+\sqrt{1+x^2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$a=(1+x^2)^{\frac{1}{2}};\ a'=\dfrac{1}{2}(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}2x=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}};$
|
||||||
|
$b'=1+a'=1+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}};$
|
||||||
|
|
||||||
|
$v'=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}(x+\sqrt{1+x^2})+\sqrt{1+x^2}(1+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}})=\dfrac{(x+\sqrt{1+x^2})^2}{\sqrt{1+x^2}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y'=-\dfrac{\dfrac{(x+\sqrt{1+x^2})^2}{\sqrt{1+x^2}}}{(\sqrt{1+x^2}(x+\sqrt{1+x^2}))^2}=-\dfrac{1}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 19 номер - Д 863
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=(2-x^{2})\cos x + 2x \sin x$
|
||||||
|
$y'=?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$(2-x^2)\cos x+2x\sin x$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=u+v;\ y'=u'+v';$
|
||||||
|
$u=(2-x^2)\cos x;\ v=2x\sin x$
|
||||||
|
|
||||||
|
$u=ab;\ u'=a'b+b'a;$
|
||||||
|
$a=2-x^2;\ b=\cos x;$
|
||||||
|
$a'=-2x;$
|
||||||
|
$b'=-\sin x;$
|
||||||
|
$u'=(-2x)\cos x+(2-x^2)(-\sin x)=-2x\cos x-(2-x^2)\sin x;$
|
||||||
|
|
||||||
|
$v=ab;\ v'=a'b+b'a;$
|
||||||
|
$a=2x;\ b=\sin x;$
|
||||||
|
$a'=2;$
|
||||||
|
$b'=\cos x;$
|
||||||
|
$v'=2\sin x+2x\cos x;$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y'=(-2x\cos x-(2-x^2)\sin x)+(2\sin x+2x\cos x)=x^2\sin x$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 22 номер - Д 866
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=\sin[\sin(\sin x)]$
|
||||||
|
$y'=?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\sin[\sin(\sin x)]$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=\sin u;\ y'=\cos u\cdot u';$
|
||||||
|
$u=\sin(\sin x)$
|
||||||
|
|
||||||
|
$u=\sin v;\ u'=\cos v\cdot v';$
|
||||||
|
$v=\sin x$
|
||||||
|
|
||||||
|
$v'=\cos x;$
|
||||||
|
$u'=\cos(\sin x)\cos x;$
|
||||||
|
$y'=\cos(\sin(\sin x))\cos(\sin x)\cos x$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 23 номер - Д 867
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=\dfrac{\sin ^{2}x}{\sin x^{2}}$
|
||||||
|
$y'=?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\dfrac{\sin^2x}{\sin x^2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=\dfrac{u}{v};\ y'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}};$
|
||||||
|
$u=\sin^2x;\ v=\sin x^2$
|
||||||
|
|
||||||
|
$u=(\sin x)^2;\ u'=2\sin x\cos x;$
|
||||||
|
$v=\sin(x^2);\ v'=\cos(x^2)\cdot2x=2x\cos(x^2);$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y'=\dfrac{(2\sin x\cos x)\sin(x^2)-\sin^2x\cdot(2x\cos(x^2))}{\sin^2(x^2)}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 26 номер - Д 880
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=e^{x}(1+\cot \dfrac{x}{2})$
|
||||||
|
$y'=?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$e^x(1+\cot\frac{x}{2})$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=ab;\ y'=a'b+b'a;$
|
||||||
|
$a=e^x;\ b=1+\cot\frac{x}{2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$a'=e^x;$
|
||||||
|
$b'=0+(\cot\frac{x}{2})';$
|
||||||
|
$(\cot u)'=-\dfrac{1}{\sin^2u}\cdot u';$
|
||||||
|
$u=\dfrac{x}{2};\ u'=\dfrac{1}{2};$
|
||||||
|
$(\cot\frac{x}{2})'=-\dfrac{1}{\sin^2(\frac{x}{2})}\cdot\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2\sin^2(\frac{x}{2})};$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y'=e^x(1+\cot\frac{x}{2})+e^x(-\dfrac{1}{2\sin^2(\frac{x}{2})})=e^x(1+\cot\frac{x}{2}-\dfrac{1}{2\sin^2(\frac{x}{2})})$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 27 номер - Д 881
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=\dfrac{\ln3\cdot \sin x + \cos x}{3^{x}}$
|
||||||
|
$y'=?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\dfrac{\ln3\sin x+\cos x}{3^x}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=\dfrac{u}{v};\ y'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2};$
|
||||||
|
$u=\ln3\sin x+\cos x;\ v=3^x$
|
||||||
|
|
||||||
|
$u'=\ln3\cos x-\sin x;$
|
||||||
|
$v'=3^x\ln3;$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y'=\dfrac{(\ln3\cos x-\sin x)3^x-(\ln3\sin x+\cos x)3^x\ln3}{(3^x)^2}$
|
||||||
|
$y'=\dfrac{\ln3\cos x-\sin x-(\ln3\sin x+\cos x)\ln3}{3^x}$
|
||||||
|
$y'=\dfrac{-\sin x-(\ln3)^2\sin x}{3^x}=-\dfrac{(1+(\ln3)^2)\sin x}{3^x}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 30 номер - Д 884
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=(\dfrac{a}{b})^{x}(\dfrac{b}{x})^{a}(\dfrac{x}{a})^{b}$
|
||||||
|
$y'=?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$(\dfrac{a}{b})^x(\dfrac{b}{x})^a(\dfrac{x}{a})^b$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=uvw;\ y'=u'vw+uv'w+uvw';$
|
||||||
|
$u=(\dfrac{a}{b})^x;\ v=(\dfrac{b}{x})^a;\ w=(\dfrac{x}{a})^b$
|
||||||
|
|
||||||
|
$u=(\dfrac{a}{b})^x=e^{x\ln(\frac{a}{b})};\ u'=(\dfrac{a}{b})^x\ln(\dfrac{a}{b});$
|
||||||
|
$v=(\dfrac{b}{x})^a=b^a x^{-a};\ v'=-ab^a x^{-a-1}=-\dfrac{a}{x}(\dfrac{b}{x})^a;$
|
||||||
|
$w=(\dfrac{x}{a})^b=x^b a^{-b};\ w'=bx^{b-1}a^{-b}=\dfrac{b}{x}(\dfrac{x}{a})^b;$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y'=(\dfrac{a}{b})^x(\dfrac{b}{x})^a(\dfrac{x}{a})^b(\ln(\dfrac{a}{b})-\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x})$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 34 номер - Д 888
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=\ln(\ln ^{2}(\ln ^{3}x))$
|
||||||
|
$y'=?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\ln(\ln^2(\ln^3x))$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=\ln u;\ y'=\dfrac{u'}{u};$
|
||||||
|
$u=\ln^2(\ln^3x)=(\ln(\ln^3x))^2$
|
||||||
|
|
||||||
|
$u=v^2;\ u'=2vv';$
|
||||||
|
$v=\ln(\ln^3x)$
|
||||||
|
$v=\ln t;\ v'=\dfrac{t'}{t};$
|
||||||
|
$t=\ln^3x=(\ln x)^3$
|
||||||
|
|
||||||
|
$t=w^3;\ t'=3w^2w';$
|
||||||
|
$w=\ln x;\ w'=\dfrac{1}{x};$
|
||||||
|
$t'=3(\ln x)^2\cdot\dfrac{1}{x};$
|
||||||
|
|
||||||
|
$v'=\dfrac{3(\ln x)^2\cdot\frac{1}{x}}{(\ln x)^3}=\dfrac{3}{x\ln x};$
|
||||||
|
$u'=2\ln(\ln^3x)\cdot\dfrac{3}{x\ln x}=\dfrac{6\ln(\ln^3x)}{x\ln x};$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y'=\dfrac{\frac{6\ln(\ln^3x)}{x\ln x}}{(\ln(\ln^3x))^2}=\dfrac{6}{x\ln x\cdot\ln(\ln^3x)}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 38 номер - Д 896
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=x\ln(x+\sqrt{ 1+x^{2} })-\sqrt{ 1+x^{2} }$
|
||||||
|
$y'=?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$x\ln(x+\sqrt{1+x^2})-\sqrt{1+x^2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=u-v;\ y'=u'-v';$
|
||||||
|
$u=x\ln(x+\sqrt{1+x^2});\ v=\sqrt{1+x^2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$u=ab;\ u'=a'b+b'a;$
|
||||||
|
$a=x;\ b=\ln(x+\sqrt{1+x^2})$
|
||||||
|
$a'=1;$
|
||||||
|
$b=\ln t;\ b'=\dfrac{t'}{t};$
|
||||||
|
$t=x+\sqrt{1+x^2};$
|
||||||
|
$t'=1+(\sqrt{1+x^2})';$
|
||||||
|
$(\sqrt{1+x^2})'=\dfrac{1}{2}(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}2x=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}};$
|
||||||
|
$t'=1+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}};$
|
||||||
|
$b'=\dfrac{\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}};$
|
||||||
|
$u'=\ln(x+\sqrt{1+x^2})+x\cdot\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}};$
|
||||||
|
|
||||||
|
$v=(1+x^2)^{\frac{1}{2}};\ v'=\dfrac{1}{2}(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}2x=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}};$
|
||||||
|
$y'=(\ln(x+\sqrt{1+x^2})+x\cdot\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}})-\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\ln(x+\sqrt{1+x^2})$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 42 номер - Д 900
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=\dfrac{2+3x^{2}}{x^{4}}\sqrt{ 1-x^{2} }+3\ln \dfrac{1+\sqrt{ 1-x^{2} }}{x}$
|
||||||
|
$y'=?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\dfrac{2+3x^{2}}{x^{4}}\sqrt{1-x^{2}}+3\ln\dfrac{1+\sqrt{1-x^{2}}}{x}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=u+v;\ y'=u'+v';$
|
||||||
|
$u=\dfrac{2+3x^{2}}{x^{4}}\sqrt{1-x^{2}};\ v=3\ln\dfrac{1+\sqrt{1-x^{2}}}{x}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$u=ab;\ u'=a'b+ab';$
|
||||||
|
$a=\dfrac{2+3x^{2}}{x^{4}};\ b=\sqrt{1-x^{2}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$a=(2+3x^{2})x^{-4};$
|
||||||
|
$a'=6x\cdot x^{-4}+(2+3x^{2})(-4)x^{-5}=\dfrac{6}{x^{3}}-\dfrac{8+12x^{2}}{x^{5}}=-\dfrac{6x^{2}+8}{x^{5}};$
|
||||||
|
$b=(1-x^{2})^{\frac{1}{2}};\ b'=\dfrac{1}{2}(1-x^{2})^{-\frac{1}{2}}(-2x)=-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}};$
|
||||||
|
|
||||||
|
$u'=-\dfrac{6x^{2}+8}{x^{5}}\sqrt{1-x^{2}}+\dfrac{2+3x^{2}}{x^{4}}(-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}})=-\dfrac{6x^{2}+8}{x^{5}}\sqrt{1-x^{2}}-\dfrac{2+3x^{2}}{x^{3}\sqrt{1-x^{2}}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$v=3(\ln(1+\sqrt{1-x^{2}})-\ln x);$
|
||||||
|
$v'=3(\dfrac{(\sqrt{1-x^{2}})'}{1+\sqrt{1-x^{2}}}-\dfrac{1}{x});$
|
||||||
|
$(\sqrt{1-x^{2}})'=-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}};$
|
||||||
|
|
||||||
|
$v'=3(-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}(1+\sqrt{1-x^{2}})}-\dfrac{1}{x})=-\dfrac{3}{x\sqrt{1-x^{2}}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y'=-\dfrac{6x^{2}+8}{x^{5}}\sqrt{1-x^{2}}-\dfrac{2+6x^{2}}{x^{3}\sqrt{1-x^{2}}}=-\dfrac{6x^{2}+8}{x^{5}}\cdot\dfrac{1-x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}-\dfrac{(2+6x^{2})x^{2}}{x^{5}\sqrt{1-x^{2}}}=-\dfrac{(6x^{2}+8)(1-x^{2})+(2+6x^{2})x^{2}}{x^{5}\sqrt{1-x^{2}}}=-\dfrac{8}{x^{5}\sqrt{1-x^{2}}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 46 номер - Д 904
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=\ln \sqrt{ \dfrac{1-\sin x}{1+\sin x} }$
|
||||||
|
$y'=?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\ln\sqrt{\dfrac{1-\sin x}{1+\sin x}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=\ln((\dfrac{1-\sin x}{1+\sin x})^{\frac{1}{2}})=\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{1-\sin x}{1+\sin x}=\dfrac{1}{2}(\ln(1-\sin x)-\ln(1+\sin x))$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y'=\dfrac{1}{2}(\dfrac{-(\sin x)'}{1-\sin x}-\dfrac{(\sin x)'}{1+\sin x})=\dfrac{1}{2}(-\dfrac{\cos x}{1-\sin x}-\dfrac{\cos x}{1+\sin x})$
|
||||||
|
$y'=-\dfrac{\cos x}{2}\cdot\dfrac{(1+\sin x)+(1-\sin x)}{1-\sin^{2}x}=-\dfrac{1}{\cos x}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 50 номер - Д 908
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y= \dfrac{1}{4x^{4}}\ln \dfrac{1}{x}- \dfrac{1}{16x^{4}}$
|
||||||
|
$y'=?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\dfrac{1}{4x^{4}}\ln\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{16x^{4}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=u+v;\ y'=u'+v';$
|
||||||
|
$u=\dfrac{1}{4x^{4}}\ln\dfrac{1}{x};\ v=-\dfrac{1}{16x^{4}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$u=\dfrac{1}{4}ab;\ u'=\dfrac{1}{4}(a'b+ab');$
|
||||||
|
$a=x^{-4};\ b=\ln\dfrac{1}{x}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$a'=-4x^{-5}=-\dfrac{4}{x^{5}};$
|
||||||
|
$b=\ln(x^{-1});\ b'=-(\ln x)'=-\dfrac{1}{x};$
|
||||||
|
|
||||||
|
$u'=\dfrac{1}{4}(-\dfrac{4}{x^{5}}\ln\dfrac{1}{x}+x^{-4}(-\dfrac{1}{x}))=-\dfrac{1}{x^{5}}\ln\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{4x^{5}}$
|
||||||
|
$v'=-\dfrac{1}{16}(-4)x^{-5}=\dfrac{1}{4x^{5}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y'=-\dfrac{1}{x^{5}}\ln\dfrac{1}{x}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 53 номер - Д 963
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=\sqrt[ x ]{ x }; (x>0)$
|
||||||
|
$y'=?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=\sqrt[x]{x}=x^{\frac{1}{x}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\ln y=\ln(x^{\frac{1}{x}})=\dfrac{1}{x}\ln x$
|
||||||
|
$\dfrac{y'}{y}=(\dfrac{\ln x}{x})'$
|
||||||
|
|
||||||
|
$u=\ln x;\ v=x;\ (\dfrac{u}{v})'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}};$
|
||||||
|
$u'=\dfrac{1}{x};\ v'=1;$
|
||||||
|
|
||||||
|
$(\dfrac{\ln x}{x})'=\dfrac{\dfrac{1}{x}\cdot x-\ln x}{x^{2}}=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}$
|
||||||
|
$y'=y\cdot\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}=x^{\frac{1}{x}}\cdot\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 54 номер - Д 964
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=(\sin x)^{\cos x}+(\cos x)^{\sin x}$
|
||||||
|
$y'=?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$(\sin x)^{\cos x}+(\cos x)^{\sin x}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=u+v;\ y'=u'+v';$
|
||||||
|
$u=(\sin x)^{\cos x};\ v=(\cos x)^{\sin x}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\ln u=\cos x\ln(\sin x)$
|
||||||
|
$\dfrac{u'}{u}=(\cos x)'\ln(\sin x)+\cos x(\ln(\sin x))'=-\sin x\ln(\sin x)+\cos x\cdot\dfrac{\cos x}{\sin x}$
|
||||||
|
$u'=u(-\sin x\ln(\sin x)+\dfrac{\cos^{2}x}{\sin x})=(\sin x)^{\cos x}(-\sin x\ln(\sin x)+\dfrac{\cos^{2}x}{\sin x})$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\ln v=\sin x\ln(\cos x)$
|
||||||
|
$\dfrac{v'}{v}=(\sin x)'\ln(\cos x)+\sin x(\ln(\cos x))'=\cos x\ln(\cos x)+\sin x(-\dfrac{\sin x}{\cos x})$
|
||||||
|
$v'=v(\cos x\ln(\cos x)-\dfrac{\sin^{2}x}{\cos x})=(\cos x)^{\sin x}(\cos x\ln(\cos x)-\dfrac{\sin^{2}x}{\cos x})$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y'=(\sin x)^{\cos x}(-\sin x\ln(\sin x)+\dfrac{\cos^{2}x}{\sin x})+(\cos x)^{\sin x}(\cos x\ln(\cos x)-\dfrac{\sin^{2}x}{\cos x})$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 57 номер - Д 984Б
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=\dfrac{x^{2}}{1-x}\sqrt[ 3 ]{ \dfrac{3-x}{(3+x)^{2}} }$
|
||||||
|
$y'=?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=\dfrac{x^{2}}{1-x}\sqrt[3]{\dfrac{3-x}{(3+x)^{2}}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\ln y=\ln(\dfrac{x^{2}}{1-x})+\ln((\dfrac{3-x}{(3+x)^{2}})^{\frac{1}{3}})=(2\ln x-\ln(1-x))+\dfrac{1}{3}(\ln(3-x)-2\ln(3+x))$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\dfrac{y'}{y}=(2\ln x-\ln(1-x))'+\dfrac{1}{3}(\ln(3-x)-2\ln(3+x))'$
|
||||||
|
$\dfrac{y'}{y}=\dfrac{2}{x}-(\ln(1-x))'+\dfrac{1}{3}(\dfrac{-1}{3-x}-2\cdot\dfrac{1}{3+x})$
|
||||||
|
$(\ln(1-x))'=\dfrac{(1-x)'}{1-x}=-\dfrac{1}{1-x}$
|
||||||
|
$\dfrac{y'}{y}=\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{1-x}-\dfrac{1}{3}(\dfrac{1}{3-x}+\dfrac{2}{3+x})$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y'=y(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{1-x}-\dfrac{1}{3}(\dfrac{1}{3-x}+\dfrac{2}{3+x}))$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 58 номер - Д 984В
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=(x-a_{1})^{a_{1}}(x-a_{2})^{a_{2}}\dots(x-a_{n})^{a_{n}}$
|
||||||
|
$y'=?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=(x-a_{1})^{a_{1}}(x-a_{2})^{a_{2}}\dots(x-a_{n})^{a_{n}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\ln y=\ln((x-a_{1})^{a_{1}}(x-a_{2})^{a_{2}}\dots(x-a_{n})^{a_{n}})=\ln(x-a_{1})^{a_{1}}+\ln(x-a_{2})^{a_{2}}+\dots+\ln(x-a_{n})^{a_{n}}$
|
||||||
|
$\ln y=a_{1}\ln(x-a_{1})+a_{2}\ln(x-a_{2})+\dots+a_{n}\ln(x-a_{n})$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\dfrac{y'}{y}=(a_{1}\ln(x-a_{1})+a_{2}\ln(x-a_{2})+\dots+a_{n}\ln(x-a_{n}))'$
|
||||||
|
$\dfrac{y'}{y}=\dfrac{a_{1}}{x-a_{1}}+\dfrac{a_{2}}{x-a_{2}}+\dots+\dfrac{a_{n}}{x-a_{n}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y'=y(\dfrac{a_{1}}{x-a_{1}}+\dfrac{a_{2}}{x-a_{2}}+\dots+\dfrac{a_{n}}{x-a_{n}})$
|
||||||
|
$y'=(x-a_{1})^{a_{1}}(x-a_{2})^{a_{2}}\dots(x-a_{n})^{a_{n}}(\dfrac{a_{1}}{x-a_{1}}+\dfrac{a_{2}}{x-a_{2}}+\dots+\dfrac{a_{n}}{x-a_{n}})$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 61 номер - Д 985Б
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=\text{arccot} \dfrac{\phi(x)}{\psi(x)}$
|
||||||
|
$y'=?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=\text{arccot}\dfrac{\phi(x)}{\psi(x)}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=\text{arccot}(u);\ y'=-\dfrac{u'}{1+u^{2}};$
|
||||||
|
$u=\dfrac{\phi(x)}{\psi(x)}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$u=\dfrac{p}{q};\ u'=\dfrac{p'q-pq'}{q^{2}};$
|
||||||
|
$p=\phi(x);\ q=\psi(x)$
|
||||||
|
|
||||||
|
$u'=\dfrac{\phi'(x)\psi(x)-\phi(x)\psi'(x)}{\psi^{2}(x)}$
|
||||||
|
$1+u^{2}=1+\dfrac{\phi^{2}(x)}{\psi^{2}(x)}=\dfrac{\psi^{2}(x)+\phi^{2}(x)}{\psi^{2}(x)}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y'=-\dfrac{\dfrac{\phi'\psi-\phi\psi'}{\psi^{2}}}{\dfrac{\psi^{2}+\phi^{2}}{\psi^{2}}}=-\dfrac{\phi'\psi-\phi\psi'}{\phi^{2}+\psi^{2}}=\dfrac{\phi\psi'-\phi'\psi}{\phi^{2}+\psi^{2}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 65 номер - Д 989
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$F(x)=\begin{vmatrix}x & x^{2} & x^{3} \\ 1 & 2x & 3x^{2} \\ 0 & 2 & 6x\end{vmatrix}$
|
||||||
|
$F(x)'=?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$F(x)=\begin{vmatrix}x & x^{2} & x^{3} \\ 1 & 2x & 3x^{2} \\ 0 & 2 & 6x\end{vmatrix}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$F(x)=x\begin{vmatrix}2x & 3x^{2} \\ 2 & 6x\end{vmatrix}-x^{2}\begin{vmatrix}1 & 3x^{2} \\ 0 & 6x\end{vmatrix}+x^{3}\begin{vmatrix}1 & 2x \\ 0 & 2\end{vmatrix}$
|
||||||
|
$F(x)=x(2x\cdot6x-3x^{2}\cdot2)-x^{2}(1\cdot6x-0)+x^{3}(1\cdot2-0)$
|
||||||
|
$F(x)=x(12x^{2}-6x^{2})-6x^{3}+2x^{3}=6x^{3}-6x^{3}+2x^{3}=2x^{3}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$F'(x)=6x^{2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 69 номер - Д 1042
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
Найти производные $y'_{x}$ (параметры положительны)
|
||||||
|
$x=a\cosh t$
|
||||||
|
$y=b \sinh t$
|
||||||
|
$y'_{x}=?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$x=a\cosh t;\ y=b\sinh t$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}$
|
||||||
|
$\dfrac{dx}{dt}=a(\cosh t)'=a\sinh t$
|
||||||
|
$\dfrac{dy}{dt}=b(\sinh t)'=b\cosh t$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y'_{x}=\dfrac{b\cosh t}{a\sinh t}=\dfrac{b}{a}\cdot\dfrac{\cosh t}{\sinh t}=\dfrac{b}{a}\text{cth}\ t$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 73 номер - Д 1050
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 \ (эллипс)$
|
||||||
|
$y'=?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$
|
||||||
|
|
||||||
|
$(\dfrac{x^{2}}{a^{2}})'+(\dfrac{y^{2}}{b^{2}})'=0$
|
||||||
|
$\dfrac{2x}{a^{2}}+\dfrac{2y}{b^{2}}y'=0$
|
||||||
|
$y'=-\dfrac{2x}{a^{2}}\cdot\dfrac{b^{2}}{2y}=-\dfrac{b^{2}x}{a^{2}y}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 77 номер - Д 1086
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=\dfrac{1}{a}\text{arccot} \dfrac{x}{a}; (a\neq0)$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$a=\text{const};$
|
||||||
|
$y=\dfrac{1}{a}\text{arccot} u;\ dy=\dfrac{1}{a}d(\text{arccot} u);$
|
||||||
|
$d(\text{arccot} u)=-\dfrac{1}{1+u^{2}}du;$
|
||||||
|
$u=\dfrac{x}{a};\ du=\dfrac{1}{a}dx;$
|
||||||
|
|
||||||
|
$dy=\dfrac{1}{a}(-\dfrac{1}{1+(\frac{x}{a})^{2}}\cdot\dfrac{1}{a}dx)=-\dfrac{1}{a^{2}}\cdot\dfrac{1}{1+\frac{x^{2}}{a^{2}}}dx=-\dfrac{1}{a^{2}}\cdot\dfrac{a^{2}}{a^{2}+x^{2}}dx=-\dfrac{dx}{a^{2}+x^{2}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 80 номер - Д 1088
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=\ln|x+\sqrt{ x^{2+a} }|$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$a=\text{const};$
|
||||||
|
$y=\ln|u|;\ dy=\dfrac{du}{u};$
|
||||||
|
$u=x+\sqrt{x^{2+a}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$du=dx+d(\sqrt{x^{2+a}});$
|
||||||
|
$\sqrt{x^{2+a}}=(x^{2+a})^{\frac{1}{2}};$
|
||||||
|
$d((x^{2+a})^{\frac{1}{2}})=\dfrac{1}{2}(x^{2+a})^{-\frac{1}{2}}d(x^{2+a});$
|
||||||
|
$d(x^{2+a})=(2+a)x^{1+a}dx;$
|
||||||
|
$d(\sqrt{x^{2+a}})=\dfrac{1}{2}(x^{2+a})^{-\frac{1}{2}}(2+a)x^{1+a}dx=\dfrac{2+a}{2}x^{\frac{a}{2}}dx;$
|
||||||
|
|
||||||
|
$du=(1+\dfrac{2+a}{2}x^{\frac{a}{2}})dx;$
|
||||||
|
$dy=\dfrac{(1+\dfrac{2+a}{2}x^{\frac{a}{2}})dx}{x+\sqrt{x^{2+a}}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 81 номер - Д 1089
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=\arcsin \dfrac{x}{a}; (a\neq 0)$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$a=\text{const};$
|
||||||
|
$y=\arcsin u;\ dy=d(\arcsin u);$
|
||||||
|
$d(\arcsin u)=\dfrac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}du;$
|
||||||
|
$u=\dfrac{x}{a};\ du=\dfrac{1}{a}dx;$
|
||||||
|
|
||||||
|
$dy=\dfrac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{a})^{2}}}\cdot\dfrac{1}{a}dx=\dfrac{dx}{a\sqrt{1-(\frac{x}{a})^{2}}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 84 номер - Д 1090В
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$d(\dfrac{1}{x^{3}})$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\dfrac{1}{x^3}=x^{-3}$
|
||||||
|
$d(x^{-3})=(-3)x^{-4}dx=-\dfrac{3}{x^{4}}dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 85 номер - Д 1090Г
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$d(\dfrac{\ln x}{\sqrt{ x }})$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}=\ln x\cdot x^{-\frac{1}{2}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$d(uv)=u\,dv+v\,du;$
|
||||||
|
$u=\ln x;\ v=x^{-\frac{1}{2}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$du=\dfrac{1}{x}dx;$
|
||||||
|
$dv=-\dfrac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}dx;$
|
||||||
|
|
||||||
|
$d(\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}})=\ln x(-\dfrac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}dx)+x^{-\frac{1}{2}}(\dfrac{1}{x}dx)=(-\dfrac{\ln x}{2x^{\frac{3}{2}}}+\dfrac{1}{x^{\frac{3}{2}}})dx=\dfrac{2-\ln x}{2x^{\frac{3}{2}}}dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 88 номер - Д 1093
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=\dfrac{1}{\sqrt{ u^{2}+v^{2} }}$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=(u^2+v^2)^{-\frac{1}{2}}$
|
||||||
|
$dy=-\dfrac{1}{2}(u^2+v^2)^{-\frac{3}{2}}d(u^2+v^2)$
|
||||||
|
|
||||||
|
$d(u^2+v^2)=d(u^2)+d(v^2)=2u\,du+2v\,dv;$
|
||||||
|
$dy=-\dfrac{1}{2}(u^2+v^2)^{-\frac{3}{2}}(2u\,du+2v\,dv)=-\dfrac{u\,du+v\,dv}{(u^2+v^2)^{\frac{3}{2}}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 89 номер - Д 1094
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=\text{arccon} \dfrac{u}{v}$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=\text{arccon}\,w;\ dy=d(\text{arccon}\,w);$
|
||||||
|
$d(\text{arccon}\,w)=-\dfrac{1}{\sqrt{1-w^2}}dw;$
|
||||||
|
$w=\dfrac{u}{v}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$dw=d(\dfrac{u}{v})=\dfrac{v\,du-u\,dv}{v^2};$
|
||||||
|
$dy=-\dfrac{1}{\sqrt{1-(\frac{u}{v})^2}}\cdot\dfrac{v\,du-u\,dv}{v^2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 92 номер - Д 1100
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\sin 29\degree\approx \ ?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=\sin x;$
|
||||||
|
$x_0=30\degree=\dfrac{\pi}{6};$
|
||||||
|
$\Delta x=29\degree-30\degree=-1\degree=-\dfrac{\pi}{180};$
|
||||||
|
$y(x_0+\Delta x)\approx y(x_0)+y'(x_0)\Delta x;$
|
||||||
|
$y'=\cos x;$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\sin29\degree\approx\sin30\degree+\cos30\degree(-\dfrac{\pi}{180})=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}\pi}{360}\approx0,485;$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 96 номер - Д 1103
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$lg 11 \approx \ ?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=lgx;$
|
||||||
|
$x_0=10;\ \Delta x=1;$
|
||||||
|
$y(x_0+\Delta x)\approx y(x_0)+y'(x_0)\Delta x;$
|
||||||
|
$(lgx)'=\dfrac{1}{x\ln10};$
|
||||||
|
|
||||||
|
$lg11\approx lg10+\dfrac{1}{10\ln10}\cdot1=1+\dfrac{1}{10\ln10}\approx1,043;$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 100 номер - Д 1105А
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\sqrt[ 3 ]{ 9 }\approx \ ?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\sqrt[ 3 ]{ 9 }=\sqrt[3]{8+1};$
|
||||||
|
$n=3;\ a=2;\ x=1;\ (a>0)$
|
||||||
|
$\sqrt[n]{a^{n}+x}\approx a+\dfrac{x}{na^{n-1}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\sqrt[3]{9}\approx2+\dfrac{1}{3\cdot2^{2}}=2+\dfrac{1}{12}\approx2,083;$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 104 номер - РИСУНОК
|
||||||
|
![[telegram-cloud-document-2-5407087289899717974.jpg]]
|
||||||
|
|
||||||
|
## 105 номер - АНЕКДОТ
|
||||||
|
На одном корабле работал фокусник. Так как пассажиры постоянно менялись, он без перемены проделывал одни и те же фокусы. К его несчастью, капитанский попугай просмотрел его выступления достаточно раз, чтобы разгадать все секреты. Во время каждого выступления попугай портил все фокусы своими криками «Эта не та шляпа! Он прячет пиковую даму в кармане брюк! В коробке дырочка!». Фокусник сердился, но ничего поделать не мог, попугай всё-таки капитанский.
|
||||||
|
Однажды корабль потерпел кораблекрушение, и только фокусник с попугаем чудом выжили. Продолжали они плавать в море на каком-то бревне. Фокусник постоянно злобно смотрел на попугая, который в свою очередь не переставал смотреть на фокусника. Наконец, через неделю дрейфа попугай не выдержал:
|
||||||
|
\- Ну ладно, ладно, сдаюсь! Куда ты корабль засунул то?!
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
## 108 номер - Д 1133
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=x^{x}$
|
||||||
|
$d^{2}y=?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$x=\text{независимая};\ d(dx)=0;$
|
||||||
|
$y=x^x$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\ln y=x\ln x$
|
||||||
|
$\dfrac{dy}{y}=d(x\ln x)=(x\ln x)'dx=(\ln x+1)dx$
|
||||||
|
$dy=y(\ln x+1)dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
$d^{2}y=d(dy)=d(y(\ln x+1)dx)=d(y(\ln x+1))dx$
|
||||||
|
$d(y(\ln x+1))=(\ln x+1)dy+y\,d(\ln x+1)$
|
||||||
|
$d(\ln x+1)=\dfrac{1}{x}dx$
|
||||||
|
$d(y(\ln x+1))=(\ln x+1)\,y(\ln x+1)dx+y\cdot\dfrac{1}{x}dx=y((\ln x+1)^{2}+\dfrac{1}{x})dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
$d^{2}y=x^{x}((\ln x+1)^{2}+\dfrac{1}{x})dx^{2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 111 номер - Д 1142
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$x=a(t-\sin t)$
|
||||||
|
$y=a(1-\cos t)$
|
||||||
|
$y'''=?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$x=a(t-\sin t);\ y=a(1-\cos t)$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}$
|
||||||
|
$\dfrac{dx}{dt}=a(1-\cos t)$
|
||||||
|
$\dfrac{dy}{dt}=a\sin t$
|
||||||
|
$y'_{x}=\dfrac{a\sin t}{a(1-\cos t)}=\dfrac{\sin t}{1-\cos t}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y''_{x}=\dfrac{\dfrac{d}{dt}(y'_{x})}{\dfrac{dx}{dt}}$
|
||||||
|
$\dfrac{d}{dt}(\dfrac{\sin t}{1-\cos t})=\dfrac{(\cos t)(1-\cos t)-\sin t\cdot\sin t}{(1-\cos t)^{2}}=\dfrac{\cos t-1}{(1-\cos t)^{2}}=-\dfrac{1}{1-\cos t}$
|
||||||
|
$y''_{x}=\dfrac{-\dfrac{1}{1-\cos t}}{a(1-\cos t)}=-\dfrac{1}{a(1-\cos t)^{2}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y'''_{x}=\dfrac{\dfrac{d}{dt}(y''_{x})}{\dfrac{dx}{dt}}$
|
||||||
|
$\dfrac{d}{dt}(-\dfrac{1}{a}(1-\cos t)^{-2})=-\dfrac{1}{a}(-2)(1-\cos t)^{-3}\sin t=\dfrac{2\sin t}{a(1-\cos t)^{3}}$
|
||||||
|
$y'''_{x}=\dfrac{\dfrac{2\sin t}{a(1-\cos t)^{3}}}{a(1-\cos t)}=\dfrac{2\sin t}{a^{2}(1-\cos t)^{4}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 112 номер - Д 1143
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$x=e^{ t }\cos t$
|
||||||
|
$y=e^{ t }\sin t$
|
||||||
|
$y'''=?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$x=e^{t}\cos t;\ y=e^{t}\sin t$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}$
|
||||||
|
$\dfrac{dx}{dt}=e^{t}\cos t+e^{t}(-\sin t)=e^{t}(\cos t-\sin t)$
|
||||||
|
$\dfrac{dy}{dt}=e^{t}\sin t+e^{t}\cos t=e^{t}(\sin t+\cos t)$
|
||||||
|
$y'_{x}=\dfrac{e^{t}(\sin t+\cos t)}{e^{t}(\cos t-\sin t)}=\dfrac{\sin t+\cos t}{\cos t-\sin t}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y''_{x}=\dfrac{\dfrac{d}{dt}(y'_{x})}{\dfrac{dx}{dt}}$
|
||||||
|
$\dfrac{d}{dt}(\dfrac{\sin t+\cos t}{\cos t-\sin t})=\dfrac{(\cos t-\sin t)(\cos t-\sin t)-(\sin t+\cos t)(-\sin t-\cos t)}{(\cos t-\sin t)^{2}}$
|
||||||
|
$\dfrac{d}{dt}(\dfrac{\sin t+\cos t}{\cos t-\sin t})=\dfrac{(\cos t-\sin t)^{2}+(\sin t+\cos t)^{2}}{(\cos t-\sin t)^{2}}=\dfrac{2}{(\cos t-\sin t)^{2}}$
|
||||||
|
$y''_{x}=\dfrac{\dfrac{2}{(\cos t-\sin t)^{2}}}{e^{t}(\cos t-\sin t)}=\dfrac{2}{e^{t}(\cos t-\sin t)^{3}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y'''_{x}=\dfrac{\dfrac{d}{dt}(y''_{x})}{\dfrac{dx}{dt}}$
|
||||||
|
$y''_{x}=2e^{-t}(\cos t-\sin t)^{-3}$
|
||||||
|
$\dfrac{d}{dt}(y''_{x})=2((-e^{-t})(\cos t-\sin t)^{-3}+e^{-t}(-3)(\cos t-\sin t)^{-4}(-\sin t-\cos t))$
|
||||||
|
$\dfrac{d}{dt}(y''_{x})=2e^{-t}(-(\cos t-\sin t)^{-3}+3(\sin t+\cos t)(\cos t-\sin t)^{-4})$
|
||||||
|
$\dfrac{d}{dt}(y''_{x})=\dfrac{2e^{-t}(-(\cos t-\sin t)+3(\sin t+\cos t))}{(\cos t-\sin t)^{4}}=\dfrac{4e^{-t}(\cos t+2\sin t)}{(\cos t-\sin t)^{4}}$
|
||||||
|
$y'''_{x}=\dfrac{\dfrac{4e^{-t}(\cos t+2\sin t)}{(\cos t-\sin t)^{4}}}{e^{t}(\cos t-\sin t)}=\dfrac{4(\cos t+2\sin t)}{e^{2t}(\cos t-\sin t)^{5}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 115 номер - Д 1157
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y= \dfrac{a}{x^{m}}$
|
||||||
|
$y'''=?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=a x^{-m};\ a,m=\text{const};$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y'=a(-m)x^{-m-1}$
|
||||||
|
$y''=a(-m)(-m-1)x^{-m-2}$
|
||||||
|
$y'''=a(-m)(-m-1)(-m-2)x^{-m-3}=-\dfrac{am(m+1)(m+2)}{x^{m+3}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 116 номер - Д 1159
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=\dfrac{x^{2}}{1-x}$
|
||||||
|
$y^{(8)}=?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=\dfrac{x^{2}}{1-x}=-x-1+\dfrac{1}{1-x}$
|
||||||
|
$\dfrac{1}{1-x}=(1-x)^{-1}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$((1-x)^{-1})'=(1-x)^{-2}$
|
||||||
|
$((1-x)^{-2})'=2(1-x)^{-3}$
|
||||||
|
$((1-x)^{-3})'=3\cdot2(1-x)^{-4}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$((1-x)^{-1})^{(n)}=n!(1-x)^{-(n+1)};\ (n\ge1)$
|
||||||
|
$(-x-1)^{(8)}=0$
|
||||||
|
$y^{(8)}=\dfrac{8!}{(1-x)^{9}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 119 номер - Д 1163
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=x\ln x$
|
||||||
|
$y^{(5)}=?$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=x\ln x$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y'=(x\ln x)'=\ln x+1$
|
||||||
|
$y''=(\ln x+1)'=\dfrac{1}{x}$
|
||||||
|
$y'''=(\dfrac{1}{x})'=-\dfrac{1}{x^{2}}$
|
||||||
|
$y^{(4)}=(-\dfrac{1}{x^{2}})'=\dfrac{2}{x^{3}}$
|
||||||
|
$y^{(5)}=(\dfrac{2}{x^{3}})'=-\dfrac{6}{x^{4}}$
|
||||||
840
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/modules/7 MODULE.md
Normal file
840
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/modules/7 MODULE.md
Normal file
@@ -0,0 +1,840 @@
|
|||||||
|
## 60 номер – Д 1853
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int \dfrac{xdx}{\sqrt{ 5+x-x^{2} }}$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$f(x)=5+x-x^{2}$
|
||||||
|
$f'(x)=1-2x$
|
||||||
|
|
||||||
|
$-\dfrac12 f'(x)=x-\dfrac12$
|
||||||
|
$x=-\dfrac12 f'(x)+\dfrac12$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int \dfrac{x}{\sqrt{f(x)}}dx=-\dfrac12\int \dfrac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}dx+\dfrac12\int \dfrac{dx}{\sqrt{f(x)}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=I_1+I_2$
|
||||||
|
|
||||||
|
$u=f(x);\ du=f'(x)dx$
|
||||||
|
$I_1=-\dfrac12\int \dfrac{du}{\sqrt{u}}=-\sqrt{u}=-\sqrt{f(x)}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$f(x)=5+x-x^2=\dfrac{21}{4}-(x-\dfrac12)^2$
|
||||||
|
|
||||||
|
$t=x-\dfrac12;\ dt=dx$
|
||||||
|
$I_2=\dfrac12\int \dfrac{dt}{\sqrt{\dfrac{21}{4}-t^2}}=\dfrac12\arcsin(\dfrac{t}{\sqrt{21}/2})=\dfrac12\arcsin(\dfrac{2x-1}{\sqrt{21}})$
|
||||||
|
|
||||||
|
${\,I=-\sqrt{5+x-x^{2}}+\dfrac12\arcsin(\dfrac{2x-1}{\sqrt{21}})+C\,}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 61 номер – Д 1903
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int \dfrac{x^{3}}{(x-1)^{100}}dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int \dfrac{x^{3}}{(x-1)^{100}}dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
$t=x-1;\ x=t+1;\ dt=dx$
|
||||||
|
$I=\int \dfrac{(t+1)^{3}}{t^{100}}dt=\int \dfrac{t^{3}+3t^{2}+3t+1}{t^{100}}dt=\int (t^{-97}+3t^{-98}+3t^{-99}+t^{-100})dt$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=-\dfrac{1}{96}t^{-96}-\dfrac{3}{97}t^{-97}-\dfrac{3}{98}t^{-98}-\dfrac{1}{99}t^{-99}+C$
|
||||||
|
|
||||||
|
${\,I=-\dfrac{1}{96(x-1)^{96}}-\dfrac{3}{97(x-1)^{97}}-\dfrac{3}{98(x-1)^{98}}-\dfrac{1}{99(x-1)^{99}}+C\,}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 62 номер – Д 1905
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int \dfrac{x^{3}dx}{x^{8}+3}$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int \dfrac{x^{3}}{x^{8}+3}dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
$t=x^{4};\ dt=4x^{3}dx;\ x^{3}dx=\dfrac14dt$
|
||||||
|
$I=\dfrac14\int \dfrac{dt}{t^{2}+3}=\dfrac14\cdot\dfrac{1}{\sqrt3}\arctan(\dfrac{t}{\sqrt3})+C$
|
||||||
|
|
||||||
|
${\,I=\dfrac{1}{4\sqrt3}\arctan(\dfrac{x^{4}}{\sqrt3})+C\,}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 63 номер – Д 1907
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int \dfrac{x^{4}-3}{x(x^{8}+3x^{4}+2)}$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int \dfrac{x^{4}-3}{x(x^{8}+3x^{4}+2)}dx$
|
||||||
|
$x^{8}+3x^{4}+2=(x^{4})^{2}+3x^{4}+2=(x^{4}+1)(x^{4}+2)$
|
||||||
|
|
||||||
|
$t=x^{4};\ dt=4x^{3}dx;\ \dfrac{dt}{t}=4\dfrac{dx}{x};\ \dfrac{dx}{x}=\dfrac{1}{4}\dfrac{dt}{t}$
|
||||||
|
$I=\int \dfrac{x^{4}-3}{x(x^{4}+1)(x^{4}+2)}dx=\int \dfrac{t-3}{(t+1)(t+2)}\dfrac{dx}{x}=\dfrac14\int \dfrac{t-3}{t(t+1)(t+2)}dt$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\dfrac{t-3}{t(t+1)(t+2)}=\dfrac{A}{t}+\dfrac{B}{t+1}+\dfrac{C}{t+2}$
|
||||||
|
$t-3=A(t+1)(t+2)+Bt(t+2)+Ct(t+1)$
|
||||||
|
$A=-\dfrac{3}{2};\ B=4;\ C=-\dfrac{5}{2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\dfrac14\int(-\dfrac{3}{2}\dfrac{1}{t}+4\dfrac{1}{t+1}-\dfrac{5}{2}\dfrac{1}{t+2})dt$
|
||||||
|
$I=-\dfrac{3}{8}\ln|t|+\ln|t+1|-\dfrac{5}{8}\ln|t+2|+C$
|
||||||
|
$\ln|t|=\ln(x^{4})=4\ln|x|$
|
||||||
|
|
||||||
|
${\,I=\ln(x^{4}+1)-\dfrac{3}{2}\ln|x|-\dfrac{5}{8}\ln(x^{4}+2)+C\,}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 64 номер – Д 1909
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int \dfrac{x^{11}dx}{x^{8}+3x^{4}+2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int \dfrac{x^{11}}{x^{8}+3x^{4}+2}dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
$t=x^{4};\ dt=4x^{3}dx;\ x^{11}dx=x^{8}\cdot x^{3}dx=t^{2}\cdot\dfrac14dt$
|
||||||
|
$x^{8}+3x^{4}+2=t^{2}+3t+2=(t+1)(t+2)$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\dfrac14\int \dfrac{t^{2}}{t^{2}+3t+2}dt=\dfrac14\int(1-\dfrac{3t+2}{(t+1)(t+2)})dt$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\dfrac{3t+2}{(t+1)(t+2)}=\dfrac{A}{t+1}+\dfrac{B}{t+2}$
|
||||||
|
$3t+2=A(t+2)+B(t+1)=(A+B)t+(2A+B)$
|
||||||
|
$A=-1;\ B=4$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\dfrac14\int(1+\dfrac{1}{t+1}-\dfrac{4}{t+2})dt=\dfrac14(t+\ln(t+1)-4\ln(t+2))+C$
|
||||||
|
|
||||||
|
${\,I=\dfrac{x^{4}}{4}+\dfrac14\ln(x^{4}+1)-\ln(x^{4}+2)+C\,}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 65 номер – Д 1910
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int \dfrac{x^{9}dx}{(x^{10}+2x^{5}+2)^{2}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int \dfrac{x^{9}}{(x^{10}+2x^{5}+2)^{2}}dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
$t=x^{5};\ dt=5x^{4}dx;\ x^{9}dx=x^{5}\cdot x^{4}dx=t\cdot\dfrac15dt$
|
||||||
|
$x^{10}+2x^{5}+2=t^{2}+2t+2$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\dfrac15\int \dfrac{t}{(t^{2}+2t+2)^{2}}dt=\dfrac15\int(\dfrac{t+1}{(t^{2}+2t+2)^{2}}-\dfrac{1}{(t^{2}+2t+2)^{2}})dt$
|
||||||
|
$I=\dfrac15(I_1-I_2)$
|
||||||
|
|
||||||
|
$u=t^{2}+2t+2;\ du=(2t+2)dt=2(t+1)dt$
|
||||||
|
$I_1=\int \dfrac{t+1}{(t^{2}+2t+2)^{2}}dt=\dfrac12\int \dfrac{du}{u^{2}}=-\dfrac{1}{2u}=-\dfrac{1}{2(t^{2}+2t+2)}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$t^{2}+2t+2=(t+1)^{2}+1$
|
||||||
|
$s=t+1;\ ds=dt$
|
||||||
|
$I_2=\int \dfrac{dt}{(t^{2}+2t+2)^{2}}=\int \dfrac{ds}{(s^{2}+1)^{2}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$(\dfrac{s}{s^{2}+1})'=\dfrac{1-s^{2}}{(s^{2}+1)^{2}}$
|
||||||
|
$\dfrac{1}{(s^{2}+1)^{2}}=\dfrac{1-s^{2}}{(s^{2}+1)^{2}}+\dfrac{s^{2}}{(s^{2}+1)^{2}}=(\dfrac{s}{s^{2}+1})'+(\dfrac{1}{s^{2}+1}-\dfrac{1}{(s^{2}+1)^{2}})$
|
||||||
|
$2\int \dfrac{ds}{(s^{2}+1)^{2}}=\dfrac{s}{s^{2}+1}+\arctan s$
|
||||||
|
$I_2=\dfrac12(\dfrac{s}{s^{2}+1}+\arctan s)=\dfrac12(\dfrac{t+1}{t^{2}+2t+2}+\arctan(t+1))$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\dfrac15(-\dfrac{1}{2(t^{2}+2t+2)}-\dfrac12(\dfrac{t+1}{t^{2}+2t+2}+\arctan(t+1)))+C$
|
||||||
|
$I=-\dfrac{t+2}{10(t^{2}+2t+2)}-\dfrac{1}{10}\arctan(t+1)+C$
|
||||||
|
|
||||||
|
${\,I=-\dfrac{x^{5}+2}{10(x^{10}+2x^{5}+2)}-\dfrac{1}{10}\arctan(x^{5}+1)+C\,}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 66 номер – Д 1913
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int \dfrac{dx}{x(x^{10}+2)}$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int \dfrac{dx}{x(x^{10}+2)}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$t=x^{10};\ dt=10x^{9}dx;\ dx=\dfrac{dt}{10x^{9}}$
|
||||||
|
$I=\int \dfrac{\dfrac{dt}{10x^{9}}}{x(t+2)}=\dfrac{1}{10}\int \dfrac{dt}{x^{10}(t+2)}=\dfrac{1}{10}\int \dfrac{dt}{t(t+2)}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\dfrac{1}{t(t+2)}=\dfrac{A}{t}+\dfrac{B}{t+2}$
|
||||||
|
$1=A(t+2)+Bt=(A+B)t+2A$
|
||||||
|
$A=\dfrac12;\ B=-\dfrac12$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\dfrac{1}{10}\int(\dfrac{1}{2t}-\dfrac{1}{2(t+2)})dt=\dfrac{1}{20}(\ln|t|-\ln|t+2|)+C$
|
||||||
|
|
||||||
|
${\,I=\dfrac{1}{20}\ln|\dfrac{x^{10}}{x^{10}+2}|+C\,}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 67 номер – Д 1915
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int \dfrac{1-x^{7}}{x(1+x^{7})} \, dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int \dfrac{1-x^{7}}{x(1+x^{7})}dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\dfrac{1-x^{7}}{x(1+x^{7})}=\dfrac{1+x^{7}}{x(1+x^{7})}-\dfrac{2x^{7}}{x(1+x^{7})}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{2x^{6}}{1+x^{7}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int \dfrac{dx}{x}-2\int \dfrac{x^{6}}{1+x^{7}}dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
$u=1+x^{7};\ du=7x^{6}dx$
|
||||||
|
$\int \dfrac{x^{6}}{1+x^{7}}dx=\dfrac{1}{7}\int \dfrac{du}{u}=\dfrac{1}{7}\ln|u|$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\ln|x|-\dfrac{2}{7}\ln|1+x^{7}|+C$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 68 номер – Д 1916
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int \dfrac{x^{4}-1}{x(x^{3}-5)(x^{5}-5x+1)} \, dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int \dfrac{x^{4}-1}{x(x^{3}-5)(x^{5}-5x+1)}dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\dfrac{x^{4}-1}{x(x^{3}-5)(x^{5}-5x+1)}=\dfrac{1}{5x}+\dfrac{187x^{2}+1575x+1250}{7190(x^{3}-5)}-\dfrac{325x^{4}+315x^{3}+250x^{2}+187x-1488}{1438(x^{5}-5x+1)}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=I_1+I_2+I_3$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I_1=\dfrac15\int \dfrac{dx}{x}=\dfrac15\ln|x|$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I_2=\dfrac{1}{7190}\int \dfrac{187x^{2}+1575x+1250}{x^{3}-5}dx=\dfrac{1}{7190}(\dfrac{187}{3}\int \dfrac{3x^{2}}{x^{3}-5}dx+\int \dfrac{1575x+1250}{x^{3}-5}dx)$
|
||||||
|
$u=x^{3}-5;\ du=3x^{2}dx$
|
||||||
|
$\dfrac{187}{3}\int \dfrac{3x^{2}}{x^{3}-5}dx=\dfrac{187}{3}\ln|x^{3}-5|$
|
||||||
|
|
||||||
|
$a=\sqrt[3]{5};\ x^{3}-5=(x-a)(x^{2}+ax+a^{2})$
|
||||||
|
$\dfrac{1575x+1250}{x^{3}-5}=\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{Bx+C}{x^{2}+ax+a^{2}}$
|
||||||
|
$A=\dfrac{1575a+1250}{3a^{2}};\ B=-A;\ C=\dfrac{1575a-2500}{3a}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int \dfrac{A}{x-a}dx=A\ln|x-a|$
|
||||||
|
$\int \dfrac{Bx+C}{x^{2}+ax+a^{2}}dx=\dfrac{B}{2}\ln(x^{2}+ax+a^{2})+(C-\dfrac{Ba}{2})\int \dfrac{dx}{x^{2}+ax+a^{2}}$
|
||||||
|
$x^{2}+ax+a^{2}=(x+\dfrac{a}{2})^{2}+\dfrac{3a^{2}}{4}$
|
||||||
|
$\int \dfrac{dx}{x^{2}+ax+a^{2}}=\dfrac{2}{a\sqrt3}\arctan(\dfrac{2x+a}{a\sqrt3})$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I_2=\dfrac{1}{7190}(\dfrac{187}{3}\ln|x^{3}-5|+A\ln|x-a|+\dfrac{B}{2}\ln(x^{2}+ax+a^{2})+(C-\dfrac{Ba}{2})\dfrac{2}{a\sqrt3}\arctan(\dfrac{2x+a}{a\sqrt3}))$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I_3=-\dfrac{1}{1438}\int \dfrac{325x^{4}+315x^{3}+250x^{2}+187x-1488}{x^{5}-5x+1}dx$
|
||||||
|
$P(x)=x^{5}-5x+1;\ P'(x)=5x^{4}-5$
|
||||||
|
$r_1,\dots,r_5\text{ — корни }P(x)=0$
|
||||||
|
$\dfrac{325x^{4}+315x^{3}+250x^{2}+187x-1488}{P(x)}=\sum\limits_{k=1}^{5}\dfrac{325r_k^{4}+315r_k^{3}+250r_k^{2}+187r_k-1488}{P'(r_k)}\cdot\dfrac{1}{x-r_k}$
|
||||||
|
$I_3=-\dfrac{1}{1438}\sum\limits_{k=1}^{5}\dfrac{325r_k^{4}+315r_k^{3}+250r_k^{2}+187r_k-1488}{5r_k^{4}-5}\ln(x-r_k)$
|
||||||
|
|
||||||
|
${\,I=\dfrac15\ln|x|+I_2+I_3+C\,}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 69 номер – Д 1917
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int \dfrac{x^{2}+1}{x^{4}+x^{2}+1} \, dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int \dfrac{x^{2}+1}{x^{4}+x^{2}+1}dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x^{4}+x^{2}+1=(x^{2}-x+1)(x^{2}+x+1)$
|
||||||
|
$x^{2}+1=\dfrac12[(x^{2}-x+1)+(x^{2}+x+1)]$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\dfrac12\int \dfrac{dx}{x^{2}-x+1}+\dfrac12\int \dfrac{dx}{x^{2}+x+1}=I_1+I_2$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x^{2}-x+1=(x-\dfrac12)^{2}+\dfrac34$
|
||||||
|
$t=x-\dfrac12;\ dt=dx$
|
||||||
|
$I_1=\dfrac12\int \dfrac{dt}{t^{2}+(\frac{\sqrt3}{2})^{2}}=\dfrac{1}{\sqrt3}\arctan(\dfrac{2t}{\sqrt3})=\dfrac{1}{\sqrt3}\arctan(\dfrac{2x-1}{\sqrt3})$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x^{2}+x+1=(x+\dfrac12)^{2}+\dfrac34$
|
||||||
|
$s=x+\dfrac12;\ ds=dx$
|
||||||
|
$I_2=\dfrac12\int \dfrac{ds}{s^{2}+(\frac{\sqrt3}{2})^{2}}=\dfrac{1}{\sqrt3}\arctan(\dfrac{2s}{\sqrt3})=\dfrac{1}{\sqrt3}\arctan(\dfrac{2x+1}{\sqrt3})$
|
||||||
|
|
||||||
|
${\,I=\dfrac{1}{\sqrt3}(\arctan(\dfrac{2x-1}{\sqrt3})+\arctan(\dfrac{2x+1}{\sqrt3}))+C\,}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 70 номер – Д 1921
|
||||||
|
|
||||||
|
да может ну это... ну не надо?
|
||||||
|
|
||||||
|
## 71 номер – Д 1971
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int \dfrac{dx}{\sqrt{ x^{2}+1 }-\sqrt{ x^{2}-1 }}$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$x^2-1\ge0;\ |x|\ge1;$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int \dfrac{dx}{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}}\cdot\dfrac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}=\int \dfrac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}{(x^2+1)-(x^2-1)}dx$
|
||||||
|
$I=\dfrac12\int(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1})dx=\dfrac12\int\sqrt{x^2+1}\,dx+\dfrac12\int\sqrt{x^2-1}\,dx$
|
||||||
|
$I=I_1+I_2$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I_1=\dfrac12\int\sqrt{x^2+1}\,dx;\ \sqrt{x^2+1}=r$
|
||||||
|
$\int r\,dx=\dfrac12(xr+\ln(x+r))$
|
||||||
|
$I_1=\dfrac12\cdot\dfrac12(x\sqrt{x^2+1}+\ln|x+\sqrt{x^2+1}|)=\dfrac14x\sqrt{x^2+1}+\dfrac14\ln|x+\sqrt{x^2+1}|$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I_2=\dfrac12\int\sqrt{x^2-1}\,dx;\ \sqrt{x^2-1}=s$
|
||||||
|
$\int s\,dx=\dfrac12(xs-\ln|x+s|)$
|
||||||
|
$I_2=\dfrac12\cdot\dfrac12(x\sqrt{x^2-1}-\ln|x+\sqrt{x^2-1}|)=\dfrac14x\sqrt{x^2-1}-\dfrac14\ln|x+\sqrt{x^2-1}|$
|
||||||
|
|
||||||
|
${\,I=\dfrac{x}{4}(\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-1})+\dfrac14\ln|\dfrac{x+\sqrt{x^{2}+1}}{x+\sqrt{x^{2}-1}}|+C\,}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 72 номер – Д 1972
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int \dfrac{xdx}{(1-x^{3})\sqrt{ 1-x^{2} }}$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int \dfrac{x}{(1-x^3)\sqrt{1-x^2}}dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\dfrac{1}{1-x^3}=\dfrac{1}{3(1-x)}+\dfrac{x+2}{3(x^2+x+1)}$
|
||||||
|
$I=\dfrac13\int \dfrac{x}{(1-x)\sqrt{1-x^2}}dx+\dfrac13\int \dfrac{x(x+2)}{(x^2+x+1)\sqrt{1-x^2}}dx$
|
||||||
|
$I=I_1+I_2$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x=\cos t;\ dx=-\sin t\,dt;\ \sqrt{1-x^2}=\sin t$
|
||||||
|
$I_1=\dfrac13\int \dfrac{\cos t}{(1-\cos t)\sin t}(-\sin t\,dt)=-\dfrac13\int \dfrac{\cos t}{1-\cos t}dt$
|
||||||
|
$\dfrac{\cos t}{1-\cos t}=-1+\dfrac{1}{1-\cos t}$
|
||||||
|
$I_1=-\dfrac13\int(-1+\dfrac{1}{1-\cos t})dt=\dfrac{t}{3}-\dfrac13\int\dfrac{dt}{1-\cos t}$
|
||||||
|
$1-\cos t=2\sin^2\dfrac{t}{2}$
|
||||||
|
$\int\dfrac{dt}{1-\cos t}=\int\dfrac{dt}{2\sin^2(t/2)}=-\cot\dfrac{t}{2}$
|
||||||
|
$I_1=\dfrac{t}{3}+\dfrac13\cot\dfrac{t}{2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I_2=\dfrac13\int \dfrac{\cos t(\cos t+2)}{(\cos^2t+\cos t+1)\sin t}(-\sin t\,dt)=-\dfrac13\int \dfrac{\cos t(\cos t+2)}{\cos^2t+\cos t+1}dt$
|
||||||
|
$\cos t(\cos t+2)=\cos^2t+2\cos t=(\cos^2t+\cos t+1)+(\cos t-1)$
|
||||||
|
$I_2=-\dfrac13\int(1+\dfrac{\cos t-1}{\cos^2t+\cos t+1})dt=-\dfrac{t}{3}-\dfrac13\int \dfrac{\cos t-1}{\cos^2t+\cos t+1}dt$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=I_1+I_2=\dfrac13\cot\dfrac{t}{2}-\dfrac13\int \dfrac{\cos t-1}{\cos^2t+\cos t+1}dt$
|
||||||
|
|
||||||
|
$u=\tan\dfrac{t}{2};\ dt=\dfrac{2\,du}{1+u^2};\ \cos t=\dfrac{1-u^2}{1+u^2}$
|
||||||
|
$\cos t-1=-\dfrac{2u^2}{1+u^2}$
|
||||||
|
$\cos^2t+\cos t+1=\dfrac{u^4+3}{(1+u^2)^2}$
|
||||||
|
$\dfrac{\cos t-1}{\cos^2t+\cos t+1}dt=-\dfrac{4u^2}{u^4+3}du$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\dfrac13\cot\dfrac{t}{2}+\dfrac{4}{3}\int\dfrac{u^2}{u^4+3}du$
|
||||||
|
|
||||||
|
$p=\sqrt[4]{3}$
|
||||||
|
$u^4+3=u^4+p^4=(u^2-\sqrt2\,pu+\sqrt3)(u^2+\sqrt2\,pu+\sqrt3)$
|
||||||
|
$\dfrac{u^2}{u^4+3}=\dfrac{\sqrt2\,p^3}{12}(\dfrac{u}{u^2-\sqrt2\,pu+\sqrt3}-\dfrac{u}{u^2+\sqrt2\,pu+\sqrt3})$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int\dfrac{u}{u^2+\sqrt2\,pu+\sqrt3}du=\dfrac12\ln(u^2+\sqrt2\,pu+\sqrt3)-\arctan(\dfrac{\sqrt2}{p}u+1)$
|
||||||
|
$\int\dfrac{u}{u^2-\sqrt2\,pu+\sqrt3}du=\dfrac12\ln(u^2-\sqrt2\,pu+\sqrt3)+\arctan(\dfrac{\sqrt2}{p}u-1)$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int\dfrac{u^2}{u^4+3}du=\dfrac{\sqrt2\,p^3}{24}\ln(\dfrac{u^2-\sqrt2\,pu+\sqrt3}{u^2+\sqrt2\,pu+\sqrt3})+\dfrac{\sqrt2\,p^3}{12}(\arctan(\dfrac{\sqrt2}{p}u-1)+\arctan(\dfrac{\sqrt2}{p}u+1))+C$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\sqrt2\,p^3=\dfrac{3\sqrt2}{p}$
|
||||||
|
$I=\dfrac13\cot\dfrac{t}{2}+\dfrac{\sqrt2}{6p}\ln(\dfrac{u^2-\sqrt2\,pu+\sqrt3}{u^2+\sqrt2\,pu+\sqrt3})+\dfrac{\sqrt2}{3p}(\arctan(\dfrac{\sqrt2}{p}u-1)+\arctan(\dfrac{\sqrt2}{p}u+1))+C$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\cot\dfrac{t}{2}=\dfrac{1+\cos t}{\sin t}=\dfrac{1+x}{\sqrt{1-x^2}}$
|
||||||
|
$u=\tan\dfrac{t}{2}=\dfrac{\sin t}{1+\cos t}=\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{1+x}$
|
||||||
|
|
||||||
|
${\,I=\dfrac{1+x}{3\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{\sqrt2}{6\sqrt[4]{3}}\ln(\dfrac{u^2-\sqrt2\sqrt[4]{3}\,u+\sqrt3}{u^2+\sqrt2\sqrt[4]{3}\,u+\sqrt3})+\dfrac{\sqrt2}{3\sqrt[4]{3}}(\arctan(\dfrac{\sqrt2}{\sqrt[4]{3}}u-1)+\arctan(\dfrac{\sqrt2}{\sqrt[4]{3}}u+1))+C\,}$
|
||||||
|
$u=\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{1+x}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 73 номер – Д 1973
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int \dfrac{dx}{\sqrt{ 2 }+\sqrt{ 1-x }+\sqrt{ 1+x }}$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$-1\le x\le1$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int \dfrac{dx}{\sqrt2+\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x=\cos2t;\ dx=-2\sin2t\,dt$
|
||||||
|
$\sqrt{1-x}=\sqrt{1-\cos2t}=\sqrt2\sin t$
|
||||||
|
$\sqrt{1+x}=\sqrt{1+\cos2t}=\sqrt2\cos t$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int \dfrac{-2\sin2t\,dt}{\sqrt2(1+\sin t+\cos t)}=-\sqrt2\int \dfrac{\sin2t}{1+\sin t+\cos t}dt$
|
||||||
|
|
||||||
|
$(\sin t+\cos t)^2=1+2\sin t\cos t=1+\sin2t$
|
||||||
|
$\sin2t=(\sin t+\cos t)^2-1$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\dfrac{\sin2t}{1+\sin t+\cos t}=\dfrac{(\sin t+\cos t)^2-1}{1+\sin t+\cos t}=\sin t+\cos t-1$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=-\sqrt2\int(\sin t+\cos t-1)dt=-\sqrt2(-\cos t+\sin t-t)+C$
|
||||||
|
$I=\sqrt2(\cos t-\sin t+t)+C$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x=\cos2t\ \implies\ t=\dfrac12\arccos x$
|
||||||
|
$\cos t=\sqrt{\dfrac{1+\cos2t}{2}}=\sqrt{\dfrac{1+x}{2}};\ \sin t=\sqrt{\dfrac{1-\cos2t}{2}}=\sqrt{\dfrac{1-x}{2}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
${\,I=\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}+\dfrac{1}{\sqrt2}\arccos x+C\,}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 74 номер – Д 1974
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int \dfrac{x+\sqrt{ 1+x+x^{2} }}{1+x+\sqrt{ 1+x+x^{2} }} \, dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int \dfrac{x+\sqrt{1+x+x^{2}}}{1+x+\sqrt{1+x+x^{2}}}dx$
|
||||||
|
$S=\sqrt{1+x+x^{2}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\dfrac{x+S}{1+x+S}=1-\dfrac{1}{1+x+S}$
|
||||||
|
$I=\int dx-\int\dfrac{dx}{1+x+S}=x-J$
|
||||||
|
|
||||||
|
$J=\int\dfrac{dx}{1+x+S}\cdot\dfrac{1+x-S}{1+x-S}=\int\dfrac{1+x-S}{(1+x)^{2}-S^{2}}dx$
|
||||||
|
$(1+x)^{2}-S^{2}=(1+2x+x^{2})-(1+x+x^{2})=x$
|
||||||
|
$J=\int\dfrac{1+x-S}{x}dx=\int(\dfrac{1}{x}+1-\dfrac{S}{x})dx=\ln|x|+x-K$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=x-(\ln|x|+x-K)=K-\ln|x|$
|
||||||
|
$K=\int\dfrac{S}{x}dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
$S=xt+1;\ x\neq0$
|
||||||
|
$x^{2}+x+1=(xt+1)^{2}=x^{2}t^{2}+2xt+1$
|
||||||
|
$x+1=xt^{2}+2t$
|
||||||
|
$x(1-t^{2})=2t-1$
|
||||||
|
$x=\dfrac{2t-1}{1-t^{2}};\ S=xt+1$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\dfrac{S}{x}=\dfrac{xt+1}{x}=t+\dfrac{1}{x}=t+\dfrac{1-t^{2}}{2t-1}=\dfrac{t^{2}-t+1}{2t-1}$
|
||||||
|
$dx=(\dfrac{2t-1}{1-t^{2}})'dt=\dfrac{2(t^{2}-t+1)}{(t^{2}-1)^{2}}dt$
|
||||||
|
|
||||||
|
$K=\int\dfrac{S}{x}dx=\int\dfrac{t^{2}-t+1}{2t-1}\cdot\dfrac{2(t^{2}-t+1)}{(t^{2}-1)^{2}}dt=\int\dfrac{2(t^{2}-t+1)^{2}}{(2t-1)(t^{2}-1)^{2}}dt$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\dfrac{2(t^{2}-t+1)^{2}}{(2t-1)(t^{2}-1)^{2}}=\dfrac{2}{2t-1}+\dfrac{1}{2(t+1)}-\dfrac{3}{2(t+1)^{2}}-\dfrac{1}{2(t-1)}+\dfrac{1}{2(t-1)^{2}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$K=\int(\dfrac{2}{2t-1}+\dfrac{1}{2(t+1)}-\dfrac{3}{2(t+1)^{2}}-\dfrac{1}{2(t-1)}+\dfrac{1}{2(t-1)^{2}})dt$
|
||||||
|
$K=\ln|2t-1|+\dfrac12\ln|t+1|-\dfrac12\ln|t-1|+\dfrac{3}{2(t+1)}-\dfrac{1}{2(t-1)}+C$
|
||||||
|
|
||||||
|
$t=\dfrac{S-1}{x}=\dfrac{\sqrt{1+x+x^{2}}-1}{x}$
|
||||||
|
$2t-1=\dfrac{2S-x-2}{x}$
|
||||||
|
$t+1=\dfrac{S+x-1}{x}$
|
||||||
|
$t-1=\dfrac{S-x-1}{x}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=K-\ln|x|$
|
||||||
|
$I=\ln|\dfrac{2S-x-2}{x}|+\dfrac12\ln|\dfrac{S+x-1}{S-x-1}|+\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{x}{S+x-1}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{x}{S-x-1}-\ln|x|+C$
|
||||||
|
|
||||||
|
${\,I=\ln|\dfrac{2\sqrt{1+x+x^{2}}-x-2}{x^{2}}|+\dfrac12\ln|\dfrac{\sqrt{1+x+x^{2}}+x-1}{\sqrt{1+x+x^{2}}-x-1}|+\dfrac{3x}{2(\sqrt{1+x+x^{2}}+x-1)}-\dfrac{x}{2(\sqrt{1+x+x^{2}}-x-1)}+C\,}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 75 номер – Д 1975
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int \dfrac{\sqrt{ x(x+1) }}{\sqrt{ x }+\sqrt{ x+1 }} \, dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int \dfrac{\sqrt{x(x+1)}}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}dx=\int \dfrac{\sqrt{x}\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int \dfrac{\sqrt{x}\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\cdot\dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}dx=\int \dfrac{\sqrt{x}\sqrt{x+1}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})}{(\sqrt{x+1})^{2}-(\sqrt{x})^{2}}dx$
|
||||||
|
$I=\int \sqrt{x}\sqrt{x+1}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int(\sqrt{x}(x+1)-x\sqrt{x+1})dx=\int (x+1)\sqrt{x}\,dx-\int x\sqrt{x+1}\,dx$
|
||||||
|
$I=I_1-I_2$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I_1=\int (x+1)\sqrt{x}\,dx=\int (x^{\frac32}+x^{\frac12})dx=\dfrac{2}{5}x^{\frac52}+\dfrac{2}{3}x^{\frac32}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I_2=\int x\sqrt{x+1}\,dx$
|
||||||
|
$t=x+1;\ x=t-1;\ dt=dx$
|
||||||
|
$I_2=\int (t-1)\sqrt{t}\,dt=\int (t^{\frac32}-t^{\frac12})dt=\dfrac{2}{5}t^{\frac52}-\dfrac{2}{3}t^{\frac32}=\dfrac{2}{5}(x+1)^{\frac52}-\dfrac{2}{3}(x+1)^{\frac32}$
|
||||||
|
|
||||||
|
${\,I=\dfrac{2}{5}x^{\frac52}+\dfrac{2}{3}x^{\frac32}-\dfrac{2}{5}(x+1)^{\frac52}+\dfrac{2}{3}(x+1)^{\frac32}+C\,}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 76 номер – Д 2025
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int \dfrac{dx}{2\sin x-\cos x+5}$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int \dfrac{dx}{2\sin x-\cos x+5}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$t=\tan\dfrac{x}{2};\ \sin x=\dfrac{2t}{1+t^2};\ \cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2};\ dx=\dfrac{2dt}{1+t^2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int \dfrac{\dfrac{2dt}{1+t^2}}{2\cdot\dfrac{2t}{1+t^2}-\dfrac{1-t^2}{1+t^2}+5}=\int \dfrac{2dt}{4t-(1-t^2)+5(1+t^2)}=\int \dfrac{2dt}{6t^2+4t+4}=\int \dfrac{dt}{3t^2+2t+2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$3t^2+2t+2=3(t+\dfrac13)^2+\dfrac53$
|
||||||
|
$I=\int \dfrac{dt}{3(t+\dfrac13)^2+\dfrac53}=3\int \dfrac{dt}{9(t+\dfrac13)^2+5}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$u=3t+1;\ du=3dt$
|
||||||
|
$I=\int \dfrac{du}{u^2+5}=\dfrac{1}{\sqrt5}\arctan(\dfrac{u}{\sqrt5})+C=\dfrac{1}{\sqrt5}\arctan(\dfrac{3\tan\frac{x}{2}+1}{\sqrt5})+C$
|
||||||
|
|
||||||
|
${\,I=\dfrac{1}{\sqrt5}\arctan(\dfrac{3\tan\frac{x}{2}+1}{\sqrt5})+C\,}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 77 номер – Д 2026
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int \dfrac{dx}{(2+\cos x)\sin x}$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int \dfrac{dx}{(2+\cos x)\sin x}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$t=\cos x;\ dt=-(\sin x)dx;\ dx=-\dfrac{dt}{\sin x};\ \sin^{2}x=1-\cos^{2}x=1-t^{2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int \dfrac{-\dfrac{dt}{\sin x}}{(2+t)\sin x}=-\int \dfrac{dt}{(t+2)\sin^{2}x}=-\int \dfrac{dt}{(t+2)(1-t^{2})}$
|
||||||
|
$1-t^{2}=(1-t)(1+t)$
|
||||||
|
$I=-\int \dfrac{dt}{(t+2)(1-t)(1+t)}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\dfrac{1}{(t+2)(1-t)(1+t)}=\dfrac{A}{t+2}+\dfrac{B}{1-t}+\dfrac{C}{1+t}$
|
||||||
|
$1=A(1-t)(1+t)+B(t+2)(1+t)+C(t+2)(1-t)$
|
||||||
|
$A=-\dfrac13;\ B=\dfrac16;\ C=\dfrac12$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=-\int(-\dfrac{1}{3(t+2)}+\dfrac{1}{6(1-t)}+\dfrac{1}{2(1+t)})dt$
|
||||||
|
$I=\int(\dfrac{1}{3(t+2)}-\dfrac{1}{6(1-t)}-\dfrac{1}{2(1+t)})dt$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\dfrac13\ln|t+2|+\dfrac16\ln|1-t|-\dfrac12\ln|1+t|+C$
|
||||||
|
|
||||||
|
$t=\cos x$
|
||||||
|
${\,I=\dfrac13\ln|2+\cos x|+\dfrac16\ln|1-\cos x|-\dfrac12\ln|1+\cos x|+C\,}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 78 номер – Д 2027
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int \dfrac{\sin ^{2}x}{\sin x+2\cos x} \, dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int \dfrac{\sin^2x}{\sin x+2\cos x}dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\sin^2x=(\sin x+2\cos x)(\sin x-2\cos x)+4\cos^2x$
|
||||||
|
$\dfrac{\sin^2x}{\sin x+2\cos x}=\sin x-2\cos x+4\cdot\dfrac{\cos^2x}{\sin x+2\cos x}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int(\sin x-2\cos x)dx+4\int\dfrac{\cos^2x}{\sin x+2\cos x}dx$
|
||||||
|
$I=-\cos x-2\sin x+4J$
|
||||||
|
|
||||||
|
$J=\int\dfrac{\cos^2x}{\sin x+2\cos x}dx$
|
||||||
|
$t=\tan\dfrac{x}{2};\ \sin x=\dfrac{2t}{1+t^2};\ \cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2};\ dx=\dfrac{2dt}{1+t^2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$J=\int\dfrac{(\dfrac{1-t^2}{1+t^2})^2}{\dfrac{2t}{1+t^2}+2\cdot\dfrac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot\dfrac{2dt}{1+t^2}=\int\dfrac{(1-t^2)^2}{(1+t^2)^2(1+t-t^2)}dt$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\dfrac{(1-t^2)^2}{(1+t^2)^2(1+t-t^2)}=-\dfrac{4(t-2)}{5(t^2+1)^2}-\dfrac{4}{5(t^2+1)}-\dfrac{1}{5(t^2-t-1)}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$J=-\dfrac45\int\dfrac{t-2}{(t^2+1)^2}dt-\dfrac45\int\dfrac{dt}{t^2+1}-\dfrac15\int\dfrac{dt}{t^2-t-1}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int\dfrac{t-2}{(t^2+1)^2}dt=\int\dfrac{t}{(t^2+1)^2}dt-2\int\dfrac{dt}{(t^2+1)^2}$
|
||||||
|
$u=t^2+1;\ du=2t\,dt$
|
||||||
|
$\int\dfrac{t}{(t^2+1)^2}dt=\dfrac12\int\dfrac{du}{u^2}=-\dfrac{1}{2(t^2+1)}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$(\dfrac{t}{t^2+1})'=\dfrac{1-t^2}{(t^2+1)^2}$
|
||||||
|
$2\int\dfrac{dt}{(t^2+1)^2}=\dfrac{t}{t^2+1}+\int\dfrac{dt}{t^2+1}=\dfrac{t}{t^2+1}+\arctan t$
|
||||||
|
$\int\dfrac{dt}{(t^2+1)^2}=\dfrac12(\dfrac{t}{t^2+1}+\arctan t)$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int\dfrac{t-2}{(t^2+1)^2}dt=-\dfrac{2t+1}{2(t^2+1)}-\arctan t$
|
||||||
|
|
||||||
|
$t^2-t-1=(t-\dfrac12)^2-(\dfrac{\sqrt5}{2})^2$
|
||||||
|
$\int\dfrac{dt}{t^2-t-1}=\dfrac{1}{\sqrt5}\ln|\dfrac{t-\frac12-\frac{\sqrt5}{2}}{t-\frac12+\frac{\sqrt5}{2}}|$
|
||||||
|
|
||||||
|
$J=-\dfrac45(-\dfrac{2t+1}{2(t^2+1)}-\arctan t)-\dfrac45\arctan t-\dfrac{1}{5\sqrt5}\ln|\dfrac{t-\frac12-\frac{\sqrt5}{2}}{t-\frac12+\frac{\sqrt5}{2}}|$
|
||||||
|
$J=\dfrac{4t+2}{5(t^2+1)}+\dfrac{\sqrt5}{25}\ln|\dfrac{2t-1+\sqrt5}{2t-1-\sqrt5}|+C$
|
||||||
|
|
||||||
|
$t=\tan\dfrac{x}{2}$
|
||||||
|
$I=-\dfrac{\cos x+2\sin x}{5}+\dfrac{4\sqrt5}{25}\ln|\dfrac{2\tan\frac{x}{2}-1+\sqrt5}{2\tan\frac{x}{2}-1-\sqrt5}|+C$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 79 номер – Д 2029
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int \dfrac{\sin ^{2}x}{1+\sin ^{2}x} \, dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int \dfrac{\sin^2x}{1+\sin^2x}dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\dfrac{\sin^2x}{1+\sin^2x}=1-\dfrac{1}{1+\sin^2x}$
|
||||||
|
$I=\int dx-\int \dfrac{dx}{1+\sin^2x}=x-J$
|
||||||
|
|
||||||
|
$J=\int \dfrac{dx}{1+\sin^2x}$
|
||||||
|
$t=\tan x;\ dt=(1+t^2)dx;\ dx=\dfrac{dt}{1+t^2}$
|
||||||
|
$\sin^2x=\dfrac{\tan^2x}{1+\tan^2x}=\dfrac{t^2}{1+t^2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$J=\int \dfrac{\dfrac{dt}{1+t^2}}{1+\dfrac{t^2}{1+t^2}}=\int \dfrac{\dfrac{dt}{1+t^2}}{\dfrac{1+2t^2}{1+t^2}}=\int \dfrac{dt}{1+2t^2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$J=\dfrac{1}{\sqrt2}\arctan(\sqrt2\,t)+C=\dfrac{1}{\sqrt2}\arctan(\sqrt2\tan x)+C$
|
||||||
|
|
||||||
|
${\,I=x-\dfrac{1}{\sqrt2}\arctan(\sqrt2\tan x)+C\,}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 80 номер – Д 2030
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int \dfrac{dx}{a^{2}\sin ^{2}x+b^{2}\cos ^{2}x}$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int \dfrac{dx}{a^{2}\sin^{2}x+b^{2}\cos^{2}x}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int \dfrac{dx}{\cos^{2}x(a^{2}\tan^{2}x+b^{2})}=\int \dfrac{\sec^{2}x}{a^{2}\tan^{2}x+b^{2}}dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
$t=\tan x;\ dt=\sec^{2}x\,dx$
|
||||||
|
$I=\int \dfrac{dt}{a^{2}t^{2}+b^{2}}=\dfrac{1}{b^{2}}\int \dfrac{dt}{1+(\dfrac{a}{b})^{2}t^{2}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\dfrac{1}{b^{2}}\cdot\dfrac{b}{a}\arctan(\dfrac{a}{b}t)+C=\dfrac{1}{ab}\arctan(\dfrac{a}{b}\tan x)+C$
|
||||||
|
|
||||||
|
${\,I=\dfrac{1}{ab}\arctan(\dfrac{a\tan x}{b})+C\,}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 81 номер – Д 2031
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int \dfrac{\cos ^{2}xdx}{( a^{2}\sin ^{2} x+b^{2}\cos ^{2} x)^{2}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int \dfrac{\cos ^{2}x}{( a^{2}\sin ^{2} x+b^{2}\cos ^{2} x)^{2}}dx;\ (a\neq0,\ b\neq0)$
|
||||||
|
|
||||||
|
$t=\tan x;\ dt=(\tan x)'dx=\sec^2x\,dx=(1+\tan^2x)dx=(1+t^2)dx;\ dx=\dfrac{dt}{1+t^2};$
|
||||||
|
$\sin^2x=\dfrac{t^2}{1+t^2};\ \cos^2x=\dfrac{1}{1+t^2};$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int \dfrac{\dfrac{1}{1+t^2}\cdot\dfrac{dt}{1+t^2}}{(a^2\dfrac{t^2}{1+t^2}+b^2\dfrac{1}{1+t^2})^2}=\int \dfrac{\dfrac{dt}{(1+t^2)^2}}{(\dfrac{a^2t^2+b^2}{1+t^2})^2}=\int \dfrac{dt}{(a^2t^2+b^2)^2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$u=\dfrac{a}{b}t;\ t=\dfrac{b}{a}u;\ dt=\dfrac{b}{a}du;$
|
||||||
|
$a^2t^2+b^2=b^2(u^2+1);$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int \dfrac{\dfrac{b}{a}du}{(b^2(u^2+1))^2}=\dfrac{1}{ab^3}\int \dfrac{du}{(u^2+1)^2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$(\dfrac{u}{1+u^2})'=\dfrac{1-u^2}{(1+u^2)^2}$
|
||||||
|
$\dfrac{1}{(1+u^2)^2}=\dfrac12(\dfrac{1-u^2}{(1+u^2)^2}+\dfrac{1}{1+u^2})$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int \dfrac{du}{(1+u^2)^2}=\dfrac12\int \dfrac{1-u^2}{(1+u^2)^2}du+\dfrac12\int \dfrac{du}{1+u^2}=\dfrac12\cdot\dfrac{u}{1+u^2}+\dfrac12\arctan u$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\dfrac{1}{ab^3}(\dfrac12\cdot\dfrac{u}{1+u^2}+\dfrac12\arctan u)=\dfrac{1}{2ab^3}(\dfrac{u}{1+u^2}+\arctan u)+C$
|
||||||
|
|
||||||
|
$u=\dfrac{a}{b}\tan x;$
|
||||||
|
$\dfrac{u}{1+u^2}=\dfrac{\frac{a}{b}\tan x}{1+(\frac{a}{b}\tan x)^2}=\dfrac{ab\tan x}{b^2+a^2\tan^2x}=\dfrac{ab\sin x\cos x}{a^2\sin^2x+b^2\cos^2x}$
|
||||||
|
|
||||||
|
${\,I=\dfrac{\sin x\cos x}{2b^{2}(a^{2}\sin ^{2}x+b^{2}\cos ^{2}x)}+\dfrac{1}{2ab^{3}}\arctan(\dfrac{a\tan x}{b})+C\,}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 82 номер – Д 2032
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int \dfrac{\sin x\cos x}{\sin x+\cos x} \, dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\sin x+\cos x\neq0;$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int \dfrac{\sin x\cos x}{\sin x+\cos x}dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
$t=x-\dfrac{\pi}{4};\ x=t+\dfrac{\pi}{4};\ dt=dx$
|
||||||
|
$\sin x=\sin(t+\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sin t+\cos t}{\sqrt2};$
|
||||||
|
$\cos x=\cos(t+\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\cos t-\sin t}{\sqrt2};$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\sin x+\cos x=\dfrac{\sin t+\cos t+\cos t-\sin t}{\sqrt2}=\sqrt2\cos t;$
|
||||||
|
$\sin x\cos x=\dfrac{(\sin t+\cos t)(\cos t-\sin t)}{2}=\dfrac{\cos^2t-\sin^2t}{2}=\dfrac12\cos2t;$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int \dfrac{\frac12\cos2t}{\sqrt2\cos t}dt=\dfrac{1}{2\sqrt2}\int\dfrac{\cos2t}{\cos t}dt$
|
||||||
|
$\cos2t=2\cos^2t-1$
|
||||||
|
$\dfrac{\cos2t}{\cos t}=2\cos t-\sec t$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\dfrac{1}{2\sqrt2}\int(2\cos t-\sec t)dt=\dfrac{1}{\sqrt2}\int\cos t\,dt-\dfrac{1}{2\sqrt2}\int\sec t\,dt$
|
||||||
|
$I=\dfrac{1}{\sqrt2}\sin t-\dfrac{1}{2\sqrt2}\ln|\sec t+\tan t|+C$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\sin t=\sin(x-\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sin x-\cos x}{\sqrt2};$
|
||||||
|
$\sec t+\tan t=\dfrac{1+\sin t}{\cos t};\ \sin t=\dfrac{\sin x-\cos x}{\sqrt2};\ \cos t=\cos(x-\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sin x+\cos x}{\sqrt2};$
|
||||||
|
$\sec t+\tan t=\dfrac{\sqrt2+\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}$
|
||||||
|
|
||||||
|
${\,I=\dfrac{\sin x-\cos x}{2}-\dfrac{1}{2\sqrt2}\ln|\dfrac{\sqrt2+\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}|+C\,}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 83 номер – Д 2033
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int \dfrac{dx}{(a\sin x+b\cos x)^{2}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$a^{2}+b^{2}\neq0;\ a\sin x+b\cos x\neq0;$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int \dfrac{dx}{(a\sin x+b\cos x)^{2}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$u=a\sin x+b\cos x;\ u'=a\cos x-b\sin x$
|
||||||
|
$v=a\cos x-b\sin x;\ v'=-a\sin x-b\cos x=-u$
|
||||||
|
|
||||||
|
$(\dfrac{v}{u})'=\dfrac{v'u-vu'}{u^{2}}=\dfrac{(-u)u-v^{2}}{u^{2}}=-\dfrac{u^{2}+v^{2}}{u^{2}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$u^{2}+v^{2}=(a\sin x+b\cos x)^{2}+(a\cos x-b\sin x)^{2}=a^{2}+b^{2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$(\dfrac{v}{u})'=-\dfrac{a^{2}+b^{2}}{(a\sin x+b\cos x)^{2}}$
|
||||||
|
$\dfrac{1}{(a\sin x+b\cos x)^{2}}=-\dfrac{1}{a^{2}+b^{2}}(\dfrac{v}{u})'$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=-\dfrac{1}{a^{2}+b^{2}}\int(\dfrac{v}{u})'dx=-\dfrac{1}{a^{2}+b^{2}}\cdot\dfrac{v}{u}+C$
|
||||||
|
|
||||||
|
${\,I=-\dfrac{a\cos x-b\sin x}{(a^{2}+b^{2})(a\sin x+b\cos x)}+C\,}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 84 номер – Д 2072
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int x^{7}e^{ -x^{2} } \, dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int x^{7}e^{-x^{2}}dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
$t=x^{2};\ dt=2x\,dx;\ x^{7}dx=x^{6}\cdot x\,dx=(x^{2})^{3}\cdot x\,dx=t^{3}\cdot\dfrac12dt$
|
||||||
|
$I=\dfrac12\int t^{3}e^{-t}dt$
|
||||||
|
|
||||||
|
$J=\int t^{3}e^{-t}dt;\ J=\int u\,dv;\ u=t^{3};\ dv=e^{-t}dt$
|
||||||
|
$du=3t^{2}dt;\ v=-e^{-t}$
|
||||||
|
$J=uv-\int v\,du=-t^{3}e^{-t}+3\int t^{2}e^{-t}dt$
|
||||||
|
|
||||||
|
$J_1=\int t^{2}e^{-t}dt;\ J_1=\int u\,dv;\ u=t^{2};\ dv=e^{-t}dt$
|
||||||
|
$du=2t\,dt;\ v=-e^{-t}$
|
||||||
|
$J_1=-t^{2}e^{-t}+2\int t e^{-t}dt$
|
||||||
|
|
||||||
|
$J_2=\int t e^{-t}dt;\ J_2=\int u\,dv;\ u=t;\ dv=e^{-t}dt$
|
||||||
|
$du=dt;\ v=-e^{-t}$
|
||||||
|
$J_2=-t e^{-t}+\int e^{-t}dt=-t e^{-t}-e^{-t}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$J_1=-t^{2}e^{-t}+2(-t e^{-t}-e^{-t})=-(t^{2}+2t+2)e^{-t}$
|
||||||
|
$J=-t^{3}e^{-t}+3J_1=-t^{3}e^{-t}-3(t^{2}+2t+2)e^{-t}=-(t^{3}+3t^{2}+6t+6)e^{-t}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=-\dfrac12(t^{3}+3t^{2}+6t+6)e^{-t}+C$
|
||||||
|
$t=x^{2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
${\,I=-\dfrac12e^{-x^{2}}(x^{6}+3x^{4}+6x^{2}+6)+C\,}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 85 номер – Д 2073
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int x^{2}e^{ \sqrt{ x } }dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$x\ge0$
|
||||||
|
$I=\int x^{2}e^{\sqrt{x}}dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
$t=\sqrt{x};\ x=t^{2};\ dx=2t\,dt$
|
||||||
|
$I=\int t^{4}e^{t}\cdot2t\,dt=2\int t^{5}e^{t}dt$
|
||||||
|
$I=2J$
|
||||||
|
|
||||||
|
$J=\int t^{5}e^{t}dt;\ J=\int u\,dv;\ u=t^{5};\ dv=e^{t}dt$
|
||||||
|
$du=5t^{4}dt;\ v=e^{t}$
|
||||||
|
$J=t^{5}e^{t}-5\int t^{4}e^{t}dt=t^{5}e^{t}-5J_{1}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$J_{1}=\int t^{4}e^{t}dt=t^{4}e^{t}-4\int t^{3}e^{t}dt=t^{4}e^{t}-4J_{2}$
|
||||||
|
$J_{2}=\int t^{3}e^{t}dt=t^{3}e^{t}-3\int t^{2}e^{t}dt=t^{3}e^{t}-3J_{3}$
|
||||||
|
$J_{3}=\int t^{2}e^{t}dt=t^{2}e^{t}-2\int te^{t}dt=t^{2}e^{t}-2J_{4}$
|
||||||
|
$J_{4}=\int te^{t}dt=te^{t}-\int e^{t}dt=te^{t}-e^{t}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$J_{3}=t^{2}e^{t}-2(te^{t}-e^{t})=e^{t}(t^{2}-2t+2)$
|
||||||
|
$J_{2}=t^{3}e^{t}-3e^{t}(t^{2}-2t+2)=e^{t}(t^{3}-3t^{2}+6t-6)$
|
||||||
|
$J_{1}=t^{4}e^{t}-4e^{t}(t^{3}-3t^{2}+6t-6)=e^{t}(t^{4}-4t^{3}+12t^{2}-24t+24)$
|
||||||
|
$J=t^{5}e^{t}-5e^{t}(t^{4}-4t^{3}+12t^{2}-24t+24)=e^{t}(t^{5}-5t^{4}+20t^{3}-60t^{2}+120t-120)$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=2e^{t}(t^{5}-5t^{4}+20t^{3}-60t^{2}+120t-120)+C$
|
||||||
|
$t=\sqrt{x}$
|
||||||
|
|
||||||
|
${\,I=2e^{\sqrt{x}}(x^{2}\sqrt{x}-5x^{2}+20x\sqrt{x}-60x+120\sqrt{x}-120)+C\,}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 86 номер – Д 2074
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int e^{ ax }\cos ^{2}bx \, dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int e^{ax}\cos^{2}(bx)\,dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\cos^{2}(bx)=\dfrac{1+\cos(2bx)}{2}$
|
||||||
|
$I=\dfrac12\int e^{ax}dx+\dfrac12\int e^{ax}\cos(2bx)\,dx$
|
||||||
|
$I=I_1+I_2$
|
||||||
|
|
||||||
|
$a\neq0;$
|
||||||
|
$I_1=\dfrac12\int e^{ax}dx=\dfrac12\cdot\dfrac{e^{ax}}{a}=\dfrac{e^{ax}}{2a}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I_2=\dfrac12\int e^{ax}\cos(2bx)\,dx$
|
||||||
|
$\int e^{ax}\cos(kx)\,dx=\dfrac{e^{ax}}{a^{2}+k^{2}}(a\cos(kx)+k\sin(kx))$
|
||||||
|
$k=2b$
|
||||||
|
$I_2=\dfrac12\cdot\dfrac{e^{ax}}{a^{2}+4b^{2}}(a\cos(2bx)+2b\sin(2bx))$
|
||||||
|
|
||||||
|
${\,I=\dfrac{e^{ax}}{2a}+\dfrac{e^{ax}}{2(a^{2}+4b^{2})}(a\cos(2bx)+2b\sin(2bx))+C\,}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$a=0;$
|
||||||
|
$I=\int \cos^{2}(bx)\,dx=\int\dfrac{1+\cos(2bx)}{2}dx=\dfrac{x}{2}+\dfrac{\sin(2bx)}{4b}+C;\ (b\neq0)$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 87 номер – Д 2075
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int e^{ ax }\sin ^{3}bx \, dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int e^{ax}\sin^{3}(bx)\,dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\sin 3u=3\sin u-4\sin^{3}u$
|
||||||
|
$\sin^{3}u=\dfrac{3\sin u-\sin 3u}{4}$
|
||||||
|
$u=bx$
|
||||||
|
$\sin^{3}(bx)=\dfrac{3\sin(bx)-\sin(3bx)}{4}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\dfrac14\int e^{ax}(3\sin(bx)-\sin(3bx))dx=\dfrac34\int e^{ax}\sin(bx)dx-\dfrac14\int e^{ax}\sin(3bx)dx$
|
||||||
|
$I=\dfrac34 I_1-\dfrac14 I_2$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int e^{ax}\sin(kx)\,dx=\dfrac{e^{ax}}{a^{2}+k^{2}}(a\sin(kx)-k\cos(kx))+C$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I_1=\int e^{ax}\sin(bx)\,dx=\dfrac{e^{ax}}{a^{2}+b^{2}}(a\sin(bx)-b\cos(bx))$
|
||||||
|
$I_2=\int e^{ax}\sin(3bx)\,dx=\dfrac{e^{ax}}{a^{2}+9b^{2}}(a\sin(3bx)-3b\cos(3bx))$
|
||||||
|
|
||||||
|
${\,I=\dfrac{e^{ax}}{4}(\dfrac{3(a\sin bx-b\cos bx)}{a^{2}+b^{2}}-\dfrac{a\sin 3bx-3b\cos 3bx}{a^{2}+9b^{2}})+C\,}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 88 номер – Д 2076
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int xe^{ x }\sin x \, dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int xe^{x}\sin x\,dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int u\,dv;\ \int u\,dv=uv-\int v\,du$
|
||||||
|
$u=x;\ du=dx$
|
||||||
|
$dv=e^{x}\sin x\,dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
$v=\int e^{x}\sin x\,dx=\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=x\cdot\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)-\int\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)\,dx$
|
||||||
|
$I=\dfrac{x e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)-\dfrac12\int e^{x}\sin x\,dx+\dfrac12\int e^{x}\cos x\,dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int e^{x}\sin x\,dx=\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)$
|
||||||
|
$\int e^{x}\cos x\,dx=\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x+\cos x)$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\dfrac{x e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)-\dfrac12\cdot\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)+\dfrac12\cdot\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x+\cos x)+C$
|
||||||
|
$I=\dfrac{x e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)+\dfrac{e^{x}}{2}\cos x+C$
|
||||||
|
|
||||||
|
${\,I=\dfrac{e^{x}}{2}(x\sin x+(1-x)\cos x)+C\,}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 89 номер – Д 2077
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int x^{2}e^{ x }\cos x \, dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int x^{2}e^{x}\cos x\,dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int u\,dv;\ \int u\,dv=uv-\int v\,du$
|
||||||
|
$u=x^{2};\ du=2x\,dx$
|
||||||
|
$dv=e^{x}\cos x\,dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
$v=\int e^{x}\cos x\,dx=\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x+\cos x)$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\dfrac{x^{2}e^{x}}{2}(\sin x+\cos x)-\int x e^{x}(\sin x+\cos x)\,dx$
|
||||||
|
$I=\dfrac{x^{2}e^{x}}{2}(\sin x+\cos x)-J$
|
||||||
|
|
||||||
|
$J=\int x e^{x}(\sin x+\cos x)\,dx=\int x e^{x}\sin x\,dx+\int x e^{x}\cos x\,dx$
|
||||||
|
$J=J_{1}+J_{2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$J_{1}=\int x e^{x}\sin x\,dx$
|
||||||
|
$J_{1}=\int u\,dv;\ u=x;\ du=dx;\ dv=e^{x}\sin x\,dx$
|
||||||
|
$\int e^{x}\sin x\,dx=\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)$
|
||||||
|
$J_{1}=x\cdot\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)-\int\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)\,dx$
|
||||||
|
$\int e^{x}\sin x\,dx=\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x);\ \int e^{x}\cos x\,dx=\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x+\cos x)$
|
||||||
|
$J_{1}=\dfrac{x e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)-\dfrac12\cdot\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)+\dfrac12\cdot\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x+\cos x)$
|
||||||
|
$J_{1}=\dfrac{e^{x}}{2}(x\sin x+(1-x)\cos x)$
|
||||||
|
|
||||||
|
$J_{2}=\int x e^{x}\cos x\,dx$
|
||||||
|
$J_{2}=\int u\,dv;\ u=x;\ du=dx;\ dv=e^{x}\cos x\,dx$
|
||||||
|
$J_{2}=x\cdot\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x+\cos x)-\int\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x+\cos x)\,dx$
|
||||||
|
$\int e^{x}(\sin x+\cos x)\,dx=\int e^{x}\sin x\,dx+\int e^{x}\cos x\,dx=e^{x}\sin x$
|
||||||
|
$J_{2}=\dfrac{x e^{x}}{2}(\sin x+\cos x)-\dfrac{e^{x}}{2}\sin x$
|
||||||
|
|
||||||
|
$J=\dfrac{e^{x}}{2}(x\sin x+(1-x)\cos x)+\dfrac{e^{x}}{2}(x(\sin x+\cos x)-\sin x)=\dfrac{e^{x}}{2}((2x-1)\sin x+\cos x)$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\dfrac{x^{2}e^{x}}{2}(\sin x+\cos x)-\dfrac{e^{x}}{2}((2x-1)\sin x+\cos x)+C$
|
||||||
|
|
||||||
|
${\,I=\dfrac{e^{x}}{2}((x-1)^{2}\sin x+(x^{2}-1)\cos x)+C\,}$
|
||||||
454
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/modules/8 MODULE.md
Normal file
454
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/modules/8 MODULE.md
Normal file
@@ -0,0 +1,454 @@
|
|||||||
|
## 11 номер – Д 2239
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int_{0}^{\ln2} xe^{ -x } \, dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int_{0}^{\ln2} xe^{-x}dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int u\,dv;\ \int u\,dv=uv-\int v\,du$
|
||||||
|
$u=x;\ du=dx$
|
||||||
|
$dv=e^{-x}dx;\ v=-e^{-x}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=.x(-e^{-x})|_{0}^{\ln2}-\int_{0}^{\ln2}(-e^{-x})dx=.-xe^{-x}|_{0}^{\ln2}+\int_{0}^{\ln2}e^{-x}dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int e^{-x}dx=-e^{-x}$
|
||||||
|
$I=.-xe^{-x}|_{0}^{\ln2}+.-e^{-x}|_{0}^{\ln2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$e^{-\ln2}=\dfrac12$
|
||||||
|
$I=-(\ln2)\cdot\dfrac12- \dfrac12- (0\cdot1-1)=-\dfrac{\ln2}{2}-\dfrac12+1=\dfrac12-\dfrac{\ln2}{2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 13 номер – Д 2241
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int_{0}^{2\pi} x^{2}\cos x \, dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int_{0}^{2\pi} x^{2}\cos x\,dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int u\,dv;\ \int u\,dv=uv-\int v\,du$
|
||||||
|
$u=x^{2};\ du=2x\,dx$
|
||||||
|
$dv=\cos x\,dx;\ v=\sin x$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=.x^{2}\sin x|_{0}^{2\pi}-\int_{0}^{2\pi}2x\sin x\,dx=-2\int_{0}^{2\pi}x\sin x\,dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
$J=\int_{0}^{2\pi}x\sin x\,dx$
|
||||||
|
$J=\int u\,dv;\ \int u\,dv=uv-\int v\,du$
|
||||||
|
$u=x;\ du=dx$
|
||||||
|
$dv=\sin x\,dx;\ v=-\cos x$
|
||||||
|
|
||||||
|
$J=.-x\cos x|_{0}^{2\pi}+\int_{0}^{2\pi}\cos x\,dx=.-x\cos x|_{0}^{2\pi}+.\sin x|_{0}^{2\pi}$
|
||||||
|
$J=-2\pi\cdot1+0-0=-2\pi$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=-2J=-2(-2\pi)=4\pi$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 15 номер – Д 2244
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int_{0}^{\sqrt{ 3 }} x\ \text{arccot} x\, dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int_{0}^{\sqrt3}x\,\text{arccot}\,x\,dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int u\,dv;\ \int u\,dv=uv-\int v\,du$
|
||||||
|
$u=\text{arccot}\,x;\ du=-\dfrac{1}{1+x^{2}}dx$
|
||||||
|
$dv=x\,dx;\ v=\dfrac{x^{2}}{2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=.\dfrac{x^{2}}{2}\text{arccot}\,x|_{0}^{\sqrt3}-\int_{0}^{\sqrt3}\dfrac{x^{2}}{2}(-\dfrac{1}{1+x^{2}})dx=.\dfrac{x^{2}}{2}\text{arccot}\,x|_{0}^{\sqrt3}+\dfrac12\int_{0}^{\sqrt3}\dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}=1-\dfrac{1}{1+x^{2}}$
|
||||||
|
$I=.\dfrac{x^{2}}{2}\text{arccot}\,x|_{0}^{\sqrt3}+\dfrac12\int_{0}^{\sqrt3}(1-\dfrac{1}{1+x^{2}})dx$
|
||||||
|
$\int \dfrac{dx}{1+x^{2}}=\arctan x$
|
||||||
|
$I=.\dfrac{x^{2}}{2}\text{arccot}\,x|_{0}^{\sqrt3}+\dfrac12.(x-\arctan x)|_{0}^{\sqrt3}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{arccot}\sqrt3=\dfrac{\pi}{6};\ \arctan\sqrt3=\dfrac{\pi}{3}$
|
||||||
|
$I=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{\pi}{6}+\dfrac12(\sqrt3-\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\pi}{12}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 17 номер – Д 2246
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int_{0}^{a} x^{2}\sqrt{ a^{2}-x^{2} } \, dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$a>0$
|
||||||
|
$I=\int_{0}^{a} x^{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}}\,dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x=a\sin t;\ dx=a\cos t\,dt;\ \sqrt{a^{2}-x^{2}}=a\cos t$
|
||||||
|
$x=0\implies t=0;\ x=a\implies t=\dfrac{\pi}{2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int_{0}^{\pi/2}(a^{2}\sin^{2}t)\cdot(a\cos t)\cdot(a\cos t)\,dt=a^{4}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}t\cos^{2}t\,dt$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\sin^{2}t\cos^{2}t=\dfrac14\sin^{2}2t;\ \sin^{2}2t=\dfrac{1-\cos4t}{2}$
|
||||||
|
$I=a^{4}\int_{0}^{\pi/2}\dfrac18(1-\cos4t)\,dt=\dfrac{a^{4}}{8}(t-\dfrac{\sin4t}{4})\Big|_{0}^{\pi/2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\dfrac{a^{4}}{8}(\dfrac{\pi}{2}-0)=\dfrac{\pi a^{4}}{16}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 19 номер – Д 2248
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int_{0}^{\ln 2} \sqrt{ e^{ x }-1 } \, dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int_{0}^{\ln2}\sqrt{e^{x}-1}\,dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
$t=e^{x};\ dt=e^{x}dx;\ dx=\dfrac{dt}{t}$
|
||||||
|
$x=0\implies t=1;\ x=\ln2\implies t=2$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int_{1}^{2}\dfrac{\sqrt{t-1}}{t}\,dt$
|
||||||
|
|
||||||
|
$u=\sqrt{t-1};\ t=u^{2}+1;\ dt=2u\,du$
|
||||||
|
$t=1\implies u=0;\ t=2\implies u=1$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int_{0}^{1}\dfrac{u}{u^{2}+1}\cdot2u\,du=2\int_{0}^{1}\dfrac{u^{2}}{u^{2}+1}\,du$
|
||||||
|
$\dfrac{u^{2}}{u^{2}+1}=1-\dfrac{1}{u^{2}+1}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=2\int_{0}^{1}(1-\dfrac{1}{u^{2}+1})du=2(u-\arctan u)\Big|_{0}^{1}$
|
||||||
|
$I=2(1-\dfrac{\pi}{4})=2-\dfrac{\pi}{2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 21 номер – Д 2269
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int_{-1}^{1} \dfrac{xdx}{x^{2}+x+1}$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int_{-1}^{1}\dfrac{x}{x^{2}+x+1}dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x=\dfrac12(2x+1)-\dfrac12$
|
||||||
|
$I=\dfrac12\int_{-1}^{1}\dfrac{2x+1}{x^{2}+x+1}dx-\dfrac12\int_{-1}^{1}\dfrac{dx}{x^{2}+x+1}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I_1=\dfrac12\int_{-1}^{1}\dfrac{2x+1}{x^{2}+x+1}dx=\dfrac12.\ln(x^{2}+x+1)|_{-1}^{1}=\dfrac12(\ln3-\ln1)=\dfrac12\ln3$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x^{2}+x+1=(x+\dfrac12)^{2}+\dfrac34$
|
||||||
|
$I_2=-\dfrac12\int_{-1}^{1}\dfrac{dx}{(x+\dfrac12)^{2}+(\dfrac{\sqrt3}{2})^{2}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int\dfrac{dx}{(x-a)^{2}+b^{2}}=\dfrac{1}{b}\arctan\dfrac{x-a}{b}$
|
||||||
|
$I_2=-\dfrac12\cdot\dfrac{2}{\sqrt3}.\arctan(\dfrac{x+\frac12}{\frac{\sqrt3}{2}})|_{-1}^{1}=-\dfrac{1}{\sqrt3}.\arctan(\dfrac{2x+1}{\sqrt3})|_{-1}^{1}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\arctan\dfrac{3}{\sqrt3}=\arctan\sqrt3=\dfrac{\pi}{3};\ \arctan\dfrac{-1}{\sqrt3}=-\dfrac{\pi}{6}$
|
||||||
|
$I_2=-\dfrac{1}{\sqrt3}(\dfrac{\pi}{3}-(-\dfrac{\pi}{6}))=-\dfrac{1}{\sqrt3}\cdot\dfrac{\pi}{2}=-\dfrac{\pi}{2\sqrt3}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=I_1+I_2=\dfrac12\ln3-\dfrac{\pi}{2\sqrt3}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 23 номер – Д 2271
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int_{1}^{9} x\sqrt[ 3 ]{ 1-x } \, dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int_{1}^{9}x\sqrt[3]{1-x}\,dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
$t=1-x;\ dt=-dx;\ x=1-t$
|
||||||
|
$x=1; t=0;\ x=9; t=-8$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int_{0}^{-8}(1-t)t^{\frac13}(-dt)=\int_{-8}^{0}(1-t)t^{\frac13}dt=\int_{-8}^{0}(t^{\frac13}-t^{\frac43})dt$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=.(\dfrac{3}{4}t^{\frac43}-\dfrac{3}{7}t^{\frac73})|_{-8}^{0}=-(\dfrac{3}{4}(-8)^{\frac43}-\dfrac{3}{7}(-8)^{\frac73})$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\sqrt[3]{-8}=-2;\ (-8)^{\frac43}=(\sqrt[3]{-8})^{4}=(-2)^{4}=16;\ (-8)^{\frac73}=(\sqrt[3]{-8})^{7}=(-2)^{7}=-128$
|
||||||
|
$I=-(\dfrac{3}{4}\cdot16-\dfrac{3}{7}\cdot(-128))=-(12+\dfrac{384}{7})=-\dfrac{468}{7}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 25 номер – Д 2273
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int_{0}^{1} x^{15} \, \sqrt{ 1+3x^{8} } \, dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int_{0}^{1}x^{15}\sqrt{1+3x^{8}}dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
$u=1+3x^{8};\ du=24x^{7}dx;\ x^{7}dx=\dfrac{1}{24}du$
|
||||||
|
$x^{15}dx=x^{8}\cdot x^{7}dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x=0;\ u=1$
|
||||||
|
$x=1;\ u=4$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x^{8}=\dfrac{u-1}{3}$
|
||||||
|
$I=\int_{1}^{4}\dfrac{u-1}{3}\cdot\sqrt{u}\cdot\dfrac{1}{24}du=\dfrac{1}{72}\int_{1}^{4}(u-1)u^{\frac12}du=\dfrac{1}{72}\int_{1}^{4}(u^{\frac32}-u^{\frac12})du$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\dfrac{1}{72}(\dfrac{2}{5}u^{\frac52}-\dfrac{2}{3}u^{\frac32})\Big|_{1}^{4}=\dfrac{1}{72}(\dfrac{2}{5}(4^{\frac52}-1)-\dfrac{2}{3}(4^{\frac32}-1))$
|
||||||
|
$4^{\frac52}=32;\ 4^{\frac32}=8$
|
||||||
|
$I=\dfrac{1}{72}(\dfrac{2}{5}\cdot31-\dfrac{2}{3}\cdot7)=\dfrac{1}{72}(\dfrac{62}{5}-\dfrac{14}{3})=\dfrac{1}{72}\cdot\dfrac{116}{15}=\dfrac{29}{270}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 27 номер – Д 2275
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int_{0}^{2\pi} \dfrac{dx}{(2+\cos x)(3+\cos x)}$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int_{0}^{2\pi}\dfrac{dx}{(2+\cos x)(3+\cos x)}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\dfrac{1}{(2+\cos x)(3+\cos x)}=\dfrac{1}{2+\cos x}-\dfrac{1}{3+\cos x}$
|
||||||
|
$I=I_1-I_2$
|
||||||
|
$I_1=\int_{0}^{2\pi}\dfrac{dx}{2+\cos x}$
|
||||||
|
$I_2=\int_{0}^{2\pi}\dfrac{dx}{3+\cos x}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\cos(\pi+t)=-\cos t$
|
||||||
|
$\int_{0}^{2\pi}\dfrac{dx}{a+\cos x}=2\int_{0}^{\pi}\dfrac{dx}{a+\cos x}\ (a>1)$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I_1=2\int_{0}^{\pi}\dfrac{dx}{2+\cos x}$
|
||||||
|
$t=\tan\dfrac{x}{2}$
|
||||||
|
$\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$
|
||||||
|
$dx=\dfrac{2dt}{1+t^2}$
|
||||||
|
$x:0\to\pi;\ t:0\to+\infty$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I_1=2\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\frac{2dt}{1+t^2}}{2+\frac{1-t^2}{1+t^2}}=2\int_{0}^{+\infty}\dfrac{2dt}{3+t^2}=4\int_{0}^{+\infty}\dfrac{dt}{t^2+3}$
|
||||||
|
$\int\dfrac{dt}{t^2+a^2}=\dfrac{1}{a}\arctan\dfrac{t}{a}$
|
||||||
|
$I_1=4\cdot\dfrac{1}{\sqrt3}\arctan\dfrac{t}{\sqrt3}\Big|_{0}^{+\infty}=4\cdot\dfrac{1}{\sqrt3}(\dfrac{\pi}{2}-0)=\dfrac{2\pi}{\sqrt3}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I_2=2\int_{0}^{\pi}\dfrac{dx}{3+\cos x}$
|
||||||
|
$t=\tan\dfrac{x}{2}$
|
||||||
|
$\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$
|
||||||
|
$dx=\dfrac{2dt}{1+t^2}$
|
||||||
|
$x:0\to\pi;\ t:0\to+\infty$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I_2=2\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\frac{2dt}{1+t^2}}{3+\frac{1-t^2}{1+t^2}}=2\int_{0}^{+\infty}\dfrac{2dt}{4+2t^2}=2\int_{0}^{+\infty}\dfrac{dt}{t^2+2}$
|
||||||
|
$I_2=2\cdot\dfrac{1}{\sqrt2}\arctan\dfrac{t}{\sqrt2}\Big|_{0}^{+\infty}=2\cdot\dfrac{1}{\sqrt2}(\dfrac{\pi}{2}-0)=\dfrac{\pi}{\sqrt2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\dfrac{2\pi}{\sqrt3}-\dfrac{\pi}{\sqrt2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 29 номер – Д 2278
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$\int_{0}^{\pi} (x\sin x)^{2} \, dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\int_{0}^{\pi}(x\sin x)^2dx=\int_{0}^{\pi}x^{2}\sin^{2}x\,dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\sin^{2}x=\dfrac{1-\cos2x}{2}$
|
||||||
|
$I=\dfrac12\int_{0}^{\pi}x^{2}dx-\dfrac12\int_{0}^{\pi}x^{2}\cos2x\,dx$
|
||||||
|
$I=\dfrac12.\dfrac{x^{3}}{3}|_{0}^{\pi}-\dfrac12J=\dfrac{\pi^{3}}{6}-\dfrac12J$
|
||||||
|
|
||||||
|
$J=\int_{0}^{\pi}x^{2}\cos2x\,dx$
|
||||||
|
$J=\int u\,dv;\ \int u\,dv=uv-\int v\,du$
|
||||||
|
$u=x^{2};\ du=2x\,dx$
|
||||||
|
$dv=\cos2x\,dx;\ v=\dfrac12\sin2x$
|
||||||
|
|
||||||
|
$J=.\dfrac{x^{2}}{2}\sin2x|_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi}x\sin2x\,dx=-K$
|
||||||
|
|
||||||
|
$K=\int_{0}^{\pi}x\sin2x\,dx$
|
||||||
|
$K=\int u\,dv;\ \int u\,dv=uv-\int v\,du$
|
||||||
|
$u=x;\ du=dx$
|
||||||
|
$dv=\sin2x\,dx;\ v=-\dfrac12\cos2x$
|
||||||
|
|
||||||
|
$K=.-\dfrac{x}{2}\cos2x|_{0}^{\pi}+\dfrac12\int_{0}^{\pi}\cos2x\,dx$
|
||||||
|
$\int\cos2x\,dx=\dfrac12\sin2x$
|
||||||
|
$K=-\dfrac{\pi}{2}\cdot1+\dfrac12.\dfrac12\sin2x|_{0}^{\pi}=-\dfrac{\pi}{2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$J=-K=\dfrac{\pi}{2}$
|
||||||
|
$I=\dfrac{\pi^{3}}{6}-\dfrac12\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi^{3}}{6}-\dfrac{\pi}{4}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 40 номер – Д 2395
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
$v.p. \int_{-\infty}^{+\infty} \text{arccot}x \, dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\text{v.p.}\int_{-\infty}^{+\infty}\text{arccot}\,x\,dx=\lim_{A\to+\infty}\int_{-A}^{A}\text{arccot}\,x\,dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\text{arccot}\,x=\dfrac{\pi}{2}-\arctan x$
|
||||||
|
$I(A)=\int_{-A}^{A}(\dfrac{\pi}{2}-\arctan x)dx=\dfrac{\pi}{2}\int_{-A}^{A}dx-\int_{-A}^{A}\arctan x\,dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\arctan x\ \text{нечётная}$
|
||||||
|
$\int_{-A}^{A}\arctan x\,dx=0$
|
||||||
|
$I(A)=\dfrac{\pi}{2}\cdot2A=\pi A$
|
||||||
|
|
||||||
|
$I=\lim_{A\to+\infty}\pi A=+\infty$
|
||||||
|
$\text{v.p. интеграл расходится увы}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 42 номер – Д 2398
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
Площадь
|
||||||
|
$y=x^{2};x+y=2$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=x^2;\ y=2-x$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x^2=2-x$
|
||||||
|
$x^2+x-2=0$
|
||||||
|
$(x+2)(x-1)=0$
|
||||||
|
$x_1=-2;\ x_2=1$
|
||||||
|
|
||||||
|
$S=\int_{-2}^{1}\big((2-x)-x^2\big)\,dx=\int_{-2}^{1}(2-x-x^2)\,dx$
|
||||||
|
$S=(2x-\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3})\Big|_{-2}^{1}$
|
||||||
|
$S=(2-\dfrac12-\dfrac13)-(-4-\dfrac{4}{2}+\dfrac{8}{3})=\dfrac{7}{6}+\dfrac{10}{3}=\dfrac{9}{2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 44 номер – Д 2400
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
Площадь
|
||||||
|
$y=|lg x|; y=0;x=0,1;x=10;$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$S=\int_{0,1}^{10}|lg x|\,dx$
|
||||||
|
$lg x<0\ (0<x<1);\ lg x>0\ (x>1)$
|
||||||
|
$S=\int_{0,1}^{1}(-lg x)\,dx+\int_{1}^{10}lg x\,dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
$lg x=\dfrac{\ln x}{\ln 10}$
|
||||||
|
$\int lg x\,dx=\dfrac{1}{\ln 10}\int \ln x\,dx=\dfrac{1}{\ln 10}(x\ln x-x)$
|
||||||
|
|
||||||
|
$S_2=\int_{1}^{10}lg x\,dx=\dfrac{1}{\ln 10}(x\ln x-x)\Big|_{1}^{10}=10-\dfrac{9}{\ln 10}$
|
||||||
|
$S_1=\int_{0,1}^{1}(-lg x)\,dx=-\dfrac{1}{\ln 10}(x\ln x-x)\Big|_{0,1}^{1}=-(-\dfrac{1}{\ln 10}+0,1+\dfrac{0,1}{\ln 10})=-0,1+\dfrac{0,9}{\ln 10}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$S=S_1+S_2=9,9-\dfrac{8,1}{\ln 10}=\dfrac{99}{10}-\dfrac{81}{10\ln 10}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 46 номер – Д 2414
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
Площадь
|
||||||
|
$x=2t-t^{2};y=2t^{2}-t^{3};$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$x=t(2-t);\ y=t^{2}(2-t)$
|
||||||
|
$t=0;\ x=0;\ y=0$
|
||||||
|
$t=2;\ x=0;\ y=0$
|
||||||
|
|
||||||
|
$S=\dfrac12\int\limits_{0}^{2}(x\dfrac{dy}{dt}-y\dfrac{dx}{dt})dt$
|
||||||
|
|
||||||
|
$y=tx$
|
||||||
|
$\dfrac{dy}{dt}=x+t\dfrac{dx}{dt}$
|
||||||
|
$x\dfrac{dy}{dt}-y\dfrac{dx}{dt}=x(x+t\dfrac{dx}{dt})-tx\dfrac{dx}{dt}=x^{2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$S=\dfrac12\int\limits_{0}^{2}x^{2}dt=\dfrac12\int\limits_{0}^{2}(t(2-t))^{2}dt=\dfrac12\int\limits_{0}^{2}(4t^{2}-4t^{3}+t^{4})dt$
|
||||||
|
$S=\dfrac12(\dfrac{4}{3}t^{3}-t^{4}+\dfrac{1}{5}t^{5})\Big|_{0}^{2}=\dfrac12(\dfrac{32}{3}-16+\dfrac{32}{5})=\dfrac12\cdot\dfrac{16}{15}=\dfrac{8}{15}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 48 номер – Д 2418
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
Площадь
|
||||||
|
$r^{2}=a^{2}\cos 2\phi \, (лемниската)$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$r^{2}=a^{2}\cos2\phi$
|
||||||
|
$\cos2\phi\ge0;\ \phi\in[-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{4}] \ \text{(одна петля)}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$S_1=\dfrac12\int\limits_{-\pi/4}^{\pi/4}r^{2}d\phi=\dfrac12\int\limits_{-\pi/4}^{\pi/4}a^{2}\cos2\phi\,d\phi$
|
||||||
|
$S_1=\dfrac{a^{2}}{2}\cdot\dfrac12\sin2\phi\Big|_{-\pi/4}^{\pi/4}=\dfrac{a^{2}}{4}(\sin\dfrac{\pi}{2}-\sin(-\dfrac{\pi}{2}))=\dfrac{a^{2}}{4}(1-(-1))=\dfrac{a^{2}}{2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$S=2S_1=a^{2}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 50 номер – Д 2431
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
Длины дуг кривой
|
||||||
|
$y=x^{\frac{3}{2}}; (0 \leq x \leq 4)$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$l=\int\limits_{0}^{4}\sqrt{1+(y')^{2}}\,dx$
|
||||||
|
$y=x^{\frac32};\ y'=\dfrac32x^{\frac12}$
|
||||||
|
$(y')^{2}=\dfrac{9}{4}x$
|
||||||
|
$l=\int\limits_{0}^{4}\sqrt{1+\dfrac{9}{4}x}\,dx=\dfrac12\int\limits_{0}^{4}\sqrt{9x+4}\,dx$
|
||||||
|
|
||||||
|
$u=9x+4;\ du=9dx;\ dx=\dfrac{du}{9}$
|
||||||
|
$x=0;\ u=4$
|
||||||
|
$x=4;\ u=40$
|
||||||
|
|
||||||
|
$l=\dfrac12\int\limits_{4}^{40}\sqrt{u}\cdot\dfrac{du}{9}=\dfrac{1}{18}\int\limits_{4}^{40}u^{\frac12}du=\dfrac{1}{18}\cdot\dfrac{2}{3}u^{\frac32}\Big|_{4}^{40}=\dfrac{1}{27}(40^{\frac32}-4^{\frac32})$
|
||||||
|
$40^{\frac32}=40\sqrt{40}=80\sqrt{10};\ 4^{\frac32}=8$
|
||||||
|
$l=\dfrac{1}{27}(80\sqrt{10}-8)=\dfrac{8}{27}(10\sqrt{10}-1)$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 52 номер – Д 2433
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
Длины дуг кривой
|
||||||
|
$y=a\cosh \dfrac{x}{a}; \text{от точки A(0,a) до точки B(b,h)}$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$a>0$
|
||||||
|
$l=\int\limits_{0}^{b}\sqrt{1+(y')^{2}}\,dx$
|
||||||
|
$y=a\cosh\dfrac{x}{a}$
|
||||||
|
$y'=a(\cosh\dfrac{x}{a})'=a\cdot\sinh\dfrac{x}{a}\cdot\dfrac{1}{a}=\sinh\dfrac{x}{a}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$1+(y')^{2}=1+\sinh^{2}\dfrac{x}{a}=\cosh^{2}\dfrac{x}{a}$
|
||||||
|
$\sqrt{1+(y')^{2}}=\cosh\dfrac{x}{a}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$l=\int\limits_{0}^{b}\cosh\dfrac{x}{a}\,dx=a\sinh\dfrac{x}{a}\Big|_{0}^{b}=a\sinh\dfrac{b}{a}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$h=y(b)=a\cosh\dfrac{b}{a}$
|
||||||
|
$\sinh\dfrac{b}{a}=\sqrt{\cosh^{2}\dfrac{b}{a}-1}=\sqrt{(\dfrac{h}{a})^{2}-1}=\dfrac{\sqrt{h^{2}-a^{2}}}{a}$
|
||||||
|
$l=a\sinh\dfrac{b}{a}=\sqrt{h^{2}-a^{2}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 54 номер – Д 2462
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
Объём
|
||||||
|
$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1;z=\dfrac{c}{a}x;z=0;$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$V=\iiint\limits_{(V)}dV=\iint\limits_{D}(z_{\text{верх}}-z_{\text{низ}})\,dS$
|
||||||
|
|
||||||
|
$D:\ \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}\le1$
|
||||||
|
$z_{\text{низ}}=0;\ z_{\text{верх}}=\dfrac{c}{a}x$
|
||||||
|
|
||||||
|
$z_{\text{верх}}\ge z_{\text{низ}};\ \dfrac{c}{a}x\ge0;\ x\ge0$
|
||||||
|
$D_{1}=D\cap\{x\ge0\}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$V=\iint\limits_{D_{1}}\dfrac{c}{a}x\,dS=\dfrac{c}{a}\iint\limits_{D_{1}}x\,dS$
|
||||||
|
|
||||||
|
$x=a r\cos t;\ y=b r\sin t;\ 0\le r\le1;\ -\dfrac{\pi}{2}\le t\le\dfrac{\pi}{2}$
|
||||||
|
$dS=ab\,r\,dr\,dt$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\iint\limits_{D_{1}}x\,dS=\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int\limits_{0}^{1}(a r\cos t)\,ab\,r\,dr\,dt=a^{2}b\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos t\,dt\int\limits_{0}^{1}r^{2}\,dr$
|
||||||
|
$\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos t\,dt=.\sin t|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=2;\ \int\limits_{0}^{1}r^{2}\,dr=.\dfrac{r^{3}}{3}|_{0}^{1}=\dfrac13$
|
||||||
|
$\iint\limits_{D_{1}}x\,dS=a^{2}b\cdot2\cdot\dfrac13=\dfrac{2a^{2}b}{3}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$V=\dfrac{c}{a}\cdot\dfrac{2a^{2}b}{3}=\dfrac{2abc}{3}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 56 номер – Д 2464
|
||||||
|
|
||||||
|
### Пример:
|
||||||
|
|
||||||
|
Объём
|
||||||
|
$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}-\dfrac{z^{2}}{c^{2}}=1;z=\pm c$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Решение:
|
||||||
|
|
||||||
|
$V=\int\limits_{-c}^{c}S(z)\,dz$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}-\dfrac{z^{2}}{c^{2}}=1$
|
||||||
|
$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$S(z)=\pi\cdot a\sqrt{1+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}}\cdot b\sqrt{1+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}}=\pi ab(1+\dfrac{z^{2}}{c^{2}})$
|
||||||
|
|
||||||
|
$V=\int\limits_{-c}^{c}\pi ab(1+\dfrac{z^{2}}{c^{2}})dz=\pi ab(\int\limits_{-c}^{c}dz+\dfrac{1}{c^{2}}\int\limits_{-c}^{c}z^{2}dz)$
|
||||||
|
$\int\limits_{-c}^{c}dz=2c;\ \int\limits_{-c}^{c}z^{2}dz=.\dfrac{z^{3}}{3}|_{-c}^{c}=\dfrac{2c^{3}}{3}$
|
||||||
|
$V=\pi ab(2c+\dfrac{1}{c^{2}}\cdot\dfrac{2c^{3}}{3})=\pi ab(2c+\dfrac{2c}{3})=\dfrac{8\pi abc}{3}$
|
||||||
|
|
||||||
|
## 58 номер – Д 2666
|
||||||
|
АЦЦЦККИИИИИЙ НОМЕР он ещё и последний
|
||||||
|
и именно поэтому я его делать НЕ БУДУ :D
|
||||||
BIN
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/Д-N-up.pdf
Normal file
BIN
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/Д-N-up.pdf
Normal file
Binary file not shown.
BIN
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/Д-N.pdf
Normal file
BIN
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/Д-N.pdf
Normal file
Binary file not shown.
3
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/Заметки.md
Normal file
3
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/Заметки.md
Normal file
@@ -0,0 +1,3 @@
|
|||||||
|
>Внимание!
|
||||||
|
>В примерах I.37 и I.38 (на комплексные числа) **опечатки**. Там должны быть биквадратные уравнения, со степенями аналогичными предыдущим примерам
|
||||||
|
|
||||||
13
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/Оценка.md
Normal file
13
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/Оценка.md
Normal file
@@ -0,0 +1,13 @@
|
|||||||
|
Привет! Сейчас я пришлю тебе список всех заданий которые я сделал в модуле по домашнему заданию по высшей математике.
|
||||||
|
|
||||||
|
Мне нужна будет оценка от 1-100 всех заданий, без объяснений, просто в один столбец. Чем точнее оценка, тем больше ты мне поможешь.
|
||||||
|
|
||||||
|
ВАЖНО! Оценивай задания относительно всего модуля – лёгкие задания должны служить «отправной точкой» (грубо говоря 1). Чем больше баллов ты ставишь заданию, тем задание сложнее относительно всего содержания модуля.
|
||||||
|
|
||||||
|
Некоторые задания могут не иметь в себе ничего, их оценивай на твёрдый 0 (но естевственно не учитывай его в относительном подсчёте!). Так же визуальные задачи тоже оценивай на твёрдый 0.
|
||||||
|
|
||||||
|
Вот собственно, весь модуль:
|
||||||
|
|
||||||
|
```
|
||||||
|
|
||||||
|
```
|
||||||
BIN
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/П-N.pdf
Normal file
BIN
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/П-N.pdf
Normal file
Binary file not shown.
13
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/Проверка.md
Normal file
13
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/Проверка.md
Normal file
@@ -0,0 +1,13 @@
|
|||||||
|
Привет! Сейчас я пришлю тебе список всех заданий которые я сделал в модуле по домашнему заданию по высшей математике.
|
||||||
|
|
||||||
|
Мне нужна будет оценка: верно я решил задание, или нет. Чем точнее оценка, тем больше ты мне поможешь.
|
||||||
|
|
||||||
|
Мне нужен будет простой сто
|
||||||
|
|
||||||
|
Некоторые задания могут не иметь в себе ничего, их оценивай на НЕТ. Но визуальные задачи тоже оценивай на ДА.
|
||||||
|
|
||||||
|
Вот собственно, весь модуль:
|
||||||
|
|
||||||
|
```
|
||||||
|
|
||||||
|
```
|
||||||
216
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/СДЕЛАНО.md
Normal file
216
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/СДЕЛАНО.md
Normal file
@@ -0,0 +1,216 @@
|
|||||||
|
## 1 РАЗДЕЛ:
|
||||||
|
- [x] 30
|
||||||
|
- [x] 31
|
||||||
|
- [x] 32
|
||||||
|
- [x] 33
|
||||||
|
- [x] 34
|
||||||
|
- [x] 35
|
||||||
|
- [x] 36
|
||||||
|
- [x] 37
|
||||||
|
- [x] 38
|
||||||
|
- [x] 39
|
||||||
|
- [x] 40
|
||||||
|
- [x] 41
|
||||||
|
- [x] 42
|
||||||
|
- [x] 43
|
||||||
|
- [x] 44
|
||||||
|
|
||||||
|
## 2 РАЗДЕЛ:
|
||||||
|
- [x] 4
|
||||||
|
- [x] 8
|
||||||
|
- [x] 9
|
||||||
|
- [x] 13
|
||||||
|
- [x] 14
|
||||||
|
- [x] 18
|
||||||
|
- [x] 22
|
||||||
|
- [x] 23
|
||||||
|
- [x] 27
|
||||||
|
- [x] 28
|
||||||
|
- [x] 32
|
||||||
|
- [x] 36
|
||||||
|
- [x] 37
|
||||||
|
- [x] 41
|
||||||
|
- [x] 42
|
||||||
|
- [x] 46
|
||||||
|
- [x] 50
|
||||||
|
- [x] 51
|
||||||
|
- [x] 55
|
||||||
|
- [x] 56
|
||||||
|
- [x] 60
|
||||||
|
- [x] 65
|
||||||
|
- [x] 69
|
||||||
|
- [x] 70
|
||||||
|
- [x] 74
|
||||||
|
|
||||||
|
## 3 РАЗДЕЛ
|
||||||
|
- [x] 11
|
||||||
|
- [x] 13
|
||||||
|
- [x] 15
|
||||||
|
- [x] 17
|
||||||
|
- [x] 19
|
||||||
|
- [x] 21
|
||||||
|
- [x] 23
|
||||||
|
- [x] 25
|
||||||
|
- [x] 27
|
||||||
|
- [x] 29
|
||||||
|
- [x] 40
|
||||||
|
- [x] 42
|
||||||
|
- [x] 44
|
||||||
|
- [x] 46
|
||||||
|
- [x] 48
|
||||||
|
- [x] 50
|
||||||
|
- [x] 52
|
||||||
|
- [x] 54
|
||||||
|
- [x] 56
|
||||||
|
- [x] 58
|
||||||
|
|
||||||
|
## 4 РАЗДЕЛ
|
||||||
|
- [x] 20
|
||||||
|
- [x] 21
|
||||||
|
- [x] 22
|
||||||
|
- [x] 23
|
||||||
|
- [x] 24
|
||||||
|
- [x] 25
|
||||||
|
- [x] 26
|
||||||
|
- [x] 27
|
||||||
|
- [x] 28
|
||||||
|
- [x] 29
|
||||||
|
|
||||||
|
## 5 РАЗДЕЛ
|
||||||
|
- [x] 3
|
||||||
|
- [x] 7
|
||||||
|
- [x] 11
|
||||||
|
- [x] 15
|
||||||
|
- [x] 19
|
||||||
|
- [x] 22
|
||||||
|
- [x] 23
|
||||||
|
- [x] 26
|
||||||
|
- [x] 27
|
||||||
|
- [x] 30
|
||||||
|
- [x] 34
|
||||||
|
- [x] 38
|
||||||
|
- [x] 42
|
||||||
|
- [x] 46
|
||||||
|
- [x] 50
|
||||||
|
- [x] 53
|
||||||
|
- [x] 54
|
||||||
|
- [x] 57
|
||||||
|
- [x] 58
|
||||||
|
- [x] 61
|
||||||
|
- [x] 65
|
||||||
|
- [x] 69
|
||||||
|
- [x] 73
|
||||||
|
- [x] 77
|
||||||
|
- [x] 80
|
||||||
|
- [x] 81
|
||||||
|
- [x] 84
|
||||||
|
- [x] 85
|
||||||
|
- [x] 88
|
||||||
|
- [x] 89
|
||||||
|
- [x] 92
|
||||||
|
- [x] 96
|
||||||
|
- [x] 100
|
||||||
|
- [x] 104
|
||||||
|
- [x] 108
|
||||||
|
- [x] 111
|
||||||
|
- [x] 112
|
||||||
|
- [x] 115
|
||||||
|
- [x] 116
|
||||||
|
- [x] 119
|
||||||
|
|
||||||
|
## 6 РАЗДЕЛ
|
||||||
|
- [x] 3
|
||||||
|
- [x] 7
|
||||||
|
- [x] 11
|
||||||
|
- [x] 15
|
||||||
|
- [x] 19
|
||||||
|
- [x] 22
|
||||||
|
- [x] 23
|
||||||
|
- [x] 26
|
||||||
|
- [x] 27
|
||||||
|
- [x] 30
|
||||||
|
- [x] 34
|
||||||
|
- [x] 38
|
||||||
|
- [x] 42
|
||||||
|
- [x] 46
|
||||||
|
- [x] 50
|
||||||
|
- [x] 53
|
||||||
|
- [x] 54
|
||||||
|
- [x] 57
|
||||||
|
- [x] 58
|
||||||
|
- [x] 61
|
||||||
|
- [x] 65
|
||||||
|
- [x] 69
|
||||||
|
- [x] 73
|
||||||
|
- [x] 77
|
||||||
|
- [x] 80
|
||||||
|
- [x] 81
|
||||||
|
- [x] 84
|
||||||
|
- [x] 85
|
||||||
|
- [x] 88
|
||||||
|
- [x] 89
|
||||||
|
- [x] 92
|
||||||
|
- [x] 96
|
||||||
|
- [x] 100
|
||||||
|
- [ ] 104 - СЕКРЕТНОЕ
|
||||||
|
- [ ] 105 - ДОП. СЕКРЕТНОЕ
|
||||||
|
- [x] 108
|
||||||
|
- [x] 111
|
||||||
|
- [x] 112
|
||||||
|
- [x] 115
|
||||||
|
- [x] 116
|
||||||
|
- [x] 119
|
||||||
|
|
||||||
|
## 7 РАЗДЕЛ
|
||||||
|
- [x] 60
|
||||||
|
- [x] 61
|
||||||
|
- [x] 62
|
||||||
|
- [x] 63
|
||||||
|
- [x] 64
|
||||||
|
- [x] 65
|
||||||
|
- [x] 66
|
||||||
|
- [x] 67
|
||||||
|
- [x] 68
|
||||||
|
- [x] 69
|
||||||
|
- [ ] 70
|
||||||
|
- [x] 71
|
||||||
|
- [x] 72
|
||||||
|
- [x] 73
|
||||||
|
- [x] 74
|
||||||
|
- [x] 75
|
||||||
|
- [x] 76
|
||||||
|
- [x] 77
|
||||||
|
- [x] 78
|
||||||
|
- [x] 79
|
||||||
|
- [x] 80
|
||||||
|
- [x] 81
|
||||||
|
- [x] 82
|
||||||
|
- [x] 83
|
||||||
|
- [x] 84
|
||||||
|
- [x] 85
|
||||||
|
- [x] 86
|
||||||
|
- [x] 87
|
||||||
|
- [x] 88
|
||||||
|
- [x] 89
|
||||||
|
|
||||||
|
## 8 РАЗДЕЛ
|
||||||
|
- [x] 11
|
||||||
|
- [x] 13
|
||||||
|
- [x] 15
|
||||||
|
- [x] 17
|
||||||
|
- [x] 19
|
||||||
|
- [x] 21
|
||||||
|
- [x] 23
|
||||||
|
- [x] 25
|
||||||
|
- [x] 27
|
||||||
|
- [x] 29
|
||||||
|
- [x] 40
|
||||||
|
- [x] 42
|
||||||
|
- [x] 44
|
||||||
|
- [x] 46
|
||||||
|
- [x] 48
|
||||||
|
- [x] 50
|
||||||
|
- [x] 52
|
||||||
|
- [x] 54
|
||||||
|
- [x] 56
|
||||||
|
- [x] 58
|
||||||
526
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/овтеты.md
Normal file
526
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/овтеты.md
Normal file
@@ -0,0 +1,526 @@
|
|||||||
|
1. Матрицы. Действия с матрицами.
|
||||||
|
Матрица — это прямоугольная таблица чисел. Обычно её записывают как (A=(a_{ij})), где (a_{ij}) — число на пересечении (i)-й строки и (j)-го столбца. Размер матрицы (m\times n): (m) строк и (n) столбцов.
|
||||||
|
|
||||||
|
Сложение/вычитание. Можно только для матриц одинакового размера. Складывают “поэлементно”: ((A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}).
|
||||||
|
Умножение на число (скаляр). ((kA)_{ij}=k\cdot a_{ij}).
|
||||||
|
Транспонирование. (A^T) получают заменой строк на столбцы: ((A^T)_{ij}=a_{ji}).
|
||||||
|
Умножение матриц. Определено, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Если (A) размера (m\times n), (B) размера (n\times p), то (AB) размера (m\times p), и
|
||||||
|
[
|
||||||
|
(AB)_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\dots+a_{in}b_{nj}.
|
||||||
|
]
|
||||||
|
Важно: обычно (AB\neq BA) (непереместительно).
|
||||||
|
|
||||||
|
Пример 1 (сложение).
|
||||||
|
[
|
||||||
|
\begin{pmatrix}1&3\-2&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4&-1\5&2\end{pmatrix}
|
||||||
|
=\begin{pmatrix}1+4&3+(-1)\-2+5&0+2\end{pmatrix}
|
||||||
|
=\begin{pmatrix}5&2\3&2\end{pmatrix}.
|
||||||
|
]
|
||||||
|
Пример 2 (умножение матриц).
|
||||||
|
(A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}), (B=\begin{pmatrix}5\6\end{pmatrix}). Тогда
|
||||||
|
[
|
||||||
|
AB=\begin{pmatrix}1\cdot5+2\cdot6\3\cdot5+4\cdot6\end{pmatrix}
|
||||||
|
=\begin{pmatrix}17\39\end{pmatrix}.
|
||||||
|
]
|
||||||
|
|
||||||
|
Термины (в этом пункте).
|
||||||
|
Матрица — таблица чисел.
|
||||||
|
Элемент матрицы (a_{ij}) — число в (i)-й строке и (j)-м столбце.
|
||||||
|
Размер (m\times n) — (m) строк и (n) столбцов.
|
||||||
|
Поэлементно — отдельно в каждой позиции ((i,j)).
|
||||||
|
Скаляр — просто число, которым умножают матрицу.
|
||||||
|
Транспонирование — операция “строки ↔ столбцы”.
|
||||||
|
Произведение матриц — операция, где элемент результата есть сумма произведений элементов строки на элементы столбца. ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_%28mathematics%29?utm_source=chatgpt.com "Matrix (mathematics)"))
|
||||||
|
|
||||||
|
2. Определитель матрицы, его вычисление и свойства.
|
||||||
|
Определитель (\det A) — число, определённое для квадратной матрицы (n\times n). Он связан с обратимостью: если (\det A\neq 0), то матрица обратима (существует (A^{-1})); если (\det A=0), то обратной матрицы нет. Также (|\det A|) можно понимать как “коэффициент изменения площади/объёма” соответствующего линейного преобразования.
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
Как вычислять (базовые случаи).
|
||||||
|
Для (2\times2):
|
||||||
|
[
|
||||||
|
\det\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}=ad-bc.
|
||||||
|
]
|
||||||
|
Для (3\times3) часто используют приведение к треугольному виду элементарными преобразованиями строк (это удобно, потому что дальше будет метод Гаусса): у треугольной матрицы (\det) равен произведению диагональных элементов, но надо учитывать, как преобразования меняют (\det).
|
||||||
|
|
||||||
|
Как строковые преобразования влияют на (\det):
|
||||||
|
|
||||||
|
1. Поменять местами две строки → (\det) меняет знак.
|
||||||
|
|
||||||
|
2. Умножить строку на (k) → (\det) умножится на (k).
|
||||||
|
|
||||||
|
3. Прибавить к строке другую строку, умноженную на число → (\det) не меняется.
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
Пример (через строки).
|
||||||
|
[
|
||||||
|
A=\begin{pmatrix}1&2&3\2&4&7\1&1&1\end{pmatrix}.
|
||||||
|
]
|
||||||
|
Сделаем (R_2\leftarrow R_2-2R_1):
|
||||||
|
[
|
||||||
|
\begin{pmatrix}1&2&3\0&0&1\1&1&1\end{pmatrix}
|
||||||
|
]
|
||||||
|
((\det) не изменился). Потом (R_3\leftarrow R_3-R_1):
|
||||||
|
[
|
||||||
|
\begin{pmatrix}1&2&3\0&0&1\0&-1&-2\end{pmatrix}
|
||||||
|
]
|
||||||
|
((\det) не изменился). Теперь поменяем строки (R_2) и (R_3) местами (одна перестановка → знак “минус”):
|
||||||
|
[
|
||||||
|
\begin{pmatrix}1&2&3\0&-1&-2\0&0&1\end{pmatrix}
|
||||||
|
]
|
||||||
|
Треугольная матрица: произведение диагонали (1\cdot(-1)\cdot1=-1). Но была одна перестановка строк, значит исходный (\det A=+1).
|
||||||
|
|
||||||
|
Ключевые свойства: (\det(AB)=\det A\cdot\det B), (\det(A^T)=\det A). ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Determinant?utm_source=chatgpt.com "Determinant"))
|
||||||
|
|
||||||
|
Термины.
|
||||||
|
Квадратная матрица — одинаковое число строк и столбцов.
|
||||||
|
Определитель (\det A) — число, связанное с “обратимостью” матрицы.
|
||||||
|
Диагональные элементы — элементы (a_{11},a_{22},\dots).
|
||||||
|
Треугольная матрица — ниже (или выше) диагонали стоят нули.
|
||||||
|
Элементарные преобразования строк — три операции из списка 1)–3) выше.
|
||||||
|
Произведение диагонали — перемножение всех диагональных элементов. ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Determinant?utm_source=chatgpt.com "Determinant"))
|
||||||
|
|
||||||
|
3. Обратная матрица, её вычисление и свойства.
|
||||||
|
Обратная матрица (A^{-1}) к квадратной матрице (A) — это такая матрица, что
|
||||||
|
[
|
||||||
|
AA^{-1}=A^{-1}A=I,
|
||||||
|
]
|
||||||
|
где (I) — единичная матрица (на диагонали 1, остальные элементы 0). Обратная существует тогда и только тогда, когда (\det A\neq 0) (матрица “невырожденная”). ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Invertible_matrix?utm_source=chatgpt.com "Invertible matrix"))
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
Как находить (A^{-1}).
|
||||||
|
Способ A (формула для (2\times2)).
|
||||||
|
Если (A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}) и (ad-bc\neq 0), то
|
||||||
|
[
|
||||||
|
A^{-1}=\frac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\-c&a\end{pmatrix}.
|
||||||
|
]
|
||||||
|
Способ B (Гаусс–Жордан). Приписывают справа единичную матрицу и строковыми преобразованиями превращают левую часть в (I); тогда справа получится (A^{-1}). ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Augmented_matrix?utm_source=chatgpt.com "Augmented matrix"))
|
||||||
|
|
||||||
|
Пример (по формуле (2\times2)).
|
||||||
|
(A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}). (\det A=1\cdot4-2\cdot3=-2\neq 0).
|
||||||
|
[
|
||||||
|
A^{-1}=\frac1{-2}\begin{pmatrix}4&-2\-3&1\end{pmatrix}.
|
||||||
|
]
|
||||||
|
Проверка (коротко): (AA^{-1}=I) (перемножением). Это и есть смысл обратной.
|
||||||
|
|
||||||
|
Свойства: ((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}); ((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T); (\det(A^{-1})=1/\det(A)). ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Invertible_matrix?utm_source=chatgpt.com "Invertible matrix"))
|
||||||
|
|
||||||
|
Термины.
|
||||||
|
Единичная матрица (I) — квадратная матрица с 1 на диагонали и 0 вне диагонали.
|
||||||
|
Невырожденная (обратимая) матрица — матрица, у которой существует обратная; эквивалентно (\det\neq 0).
|
||||||
|
Гаусс–Жордан — доведение матрицы строковыми преобразованиями до (I) (с одновременным преобразованием приписанной части). ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Augmented_matrix?utm_source=chatgpt.com "Augmented matrix"))
|
||||||
|
|
||||||
|
4. Ранг матрицы, его вычисление и свойства.
|
||||||
|
Ранг матрицы (\mathrm{rank}(A)) — это максимальное число линейно независимых строк (то же самое, что максимальное число линейно независимых столбцов). Практически ранг чаще всего находят так: приводят матрицу к ступенчатому виду строковыми преобразованиями и считают число “опорных” строк (ненулевых строк), или число “пивотов” (ведущих элементов). ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Rank_%28linear_algebra%29?utm_source=chatgpt.com "Rank (linear algebra)"))
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
Как вычислять (алгоритм).
|
||||||
|
|
||||||
|
1. Записать матрицу.
|
||||||
|
|
||||||
|
2. Привести к ступенчатому виду (как в методе Гаусса): сделать нули под ведущими элементами.
|
||||||
|
|
||||||
|
3. Посчитать количество ненулевых строк в получившейся ступенчатой матрице — это ранг.
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
Пример.
|
||||||
|
[
|
||||||
|
A=\begin{pmatrix}1&2&1\2&4&2\0&1&3\end{pmatrix}.
|
||||||
|
]
|
||||||
|
Сделаем (R_2\leftarrow R_2-2R_1):
|
||||||
|
[
|
||||||
|
\begin{pmatrix}1&2&1\0&0&0\0&1&3\end{pmatrix}.
|
||||||
|
]
|
||||||
|
Переставим строки (R_2) и (R_3) местами:
|
||||||
|
[
|
||||||
|
\begin{pmatrix}1&2&1\0&1&3\0&0&0\end{pmatrix}.
|
||||||
|
]
|
||||||
|
Ненулевых строк 2, значит (\mathrm{rank}(A)=2).
|
||||||
|
|
||||||
|
Свойства: (\mathrm{rank}(A)\le \min(m,n)); (\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A^T)); для квадратной (n\times n): если (\det A\neq 0), то (\mathrm{rank}(A)=n). ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Rank_%28linear_algebra%29?utm_source=chatgpt.com "Rank (linear algebra)"))
|
||||||
|
|
||||||
|
Термины.
|
||||||
|
Линейно независимые строки/столбцы — никакая строка (столбец) не выражается как линейная комбинация других.
|
||||||
|
Ступенчатый вид (row echelon form) — форма, где ведущие элементы “спускаются вправо”, а ниже каждого ведущего элемента стоят нули.
|
||||||
|
Ведущий элемент (pivot) — первый ненулевой элемент строки в ступенчатом виде. ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Rank_%28linear_algebra%29?utm_source=chatgpt.com "Rank (linear algebra)"))
|
||||||
|
|
||||||
|
5. СЛАУ. Решение с помощью обратной матрицы.
|
||||||
|
Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) — это несколько линейных уравнений относительно нескольких неизвестных, например:
|
||||||
|
[
|
||||||
|
\begin{cases}
|
||||||
|
a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1\
|
||||||
|
a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2
|
||||||
|
\end{cases}
|
||||||
|
]
|
||||||
|
Её удобно записывать матрично: (Ax=b), где (A) — матрица коэффициентов, (x) — столбец неизвестных, (b) — столбец правых частей.
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
Если матрица (A) обратима ((\det A\neq 0)), то решение единственно и находится по формуле
|
||||||
|
[
|
||||||
|
x=A^{-1}b.
|
||||||
|
]
|
||||||
|
Идея простая: умножаем (Ax=b) слева на (A^{-1}): (A^{-1}Ax=A^{-1}b\Rightarrow Ix=A^{-1}b\Rightarrow x=A^{-1}b). ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Invertible_matrix?utm_source=chatgpt.com "Invertible matrix"))
|
||||||
|
|
||||||
|
Пример.
|
||||||
|
[
|
||||||
|
\begin{cases}
|
||||||
|
x+2y=5\
|
||||||
|
3x+4y=11
|
||||||
|
\end{cases}
|
||||||
|
\Rightarrow
|
||||||
|
A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix},\
|
||||||
|
x=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix},\
|
||||||
|
b=\begin{pmatrix}5\11\end{pmatrix}.
|
||||||
|
]
|
||||||
|
Из пункта 3:
|
||||||
|
[
|
||||||
|
A^{-1}=\frac1{-2}\begin{pmatrix}4&-2\-3&1\end{pmatrix}.
|
||||||
|
]
|
||||||
|
Тогда
|
||||||
|
[
|
||||||
|
x=A^{-1}b=\frac1{-2}
|
||||||
|
\begin{pmatrix}4\cdot5-2\cdot11\-3\cdot5+1\cdot11\end{pmatrix}
|
||||||
|
=\frac1{-2}\begin{pmatrix}-2\-4\end{pmatrix}
|
||||||
|
=\begin{pmatrix}1\2\end{pmatrix}.
|
||||||
|
]
|
||||||
|
|
||||||
|
Термины.
|
||||||
|
Линейное уравнение — уравнение, где неизвестные входят только в первой степени и не перемножаются друг с другом.
|
||||||
|
СЛАУ — набор линейных уравнений с общими неизвестными.
|
||||||
|
Матрица коэффициентов (A) — матрица чисел при неизвестных.
|
||||||
|
Вектор неизвестных (x) — столбец ((x_1,\dots,x_n)^T).
|
||||||
|
Вектор правых частей (b) — столбец чисел справа от “=”.
|
||||||
|
Единственное решение — ровно один набор значений неизвестных. ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Invertible_matrix?utm_source=chatgpt.com "Invertible matrix"))
|
||||||
|
|
||||||
|
6. СЛАУ. Решение методом Крамера.
|
||||||
|
Метод Крамера применим только к квадратной системе: число уравнений = числу неизвестных (n), то есть (A) — (n\times n). Если (\det A\neq 0), то решение единственно и задаётся формулами:
|
||||||
|
[
|
||||||
|
x_i=\frac{\det A_i}{\det A},
|
||||||
|
]
|
||||||
|
где (A_i) — матрица, полученная из (A) заменой (i)-го столбца на столбец (b). ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Cramer%27s_rule?utm_source=chatgpt.com "Cramer's rule"))
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
Пример (тот же). (\det A=-2).
|
||||||
|
Для (x) заменяем 1-й столбец на (b):
|
||||||
|
[
|
||||||
|
A_1=\begin{pmatrix}5&2\11&4\end{pmatrix},\quad \det A_1=5\cdot4-2\cdot11=-2,\quad x=\frac{-2}{-2}=1.
|
||||||
|
]
|
||||||
|
Для (y) заменяем 2-й столбец на (b):
|
||||||
|
[
|
||||||
|
A_2=\begin{pmatrix}1&5\3&11\end{pmatrix},\quad \det A_2=1\cdot11-5\cdot3=-4,\quad y=\frac{-4}{-2}=2.
|
||||||
|
]
|
||||||
|
|
||||||
|
Термины.
|
||||||
|
Метод Крамера — формулы решения через определители.
|
||||||
|
Квадратная система — одинаковое число уравнений и неизвестных.
|
||||||
|
Матрица (A_i) — матрица (A) с заменой (i)-го столбца на (b). ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Cramer%27s_rule?utm_source=chatgpt.com "Cramer's rule"))
|
||||||
|
|
||||||
|
7. СЛАУ. Теорема Кронекера–Капелли.
|
||||||
|
Теорема Кронекера–Капелли (часто также Руше–Капелли) даёт критерий существования решений системы (Ax=b) через ранги.
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
Строят расширенную (присоединённую) матрицу ((A|b)): это матрица (A), к которой справа приписали столбец (b).
|
||||||
|
Тогда:
|
||||||
|
• система совместна (есть хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда (\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A|b));
|
||||||
|
• если эти ранги равны и равны числу неизвестных (n), то решение единственно;
|
||||||
|
• если ранги равны, но меньше (n), решений бесконечно много (есть свободные переменные);
|
||||||
|
• если (\mathrm{rank}(A|b)>\mathrm{rank}(A)), решений нет. ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Rouch%C3%A9%E2%80%93Capelli_theorem?utm_source=chatgpt.com "Rouché–Capelli theorem"))
|
||||||
|
|
||||||
|
Пример 1 (нет решений).
|
||||||
|
[
|
||||||
|
\begin{cases}
|
||||||
|
x+y=1\
|
||||||
|
2x+2y=3
|
||||||
|
\end{cases}
|
||||||
|
\Rightarrow
|
||||||
|
(A|b)=\left(\begin{array}{cc|c}1&1&1\2&2&3\end{array}\right).
|
||||||
|
]
|
||||||
|
Приводим: (R_2\leftarrow R_2-2R_1\Rightarrow (0,0|1)). Это означает противоречие (0=1), значит (\mathrm{rank}(A|b)>\mathrm{rank}(A)) и решений нет. ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Rouch%C3%A9%E2%80%93Capelli_theorem?utm_source=chatgpt.com "Rouché–Capelli theorem"))
|
||||||
|
|
||||||
|
Пример 2 (бесконечно много решений).
|
||||||
|
[
|
||||||
|
\begin{cases}
|
||||||
|
x+y=1\
|
||||||
|
2x+2y=2
|
||||||
|
\end{cases}
|
||||||
|
\Rightarrow R_2\leftarrow R_2-2R_1\Rightarrow (0,0|0).
|
||||||
|
]
|
||||||
|
Ранги равны и меньше числа неизвестных (2), значит решений бесконечно много.
|
||||||
|
|
||||||
|
Термины.
|
||||||
|
Теорема Кронекера–Капелли — критерий совместности по рангам (A) и ((A|b)).
|
||||||
|
Расширенная матрица ((A|b)) — матрица коэффициентов с приписанным столбцом правых частей.
|
||||||
|
Совместна — имеет хотя бы одно решение.
|
||||||
|
Свободная переменная — неизвестная, которой можно задавать значения (появляется при ранге меньше числа неизвестных). ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Rouch%C3%A9%E2%80%93Capelli_theorem?utm_source=chatgpt.com "Rouché–Capelli theorem"))
|
||||||
|
|
||||||
|
8. СЛАУ. Решение методом Гаусса.
|
||||||
|
Метод Гаусса — это решение системы через преобразования строк расширенной матрицы до ступенчатого вида.
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
Шаги:
|
||||||
|
|
||||||
|
1. Составить расширенную матрицу ((A|b)).
|
||||||
|
|
||||||
|
2. Прямой ход: элементарными преобразованиями строк сделать нули под ведущими элементами (получить ступенчатый вид).
|
||||||
|
|
||||||
|
3. Обратный ход (обратная подстановка): начиная с последнего уравнения, находить неизвестные. ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_elimination?utm_source=chatgpt.com "Gaussian elimination"))
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
Пример (3 неизвестных).
|
||||||
|
[
|
||||||
|
\begin{cases}
|
||||||
|
x+y+z=6\
|
||||||
|
2x+y+3z=13\
|
||||||
|
x- y+2z=7
|
||||||
|
\end{cases}
|
||||||
|
\Rightarrow
|
||||||
|
\left(\begin{array}{ccc|c}
|
||||||
|
1&1&1&6\
|
||||||
|
2&1&3&13\
|
||||||
|
1&-1&2&7
|
||||||
|
\end{array}\right)
|
||||||
|
]
|
||||||
|
Прямой ход:
|
||||||
|
(R_2\leftarrow R_2-2R_1\Rightarrow (0,-1,1|1))
|
||||||
|
(R_3\leftarrow R_3-R_1\Rightarrow (0,-2,1|1))
|
||||||
|
Теперь уберём (-2) под (-1): (R_3\leftarrow R_3-2R_2\Rightarrow (0,0,-1|-1))
|
||||||
|
|
||||||
|
Получили:
|
||||||
|
[
|
||||||
|
\left(\begin{array}{ccc|c}
|
||||||
|
1&1&1&6\
|
||||||
|
0&-1&1&1\
|
||||||
|
0&0&-1&-1
|
||||||
|
\end{array}\right)
|
||||||
|
]
|
||||||
|
Обратный ход:
|
||||||
|
Из 3-й строки: (-z=-1\Rightarrow z=1).
|
||||||
|
Из 2-й: (-y+z=1\Rightarrow -y+1=1\Rightarrow y=0).
|
||||||
|
Из 1-й: (x+y+z=6\Rightarrow x+0+1=6\Rightarrow x=5).
|
||||||
|
|
||||||
|
Термины.
|
||||||
|
Метод Гаусса — приведение системы к ступенчатому виду и обратная подстановка.
|
||||||
|
Прямой ход — шаги обнуления элементов “под диагональю”.
|
||||||
|
Обратная подстановка — нахождение неизвестных снизу вверх.
|
||||||
|
Ступенчатый вид — форма, где ниже ведущих элементов стоят нули. ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_elimination?utm_source=chatgpt.com "Gaussian elimination"))
|
||||||
|
|
||||||
|
9. Векторы в трёхмерном пространстве. Основные понятия. Орты.
|
||||||
|
Вектор в 3D — направленный отрезок; в координатах его записывают как (\mathbf a=(a_x,a_y,a_z)).
|
||||||
|
Длина (модуль) вектора:
|
||||||
|
[
|
||||||
|
|\mathbf a|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}.
|
||||||
|
]
|
||||||
|
Нулевой вектор (\mathbf 0=(0,0,0)) имеет длину 0 и не задаёт направления.
|
||||||
|
Единичный вектор (орт) — вектор длины 1. Самые важные — стандартные орты (базисные):
|
||||||
|
[
|
||||||
|
\mathbf i=(1,0,0),\quad \mathbf j=(0,1,0),\quad \mathbf k=(0,0,1).
|
||||||
|
]
|
||||||
|
Любой вектор можно разложить по ним:
|
||||||
|
[
|
||||||
|
\mathbf a=a_x\mathbf i+a_y\mathbf j+a_z\mathbf k.
|
||||||
|
]
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
Пример 1. (\mathbf a=(2,-1,3)=2\mathbf i-1\mathbf j+3\mathbf k).
|
||||||
|
Пример 2 (получить орт по направлению (\mathbf a)).
|
||||||
|
(|\mathbf a|=\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2}=\sqrt{14}).
|
||||||
|
Единичный вектор того же направления:
|
||||||
|
[
|
||||||
|
\hat{\mathbf a}=\frac{\mathbf a}{|\mathbf a|}=\left(\frac{2}{\sqrt{14}},\frac{-1}{\sqrt{14}},\frac{3}{\sqrt{14}}\right).
|
||||||
|
]
|
||||||
|
|
||||||
|
Термины.
|
||||||
|
Вектор — объект с направлением и длиной.
|
||||||
|
Координаты вектора — числа ((a_x,a_y,a_z)) в выбранных осях.
|
||||||
|
Модуль (длина) (|\mathbf a|) — длина вектора.
|
||||||
|
Нулевой вектор (\mathbf 0) — вектор с координатами (0,0,0).
|
||||||
|
Единичный вектор (орт) — вектор длины 1.
|
||||||
|
Базисные орты (\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k) — стандартные единичные векторы вдоль осей. ([Math Insight](https://mathinsight.org/dot_product_formula_components?utm_source=chatgpt.com "The formula for the dot product in terms of vector components"))
|
||||||
|
|
||||||
|
10. Линейные операции с векторами.
|
||||||
|
Две базовые линейные операции: сложение и умножение на число.
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
Сложение: (\mathbf a+\mathbf b=(a_x+b_x,\ a_y+b_y,\ a_z+b_z)). Геометрически: правило параллелограмма или “конец к началу”.
|
||||||
|
Умножение на число: (\lambda\mathbf a=(\lambda a_x,\lambda a_y,\lambda a_z)). Геометрически: длина умножается на (|\lambda|), а направление меняется на противоположное, если (\lambda<0).
|
||||||
|
|
||||||
|
Линейная комбинация — выражение вида (\lambda_1\mathbf a_1+\dots+\lambda_k\mathbf a_k). Это важно для темы ранга и СЛАУ (независимость, выражаемость).
|
||||||
|
|
||||||
|
Пример 1. (\mathbf a=(1,2,0)), (\mathbf b=(3,-1,5)).
|
||||||
|
(\mathbf a+\mathbf b=(4,1,5)).
|
||||||
|
Пример 2. (\lambda=-2): (-2\mathbf a=(-2,-4,0)).
|
||||||
|
Пример 3 (линейная комбинация). (2\mathbf a-\mathbf b=2(1,2,0)-(3,-1,5)=(-1,5,-5)).
|
||||||
|
|
||||||
|
Термины.
|
||||||
|
Линейные операции — операции “сложение” и “умножение на число”, сохраняющие линейную структуру.
|
||||||
|
Линейная комбинация — сумма векторов с числовыми коэффициентами.
|
||||||
|
Геометрическое правило параллелограмма — способ сложения векторов как диагональ параллелограмма. ([Math Insight](https://mathinsight.org/dot_product_formula_components?utm_source=chatgpt.com "The formula for the dot product in terms of vector components"))
|
||||||
|
|
||||||
|
11. Проекция вектора на ось и её свойства. Координаты вектора.
|
||||||
|
Пусть есть ось (направление), заданная единичным вектором (\mathbf e) (то есть (|\mathbf e|=1)). Тогда:
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
Скалярная проекция (\mathbf a) на ось:
|
||||||
|
[
|
||||||
|
\mathrm{comp}_{\mathbf e}\mathbf a=\mathbf a\cdot\mathbf e.
|
||||||
|
]
|
||||||
|
Это число: “сколько (\mathbf a) направлено вдоль оси” (со знаком).
|
||||||
|
Векторная проекция:
|
||||||
|
[
|
||||||
|
\mathrm{proj}_{\mathbf e}\mathbf a=(\mathbf a\cdot\mathbf e)\mathbf e.
|
||||||
|
]
|
||||||
|
Это уже вектор, лежащий на этой оси.
|
||||||
|
|
||||||
|
Координаты вектора (\mathbf a=(a_x,a_y,a_z)) в стандартных осях можно понимать как скалярные проекции на оси (Ox,Oy,Oz), если берём (\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k):
|
||||||
|
(a_x=\mathbf a\cdot\mathbf i), (a_y=\mathbf a\cdot\mathbf j), (a_z=\mathbf a\cdot\mathbf k). ([Math Insight](https://mathinsight.org/dot_product_formula_components?utm_source=chatgpt.com "The formula for the dot product in terms of vector components"))
|
||||||
|
|
||||||
|
Пример 1 (на ось (Ox)). (\mathbf a=(2,3,0)), (\mathbf e=\mathbf i=(1,0,0)).
|
||||||
|
Скалярная проекция: (\mathbf a\cdot\mathbf i=2).
|
||||||
|
Векторная: (2\mathbf i=(2,0,0)).
|
||||||
|
Пример 2 (на наклонное направление). (\mathbf e=\frac1{\sqrt2}(1,1,0)) — единичный. Тогда
|
||||||
|
(\mathbf a\cdot\mathbf e=\frac{2+3}{\sqrt2}=\frac5{\sqrt2}),
|
||||||
|
(\mathrm{proj}_{\mathbf e}\mathbf a=\frac5{\sqrt2}\cdot\frac1{\sqrt2}(1,1,0)=\frac52(1,1,0)).
|
||||||
|
|
||||||
|
Термины.
|
||||||
|
Ось (направление) — фиксированное направление в пространстве.
|
||||||
|
Единичный вектор (\mathbf e) — вектор длины 1, задающий направление оси.
|
||||||
|
Скалярная проекция — число (\mathbf a\cdot\mathbf e).
|
||||||
|
Векторная проекция — вектор ((\mathbf a\cdot\mathbf e)\mathbf e).
|
||||||
|
Координаты вектора — его компоненты ((a_x,a_y,a_z)) в выбранном базисе. ([Math Insight](https://mathinsight.org/dot_product_formula_components?utm_source=chatgpt.com "The formula for the dot product in terms of vector components"))
|
||||||
|
|
||||||
|
12. Скалярное произведение векторов и его свойства.
|
||||||
|
Скалярное произведение (dot product) двух векторов (\mathbf a,\mathbf b) — это число:
|
||||||
|
[
|
||||||
|
\mathbf a\cdot\mathbf b=|\mathbf a|,|\mathbf b|\cos\varphi,
|
||||||
|
]
|
||||||
|
где (\varphi) — угол между векторами. В координатах:
|
||||||
|
[
|
||||||
|
(a_x,a_y,a_z)\cdot(b_x,b_y,b_z)=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z.
|
||||||
|
]
|
||||||
|
Основные свойства:
|
||||||
|
• коммутативность: (\mathbf a\cdot\mathbf b=\mathbf b\cdot\mathbf a);
|
||||||
|
• линейность: ((\mathbf a+\mathbf b)\cdot\mathbf c=\mathbf a\cdot\mathbf c+\mathbf b\cdot\mathbf c);
|
||||||
|
• (\mathbf a\cdot\mathbf a=|\mathbf a|^2);
|
||||||
|
• перпендикулярность: (\mathbf a\perp\mathbf b\iff \mathbf a\cdot\mathbf b=0). ([Math Insight](https://mathinsight.org/dot_product_formula_components?utm_source=chatgpt.com "The formula for the dot product in terms of vector components"))
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
Пример 1. (\mathbf a=(1,3,-5)), (\mathbf b=(4,-2,-1)).
|
||||||
|
(\mathbf a\cdot\mathbf b=1\cdot4+3\cdot(-2)+(-5)\cdot(-1)=4-6+5=3).
|
||||||
|
Пример 2 (найти угол). Пусть (\mathbf a=(1,0,0)), (\mathbf b=(1,1,0)).
|
||||||
|
(\mathbf a\cdot\mathbf b=1). (|\mathbf a|=1), (|\mathbf b|=\sqrt2).
|
||||||
|
(\cos\varphi=\dfrac{1}{1\cdot\sqrt2}=\dfrac1{\sqrt2}\Rightarrow \varphi=45^\circ).
|
||||||
|
|
||||||
|
Термины.
|
||||||
|
Скалярное произведение — операция, результатом которой является число.
|
||||||
|
Угол между векторами (\varphi) — угол между их направлениями (берут от 0 до (\pi)).
|
||||||
|
Перпендикулярность (\perp) — угол (90^\circ), эквивалентно нулевому скалярному произведению.
|
||||||
|
Линейность — свойство “раскрывать скобки” и выносить числа. ([Math Insight](https://mathinsight.org/dot_product_formula_components?utm_source=chatgpt.com "The formula for the dot product in terms of vector components"))
|
||||||
|
|
||||||
|
13. Векторное произведение векторов и его свойства.
|
||||||
|
Векторное произведение (cross product) (\mathbf a\times\mathbf b) определено в 3D. Результат — вектор, который:
|
||||||
|
• перпендикулярен и (\mathbf a), и (\mathbf b);
|
||||||
|
• имеет длину (|\mathbf a\times\mathbf b|=|\mathbf a|,|\mathbf b|\sin\varphi);
|
||||||
|
• направлен по правилу правой руки. Геометрический смысл длины: площадь параллелограмма на (\mathbf a) и (\mathbf b). ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product?utm_source=chatgpt.com "Cross product"))
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
В координатах:
|
||||||
|
[
|
||||||
|
\mathbf a\times\mathbf b=
|
||||||
|
\begin{pmatrix}
|
||||||
|
a_yb_z-a_zb_y\
|
||||||
|
a_zb_x-a_xb_z\
|
||||||
|
a_xb_y-a_yb_x
|
||||||
|
\end{pmatrix}.
|
||||||
|
]
|
||||||
|
Свойства:
|
||||||
|
• антикоммутативность: (\mathbf a\times\mathbf b=-(\mathbf b\times\mathbf a));
|
||||||
|
• дистрибутивность: (\mathbf a\times(\mathbf b+\mathbf c)=\mathbf a\times\mathbf b+\mathbf a\times\mathbf c);
|
||||||
|
• (\mathbf a\times\mathbf a=\mathbf 0). ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product?utm_source=chatgpt.com "Cross product"))
|
||||||
|
|
||||||
|
Пример 1. (\mathbf i\times\mathbf j=\mathbf k), а (\mathbf j\times\mathbf i=-\mathbf k).
|
||||||
|
Пример 2. (\mathbf a=(1,0,0)), (\mathbf b=(0,2,0)). Тогда
|
||||||
|
(\mathbf a\times\mathbf b=(0,0,1\cdot2-0\cdot0)=(0,0,2)). Площадь параллелограмма равна 2.
|
||||||
|
|
||||||
|
Термины.
|
||||||
|
Векторное произведение — операция двух 3D-векторов, результатом которой является вектор.
|
||||||
|
Правило правой руки — способ определить направление (\mathbf a\times\mathbf b).
|
||||||
|
Антикоммутативность — при перестановке множителей знак меняется.
|
||||||
|
Дистрибутивность — “умножение” на сумму раскрывается в сумму. ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product?utm_source=chatgpt.com "Cross product"))
|
||||||
|
|
||||||
|
14. Смешанное произведение 3-х векторов и его свойства.
|
||||||
|
Смешанное (скалярное тройное) произведение трёх векторов:
|
||||||
|
[
|
||||||
|
[\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c]=\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c).
|
||||||
|
]
|
||||||
|
Это число. Оно равно определителю матрицы, составленной из координат векторов:
|
||||||
|
[
|
||||||
|
\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)=
|
||||||
|
\det\begin{pmatrix}
|
||||||
|
a_x&a_y&a_z\
|
||||||
|
b_x&b_y&b_z\
|
||||||
|
c_x&c_y&c_z
|
||||||
|
\end{pmatrix}.
|
||||||
|
]
|
||||||
|
Геометрический смысл: ориентированный объём параллелепипеда на (\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c); обычный объём равен модулю:
|
||||||
|
[
|
||||||
|
V=\left|\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)\right|.
|
||||||
|
]
|
||||||
|
Свойства: циклическая перестановка не меняет значение, перестановка двух векторов меняет знак; если значение 0, то векторы компланарны (лежат в одной плоскости). ([Math Insight](https://mathinsight.org/scalar_triple_product?utm_source=chatgpt.com "The scalar triple product"))
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
Пример 1. ([\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k]=1) (объём единичного куба).
|
||||||
|
Пример 2 (проверка компланарности). Если (\mathbf c=\mathbf a+\mathbf b), то
|
||||||
|
([\mathbf a,\mathbf b,\mathbf a+\mathbf b]=[\mathbf a,\mathbf b,\mathbf a]+[\mathbf a,\mathbf b,\mathbf b]=0+0=0), значит (\mathbf a,\mathbf b,\mathbf a+\mathbf b) лежат в одной плоскости.
|
||||||
|
|
||||||
|
Термины.
|
||||||
|
Смешанное произведение — число (\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)).
|
||||||
|
Ориентированный объём — объём со знаком (может быть отрицательным).
|
||||||
|
Параллелепипед — “коробка”, построенная на трёх ребрах-векторах.
|
||||||
|
Компланарны — лежат в одной плоскости. ([Math Insight](https://mathinsight.org/scalar_triple_product?utm_source=chatgpt.com "The scalar triple product"))
|
||||||
|
|
||||||
|
15. Плоскость. Различные виды уравнений плоскости.
|
||||||
|
Плоскость в 3D можно задавать разными эквивалентными уравнениями.
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
(а) Общее (линейное) уравнение плоскости:
|
||||||
|
[
|
||||||
|
Ax+By+Cz+D=0.
|
||||||
|
]
|
||||||
|
Вектор (\mathbf n=(A,B,C)) перпендикулярен плоскости и называется нормальным. ([Mathematics LibreTexts](https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/CLP-3_Multivariable_Calculus_%28Feldman_Rechnitzer_and_Yeager%29/01%3A_Vectors_and_Geometry_in_Two_and_Three_Dimensions/1.04%3A_Equations_of_Planes_in_3d?utm_source=chatgpt.com "1.4: Equations of Planes in 3d"))
|
||||||
|
|
||||||
|
(б) Точка–нормаль (point–normal form). Если плоскость проходит через точку (P_0(x_0,y_0,z_0)) и имеет нормаль (\mathbf n=(A,B,C)), то:
|
||||||
|
[
|
||||||
|
A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.
|
||||||
|
]
|
||||||
|
Раскрывая скобки, получают общий вид. ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_planes_in_three-dimensional_space?utm_source=chatgpt.com "Euclidean planes in three-dimensional space"))
|
||||||
|
|
||||||
|
(в) Параметрическое задание. Если известна точка (\mathbf r_0) на плоскости и два неколлинеарных направляющих вектора (\mathbf v,\mathbf w), лежащих в плоскости, то любая точка плоскости:
|
||||||
|
[
|
||||||
|
\mathbf r=\mathbf r_0+s\mathbf v+t\mathbf w.
|
||||||
|
]
|
||||||
|
([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_planes_in_three-dimensional_space?utm_source=chatgpt.com "Euclidean planes in three-dimensional space"))
|
||||||
|
|
||||||
|
Пример 1 (по точке и нормали).
|
||||||
|
Точка (P_0(1,0,0)), нормаль (\mathbf n=(2,-1,3)). Тогда
|
||||||
|
[
|
||||||
|
2(x-1)-1(y-0)+3(z-0)=0 \Rightarrow 2x-y+3z-2=0.
|
||||||
|
]
|
||||||
|
|
||||||
|
Пример 2 (по трём точкам).
|
||||||
|
Пусть (A(1,0,0)), (B(0,1,0)), (C(0,0,1)).
|
||||||
|
Векторы в плоскости: (\overrightarrow{AB}=(-1,1,0)), (\overrightarrow{AC}=(-1,0,1)).
|
||||||
|
Нормаль (\mathbf n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}). Считаем:
|
||||||
|
[
|
||||||
|
(-1,1,0)\times(-1,0,1)=(1,1,1).
|
||||||
|
]
|
||||||
|
Уравнение через точку (A(1,0,0)):
|
||||||
|
[
|
||||||
|
1(x-1)+1(y-0)+1(z-0)=0\Rightarrow x+y+z-1=0.
|
||||||
|
]
|
||||||
|
|
||||||
|
Термины.
|
||||||
|
Плоскость — множество точек, образующее “ровную” 2D-поверхность в 3D.
|
||||||
|
Нормальный вектор (нормаль) (\mathbf n) — вектор, перпендикулярный плоскости.
|
||||||
|
Точка–нормаль форма — задание плоскости через точку на ней и нормаль.
|
||||||
|
Параметрическое уравнение — задание множества точек через параметры (s,t).
|
||||||
|
Неколлинеарные векторы — не лежат на одной прямой (не являются кратными). ([Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_planes_in_three-dimensional_space?utm_source=chatgpt.com "Euclidean planes in three-dimensional space"))
|
||||||
66
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/пример.md
Normal file
66
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/пример.md
Normal file
@@ -0,0 +1,66 @@
|
|||||||
|
1. $y=5x^{4}$
|
||||||
|
$y'=20x^{3}$
|
||||||
|
2. $y=\sqrt{ x }$
|
||||||
|
$y'=\dfrac{1}{2\sqrt{ x }}$
|
||||||
|
3. $y=\dfrac{1}{x^{3}}$
|
||||||
|
$y'=-3 \dfrac{1}{x^{4}}$
|
||||||
|
4. $y=3x^{2}-7x+1$
|
||||||
|
$y'=6x-7$
|
||||||
|
5. $y=(x-2)^{5}$
|
||||||
|
$a=(x-2)^{5}$
|
||||||
|
$a'=5(x-2)^{4}$
|
||||||
|
$b=x-2$
|
||||||
|
$b'=1$
|
||||||
|
$y'=a'b\cdot b'=5(x-2)^{4}$
|
||||||
|
|
||||||
|
6. $y=x^{2}\sin x$
|
||||||
|
$y'=ab'+a'b$
|
||||||
|
$a=x^{2}$
|
||||||
|
$a'=2x$
|
||||||
|
$b=\sin x$
|
||||||
|
$b'=\cos x$
|
||||||
|
$y'=x^{2}\cos x+2x\sin x$
|
||||||
|
7. $y=(x+1)e^{ x }$
|
||||||
|
$y'=ab'+a'b$
|
||||||
|
$a=(x+1)$
|
||||||
|
$a'=1$
|
||||||
|
$b=b'=e^{ x }$
|
||||||
|
$y'=e^{ x }+(x+1)e^{ x }=e^{ x }(x+2)$
|
||||||
|
8. $y=\dfrac{x^{2}+1}{x-1}$
|
||||||
|
$y'=\dfrac{a'b-ab'}{b^{2}}$
|
||||||
|
$a=x^{2}+1$
|
||||||
|
$a'=2x$
|
||||||
|
$b=x-1$
|
||||||
|
$b'=1$
|
||||||
|
$y'=\dfrac{2x(x-1)-(x^{2}+1)}{(x-1)^{2}}$
|
||||||
|
9. $y=\dfrac{\ln x}{x}$
|
||||||
|
$y'=\dfrac{a'b-ab'}{b^{2}}$
|
||||||
|
$a=\ln x$
|
||||||
|
$a'=\dfrac{1}{x}$
|
||||||
|
$b=x$
|
||||||
|
$b'=1$
|
||||||
|
$y'=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}$
|
||||||
|
|
||||||
|
10. $y=\sin(3x)$
|
||||||
|
$y'=3\cos(3x)$
|
||||||
|
11. $y=\cos(x^{2})$
|
||||||
|
$y'=-2x\sin(x^{2})$
|
||||||
|
12. $y=e^{ 2x-1 }$
|
||||||
|
$y'=2e^{ 2x-1 }$
|
||||||
|
13. $y=\ln(5x+2)$
|
||||||
|
$y'=\dfrac{5}{5x+2}$
|
||||||
|
14. $y=\sqrt{ 1-x^{2} }$
|
||||||
|
$y'=-\dfrac{1}{\sqrt{ 1-x^{2} }}$
|
||||||
|
|
||||||
|
15. $y=\dfrac{x}{(1-x)^{2}(1+x)^{3}}$
|
||||||
|
$y'=\dfrac{a'b-ab'}{b^{2}}$
|
||||||
|
$a=x$
|
||||||
|
$a'=1$
|
||||||
|
$b=(1-x)^{2}(1+x)^{3}$
|
||||||
|
$b'=mn'+m'n$
|
||||||
|
$m=(1-x)^{2}$
|
||||||
|
$m'=-2(1-x)$
|
||||||
|
$n=(1+x)^{3}$
|
||||||
|
$n'=3(1+x)^{2}$
|
||||||
|
$b'=(1-x)^{2}\cdot3(1+x)^{2}-2(1-x)\cdot(1+x)^{3}=(1-x)(1+x)^{2}(3(1-x)-2(1+x))$
|
||||||
|
$y'=\dfrac{(1-x)^{2}(1+x)^{3}-x((1-x)(1+x)^{2}(3(1-x)-2(1+x)))}{((1-x)^{2}(1+x)^{3})^{2}}$
|
||||||
68
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/экзамены.md
Normal file
68
Записи/1 СЕМ/Вышмат/math-200/экзамены.md
Normal file
@@ -0,0 +1,68 @@
|
|||||||
|
- [ ] 1 ОТВЕТИТЬ ЗАНОВО
|
||||||
|
- [x] 2
|
||||||
|
- [ ] 3 ОТВЕТИТЬ ЗАНОВО
|
||||||
|
- [ ] 4
|
||||||
|
- [ ] 5
|
||||||
|
- [x] 6
|
||||||
|
- [ ] 7 ОТВЕТИТЬ ЗАНОВО
|
||||||
|
- [x] 8
|
||||||
|
- [ ] 9
|
||||||
|
- [ ] 10
|
||||||
|
- [ ] 11
|
||||||
|
- [x] 12
|
||||||
|
- [ ] 13
|
||||||
|
- [ ] 14
|
||||||
|
- [x] 15
|
||||||
|
- [ ] 16
|
||||||
|
- [ ] 17
|
||||||
|
- [ ] 18
|
||||||
|
- [ ] 19
|
||||||
|
- [ ] 20
|
||||||
|
- [ ] 21
|
||||||
|
- [ ] 22
|
||||||
|
- [ ] 23
|
||||||
|
- [ ] 24
|
||||||
|
- [ ] 25
|
||||||
|
- [x] 26
|
||||||
|
- [ ] 27
|
||||||
|
- [ ] 28
|
||||||
|
- [ ] 29
|
||||||
|
- [x] 30
|
||||||
|
- [x] 31
|
||||||
|
- [ ] 32
|
||||||
|
- [ ] 33
|
||||||
|
- [x] 34
|
||||||
|
- [ ] 35
|
||||||
|
- [ ] 36
|
||||||
|
- [ ] 37
|
||||||
|
- [x] 38
|
||||||
|
- [x] 39
|
||||||
|
- [ ] 40
|
||||||
|
- [ ] 41
|
||||||
|
- [ ] 42
|
||||||
|
- [ ] 43
|
||||||
|
- [ ] 44
|
||||||
|
- [ ] 45
|
||||||
|
- [ ] 46
|
||||||
|
- [ ] 47
|
||||||
|
- [ ] 48
|
||||||
|
- [ ] 49
|
||||||
|
- [ ] 50
|
||||||
|
- [ ] 51 ОТВЕТИТЬ ПОЗЖЕ
|
||||||
|
- [ ] 52 ОТВЕТИТЬ ПОЗЖЕ
|
||||||
|
- [ ] 53
|
||||||
|
- [ ] 54
|
||||||
|
- [ ] 55
|
||||||
|
- [ ] 56
|
||||||
|
- [ ] 57
|
||||||
|
- [ ] 58
|
||||||
|
- [ ] 59
|
||||||
|
- [ ] 60
|
||||||
|
- [ ] 61
|
||||||
|
- [ ] 62
|
||||||
|
- [x] 63
|
||||||
|
- [ ] 64
|
||||||
|
- [ ] 65
|
||||||
|
- [ ] 66
|
||||||
|
- [ ] 67
|
||||||
|
- [ ] 68
|
||||||
@@ -0,0 +1,76 @@
|
|||||||
|
ч#Лекция #ВысшаяМатематика
|
||||||
|
# Лекция 1. Введение
|
||||||
|
1. Комплексные числа
|
||||||
|
2. Теория матриц
|
||||||
|
3. Решение линейных алгебраических систем
|
||||||
|
4. Аналитическая геометрия (векторы в трехмерном пространстве, плоскости и прямые в трехмерном пространстве)
|
||||||
|
5. Математический анализ
|
||||||
|
## Множества чисел
|
||||||
|
$N$ - натуральные числа (${1; 2; 3; 4; \dots}$)
|
||||||
|
$Z$ - множество целых чисел (${\dots; -2; -1; 0; 1; 2; \dots}$)
|
||||||
|
$Z_{+}$ - множество неотрицательных чисел
|
||||||
|
$Z_{-}$ - множество неположительных чисел
|
||||||
|
$Q = \left\{\frac{m}{n}\right\}$, где $m\in Z_{+}$, а $n\in N$
|
||||||
|
$R$ - вещественные или действительное числа
|
||||||
|
## Модуль числа
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|x| =
|
||||||
|
\begin{cases}
|
||||||
|
x, x > 0\\
|
||||||
|
0, x = 0 \\
|
||||||
|
-x, x < 0
|
||||||
|
\end{cases}
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
Свойства модулей:
|
||||||
|
1. $|x| \geq 0$
|
||||||
|
2. $|x_{1}x_{2}| = |x_{1}| * |x_{2}|$
|
||||||
|
3. $|\frac{x_{1}}{x_{2}}| = \frac{|x_{1}|}{|x_{2}|}$
|
||||||
|
4. $|x_{1}+x_{2}|$
|
||||||
|
|
||||||
|
## Константные переменные
|
||||||
|
$\pi=3.141596\dots$
|
||||||
|
$e=2.718281828\dots$
|
||||||
|
$\log_{e}x=\ln x$
|
||||||
|
|
||||||
|
## Комплексные числа в алгебраической форме
|
||||||
|
Комлексное число - выражение вида $x+iy$, где $x, y$ - вещественные числа, а $i$ - мнимая единица ($i^2 = -1$)
|
||||||
|
Геометрическая интерпретация комплексного числа - точка в пространстве.
|
||||||
|
|
||||||
|
$x = x + 0*i$ - вещественное число становится частным случаем комплексного числа.
|
||||||
|
$yi$ - чисто мнимое число
|
||||||
|
### Углы
|
||||||
|
Все углы измеряются в радианах.
|
||||||
|
$\varepsilon=\sqrt{ x^2+y^2 }$ = $|Z|$ - модуль комплексного числа
|
||||||
|
$Z = x + iy = r\cos \varphi + ir\sin \varphi = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$
|
||||||
|
|
||||||
|
Налево (против часовой стрелки) - положительные углы
|
||||||
|
Направо (по часовой стрелке) - отрицательные углы
|
||||||
|
### Пример
|
||||||
|
1. $Z=1+i\sqrt{ 3 }=2\left( \cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3} \right)$
|
||||||
|
$|Z|=\sqrt{ 1^2 + \sqrt{ 3 }^2 }=2$
|
||||||
|
$\cos \varphi=\frac{1}{2}$
|
||||||
|
$\sin \varphi=\frac{\sqrt{ 3 }}{2}$
|
||||||
|
$\varphi=\frac{\pi}{3}$
|
||||||
|
2. $Z=1-i=\sqrt{ 2 }\left( \cos \frac{7\pi}{4}+i\sin \frac{7\pi}{4} \right)$
|
||||||
|
$arg\text{ Z}=\frac{7\pi}{4}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$arg\text{ Z}$ - главное значение так, что $arg\text{ Z}\in[0;2\pi)$
|
||||||
|
$\varphi=Arg\text{ Z}=arg\text{ Z} + 2\pi k$, где $k\in Z$
|
||||||
|
|
||||||
|
$Z=x+iy$
|
||||||
|
$x=\mathrm{Re}Z$ ($\mathrm{Re}$ - real, вещественный)
|
||||||
|
$y=\mathrm{Im}Z$ ($\mathrm{Im}$ - imaginaire, мнимый)
|
||||||
|
### Действия
|
||||||
|
1. **Равенство**
|
||||||
|
$Z_{1}=x_{1}+iy_{1};Z_{2}=x_{2}+iy_{2}$
|
||||||
|
$Z_{1}=Z_{2}\Leftrightarrow \begin{cases} x_{1}=x_{2}\\y_{1}=y_{2} \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}r_{1}=r_{2}\\\varphi_{1}+2\pi k=\varphi_{2}+2\pi k, k\in Z_{+}\end{cases}$
|
||||||
|
$(Z=0\Leftrightarrow\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases})$
|
||||||
|
2. **Сложение**
|
||||||
|
$Z=Z_{1}+Z_{2}\Leftrightarrow\begin{cases}x=x_{1}+x_{2}\\y=y_{1}+y_{2}\end{cases}$
|
||||||
|
Пример: $(2+3i)+(1-i)=(2+1)+i(3-1)=3+2i$
|
||||||
|
3. **Вычитание**
|
||||||
|
Обратное сложению действие
|
||||||
|
4. **Умножение**
|
||||||
|
$Z=Z_{1}*Z_{2}\Leftrightarrow\begin{cases}x=x_{1}x_{2}\\y=y_{1}y_{2}\end{cases}$
|
||||||
|
$(x_{1}+iy_{1})(x_{2}+iy_{2})=x_{1}x_{2}+ix_{1}y_{2}+ix_{2}y_{1}+i^2y_{1}y_{2}$
|
||||||
|
Пример: $(2-3i)(5+i)=2*5-3*5i+7i-3i^2=10+3+i(-15+2)=13-13i$
|
||||||
69
Записи/1 СЕМ/Вышмат/ДЗ Высшая математика.md
Normal file
69
Записи/1 СЕМ/Вышмат/ДЗ Высшая математика.md
Normal file
@@ -0,0 +1,69 @@
|
|||||||
|
1)
|
||||||
|
Пример:
|
||||||
|
$\mathrm{Re}\left( \frac{3-i}{1+3i} \right)\times \mathrm{Im}\left( \frac{2-i}{1+3i} \right)$
|
||||||
|
|
||||||
|
Решение:
|
||||||
|
$\mathrm{Re}:$
|
||||||
|
$\frac{(3-i)(1-3i)}{1^{2}+3^{2}}=\frac{0-10i}{10}=-i$
|
||||||
|
$\mathrm{Im}:$
|
||||||
|
$\frac{(2-i)(1-3i)}{1^{2}+3^{2}}=\frac{-1-7i}{10}=-0.1-0.7i$
|
||||||
|
$\mathrm{Re}\times \mathrm{Im}=0\times(-0.7)=0$
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
3)
|
||||||
|
Пример:
|
||||||
|
$z^{2}+(2+4i)z+6+4i=0$
|
||||||
|
|
||||||
|
Решение:
|
||||||
|
$D=(2+4i)^{2}-24-16i=4-16+16i-24-16i=-36$
|
||||||
|
$z_{1,2}=\frac{-2-4i\pm\sqrt{ -36 }}{2}=-1-5i;-1+i$
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
4)
|
||||||
|
Пример:
|
||||||
|
$|z|+z=8+4i$
|
||||||
|
|
||||||
|
Решение:
|
||||||
|
$(z=a+ib)$
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
\sqrt{ a^{2}+b^{2} }+a-8+ib-4i=0 \implies
|
||||||
|
\begin{cases}
|
||||||
|
\sqrt{ a^{2}+b^{2} }+a-8=0 \\
|
||||||
|
ib-4i=0
|
||||||
|
\end{cases}
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
$b=4$
|
||||||
|
$\sqrt{ a^{2}+16 }=8-a\implies a\leq 8$
|
||||||
|
$a^{2}+16=a^{2}-16a+64$
|
||||||
|
$a=3$
|
||||||
|
$z=3+4i$
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
5)
|
||||||
|
Пример:
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
\begin{cases}
|
||||||
|
2z_{1}+3z_{2}=7-i \\
|
||||||
|
iz_{1}-2z_{2}=-3+4i
|
||||||
|
\end{cases}
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
Решение:
|
||||||
|
$z_{1}=3.5-0.5i-1.5z_{2}$
|
||||||
|
$3.5i+0.5-1.5iz_{2}-2z_{2}=-3+4i$
|
||||||
|
$z_{2}(2+1.5i)=3-4i+3.5i+0.5$
|
||||||
|
$z_{2}=\frac{3.5-0.5i}{2+1.5i}=\frac{(3.5-0.5i)(2-1.5i)}{4+2.25}=\frac{7-0.75-i-5.25i}{6.25}=1-i$
|
||||||
|
$2z_{1}+3-3i=7-i$
|
||||||
|
$z_{1}=2+i$
|
||||||
|
$z_{2}=1-i$
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
7)
|
||||||
|
Пример:
|
||||||
|
$\frac{(1-i)(-3-i\sqrt{ 3 })}{(2+2i)(i+\sqrt{ 3 })}$
|
||||||
|
|
||||||
|
Решение:
|
||||||
|
$\frac{-\sqrt{ 3 }(1-i){(i+\sqrt{ 3 })}}{2(1+i){(i+\sqrt{ 3 })}}=$
|
||||||
|
$-\frac{\sqrt{ 3 }}{2}\cdot\frac{(1-i)^{2}}{1^{2}+1^{2}}=$
|
||||||
|
$-\frac{\sqrt{ 3 }}{2}\cdot\frac{-2i}{2}=\frac{i\sqrt{ 3 }}{2}$
|
||||||
|
|
||||||
Binary file not shown.
Reference in New Issue
Block a user