new init
This commit is contained in:
snusxd
@@ -0,0 +1,7 @@
|
||||
## N номер
|
||||
#учеба #семестр_1 #высшая_математика
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
@@ -0,0 +1,467 @@
|
||||
## 30 номер
|
||||
#учеба #семестр_1 #высшая_математика
|
||||
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$x^3+1=0$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$
|
||||
$x = -1;$
|
||||
$x^2-x+1=0$
|
||||
$D = -3$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: } x=\dfrac{1\pm i\sqrt{ 3 }}{2}$
|
||||
|
||||
## 31 номер
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$x^4-4x^2+5=0$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$t=x^{2}$
|
||||
$t^2-4t+5=0$
|
||||
$D=-4$
|
||||
$t=\dfrac{4\pm 2i}{2}=2\pm i$
|
||||
|
||||
$x^2=2\pm i$
|
||||
|
||||
$\text{1. }x^2=2+i$
|
||||
$x=a+bi$
|
||||
$(a+bi)^2=(a^2-b^2)+2abi=2+i$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
a^2-b^2=2 \\
|
||||
2abi=i; 2ab=1
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$(a^2+b^2)^2=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2=2^2+1^2=5$
|
||||
$a^2+b^2=\sqrt{5}$
|
||||
$a^2=\dfrac{(a^2+b^2)+(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{ 5 }+2}{2}$
|
||||
$b^2=\dfrac{(a^2+b^2)-(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{ 5 }-2}{2}$
|
||||
$x_{1}=\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }+2}{2} }+i\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }-2}{2} }$
|
||||
$x_{2}=-( \sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }+2}{2} }+i\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }-2}{2} } )$
|
||||
|
||||
$\text{2. }x^2=2-i$
|
||||
$2-i=\overline{(2+i)}$
|
||||
$x_{3}=\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }+2}{2} }-i\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }-2}{2} }$
|
||||
$x_{4}=-( \sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }+2}{2} }-i\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }-2}{2} } )$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ:}$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{array} \\
|
||||
x_{1}=\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }+2}{2} }+i\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }-2}{2} } \\
|
||||
x_{2}=-( \sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }+2}{2} }+i\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }-2}{2} } ) \\
|
||||
x_{3}=\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }+2}{2} }-i\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }-2}{2} } \\
|
||||
x_{4}=-( \sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }+2}{2} }-i\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }-2}{2} } )
|
||||
\end{array}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
## 32 номер
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$x^4+4x^2+20=0$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$t=x^{2}$
|
||||
$t^2+4t+20=0$
|
||||
$D=-64$
|
||||
$t=\dfrac{-4\pm 8i}{2}=-2\pm 4i$
|
||||
|
||||
$x^2=-2\pm 4i$
|
||||
|
||||
$\text{1. }x^2=-2+4i$
|
||||
$x=a+bi$
|
||||
$(a+bi)^2=(a^2-b^2)+2abi=-2+4i$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
a^2-b^2=-2 \\
|
||||
2ab=4
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$(a^2+b^2)^2=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2=(-2)^2+4^2=20$
|
||||
$a^2+b^2=\sqrt{20}=2\sqrt5$
|
||||
$a^2=\dfrac{(a^2+b^2)+(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{2\sqrt5-2}{2}=\sqrt5-1$
|
||||
$b^2=\dfrac{(a^2+b^2)-(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{2\sqrt5+2}{2}=\sqrt5+1$
|
||||
|
||||
$x_{1}=\sqrt{\sqrt5-1}+i\sqrt{\sqrt5+1}$
|
||||
$x_{2}=-(\sqrt{\sqrt5-1}+i\sqrt{\sqrt5+1})$
|
||||
|
||||
$\text{2. }x^2=-2-4i$
|
||||
$-2-4i=\overline{(-2+4i)}$
|
||||
|
||||
$x_{3}=\sqrt{\sqrt5-1}-i\sqrt{\sqrt5+1}$
|
||||
$x_{4}=-(\sqrt{\sqrt5-1}-i\sqrt{\sqrt5+1})$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ:}$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{array}{l}
|
||||
x_{1}=\sqrt{\sqrt5-1}+i\sqrt{\sqrt5+1}\\
|
||||
x_{2}=-(\sqrt{\sqrt5-1}+i\sqrt{\sqrt5+1})\\
|
||||
x_{3}=\sqrt{\sqrt5-1}-i\sqrt{\sqrt5+1}\\
|
||||
x_{4}=-(\sqrt{\sqrt5-1}-i\sqrt{\sqrt5+1})
|
||||
\end{array}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
## 33 номер
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$x^4-6x^2+13=0$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$t=x^{2}$
|
||||
$t^2-6t+13=0$
|
||||
$D=-16$
|
||||
$t=\dfrac{6\pm4i}{2}=3\pm2i$
|
||||
|
||||
$x^2=3\pm2i$
|
||||
|
||||
$\text{1. }x^2=3+2i$
|
||||
$x=a+bi$
|
||||
$(a+bi)^2=(a^2-b^2)+2abi=3+2i$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
a^2-b^2=3 \\
|
||||
2ab=2
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$(a^2+b^2)^2=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2=3^2+2^2=13$
|
||||
$a^2+b^2=\sqrt{13}$
|
||||
$a^2=\dfrac{(a^2+b^2)+(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{13}+3}{2}$
|
||||
$b^2=\dfrac{(a^2+b^2)-(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}$
|
||||
|
||||
$x_{1}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}+3}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}}$
|
||||
$x_{2}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}+3}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}})$
|
||||
|
||||
$\text{2. }x^2=3-2i$
|
||||
$3-2i=\overline{(3+2i)}$
|
||||
|
||||
$x_{3}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}+3}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}}$
|
||||
$x_{4}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}+3}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}})$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ:}$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{array}{l}
|
||||
x_{1}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}+3}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}}\\
|
||||
x_{2}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}+3}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}})\\
|
||||
x_{3}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}+3}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}}\\
|
||||
x_{4}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}+3}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}})
|
||||
\end{array}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
## 34 номер
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$x^4 + 2x^2 + 17 = 0$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$t=x^{2}$
|
||||
$t^2+2t+17=0$
|
||||
$D=-64$
|
||||
$t=\dfrac{-2\pm 8i}{2}=-1\pm 4i$
|
||||
|
||||
$x^2=-1\pm 4i$
|
||||
|
||||
$\text{1. }x^2=-1+4i$
|
||||
$x=a+bi$
|
||||
$(a+bi)^2=(a^2-b^2)+2abi=-1+4i$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
a^2-b^2=-1 \\
|
||||
2ab=4
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$(a^2+b^2)^2=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2=(-1)^2+4^2=17$
|
||||
$a^2+b^2=\sqrt{17}$
|
||||
$a^2=\dfrac{(a^2+b^2)+(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{17}-1}{2}$
|
||||
$b^2=\dfrac{(a^2+b^2)-(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{17}+1}{2}$
|
||||
|
||||
$x_{1}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}-1}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}+1}{2}}$
|
||||
$x_{2}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}-1}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}+1}{2}})$
|
||||
|
||||
$\text{2. }x^2=-1-4i$
|
||||
$-1-4i=\overline{(-1+4i)}$
|
||||
|
||||
$x_{3}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}-1}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}+1}{2}}$
|
||||
$x_{4}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}-1}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}+1}{2}})$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ:}$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{array}{l}
|
||||
x_{1}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}-1}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}+1}{2}}\\
|
||||
x_{2}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}-1}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}+1}{2}})\\
|
||||
x_{3}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}-1}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}+1}{2}}\\
|
||||
x_{4}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}-1}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}+1}{2}})
|
||||
\end{array}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
## 35 номер
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$x^4 + 10x^2 + 61 = 0$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$t=x^{2}$
|
||||
$t^2+10t+61=0$
|
||||
$D-144$
|
||||
$t=\dfrac{-10\pm 12i}{2}=-5\pm 6i$
|
||||
|
||||
$x^2=-5\pm 6i$
|
||||
|
||||
$\text{1. }x^2=-5+6i$
|
||||
$x=a+bi$
|
||||
$(a+bi)^2=(a^2-b^2)+2abi=-5+6i$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
a^2-b^2=-5 \\
|
||||
2ab=6
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$(a^2+b^2)^2=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2=(-5)^2+6^2=61$
|
||||
$a^2+b^2=\sqrt{61}$
|
||||
$a^2=\dfrac{(a^2+b^2)+(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{61}-5}{2}$
|
||||
$b^2=\dfrac{(a^2+b^2)-(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{61}+5}{2}$
|
||||
|
||||
$x_{1}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}-5}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}+5}{2}}$
|
||||
$x_{2}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}-5}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}+5}{2}})$
|
||||
|
||||
$\text{2. }x^2=-5-6i$
|
||||
$-5-6i=\overline{(-5+6i)}$
|
||||
|
||||
$x_{3}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}-5}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}+5}{2}}$
|
||||
$x_{4}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}-5}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}+5}{2}})$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ:}$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{array}{l}
|
||||
x_{1}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}-5}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}+5}{2}}\\
|
||||
x_{2}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}-5}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}+5}{2}})\\
|
||||
x_{3}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}-5}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}+5}{2}}\\
|
||||
x_{4}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}-5}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}+5}{2}})
|
||||
\end{array}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
## 36 номер
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$x^4 − x^2 + 37 = 0$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$t=x^{2}$
|
||||
$t^2-t+37=0$
|
||||
$D-147$
|
||||
$t=\dfrac{1\pm\sqrt{-147}}{2}=\dfrac{1\pm 7i\sqrt3}{2}$
|
||||
|
||||
$x^2=\dfrac{1\pm 7i\sqrt3}{2}$
|
||||
|
||||
$\text{1. }x^2=\dfrac{1+7i\sqrt3}{2}$
|
||||
$x=a+bi$
|
||||
$(a+bi)^2=(a^2-b^2)+2abi=\dfrac{1+7i\sqrt3}{2}$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
a^2-b^2=\dfrac{1}{2} \\
|
||||
2ab=\dfrac{7\sqrt3}{2}
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$(a^2+b^2)^2=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2=(\dfrac{1}{2})^2+(\dfrac{7\sqrt3}{2})^2=\dfrac{1}{4}+\dfrac{147}{4}=37$
|
||||
$a^2+b^2=\sqrt{37}$
|
||||
|
||||
$a^2=\dfrac{(a^2+b^2)+(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{37}+\frac{1}{2}}{2}=\dfrac{2\sqrt{37}+1}{4}$
|
||||
|
||||
$b^2=\dfrac{(a^2+b^2)-(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{37}-\frac{1}{2}}{2}=\dfrac{2\sqrt{37}-1}{4}$
|
||||
|
||||
$x_{1}=\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}+1}{4}}+i\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}-1}{4}}$
|
||||
$x_{2}=-(\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}+1}{4}}+i\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}-1}{4}})$
|
||||
|
||||
$\text{2. }x^2=\dfrac{1-7i\sqrt3}{2}$
|
||||
$\dfrac{1-7i\sqrt3}{2}=\overline{(\dfrac{1+7i\sqrt3}{2})}$
|
||||
|
||||
$x_{3}=\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}+1}{4}}-i\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}-1}{4}}$
|
||||
$x_{4}=-(\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}+1}{4}}-i\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}-1}{4}})$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ:}$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{array}{l}
|
||||
x_{1}=\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}+1}{4}}+i\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}-1}{4}}\\
|
||||
x_{2}=-(\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}+1}{4}}+i\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}-1}{4}})\\
|
||||
x_{3}=\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}+1}{4}}-i\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}-1}{4}}\\
|
||||
x_{4}=-(\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}+1}{4}}-i\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}-1}{4}})
|
||||
\end{array}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
## 37 номер
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$x^4 + 6x^2 + 8 = 0$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$t=x^{2}$
|
||||
$t^2+6t+8=0$
|
||||
$D=6^2-4\cdot1\cdot8=36-32=4$
|
||||
$t=\dfrac{-6\pm\sqrt{4}}{2}=-3\pm1$
|
||||
|
||||
$t_1=-2,\quad t_2=-4$
|
||||
|
||||
$x^2=-2\ \ \text{or}\ \ x^2=-4$
|
||||
|
||||
$\text{1. }x^2=-2$
|
||||
$x=\pm\sqrt{-2}=\pm i\sqrt2$
|
||||
$x_{1}=i\sqrt2$
|
||||
$x_{2}=-i\sqrt2$
|
||||
|
||||
$\text{2. }x^2=-4$
|
||||
$x=\pm\sqrt{-4}=\pm 2i$
|
||||
$x_{3}=2i$
|
||||
$x_{4}=-2i$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ:}$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{array}{l}
|
||||
x_{1}=i\sqrt2\\
|
||||
x_{2}=-i\sqrt2\\
|
||||
x_{3}=2i\\
|
||||
x_{4}=-2i
|
||||
\end{array}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
## 38 номер
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$x4 + 8x^2 + 41 = 0$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$t=x^{2}$
|
||||
$t^2+8t+41=0$
|
||||
$D=8^2-4\cdot1\cdot41=64-164=-100$
|
||||
$t=\dfrac{-8\pm\sqrt{-100}}{2}=\dfrac{-8\pm 10i}{2}=-4\pm 5i$
|
||||
|
||||
$x^2=-4\pm 5i$
|
||||
|
||||
$\text{1. }x^2=-4+5i$
|
||||
$x=a+bi$
|
||||
$(a+bi)^2=(a^2-b^2)+2abi=-4+5i$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
a^2-b^2=-4 \\
|
||||
2ab=5
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$(a^2+b^2)^2=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2=(-4)^2+5^2=41$
|
||||
$a^2+b^2=\sqrt{41}$
|
||||
$a^2=\dfrac{(a^2+b^2)+(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{41}-4}{2}$
|
||||
$b^2=\dfrac{(a^2+b^2)-(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{41}+4}{2}$
|
||||
|
||||
$x_{1}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}-4}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}+4}{2}}$
|
||||
$x_{2}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}-4}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}+4}{2}})$
|
||||
|
||||
$\text{2. }x^2=-4-5i$
|
||||
$-4-5i=\overline{(-4+5i)}$
|
||||
|
||||
$x_{3}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}-4}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}+4}{2}}$
|
||||
$x_{4}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}-4}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}+4}{2}})$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ:}$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{array}{l}
|
||||
x_{1}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}-4}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}+4}{2}}\\
|
||||
x_{2}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}-4}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}+4}{2}})\\
|
||||
x_{3}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}-4}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}+4}{2}}\\
|
||||
x_{4}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}-4}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}+4}{2}})
|
||||
\end{array}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
## 39 номер
|
||||
|
||||
### Условие:
|
||||
|
||||
$z-i\leq 1$
|
||||
|
||||
### Область:
|
||||
|
||||
![[Pasted image 20251225172031.png]]
|
||||
|
||||
## 40 номер
|
||||
|
||||
### Условие:
|
||||
|
||||
$\mathrm{Re}(z)\leq 3$
|
||||
|
||||
### Область:
|
||||
|
||||
![[Pasted image 20251225172459.png]]
|
||||
|
||||
## 41 номер
|
||||
|
||||
### Условие:
|
||||
|
||||
$z\leq 2 \ \ \text{and} \ \ \mathrm{Re}(z)\geq 0$
|
||||
|
||||
### Область:
|
||||
|
||||
![[Pasted image 20251225173000.png]]
|
||||
|
||||
## 42 номер
|
||||
|
||||
### Условие:
|
||||
|
||||
$arg(z)\leq \dfrac{\pi}{6}$
|
||||
|
||||
### Область:
|
||||
|
||||
![[Pasted image 20251225174710.png]]
|
||||
|
||||
## 43 номер
|
||||
|
||||
### Условие:
|
||||
$z=5;arg(z)\leq \dfrac{\pi}{3}$
|
||||
|
||||
### Область:
|
||||
![[IMG_0055.jpeg]]
|
||||
|
||||
## 44 номер
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
$z+i\leq1; \mathrm{Im}\leq -1$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
![[IMG_0056.jpeg]]
|
||||
@@ -0,0 +1,615 @@
|
||||
## 4 номер – П 3.2.17
|
||||
#учеба #семестр_1 #высшая_математика
|
||||
|
||||
|
||||
### Доказать:
|
||||
|
||||
$\overline{d}=\overline{c}\cdot(\overline{b}\cdot\overline{a})-\overline{a}\cdot(\overline{b}\cdot\overline{c})$
|
||||
$\overline{d}\perp \overline{b}$
|
||||
|
||||
### Доказательство:
|
||||
|
||||
$\overline{b}\cdot \overline{d}=\overline{b}\cdot(\overline{c}\cdot(\overline{b}\cdot\overline{a})-\overline{a}\cdot(\overline{b}\cdot\overline{c}))=\overline{b}(\overline{c}(\overline{b}\overline{c}))-\overline{b}(\overline{a}(\overline{b}\overline{a}))=(\overline{b}\overline{a})(\overline{b}\overline{c})-(\overline{b}\overline{c})(\overline{b}\overline{a})=0$
|
||||
$\text{Скалярное произведение векторов равно 0, значит векторы расположены перпендикулярно.}$
|
||||
|
||||
## 8 номер – П 3.2.21
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\vec{F}_{1}=\vec{i}-\vec{j}+\vec{k}$
|
||||
$\vec{F}_{2}=2\vec{i}+\vec{j}+3\vec{k}$
|
||||
$M(2;-1;-1)$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\vec{F}=\vec{F}_{1}+\vec{F_{2}}=3\vec{i}+0\vec{j}+4\vec{k}=(3;0;4)$
|
||||
$A=\vec{F}\cdot \vec{s};$
|
||||
$\vec{s}=(2;-1;-1)$
|
||||
$A=3\cdot2+4\cdot(-1)=2$
|
||||
$\text{Ответ: 2}$
|
||||
|
||||
## 9 номер – П 3.2.22
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\vec{b}=\lambda \vec{i}-5\vec{j}+3\vec{k}$
|
||||
$\vec{c}=\vec{i}+2\vec{j}-\lambda \vec{k}$
|
||||
$\lambda = ?;\ \vec{b}\cdot \vec{c}=0$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\vec{b}\cdot \vec{c}=\lambda-10-3\lambda=-2\lambda-10$
|
||||
$-2\lambda-10=0;\ -2\lambda=10;\ \lambda=-5$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: -5}$
|
||||
|
||||
## 13 номер – П 3.3.6
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\vec{a}=\vec{i}-2\vec{j}+5\vec{k}$
|
||||
$\vec{b}=5\vec{j}-7\vec{k}$
|
||||
$\vec{a}=(1;-2;5)$
|
||||
$\vec{b}=(0;5;-7)$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$S=\dfrac{1}{2}|\vec{a}\cdot\vec{b}|$
|
||||
|
||||
$\vec{a}\cdot\vec{b}=-11\vec{i}+7\vec{j}+5\vec{k}=(-11;7;5)$
|
||||
|
||||
$|\vec{a}\cdot\vec{b}|=\sqrt{(-11)^2+7^2+5^2}=\sqrt{121+49+25}=\sqrt{195}$
|
||||
|
||||
$S=\dfrac{1}{2}\sqrt{195}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }\dfrac{\sqrt{195}}{2}$
|
||||
|
||||
## 14 номер – П 3.3.15
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$|\vec{a}|=3$
|
||||
$|\vec{b}|=20$
|
||||
$\vec{a}\vec{b}=30$
|
||||
$|\vec{a}\cdot\vec{b}|=\ ?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$|\vec{a}\cdot\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2\cdot|\vec{b}|^2-(\vec{a}\vec{b})^2$
|
||||
|
||||
$|\vec{a}\cdot\vec{b}|^2=3^2\cdot 20^2-30^2=9\cdot 400-900=3600-900=2700$
|
||||
|
||||
$|\vec{a}\cdot\vec{b}|=\sqrt{2700}=\sqrt{900\cdot 3}=30\sqrt{3}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }30\sqrt{3}$
|
||||
|
||||
## 18 номер – П 3.3.19
|
||||
|
||||
### Дано:
|
||||
|
||||
$\vec{a}=3\vec{p}+2\vec{q}$
|
||||
$\vec{b}=2\vec{p}-\vec{q}$
|
||||
$|\vec{p}|=4$
|
||||
$|\vec{q}|=3$
|
||||
$\angle(\vec{p},\vec{q})=\dfrac{3\pi}{4}$
|
||||
$S=\ ?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$S=|\vec{a}\cdot\vec{b}|$
|
||||
|
||||
$\vec{a}\cdot\vec{b}=3\vec{p}\cdot\vec{p}+3\vec{p}\cdot(-\vec{q})+2\vec{q}\cdot2\vec{p}+2\vec{q}\cdot(-\vec{q})=0-3(\vec{p}\cdot\vec{q})+4(\vec{q}\cdot\vec{p})+0=-7(\vec{p}\cdot\vec{q})$
|
||||
|
||||
$|\vec{a}\cdot\vec{b}|=7|\vec{p}\cdot\vec{q}|$
|
||||
|
||||
$|\vec{p}\cdot\vec{q}|=|\vec{p}|\cdot|\vec{q}|\cdot\sin\angle(\vec{p},\vec{q})=4\cdot 3\cdot\sin(\dfrac{3\pi}{4})=12\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}$
|
||||
|
||||
$S=7\cdot 6\sqrt{2}=42\sqrt{2}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }42\sqrt{2}$
|
||||
|
||||
## 22 номер – П 3.3.25
|
||||
|
||||
### Дано:
|
||||
|
||||
$\vec{a}=(2;\,-2;\,1)$
|
||||
$\vec{b}=(2;\,3;\,6)$
|
||||
$\sin\alpha=\ ?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\sin\alpha=\dfrac{|\vec{a}\cdot\vec{b}|}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}$
|
||||
|
||||
$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{i}\big((-2)\cdot 6-1\cdot 3\big)-\vec{j}\big(2\cdot 6-1\cdot 2\big)+\vec{k}\big(2\cdot 3-(-2)\cdot 2\big)=(-15;\,-10;\,10)$
|
||||
|
||||
$|\vec{a}\cdot\vec{b}|=\sqrt{(-15)^2+(-10)^2+10^2}=\sqrt{225+100+100}=\sqrt{425}=5\sqrt{17}$
|
||||
$|\vec{a}|=\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}=3$
|
||||
$|\vec{b}|=\sqrt{2^2+3^2+6^2}=7$
|
||||
|
||||
$\sin\alpha=\dfrac{5\sqrt{17}}{3\cdot 7}=\dfrac{5\sqrt{17}}{21}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }\dfrac{5\sqrt{17}}{21}$
|
||||
|
||||
## 23 номер – П 3.4.14
|
||||
|
||||
### Дано:
|
||||
|
||||
$\vec{a}\vec{b}\vec{c}=5$
|
||||
$\vec{b}(\vec{c}+\vec{a})(\vec{b}+2\vec{c})=\ ?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\vec{b}(\vec{c}+\vec{a})(\vec{b}+2\vec{c})=\vec{b}\vec{c}(\vec{b}+2\vec{c})+\vec{b}\vec{a}(\vec{b}+2\vec{c})=\vec{b}\vec{c}\vec{b}+2\vec{b}\vec{c}\vec{c}+\vec{b}\vec{a}\vec{b}+2\vec{b}\vec{a}\vec{c}$
|
||||
|
||||
$\vec{b}\vec{c}\vec{b}=0,\ \vec{b}\vec{c}\vec{c}=0,\ \vec{b}\vec{a}\vec{b}=0$
|
||||
|
||||
$\vec{b}(\vec{c}+\vec{a})(\vec{b}+2\vec{c})=2\vec{b}\vec{a}\vec{c}$
|
||||
$\vec{b}\vec{a}\vec{c}=-\vec{a}\vec{b}\vec{c}=-5$
|
||||
|
||||
$\vec{b}(\vec{c}+\vec{a})(\vec{b}+2\vec{c})=2\cdot(-5)=-10$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }-10$
|
||||
|
||||
## 27 номер – П 3.4.19
|
||||
|
||||
### Дано:
|
||||
|
||||
$V=5$
|
||||
$A(2;\,1;\,-1)$
|
||||
$B(3;\,0;\,1)$
|
||||
$C(2;\,-1;\,3)$
|
||||
$D \ \text{лежит на оси}\ Oy$
|
||||
$D=\ ?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$D=(0;\,t;\,0)$
|
||||
|
||||
$\vec{AB}=B-A=(3-2;\,0-1;\,1-(-1))=(1;\,-1;\,2)$
|
||||
$\vec{AC}=C-A=(2-2;\,-1-1;\,3-(-1))=(0;\,-2;\,4)$
|
||||
$\vec{AD}=D-A=(0-2;\,t-1;\,0-(-1))=(-2;\,t-1;\,1)$
|
||||
|
||||
$V=\dfrac{1}{6}|\vec{AB}\vec{AC}\vec{AD}|$
|
||||
|
||||
$\vec{AB}\vec{AC}\vec{AD}=1\cdot\big((-2)\cdot 1-(t-1)\cdot 4\big)= -2-4(t-1)=2-4t=-2(2t-1)$
|
||||
|
||||
$5=\dfrac{1}{6}|-2(2t-1)|=\dfrac{1}{3}|2t-1|$
|
||||
|
||||
$|2t-1|=15$
|
||||
$2t-1=15;\ t=8$
|
||||
$2t-1=-15;\ t=-7$
|
||||
|
||||
$D_1=(0;\,8;\,0),\quad D_2=(0;\,-7;\,0)$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }(0;\,8;\,0)\ \text{или}\ (0;\,-7;\,0)$
|
||||
|
||||
## 28 номер – П 3.4.21
|
||||
|
||||
### Дано:
|
||||
|
||||
$A_{1}(1;\,2;\,3),\ A_{2}(-2;\,4;\,1),\ A_{3}(7;\,6;\,3),\ A_{4}(4;\,-3;\,-1)$
|
||||
|
||||
### Найти:
|
||||
|
||||
а) $|A_{1}A_{2}|,\ |A_{1}A_{3}|,\ |A_{1}A_{4}|$
|
||||
б) $S_{\triangle A_{1}A_{2}A_{3}}$
|
||||
в) $\angle(A_{1}A_{4},A_{1}A_{3})$
|
||||
г) $V$
|
||||
д) $h$ на грань $A_{1}A_{2}A_{3}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\vec{A_{1}A_{2}}=(-3;\,2;\,-2)$
|
||||
$\vec{A_{1}A_{3}}=(6;\,4;\,0)$
|
||||
$\vec{A_{1}A_{4}}=(3;\,-5;\,-4)$
|
||||
|
||||
а)
|
||||
$|A_{1}A_{2}|=\sqrt{(-3)^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{17}$
|
||||
$|A_{1}A_{3}|=\sqrt{6^2+4^2+0^2}=2\sqrt{13}$
|
||||
$|A_{1}A_{4}|=\sqrt{3^2+(-5)^2+(-4)^2}=5\sqrt{2}$
|
||||
|
||||
б)
|
||||
$S=\dfrac{1}{2}|\vec{A_{1}A_{2}}\cdot\vec{A_{1}A_{3}}|$
|
||||
$\vec{A_{1}A_{2}}\cdot\vec{A_{1}A_{3}}=(8;\,-12;\,-24)$
|
||||
$|\vec{A_{1}A_{2}}\cdot\vec{A_{1}A_{3}}|=\sqrt{784}=28$
|
||||
$S=\dfrac{1}{2}\cdot 28=14$
|
||||
|
||||
в)
|
||||
$\cos\varphi=\dfrac{\vec{A_{1}A_{4}}\cdot\vec{A_{1}A_{3}}}{|A_{1}A_{4}|\cdot|A_{1}A_{3}|}$
|
||||
$\vec{A_{1}A_{4}}\cdot\vec{A_{1}A_{3}}=-2$
|
||||
$\cos\varphi=\dfrac{-2}{(5\sqrt{2})(2\sqrt{13})}=-\dfrac{1}{5\sqrt{26}}$
|
||||
$\varphi=\arccos(-\dfrac{1}{5\sqrt{26}})$
|
||||
|
||||
г)
|
||||
$V=\dfrac{1}{6}|\vec{A_{1}A_{2}}\vec{A_{1}A_{3}}\vec{A_{1}A_{4}}|$
|
||||
$\vec{A_{1}A_{2}}\vec{A_{1}A_{3}}\vec{A_{1}A_{4}}=\begin{vmatrix}-3 & 2 & -2 \\ 6 & 4 & 0 \\ 3 & -5 & -4\end{vmatrix}=180$
|
||||
$V=\dfrac{1}{6}|180|=30$
|
||||
|
||||
д)
|
||||
$V=\dfrac{1}{3}S_{\triangle A_{1}A_{2}A_{3}}\cdot h$
|
||||
$h=6\dfrac{3}{7}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }|A_{1}A_{2}|=\sqrt{17};\ |A_{1}A_{3}|=2\sqrt{13};\ |A_{1}A_{4}|=5\sqrt{2};\ S=14;\ \varphi=\arccos(-\dfrac{1}{5\sqrt{26}});\ V=30;\ h=\dfrac{45}{7};$
|
||||
|
||||
## 32 номер – П 4.1.13
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$A(1;\,-5),\ B(4;\,3)$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\vec{AB}=B-A=(4-1;\,3-(-5))=(3;\,8)$
|
||||
|
||||
$\vec{AC}=\dfrac{1}{3}\vec{AB}=(\dfrac{3}{3};\,\dfrac{8}{3})=(1;\,\dfrac{8}{3})$
|
||||
$\vec{AD}=\dfrac{2}{3}\vec{AB}=(\dfrac{6}{3};\,\dfrac{16}{3})=(2;\,\dfrac{16}{3})$
|
||||
|
||||
$C=A+\vec{AC}=(2;\,-2\dfrac{1}{3})$
|
||||
$D=A+\vec{AD}=(3;\,\dfrac{1}{3})$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }C(2;\,-2\dfrac{1}{3}),\ D(3;\,\dfrac{1}{3})$
|
||||
|
||||
## 36 номер – П 4.1.23
|
||||
|
||||
### Дано:
|
||||
|
||||
$A(2;\,1),\ B(-2;\,-2),\ C(-8;\,6)$
|
||||
|
||||
### Найти:
|
||||
|
||||
$h_{B}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\vec{AB}=B-A=(-2-2;\,-2-1)=(-4;\,-3)$
|
||||
$\vec{AC}=C-A=(-8-2;\,6-1)=(-10;\,5)$
|
||||
|
||||
$|AC|=\sqrt{(-10)^2+5^2}=5\sqrt{5}$
|
||||
|
||||
$S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}|\vec{AB}\vec{AC}|$
|
||||
$\vec{AB}\vec{AC}=(-4)\cdot5-(-3)\cdot(-10)=-50$
|
||||
$S=\dfrac{1}{2}\cdot|-50|=25$
|
||||
|
||||
$S=\dfrac{1}{2}\cdot |AC|\cdot h_{B}$
|
||||
$h_{B}=\dfrac{2S}{|AC|}=\dfrac{2\cdot 25}{5\sqrt{5}}=\dfrac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }h_{B}=2\sqrt{5}$
|
||||
|
||||
## 37 номер – П 4.1.24
|
||||
|
||||
### Дано:
|
||||
|
||||
$A(-2;\,6),\ B(2;\,8),\ M(2;\,2)$
|
||||
|
||||
### Найти:
|
||||
|
||||
$C,\ D$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\text{Точка }M\ \text{середина диагоналей}$
|
||||
$M=\dfrac{A+C}{2}=\dfrac{B+D}{2}$
|
||||
|
||||
$C=2M-A=(6;\,-2)$
|
||||
$D=2M-B=(2;\,-4)$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }C(6;\,-2),\ D(2;\,-4)$
|
||||
|
||||
## 41 номер – П 5.1.14
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\text{В каких октантах могут быть расположены точки, координаты которых удовлетворяют:}$
|
||||
$1)\ x-y=0;\quad 2)\ x+z=0;\quad 3)\ xy>0;\quad 4)\ xyz<0$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\text{Октанты: }$
|
||||
$I:(+,+,+),\ II:(+,-,+),\ III:(+,-,-),\ IV:(+,+,-),\ V:(-,+,+),\ VI:(-,-,+),\ VII:(-,-,-),\ VIII:(-,+,-)$
|
||||
|
||||
$1)\ x-y=0; x=y$
|
||||
$x>0,\ y>0; I,\ IV$
|
||||
$x<0,\ y<0; VI,\ VII$
|
||||
$\text{Ответ: }I,\ IV,\ VI,\ VII$
|
||||
|
||||
$2)\ x+z=0; z=-x$
|
||||
$x>; z<; III,\ IV$
|
||||
$x<0; z>0; V,\ VI$
|
||||
$\text{Ответ: }III,\ IV,\ V,\ VI$
|
||||
|
||||
$3)\ xy>0$
|
||||
$x>0,\ y>0; I,\ IV$
|
||||
$x<0,\ y<0; VI,\ VII$
|
||||
$\text{Ответ: }I,\ IV,\ VI,\ VII$
|
||||
|
||||
$4)\ xyz<0; \text{нечётное число отрицательных координат}$
|
||||
$II:(+,-,+),\ IV:(+,+,-),\ V:(-,+,+),\ VII:(-,-,-)$
|
||||
$\text{Ответ: }II,\ IV,\ V,\ VII$
|
||||
|
||||
## 42 номер – П 5.1.15
|
||||
|
||||
### Дано:
|
||||
|
||||
$A(4;\,-1;\,-1)$
|
||||
$\text{Сфера касается плоскостей }x=0,\ y=0,\ z=0$
|
||||
|
||||
### Найти:
|
||||
|
||||
$O(x_{0};y_{0};z_{0}),\ R$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$|x_{0}|=R$
|
||||
$|y_{0}|=R$
|
||||
$|z_{0}|=R$
|
||||
|
||||
$O=(\varepsilon_{1}R;\ \varepsilon_{2}R;\ \varepsilon_{3}R),\ \varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\varepsilon_{3}\in\{-1;1\}$
|
||||
|
||||
$OA=R$
|
||||
$(\varepsilon_{1}R-4)^2+(\varepsilon_{2}R+1)^2+(\varepsilon_{3}R+1)^2=R^2$
|
||||
|
||||
$R^2+(-4\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3})R+9=0$
|
||||
|
||||
$\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}\in\{-2;0;2\}$
|
||||
$\varepsilon_{1}=1; -4\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}\in\{-6;-4;-2\}$
|
||||
$\text{Только }-6:\ R^2-6R+9=0; (R-3)^2=0; R=3$
|
||||
$-4\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}=-6; \varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}=-2; \varepsilon_{2}=-1,\ \varepsilon_{3}=-1$
|
||||
чё
|
||||
5:22 утра ЧЁ тут произошло
|
||||
|
||||
$O=(3;\,-3;\,-3)$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }O(3;\,-3;\,-3),\ R=3$
|
||||
|
||||
## 46 номер – П 4.2.2
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=2x-3$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$y=2x-3$
|
||||
$y+3=2x$
|
||||
$\dfrac{y+3}{2}=x$
|
||||
|
||||
$x=0; y=-3; (0;\,-3)$
|
||||
$y=0; 2x-3=0; x=\dfrac{3}{2}; (\dfrac{3}{2};\,0)$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }\dfrac{x}{\frac{3}{2}}+\dfrac{y}{-3}=1;\ (0;\,-3),\ (\dfrac{3}{2};\,0)$
|
||||
|
||||
## 50 номер – П 4.2.7
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
П 4.2.7 я хз как это записать
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$y=-\dfrac{A}{B}x-\dfrac{C}{B}$
|
||||
$\text{Расстояние от }O:\ p=\dfrac{|C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$
|
||||
$\text{Нормальное: }\dfrac{A}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}x+\dfrac{B}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}y=-\dfrac{C}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\ (p\ge0)$
|
||||
|
||||
а)
|
||||
$2x-3y+6=0$
|
||||
$-3y=-2x-6$
|
||||
$y=\dfrac{2}{3}x+2$
|
||||
$k=\dfrac{2}{3}$
|
||||
|
||||
$y=0; 2x+6=0 \implies x=-3$
|
||||
$x=0; -3y+6=0 \implies y=2$
|
||||
$\text{В отрезках: }\dfrac{x}{-3}+\dfrac{y}{2}=1$
|
||||
|
||||
$\sqrt{A^{2}+B^{2}}=\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{13}$
|
||||
$\dfrac{2}{\sqrt{13}}x-\dfrac{3}{\sqrt{13}}y=-\dfrac{6}{\sqrt{13}}$
|
||||
$\text{Нормальное (}p\ge0\text{): }-\dfrac{2}{\sqrt{13}}x+\dfrac{3}{\sqrt{13}}y=\dfrac{6}{\sqrt{13}}$
|
||||
$p=\dfrac{|6|}{\sqrt{13}}=\dfrac{6}{\sqrt{13}}$
|
||||
|
||||
б)
|
||||
$x+2{,}5=0$
|
||||
$x=-2{,}5$
|
||||
$k\ \text{не определён (прямая вертикальная)}$
|
||||
|
||||
$\text{Нормальное: }-x=2{,}5$
|
||||
$p=2{,}5$
|
||||
|
||||
в)
|
||||
$y=x-1$
|
||||
$x-y-1=0$
|
||||
$y=1\cdot x-1$
|
||||
$k=1$
|
||||
|
||||
$y=0; x=1$
|
||||
$x=0; y=-1$
|
||||
$\text{В отрезках: }\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{-1}=1$
|
||||
|
||||
$\sqrt{A^{2}+B^{2}}=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}$
|
||||
$\dfrac{1}{\sqrt{2}}x-\dfrac{1}{\sqrt{2}}y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
|
||||
$p=\dfrac{|{-1}|}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
|
||||
|
||||
г)
|
||||
$x+5y=0$
|
||||
$y=-\dfrac{1}{5}x$
|
||||
$k=-\dfrac{1}{5}$
|
||||
|
||||
$\text{Прямая проходит через }O; \text{в отрезках не записывается (}a=0,\ b=0\text{)}$
|
||||
|
||||
$\sqrt{A^{2}+B^{2}}=\sqrt{1^{2}+5^{2}}=\sqrt{26}$
|
||||
$\dfrac{1}{\sqrt{26}}x+\dfrac{5}{\sqrt{26}}y=0$
|
||||
$p=\dfrac{|0|}{\sqrt{26}}=0$
|
||||
|
||||
## 51 номер – П 4.2.9
|
||||
|
||||
### Дано:
|
||||
|
||||
$A(1;\,1)$
|
||||
$B(-2;\,3)$
|
||||
$k=\ ?,\ y_{Oy}=\ ?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$k=\dfrac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\dfrac{3-1}{-2-1}=\dfrac{2}{-3}=-\dfrac{2}{3}$
|
||||
|
||||
$y=-\dfrac{2}{3}x+b$
|
||||
|
||||
$1=-\dfrac{2}{3}\cdot 1 + b$
|
||||
$b=1+\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{3}$
|
||||
|
||||
$y=-\dfrac{2}{3}\cdot 0 + b = b = \dfrac{5}{3}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }k=-\dfrac{2}{3};\ \text{ордината: }\dfrac{5}{3}$
|
||||
|
||||
## 55 номер – П 4.2.24
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$A(3;\,2),\ B(3;\,8),\ C(6;\,2)$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\text{1) } AB:$
|
||||
$x_{A}=3,\ x_{B}=3; \text{координаты } x \text{ совпадают}$
|
||||
|
||||
$\text{2) } AC:$
|
||||
$y_{A}=2,\ y_{C}=2; \text{координаты } y \text{ совпадают}$
|
||||
|
||||
$\text{3) } BC:$
|
||||
$\dfrac{x-x_{B}}{x_{C}-x_{B}}=\dfrac{y-y_{B}}{y_{C}-y_{B}}$
|
||||
|
||||
$\dfrac{x-3}{6-3}=\dfrac{y-8}{2-8}$
|
||||
|
||||
$\dfrac{x-3}{3}=\dfrac{y-8}{-6}$
|
||||
|
||||
$-2(x-3)=1(y-8)$
|
||||
$-2x+6=y-8$
|
||||
$2x+y-14=0$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }AB:\ x=3;\ AC:\ y=2;\ BC:\ 2x+y-14=0$
|
||||
|
||||
## 56 номер – П 5.2.2
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$M(-2;\,3;\,1)$
|
||||
$1)\ ||\ Oxy;\ 2)\ M\ \text{и ось}\ Oy$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$1)$
|
||||
$Oxy; z=z_{M}$
|
||||
$z=1; z-1=0$
|
||||
|
||||
$2)$
|
||||
$Oy ; Ax+Cz=0$
|
||||
$-2A+1\cdot C=0;$
|
||||
$C=2A$
|
||||
$A=1$
|
||||
$C=2$
|
||||
$x+2z=0$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }z-1=0;\ x+2z=0$
|
||||
|
||||
## 60 номер – П 5.2.9
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$M(1;\, -1;\, 0)$
|
||||
$\vec{a}=(0;\, 2;\, 3),\ \vec{b}=(-1;\, 4;\, 2)$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\vec{n}=\vec{a}\times\vec{b}$
|
||||
$\vec{n}=\vec{i}(4-12)-\vec{j}(0+3)+\vec{k}(0+2)=(-8;\,-3;\,2)$
|
||||
|
||||
$-8(x-1)-3(y+1)+2(z-0)=0$
|
||||
$-8x+8-3y-3+2z=0$
|
||||
$8x+3y-2z-5=0$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }8x+3y-2z-5=0$
|
||||
|
||||
## 65 номер – П 5.2.19
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$-Oy \implies M(0;\,-4;\,0)$
|
||||
$\vec{n}=(3;\, -2;\, 4)$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$
|
||||
|
||||
$3(x-0)-2(y-(-4))+4(z-0)=0$
|
||||
$3x-2(y+4)+4z=0$
|
||||
$3x-2y-8+4z=0$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }3x-2y+4z-8=0$
|
||||
|
||||
## 69 номер – П 5.3.6
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$1)\ M(1;\,0;\,-1),\ \vec{a}=(2;\,3;\,0)$
|
||||
$2)\ A(2;\,2;\,2),\ B(6;\,2;\,1)$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$1)$
|
||||
$\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3t \\ z = -1 \end{cases}$
|
||||
|
||||
$2)$
|
||||
$\vec{s} = \vec{AB} = B - A = (4;\, 0;\, -1)$
|
||||
$\begin{cases} x = 2 + 4t \\ y = 2 + 0t \\ z = 2 - t \end{cases} ; \begin{cases} x = 2 + 4t \\ y = 2 \\ z = 2 - t \end{cases}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: } 1)\ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3t \\ z = -1 \end{cases};\ 2)\ \begin{cases} x = 2 + 4t \\ y = 2 \\ z = 2 - t \end{cases}$
|
||||
|
||||
## 70 номер – П 5.3.7
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$M_0(4;\,3;\,-2)$
|
||||
$1)\ ||\ \vec{a}=(3;\,-6;\,5)$
|
||||
$2)\ ||\ \begin{cases} x + 3y + z - 6 = 0 \\ 2x - y - 4z + 1 = 0 \end{cases}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$1)$
|
||||
$\vec{s}=\vec{a}=(3;\,-6;\,5)$
|
||||
$\dfrac{x-4}{3}=\dfrac{y-3}{-6}=\dfrac{z+2}{5}$
|
||||
|
||||
$2)$
|
||||
$\vec{n_1}=(1;\,3;\,1)$
|
||||
$\vec{n_2}=(2;\,-1;\,-4)$
|
||||
|
||||
$\vec{s}=\vec{n_1}\times\vec{n_2}=\vec{i}(-12+1)-\vec{j}(-4-2)+\vec{k}(-1-6)=(-11;\,6;\,-7)$
|
||||
|
||||
$\dfrac{x-4}{-11}=\dfrac{y-3}{6}=\dfrac{z+2}{-7}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: } 1)\ \dfrac{x-4}{3}=\dfrac{y-3}{-6}=\dfrac{z+2}{5};\ 2)\ \dfrac{x-4}{-11}=\dfrac{y-3}{6}=\dfrac{z+2}{-7}$
|
||||
|
||||
## 74 номер – П 5.3.12
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z-5}{5}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$1)\ Oxy; z=0$
|
||||
$\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{0-5}{5}=-1$
|
||||
$x-3=1; x=4$
|
||||
$y+2=-2; y=-4$
|
||||
$M_1(4;\,-4;\,0)$
|
||||
|
||||
$2)\ Oxz; y=0$
|
||||
$\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{z-5}{5}=\dfrac{0+2}{2}=1$
|
||||
$x-3=-1; x=2$
|
||||
$z-5=5; z=10$
|
||||
$M_2(2;\,0;\,10)$
|
||||
|
||||
$3)\ Oyz; x=0$
|
||||
$\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z-5}{5}=\dfrac{0-3}{-1}=3$
|
||||
$y+2=6; y=4$
|
||||
$z-5=15; z=20$
|
||||
$M_3(0;\,4;\,20)$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }(4;\,-4;\,0),\ (2;\,0;\,10),\ (0;\,4;\,20)$
|
||||
@@ -0,0 +1,388 @@
|
||||
## 11 номер – П 1.1.51
|
||||
#учеба #семестр_1 #высшая_математика
|
||||
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
|
||||
$A^{n}=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$A^2=A\cdot A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
|
||||
$A^2=A$
|
||||
$A^3=A^2A=AA=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
|
||||
$A^4=A^3A=A^2A=AA\dots$
|
||||
$\dots$
|
||||
$Ответ: A^n=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
## 13 номер – П 1.1.67
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}1 & 2 & -3 & 4 \\ 5 & -6 & 7 & 8 \\ -9 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 & -6\end{pmatrix}$
|
||||
$B=\begin{pmatrix}-6 & 5 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & -9 \\ 8 & 7 & -6 & 5 \\ 4 & -3 & 2 & 1\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$AB=\begin{pmatrix}1 & 2 & -3 & 4 \\ 5 & -6 & 7 & 8 \\ -9 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 & -6\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-6 & 5 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & -9 \\ 8 & 7 & -6 & 5 \\ 4 & -3 & 2 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-10 & -26 & 30 & -26 \\ 46 & 44 & -6 & 112 \\ 70 & -44 & -38 & -20 \\ 6 & 72 & -30 & -8\end{pmatrix}$
|
||||
$BA=\begin{pmatrix}-6 & 5 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & -9 \\ 8 & 7 & -6 & 5 \\ 4 & -3 & 2 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 2 & -3 & 4 \\ 5 & -6 & 7 & 8 \\ -9 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 & -6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8 & -30 & 72 & 6 \\ -20 & -38 & -44 & 70 \\ 112 & -6 & 44 & 46 \\ -26 & 30 & -26 & -10\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$AB-BA\neq 0$
|
||||
$\text{Ответ: Матрицы не коммутируют}$
|
||||
|
||||
## 15 номер – П 1.1.77
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}$
|
||||
$\text{Найти:} \ AA^{T};A^{T}A;$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$A^T=\begin{pmatrix}1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$AA^{T}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}14 & 32 & 50 \\ 32 & 77 & 122 \\ 50 & 122 & 194\end{pmatrix}$
|
||||
$A^{T}A=\begin{pmatrix}1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}66 & 78 & 90 \\ 78 & 93 & 108 \\ 90 & 108 & 126\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
## 17 номер – П 1.2.64
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}x & x-1 \\ x^{2}+x+1 & x^{2}\end{pmatrix}$
|
||||
$\det A=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\det 2\times2=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc$
|
||||
$\det A=x\cdot x^{2}-(x-1)(x^{2}+x+1)=x^{3}-(x^{3}+x^{2}+x-x^{2}-x-1)=1$
|
||||
|
||||
## 19 номер – П 1.2.73
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}-2 & 3 & 5 \\ 4 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & 2\end{pmatrix}$
|
||||
$\det A=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\det 3\times3=\begin{pmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{pmatrix}=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)$
|
||||
$\det A=(-2)(1\cdot2-(-2)(-3))-3(4\cdot2-(-2)\cdot1)+5(4\cdot(-3)-1\cdot1)=-87$
|
||||
|
||||
## 21 номер – П 1.2.95
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}0 & 5 & 2 & 0 \\ 8 & 3 & 5 & 4 \\ 7 & 2 & 4 & 1 \\ 0 & 4 & 1 & 0\end{pmatrix}$
|
||||
$\det A=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\det A=0\cdot(\dots)-5\cdot\begin{pmatrix}8 & 5 & 4 \\ 7 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}8 & 3 & 4 \\ 7 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & 0\end{pmatrix}-0\cdot(\dots)$
|
||||
$\begin{pmatrix}8 & 5 & 4 \\ 7 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}=8(4\cdot0-1\cdot1)-5(7\cdot0-1\cdot0)+4(7\cdot1-4\cdot0)=20$
|
||||
|
||||
$\begin{pmatrix}8 & 3 & 4 \\ 7 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & 0\end{pmatrix}=8(2\cdot0-1\cdot4)-3(7\cdot0-1\cdot0)+4(7\cdot4-2\cdot0)=80$
|
||||
|
||||
$\det A=-5\cdot20+2\cdot80=60$
|
||||
|
||||
## 23 номер – П 1.2.97
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}3 & 2 & 2 & 2 \\ 9 & -8 & 5 & 10 \\ 5 & -8 & 5 & 8 \\ 6 & -5 & 4 & 7\end{pmatrix}$
|
||||
$\det A=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\det A=3\cdot\begin{pmatrix}-8 & 5 & 10 \\ -8 & 5 & 8 \\ -5 & 4 & 7\end{pmatrix}-2\cdot\begin{pmatrix}9 & 5 & 10 \\ 5 & 5 & 8 \\ 6 & 4 & 7\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}9 & -8 & 10 \\ 5 & -8 & 8 \\ 6 & -5 & 7\end{pmatrix}-2\cdot\begin{pmatrix}9 & -8 & 5 \\ 5 & -8 & 5 \\ 6 & -5 & 4\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\begin{pmatrix}-8 & 5 & 10 \\ -8 & 5 & 8 \\ -5 & 4 & 7\end{pmatrix}=-8(5\cdot7-8\cdot4)-5((-8)\cdot7-8\cdot(-5))+10((-8)\cdot4-5\cdot(-5))=-14$
|
||||
|
||||
$\begin{pmatrix}9 & 5 & 10 \\ 5 & 5 & 8 \\ 6 & 4 & 7\end{pmatrix}=9(5\cdot7-8\cdot4)-5(5\cdot7-8\cdot6)+10(5\cdot4-5\cdot6)=-8$
|
||||
|
||||
$\begin{pmatrix}9 & -8 & 10 \\ 5 & -8 & 8 \\ 6 & -5 & 7\end{pmatrix}=9((-8)\cdot7-8\cdot(-5))-(-8)(5\cdot7-8\cdot6)+10(5\cdot(-5)-(-8)\cdot6)=-18$
|
||||
|
||||
$\begin{pmatrix}9 & -8 & 5 \\ 5 & -8 & 5 \\ 6 & -5 & 4\end{pmatrix}=9((-8)\cdot4-5\cdot(-5))-(-8)(5\cdot4-5\cdot6)+5(5\cdot(-5)-(-8)\cdot6)=-28$
|
||||
|
||||
$\det A=3\cdot(-14)-2\cdot(-8)+2\cdot(-18)-2\cdot(-28)=-6$
|
||||
|
||||
## 25 номер – П 1.2.99
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}3 & 6 & 5 & 6 & 4 \\ 5 & 9 & 7 & 8 & 6 \\ 6 & 12 & 13 & 9 & 7 \\ 4 & 6 & 6 & 5 & 4 \\ 2 & 5 & 4 & 5 & 3\end{pmatrix}$
|
||||
$\det A=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\det A=\det\begin{pmatrix}3 & 6 & 5 & 6 & 4 \\ 2 & 3 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & -3 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 2 & 5 & 4 & 5 & 3\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\det A=3\cdot\begin{pmatrix}3 & 6 & 6 & 4 \\ 2 & 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 2 & 5 & 5 & 3\end{pmatrix}+3\cdot\begin{pmatrix}3 & 6 & 5 & 4 \\ 2 & 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & 4 & 3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3 & 6 & 5 & 6 \\ 2 & 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & -1 \\ 2 & 5 & 4 & 5\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\det\begin{pmatrix}3 & 6 & 6 & 4 \\ 2 & 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 2 & 5 & 5 & 3\end{pmatrix}=1\cdot\begin{pmatrix}6 & 6 & 4 \\ 3 & 2 & 2 \\ 5 & 5 & 3\end{pmatrix}+(-1)\cdot\begin{pmatrix}3 & 6 & 4 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 3\end{pmatrix}$
|
||||
$\det\begin{pmatrix}6 & 6 & 4 \\ 3 & 2 & 2 \\ 5 & 5 & 3\end{pmatrix}=2$
|
||||
$\det\begin{pmatrix}3 & 6 & 4 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 3\end{pmatrix}=1$
|
||||
$\det\begin{pmatrix}3 & 6 & 6 & 4 \\ 2 & 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 2 & 5 & 5 & 3\end{pmatrix}=2-1 = 1$
|
||||
|
||||
$\det\begin{pmatrix}3 & 6 & 5 & 4 \\ 2 & 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & 4 & 3\end{pmatrix}=1\cdot\begin{pmatrix}6 & 5 & 4 \\ 3 & 2 & 2 \\ 5 & 4 & 3\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}3 & 6 & 4 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 3\end{pmatrix}$
|
||||
$\det\begin{pmatrix}6 & 5 & 4 \\ 3 & 2 & 2 \\ 5 & 4 & 3\end{pmatrix}=6(2\cdot3-2\cdot4)-5(3\cdot3-2\cdot5)+4(3\cdot4-2\cdot5)=1$
|
||||
$\det\begin{pmatrix}3 & 6 & 5 & 4 \\ 2 & 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & 4 & 3\end{pmatrix}=1+2$
|
||||
|
||||
$\det\begin{pmatrix}3 & 6 & 5 & 6 \\ 2 & 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & -1 \\ 2 & 5 & 4 & 5\end{pmatrix}=1\cdot\begin{pmatrix}6 & 5 & 6 \\ 3 & 2 & 2 \\ 5 & 4 & 5\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}3 & 6 & 6 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 5\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}3 & 6 & 5 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 4\end{pmatrix}$
|
||||
$\det\begin{pmatrix}6 & 5 & 6 \\ 3 & 2 & 2 \\ 5 & 4 & 5\end{pmatrix}=-1$
|
||||
$\det\begin{pmatrix}3 & 6 & 6 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 5\end{pmatrix}=3$
|
||||
$\det\begin{pmatrix}3 & 6 & 5 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 4\end{pmatrix}=2$
|
||||
$\det\begin{pmatrix}3 & 6 & 5 & 6 \\ 2 & 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & -1 \\ 2 & 5 & 4 & 5\end{pmatrix}=-1+3+2=4$
|
||||
|
||||
$\det A=3\cdot1+3\cdot2-4=5$
|
||||
|
||||
## 27 номер – П 1.2.104
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}a_{0} & a_{1} & a_{2} & \dots & a_{n-1} & a_{n} \\ -x & x & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & -x & x & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & -x & x \end{pmatrix}$
|
||||
$\det A=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\text{Если }C_{i}=C_i+kC_j,\ \det A \text{ не меняется}$
|
||||
|
||||
$C_{n-1}=C_{n-1}+C_n,\ C_{n-2}=C_{n-2}+C_{n-1},\ \dots,\ C_{0}=C_{0}+C_{1}$
|
||||
|
||||
$\det A=\det\begin{pmatrix}a_{0}+a_{1}+\dots+a_{n} & a_{1}+a_{2}+\dots+a_{n} & \dots & a_{n-1}+a_{n} & a_{n} \\0 & x & \dots & 0 & 0 \\0 & 0 & \ddots & 0 & 0 \\\vdots & \vdots & \ddots & x & 0 \\0 & 0 & \dots & 0 & x\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\det A=(a_{0}+a_{1}+\dots+a_{n})\cdot x\cdot x\cdots x=x^{n}(a_{0}+a_{1}+\dots+a_{n})$
|
||||
|
||||
## 29 номер – П 1.2.85
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\begin{pmatrix}2 & 0 & -1 \\ 1 & x+5 & 2-x \\ 3 & -1 & 2\end{pmatrix} \leq 4$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\det A=2((x+5)\cdot2-(2-x)\cdot(-1))-0(1\cdot2-(2-x)\cdot3)+(-1)(1\cdot(-1)-(x+5)\cdot3)=5(x+8)$
|
||||
|
||||
$5(x+8)\le 4$
|
||||
$x+8\le \dfrac{4}{5}$
|
||||
$x\le \dfrac{4}{5}-8=x\leq-\dfrac{36}{5}$
|
||||
$\text{Ответ: }x\le -\dfrac{36}{5}$
|
||||
|
||||
## 40 номер – П 1.4.42
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}5 & 8 & -1 \\ 2 & -3 & 2 \\ 1 & 2 & 3\end{pmatrix}$
|
||||
$A^{-1} = ?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\det A=-104$
|
||||
|
||||
$C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$
|
||||
|
||||
$C_{11}=+\begin{pmatrix}-3 & 2 \\ 2 & 3\end{pmatrix}=-13$
|
||||
$C_{12}=-\begin{pmatrix}2 & 2 \\ 1 & 3\end{pmatrix}=-4$
|
||||
$C_{13}=+\begin{pmatrix}2 & -3 \\ 1 & 2\end{pmatrix}=7$
|
||||
|
||||
$C_{21}=-\begin{pmatrix}8 & -1 \\ 2 & 3\end{pmatrix}=-26$
|
||||
$C_{22}=+\begin{pmatrix}5 & -1 \\ 1 & 3\end{pmatrix}=16$
|
||||
$C_{23}=-\begin{pmatrix}5 & 8 \\ 1 & 2\end{pmatrix}=-2$
|
||||
|
||||
$C_{31}=+\begin{pmatrix}8 & -1 \\ -3 & 2\end{pmatrix}=13$
|
||||
$C_{32}=-\begin{pmatrix}5 & -1 \\ 2 & 2\end{pmatrix}=-12$
|
||||
$C_{33}=+\begin{pmatrix}5 & 8 \\ 2 & -3\end{pmatrix}=-31$
|
||||
|
||||
$C=\begin{pmatrix}-13 & -4 & 7 \\ -26 & 16 & -2 \\ 13 & -12 & -31\end{pmatrix}$
|
||||
$C^{T}=\begin{pmatrix}-13 & -26 & 13 \\ -4 & 16 & -12 \\ 7 & -2 & -31\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}С^{T}=-\dfrac{1}{104}С^{T}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{8} & \dfrac{1}{4} & -\dfrac{1}{8} \\ \dfrac{1}{26} & -\dfrac{2}{13} & \dfrac{3}{26} \\ -\dfrac{7}{104} & \dfrac{1}{52} & \dfrac{31}{104}\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
## 42 номер – П 1.4.55
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 2 & 3\end{pmatrix}\cdot X\cdot \begin{pmatrix}2 & -2 \\ -4 & 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 2 & 3\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$A\cdot X\cdot B=A$
|
||||
$\det A\neq0,\ \det B\neq0:\ A^{-1}AXBB^{-1}=A^{-1}A$
|
||||
$X=B^{-1}$
|
||||
|
||||
$B=\begin{pmatrix}2 & -2 \\ -4 & 5\end{pmatrix}$
|
||||
$\det B=2\cdot5-(-2)\cdot(-4)=10-8=2$
|
||||
$B^{-1}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}5 & 2 \\ 4 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{5}{2} & 1 \\ 2 & 1\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }X=\begin{pmatrix}\dfrac{5}{2} & 1 \\ 2 & 1\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
## 44 номер – П 1.4.57
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\begin{pmatrix}1 & -2 & 3 \\ 2 & 3 & -1 \\ 0 & -2 & 1\end{pmatrix}\cdot X=\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 3\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$A\cdot X=b$
|
||||
$X=\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$x_{1}=\dfrac{\Delta_{1}}{\Delta},\ x_{2}=\dfrac{\Delta_{2}}{\Delta},\ x_{3}=\dfrac{\Delta_{3}}{\Delta}$
|
||||
|
||||
$\Delta=\det A=\begin{pmatrix}1 & -2 & 3 \\ 2 & 3 & -1 \\ 0 & -2 & 1\end{pmatrix}=-7$
|
||||
|
||||
$\Delta_{1}=\begin{pmatrix}2 & -2 & 3 \\ -1 & 3 & -1 \\ 3 & -2 & 1\end{pmatrix}=-15$
|
||||
|
||||
$\Delta_{2}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & -1 \\ 0 & 3 & 1\end{pmatrix}=16$
|
||||
|
||||
$\Delta_{3}=\begin{pmatrix}1 & -2 & 2 \\ 2 & 3 & -1 \\ 0 & -2 & 3\end{pmatrix}=11$
|
||||
|
||||
$x_{1}=\dfrac{-15}{-7}=\dfrac{15}{7}$
|
||||
$x_{2}=\dfrac{16}{-7}=-\dfrac{16}{7}$
|
||||
$x_{3}=\dfrac{11}{-7}=-\dfrac{11}{7}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }X=\begin{pmatrix}\dfrac{15}{7}\\-\dfrac{16}{7}\\-\dfrac{11}{7}\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
## 46 номер – П 1.3.17
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}1 & -3 & 1 & -14 & 22 \\ -2 & 1 & 3 & 3 & -9 \\ -4 & -3 & 11 & -19 & 17\end{pmatrix}$
|
||||
$rankA=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$R_2=R_2+2R_1,\ R_3=R_3+4R_1$
|
||||
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -3 & 1 & -14 & 22 \\0 & -5 & 5 & -25 & 35 \\0 & -15 & 15 & -75 & 105\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$R_3=R_3-3R_2$
|
||||
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -3 & 1 & -14 & 22 \\0 & -5 & 5 & -25 & 35 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }rankA=2$
|
||||
|
||||
## 48 номер – П 1.3.19
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}3 & -1 & 3 & 2 & 5 \\ 5 & -3 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & -3 & -5 & 0 & -7 \\ 7 & -5 & 1 & 4 & 1\end{pmatrix}$
|
||||
$rankA=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$R_{1}\to R_3$
|
||||
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -3 & -5 & 0 & -7 \\ 5 & -3 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & -1 & 3 & 2 & 5 \\ 7 & -5 & 1 & 4 & 1\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$R_2=R_2-5R_1,\ R_3=R_3-3R_1,\ R_4=R_4-7R_1$
|
||||
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -3 & -5 & 0 & -7 \\ 0 & 12 & 27 & 3 & 39 \\ 0 & 8 & 18 & 2 & 26 \\ 0 & 16 & 36 & 4 & 50\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$R_3=3R_3-2R_2,\ R_4=3R_4-4R_2$
|
||||
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -3 & -5 & 0 & -7 \\ 0 & 12 & 27 & 3 & 39 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -6\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$R_3\to R_4$
|
||||
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -3 & -5 & 0 & -7 \\ 0 & 12 & 27 & 3 & 39 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }rankA=3$
|
||||
|
||||
## 50 номер – П 1.3.21
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}4 & 3 & -5 & 2 & 3 \\ 8 & 6 & -7 & 4 & 2 \\ 4 & 3 & -8 & 2 & 7 \\ 4 & 3 & 1 & 2 & -5 \\ 8 & 6 & -1 & 4 & -6\end{pmatrix}$
|
||||
$rankA=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$R_2=R_2-2R_1,\ R_3=R_3-R_1,\ R_4=R_4-R_1,\ R_5=R_5-2R_1$
|
||||
$A\sim\begin{pmatrix}4 & 3 & -5 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & -3 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 6 & 0 & -8 \\ 0 & 0 & 9 & 0 & -12\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$R_3=R_3+R_2,\ R_4=R_4-2R_2,\ R_5=R_5-3R_2$
|
||||
$A\sim\begin{pmatrix}4 & 3 & -5 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }rankA=2$
|
||||
|
||||
## 52 номер – П 1.3.23
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}3 & -1 & 2 \\ 4 & -3 & 3 \\ 1 & 3 & 0\end{pmatrix}$
|
||||
$rankA=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$M_{1}=\begin{pmatrix}3\end{pmatrix}=3\neq0$
|
||||
|
||||
$M_{2}=\begin{pmatrix}3 & -1 \\ 4 & -3\end{pmatrix}=-5\neq0$
|
||||
|
||||
$\det A=0$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }rankA=2$
|
||||
$\text{Базисный минор: }M_{2}=\begin{pmatrix}3 & -1 \\ 4 & -3\end{pmatrix},\ \det M_{2}=-5$
|
||||
|
||||
## 54 номер – П 1.3.35
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\text{Как может измениться ранг матрицы при добавлении к ней одной произвольной строки? Одного произвольного столбца?}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$rankA=r$
|
||||
|
||||
$\text{Добавим одну строку: }A\to \tilde A$
|
||||
$\tilde r=rank\tilde A$
|
||||
$\text{Новая строка линейно выражается через старые строки }; \tilde r=r$
|
||||
$\text{Новая строка не выражается через старые строки }; \tilde r=r+1; \tilde r\in\{r,\ r+1\}$
|
||||
|
||||
$\text{Добавим один столбец: }A\to \hat A$
|
||||
$\hat r=rank\hat A$
|
||||
$\text{Новый столбец линейно выражается через старые столбцы }; \hat r=r$
|
||||
$\text{Новый столбец не выражается через старые столбцы }; \hat r=r+1$
|
||||
$\hat r\in\{r,\ r+1\}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: ранг либо не изменится, либо увеличится на 1 (уменьшиться не может).}$
|
||||
|
||||
## 56 номер – П 1.3.27
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}1 & -2 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & -1 & 1 & -2 \\ 2 & -5 & 1 & -2 & 2\end{pmatrix}$
|
||||
$rankA=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$R_2=R_2-2R_1,\ R_3=R_3-3R_1,\ R_4=R_4-2R_1$
|
||||
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -2 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 5 & -3 & 4 & -5 \\ 0 & 4 & -4 & 4 & -5 \\ 0 & -1 & -1 & 0 & 0\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$R_3=5R_3-4R_2,\ R_4=5R_4+R_2$
|
||||
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -2 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 5 & -3 & 4 & -5 \\ 0 & 0 & -8 & 4 & -5 \\ 0 & 0 & -8 & 4 & -5\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$R_4=R_4-R_3$
|
||||
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -2 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 5 & -3 & 4 & -5 \\ 0 & 0 & -8 & 4 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }rankA=3$
|
||||
|
||||
## 58 номер – П 1.3.29
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}1 & -3 & 2 & 0 \\ 2 & -3 & -1 & 3 \\ 3 & -6 & -1 & \lambda \\ 1 & -2 & 0 & 1\end{pmatrix}$
|
||||
$rankA=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$R_2=R_2-2R_1,\ R_3=R_3-3R_1,\ R_4=R_4-R_1$
|
||||
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -3 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & -5 & 3 \\ 0 & 3 & -7 & \lambda \\ 0 & 1 & -2 & 1\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$R_2\to R_4$
|
||||
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & -7 & \lambda \\ 0 & 3 & -5 & 3\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$R_3=R_3-3R_2,\ R_4=R_4-3R_2$
|
||||
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & \lambda-3 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$R_4=R_4+R_3$
|
||||
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & \lambda-3 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda-3\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\lambda\neq3; \lambda-3\neq0; rankA=4$
|
||||
$\lambda=3; \lambda-3=0; rankA=3$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }rankA=\begin{cases}4,&\lambda\neq3\\3,&\lambda=3\end{cases}$
|
||||
@@ -0,0 +1,293 @@
|
||||
## 20 номер – П 2.2.8
|
||||
#учеба #семестр_1 #высшая_математика
|
||||
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
МЕТОД ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
x+2y+3z=5 \\
|
||||
4x+5y+6z=8 \\
|
||||
7x+8y=2
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 0\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$x=\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$b=\begin{pmatrix}5 \\ 8 \\ 2\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\det A=27\neq 0$
|
||||
$A^{-1}=\begin{pmatrix}-1 \dfrac{7}{9} & \dfrac{8}{9} & -\dfrac{1}{9} \\ 1 \dfrac{5}{9} & -\dfrac{7}{9} & \dfrac{2}{9} \\ -\dfrac{1}{9} & \dfrac{2}{9} & -\dfrac{1}{9}\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$x=A^{-1}b=\begin{pmatrix}-1 \dfrac{7}{9} & \dfrac{8}{9} & -\dfrac{1}{9} \\ 1 \dfrac{5}{9} & -\dfrac{7}{9} & \dfrac{2}{9} \\ -\dfrac{1}{9} & \dfrac{2}{9} & -\dfrac{1}{9}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}5 \\ 8 \\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }x=-2; \ y=2; \ z=1;$
|
||||
|
||||
## 21 номер – П 2.2.9
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
2x_{1}-3x_{2}+x_{3}=-7 \\
|
||||
x_{1}+2x_{2}-3x_{3}=14 \\
|
||||
-x_{1}-x_{2}+5x_{3}=-18
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}2 & -3 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ -1 & -1 & 5\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$x=\begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$b=\begin{pmatrix}-7 \\ 14 \\ -18\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\det A=21\neq 0$
|
||||
|
||||
$A^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3} \\ -\dfrac{2}{21} & \dfrac{11}{21} & \dfrac{1}{3} \\ \dfrac{1}{21} & \dfrac{5}{21} & \dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$x=A^{-1}b=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3} \\ -\dfrac{2}{21} & \dfrac{11}{21} & \dfrac{1}{3} \\ \dfrac{1}{21} & \dfrac{5}{21} & \dfrac{1}{3}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-7 \\ 14 \\ -18\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ -3\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }x_{1}=1;\ x_{2}=2;\ x_{3}=-3;$
|
||||
|
||||
## 22 номер – П 2.2.9
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
2x_{1}-3x_{2}+x_{3}=-7 \\
|
||||
x_{1}+2x_{2}-3x_{3}=14 \\
|
||||
-x_{1}-x_{2}+5x_{3}=-18
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}2 & -3 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ -1 & -1 & 5\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$x=\begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$b=\begin{pmatrix}-7 \\ 14 \\ -18\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\det A=21\neq 0$
|
||||
|
||||
$A^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3} \\ -\dfrac{2}{21} & \dfrac{11}{21} & \dfrac{1}{3} \\ \dfrac{1}{21} & \dfrac{5}{21} & \dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$x=A^{-1}b=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3} \\ -\dfrac{2}{21} & \dfrac{11}{21} & \dfrac{1}{3} \\ \dfrac{1}{21} & \dfrac{5}{21} & \dfrac{1}{3}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-7 \\ 14 \\ -18\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ -3\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }x_{1}=1;\ x_{2}=2;\ x_{3}=-3;$
|
||||
:D
|
||||
|
||||
## 23 номер – П 2.2.10
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
2x_{1}+x_{2}-x_{3}=3 \\
|
||||
x_{1}+3x_{2}+2x_{3}=-1 \\
|
||||
x_{1}+x_{2}=5
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$x=\begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$b=\begin{pmatrix}3 \\ -1 \\ 5\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\det A=2(3\cdot0-2\cdot1)-1(1\cdot0-2\cdot1)+(-1)(1\cdot1-3\cdot1)=0$
|
||||
|
||||
$\det A=0; A^{-1}\ \text{не существует}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: решений нет}$
|
||||
|
||||
## 24 номер – П 2.2.11
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=3 \\
|
||||
2x_{1}+6x_{1}+4x_{3}=6 \\
|
||||
3x_{1}+10x_{2}+8x_{3}=21
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 8 & 0 & 4 \\ 3 & 10 & 8\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$x=\begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$b=\begin{pmatrix}3 \\ 6 \\ 21\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\det A=96\neq 0$
|
||||
|
||||
$A^{-1}=\begin{pmatrix}-\dfrac{5}{12} & \dfrac{7}{48} & \dfrac{1}{12} \\ -\dfrac{13}{24} & -\dfrac{1}{96} & \dfrac{5}{24} \\ \dfrac{5}{6} & -\dfrac{1}{24} & -\dfrac{1}{6}\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$x=A^{-1}b=\begin{pmatrix}-\dfrac{5}{12} & \dfrac{7}{48} & \dfrac{1}{12} \\ -\dfrac{13}{24} & -\dfrac{1}{96} & \dfrac{5}{24} \\ \dfrac{5}{6} & -\dfrac{1}{24} & -\dfrac{1}{6}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3 \\ 6 \\ 21\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\dfrac{3}{8} \\ 2\dfrac{11}{16} \\ -1\dfrac{1}{4}\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }x_{1}=1\dfrac{3}{8}; \ x_{2}=2\dfrac{11}{16}; \ x_{3}=-1\dfrac{1}{4};$
|
||||
|
||||
## 25 номер – П 2.2.12
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
ax_{1}+x_{2}+x_{3}=1 \\
|
||||
x_{1}+ax_{2}+x_{3}=a \\
|
||||
x_{1}+x_{2}+ax_{3}=a^{2}
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$x=\begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$b=\begin{pmatrix}1 \\ a \\ a^{2}\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$R_2=R_2-R_1,\ R_3=R_3-R_1$
|
||||
$\det A=\det\begin{pmatrix}a & 1 & 1 \\ 1-a & a-1 & 0 \\ 1-a & 0 & a-1\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\det A=(a-1)^{2}\det\begin{pmatrix}a & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix}=(a-1)^{2}(a+2)$
|
||||
|
||||
$a\neq1,\ a\neq-2\ ; \ \det A\neq0$
|
||||
|
||||
$A^{-1}=\dfrac{1}{(a-1)(a+2)}\begin{pmatrix}a+1 & -1 & -1 \\ -1 & a+1 & -1 \\ -1 & -1 & a+1\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$x=A^{-1}b=\dfrac{1}{(a-1)(a+2)}\begin{pmatrix}a+1 & -1 & -1 \\ -1 & a+1 & -1 \\ -1 & -1 &a+1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 \\ a \\ a^{2}\end{pmatrix}=\dfrac{1}{(a-1)(a+2)}\begin{pmatrix}1-a^{2} \\ a-1 \\ (a-1)(a+1)^{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{a+1}{a+2} \\ \dfrac{1}{a+2} \\ \dfrac{(a+1)^{2}}{a+2}\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$a=1; \det A=0$
|
||||
$\begin{cases}x_{1}+x_{2}+x_{3}=1\\x_{1}+x_{2}+x_{3}=1\\x_{1}+x_{2}+x_{3}=1\end{cases}$
|
||||
$x_{1}=1-x_{2}-x_{3}$
|
||||
|
||||
$a=-2; \det A=0$
|
||||
$\begin{cases}-2x_{1}+x_{2}+x_{3}=1\\x_{1}-2x_{2}+x_{3}=-2\\x_{1}+x_{2}-2x_{3}=4\end{cases}$
|
||||
$\text{Решений нет}$
|
||||
|
||||
## 26 номер – П 2.2.13
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
3x_{1}-5x_{2}+2x_{3}-4x_{4}=0 \\
|
||||
-3x_{1}+4x_{2}-5x_{3}+3x_{4}=-2 \\
|
||||
-5x_{1}+7x_{2}-7x_{3}+5x_{4}=-2 \\
|
||||
8x_{1}-8x_{2}+5x_{3}-6x_{4}=-5
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}3 & -5 & 2 & -4 \\ -3 & 4 & -5 & 3 \\ -5 & 7 & -7 & 5 \\ 8 & -8 & 5 & -6\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$x=\begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$b=\begin{pmatrix}0 \\ -2 \\ -2 \\ -5\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\det A=17\neq 0$
|
||||
|
||||
$A^{-1}=\dfrac{1}{17}\begin{pmatrix}-5 & -3 & 5 & 6 \\ 8 & -53 & 43 & 4 \\ -2 & -8 & 2 & -1 \\ -19 & 60 & -49 & -1\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$x=A^{-1}b=\dfrac{1}{17}\begin{pmatrix}-5 & -3 & 5 & 6 \\ 8 & -53 & 43 & 4 \\ -2 & -8 & 2 & -1 \\ -19 & 60 & -49 & -1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0 \\ -2 \\ -2 \\ -5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 \\ 0 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }x_{1}=-2; \ x_{2}=0; \ x_{3}=1; \ x_{4}=-1;$
|
||||
|
||||
## 27 номер – П 2.2.14
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
6x_{1}-5x_{2}+4x_{3}+7x_{4}=28 \\
|
||||
5x_{1}-8x_{2}+5x_{3}+8x_{4}=36 \\
|
||||
9x_{1}-8x_{2}+5x_{3}+10x_{4}=42 \\
|
||||
3x_{1}+2x_{2}+2x_{3}+2x_{4}=2
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}6 & -5 & 4 & 7 \\ 5 & -8 & 5 & 8 \\ 9 & -8 & 5 & 10 \\ 3 & 2 & 2 & 2\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$x=\begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$b=\begin{pmatrix}28 \\ 36 \\ 42 \\ 2\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\det A=-6\neq 0$
|
||||
|
||||
$A^{-1}=\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix}-52 & 12 & 24 & 14 \\ 34 & -9 & -15 & -8 \\ -60 & 18 & 24 & 18 \\ 104 & -27 & -45 & -28\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$x=A^{-1}b=\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix}-52 & 12 & 24 & 14 \\ 34 & -9 & -15 & -8 \\ -60 & 18 & 24 & 18 \\ 104 & -27 & -45 & -28\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}28 \\ 36 \\ 42 \\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ -3 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }x_{1}=2; \ x_{2}=-3; \ x_{3}=2; \ x_{4}=-1;$
|
||||
|
||||
## 28 номер – П 2.2.15
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
2x_{1}+6x_{2}+x_{3}=0 \\
|
||||
x_{1}+2x_{2}-2x_{3}+4x_{4}=0 \\
|
||||
-x_{1}+4x_{2}+5x_{3}-4x_{4}=0 \\
|
||||
3x_{1}+x_{3}+2x_{4}=0
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}2 & 6 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & -2 & 4 \\ -1 & 4 & 5 & -4 \\ 3 & 0 & 1 & 2\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$x=\begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$b=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\det A=240\neq 0$
|
||||
$A^{-1}\ \text{существует}$
|
||||
$x=A^{-1}b=A^{-1}\cdot\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }x_{1}=0; \ x_{2}=0; \ x_{3}=0; \ x_{4}=0;$
|
||||
|
||||
## 29 номер – П 2.2.27
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
2x_{1}+x_{2}+4x_{3}+8x_{4}=0 \\
|
||||
x_{1}+3x_{2}-6x_{3}+2x_{4}=0 \\
|
||||
3x_{1}-2x_{2}+2x_{3}-2x_{4}=0 \\
|
||||
2x_{1}-x_{2}+2x_{3}=0
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 4 & 8 \\ 1 & 3 & -6 & 2 \\ 3 & -2 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & 2 & 0\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$x=\begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$b=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\det A=24\neq 0$
|
||||
$A^{-1}\ \text{существует}$
|
||||
|
||||
$x=A^{-1}b=A^{-1}\cdot\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
$\text{Ответ: }x_{1}=0;\ x_{2}=0;\ x_{3}=0;\ x_{4}=0;$
|
||||
1039
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/modules/5 MODULE.md
Normal file
1039
01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/modules/5 MODULE.md
Normal file
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
@@ -0,0 +1,794 @@
|
||||
## 3 номер - Д 847
|
||||
#учеба #семестр_1 #высшая_математика
|
||||
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y= \dfrac{x}{(1-x)^{2}(1+x)^{3}}$
|
||||
$y'=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\dfrac{x}{(1-x)^{2}(1+x)^{3}}$
|
||||
|
||||
$y= \dfrac{u}{v}; y'= \dfrac{u'v-uv'}{v^{2}};$
|
||||
$u=x; v=(1-x)^{2}(1+x)^{3}$
|
||||
|
||||
$u'=1;$
|
||||
$v=ab; v'= a'b+b'a; a=(1-x)^{2}; b=(1+x)^{3};$
|
||||
$a'=-2(1-x);$
|
||||
$b'=3(1+x)^{2}$
|
||||
|
||||
$v'=(−2(1−x))(1+x)^{3}+(1−x)^{2}3(1+x)^{2}$
|
||||
|
||||
$y'=\dfrac{(1-x)^{2}(1+x)^{3}-x[(-2(1-x))(1+x)^{3}+(1-x)^{2}3(1+x)^{2}]}{(1-x)^{4}(1+x)^{6}}=\dfrac{4x^{2}-x+1}{(1-x)^{3}(1+x)^{4}}$
|
||||
|
||||
## 7 номер - Д 851
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=x+\sqrt{ x }+\sqrt[ 3 ]{ x }$
|
||||
$y'=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$y=x+x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{3}}$
|
||||
|
||||
$(x)'=1;$
|
||||
$(x^{\frac{1}{2}})'=\dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}};$
|
||||
$(x^{\frac{1}{3}})'=\dfrac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}};$
|
||||
|
||||
$y'=1+\dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}+\dfrac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}=1+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}$
|
||||
|
||||
## 11 номер - Д 855
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=(1+x)\sqrt{ 2+x^{3} }\sqrt[ 3 ]{ 3+x^{3} }$
|
||||
$y'=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$(1+x)\sqrt{2+x^3}\sqrt[3]{3+x^3}$
|
||||
|
||||
$y=abc; y'=a'bc+ab'c+abc';$
|
||||
$a=1+x;\ b=\sqrt{2+x^3};\ c=\sqrt[3]{3+x^3}$
|
||||
|
||||
$a'=1;$
|
||||
$b=(2+x^3)^{\frac{1}{2}};\ b'=\dfrac{1}{2}(2+x^3)^{-\frac{1}{2}}(3x^2)=\dfrac{3x^2}{2\sqrt{2+x^3}};$
|
||||
$c=(3+x^3)^{\frac{1}{3}};\ c'=\dfrac{1}{3}(3+x^3)^{-\frac{2}{3}}(3x^2)=\dfrac{x^2}{\sqrt[3]{(3+x^3)^2}};$
|
||||
|
||||
$y'=\sqrt{2+x^3}\sqrt[3]{3+x^3}+(1+x)\dfrac{3x^2}{2\sqrt{2+x^3}}\sqrt[3]{3+x^3}+(1+x)\sqrt{2+x^3}\cdot\dfrac{x^2}{\sqrt[3]{(3+x^3)^2}}$
|
||||
|
||||
## 15 номер - Д 859
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=\dfrac{1}{\sqrt{ 1+x^{2} }(x+\sqrt{ 1+x^{2} })}$
|
||||
$y'=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}(x+\sqrt{1+x^2})}$
|
||||
|
||||
$y=\dfrac{u}{v};\ y'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2};$
|
||||
$u=1;\ v=\sqrt{1+x^2}(x+\sqrt{1+x^2})$
|
||||
|
||||
$u'=0;$
|
||||
$v=ab;\ v'=a'b+b'a;$
|
||||
$a=\sqrt{1+x^2};\ b=x+\sqrt{1+x^2}$
|
||||
|
||||
$a=(1+x^2)^{\frac{1}{2}};\ a'=\dfrac{1}{2}(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}2x=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}};$
|
||||
$b'=1+a'=1+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}};$
|
||||
|
||||
$v'=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}(x+\sqrt{1+x^2})+\sqrt{1+x^2}(1+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}})=\dfrac{(x+\sqrt{1+x^2})^2}{\sqrt{1+x^2}}$
|
||||
|
||||
$y'=-\dfrac{\dfrac{(x+\sqrt{1+x^2})^2}{\sqrt{1+x^2}}}{(\sqrt{1+x^2}(x+\sqrt{1+x^2}))^2}=-\dfrac{1}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}$
|
||||
|
||||
## 19 номер - Д 863
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=(2-x^{2})\cos x + 2x \sin x$
|
||||
$y'=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$(2-x^2)\cos x+2x\sin x$
|
||||
|
||||
$y=u+v;\ y'=u'+v';$
|
||||
$u=(2-x^2)\cos x;\ v=2x\sin x$
|
||||
|
||||
$u=ab;\ u'=a'b+b'a;$
|
||||
$a=2-x^2;\ b=\cos x;$
|
||||
$a'=-2x;$
|
||||
$b'=-\sin x;$
|
||||
$u'=(-2x)\cos x+(2-x^2)(-\sin x)=-2x\cos x-(2-x^2)\sin x;$
|
||||
|
||||
$v=ab;\ v'=a'b+b'a;$
|
||||
$a=2x;\ b=\sin x;$
|
||||
$a'=2;$
|
||||
$b'=\cos x;$
|
||||
$v'=2\sin x+2x\cos x;$
|
||||
|
||||
$y'=(-2x\cos x-(2-x^2)\sin x)+(2\sin x+2x\cos x)=x^2\sin x$
|
||||
|
||||
## 22 номер - Д 866
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=\sin[\sin(\sin x)]$
|
||||
$y'=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\sin[\sin(\sin x)]$
|
||||
|
||||
$y=\sin u;\ y'=\cos u\cdot u';$
|
||||
$u=\sin(\sin x)$
|
||||
|
||||
$u=\sin v;\ u'=\cos v\cdot v';$
|
||||
$v=\sin x$
|
||||
|
||||
$v'=\cos x;$
|
||||
$u'=\cos(\sin x)\cos x;$
|
||||
$y'=\cos(\sin(\sin x))\cos(\sin x)\cos x$
|
||||
|
||||
## 23 номер - Д 867
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=\dfrac{\sin ^{2}x}{\sin x^{2}}$
|
||||
$y'=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\dfrac{\sin^2x}{\sin x^2}$
|
||||
|
||||
$y=\dfrac{u}{v};\ y'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}};$
|
||||
$u=\sin^2x;\ v=\sin x^2$
|
||||
|
||||
$u=(\sin x)^2;\ u'=2\sin x\cos x;$
|
||||
$v=\sin(x^2);\ v'=\cos(x^2)\cdot2x=2x\cos(x^2);$
|
||||
|
||||
$y'=\dfrac{(2\sin x\cos x)\sin(x^2)-\sin^2x\cdot(2x\cos(x^2))}{\sin^2(x^2)}$
|
||||
|
||||
## 26 номер - Д 880
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=e^{x}(1+\cot \dfrac{x}{2})$
|
||||
$y'=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$e^x(1+\cot\frac{x}{2})$
|
||||
|
||||
$y=ab;\ y'=a'b+b'a;$
|
||||
$a=e^x;\ b=1+\cot\frac{x}{2}$
|
||||
|
||||
$a'=e^x;$
|
||||
$b'=0+(\cot\frac{x}{2})';$
|
||||
$(\cot u)'=-\dfrac{1}{\sin^2u}\cdot u';$
|
||||
$u=\dfrac{x}{2};\ u'=\dfrac{1}{2};$
|
||||
$(\cot\frac{x}{2})'=-\dfrac{1}{\sin^2(\frac{x}{2})}\cdot\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2\sin^2(\frac{x}{2})};$
|
||||
|
||||
$y'=e^x(1+\cot\frac{x}{2})+e^x(-\dfrac{1}{2\sin^2(\frac{x}{2})})=e^x(1+\cot\frac{x}{2}-\dfrac{1}{2\sin^2(\frac{x}{2})})$
|
||||
|
||||
## 27 номер - Д 881
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=\dfrac{\ln3\cdot \sin x + \cos x}{3^{x}}$
|
||||
$y'=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\dfrac{\ln3\sin x+\cos x}{3^x}$
|
||||
|
||||
$y=\dfrac{u}{v};\ y'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2};$
|
||||
$u=\ln3\sin x+\cos x;\ v=3^x$
|
||||
|
||||
$u'=\ln3\cos x-\sin x;$
|
||||
$v'=3^x\ln3;$
|
||||
|
||||
$y'=\dfrac{(\ln3\cos x-\sin x)3^x-(\ln3\sin x+\cos x)3^x\ln3}{(3^x)^2}$
|
||||
$y'=\dfrac{\ln3\cos x-\sin x-(\ln3\sin x+\cos x)\ln3}{3^x}$
|
||||
$y'=\dfrac{-\sin x-(\ln3)^2\sin x}{3^x}=-\dfrac{(1+(\ln3)^2)\sin x}{3^x}$
|
||||
|
||||
## 30 номер - Д 884
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=(\dfrac{a}{b})^{x}(\dfrac{b}{x})^{a}(\dfrac{x}{a})^{b}$
|
||||
$y'=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$(\dfrac{a}{b})^x(\dfrac{b}{x})^a(\dfrac{x}{a})^b$
|
||||
|
||||
$y=uvw;\ y'=u'vw+uv'w+uvw';$
|
||||
$u=(\dfrac{a}{b})^x;\ v=(\dfrac{b}{x})^a;\ w=(\dfrac{x}{a})^b$
|
||||
|
||||
$u=(\dfrac{a}{b})^x=e^{x\ln(\frac{a}{b})};\ u'=(\dfrac{a}{b})^x\ln(\dfrac{a}{b});$
|
||||
$v=(\dfrac{b}{x})^a=b^a x^{-a};\ v'=-ab^a x^{-a-1}=-\dfrac{a}{x}(\dfrac{b}{x})^a;$
|
||||
$w=(\dfrac{x}{a})^b=x^b a^{-b};\ w'=bx^{b-1}a^{-b}=\dfrac{b}{x}(\dfrac{x}{a})^b;$
|
||||
|
||||
$y'=(\dfrac{a}{b})^x(\dfrac{b}{x})^a(\dfrac{x}{a})^b(\ln(\dfrac{a}{b})-\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x})$
|
||||
|
||||
## 34 номер - Д 888
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=\ln(\ln ^{2}(\ln ^{3}x))$
|
||||
$y'=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\ln(\ln^2(\ln^3x))$
|
||||
|
||||
$y=\ln u;\ y'=\dfrac{u'}{u};$
|
||||
$u=\ln^2(\ln^3x)=(\ln(\ln^3x))^2$
|
||||
|
||||
$u=v^2;\ u'=2vv';$
|
||||
$v=\ln(\ln^3x)$
|
||||
$v=\ln t;\ v'=\dfrac{t'}{t};$
|
||||
$t=\ln^3x=(\ln x)^3$
|
||||
|
||||
$t=w^3;\ t'=3w^2w';$
|
||||
$w=\ln x;\ w'=\dfrac{1}{x};$
|
||||
$t'=3(\ln x)^2\cdot\dfrac{1}{x};$
|
||||
|
||||
$v'=\dfrac{3(\ln x)^2\cdot\frac{1}{x}}{(\ln x)^3}=\dfrac{3}{x\ln x};$
|
||||
$u'=2\ln(\ln^3x)\cdot\dfrac{3}{x\ln x}=\dfrac{6\ln(\ln^3x)}{x\ln x};$
|
||||
|
||||
$y'=\dfrac{\frac{6\ln(\ln^3x)}{x\ln x}}{(\ln(\ln^3x))^2}=\dfrac{6}{x\ln x\cdot\ln(\ln^3x)}$
|
||||
|
||||
## 38 номер - Д 896
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=x\ln(x+\sqrt{ 1+x^{2} })-\sqrt{ 1+x^{2} }$
|
||||
$y'=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$x\ln(x+\sqrt{1+x^2})-\sqrt{1+x^2}$
|
||||
|
||||
$y=u-v;\ y'=u'-v';$
|
||||
$u=x\ln(x+\sqrt{1+x^2});\ v=\sqrt{1+x^2}$
|
||||
|
||||
$u=ab;\ u'=a'b+b'a;$
|
||||
$a=x;\ b=\ln(x+\sqrt{1+x^2})$
|
||||
$a'=1;$
|
||||
$b=\ln t;\ b'=\dfrac{t'}{t};$
|
||||
$t=x+\sqrt{1+x^2};$
|
||||
$t'=1+(\sqrt{1+x^2})';$
|
||||
$(\sqrt{1+x^2})'=\dfrac{1}{2}(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}2x=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}};$
|
||||
$t'=1+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}};$
|
||||
$b'=\dfrac{\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}};$
|
||||
$u'=\ln(x+\sqrt{1+x^2})+x\cdot\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}};$
|
||||
|
||||
$v=(1+x^2)^{\frac{1}{2}};\ v'=\dfrac{1}{2}(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}2x=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}};$
|
||||
$y'=(\ln(x+\sqrt{1+x^2})+x\cdot\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}})-\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\ln(x+\sqrt{1+x^2})$
|
||||
|
||||
## 42 номер - Д 900
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=\dfrac{2+3x^{2}}{x^{4}}\sqrt{ 1-x^{2} }+3\ln \dfrac{1+\sqrt{ 1-x^{2} }}{x}$
|
||||
$y'=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\dfrac{2+3x^{2}}{x^{4}}\sqrt{1-x^{2}}+3\ln\dfrac{1+\sqrt{1-x^{2}}}{x}$
|
||||
|
||||
$y=u+v;\ y'=u'+v';$
|
||||
$u=\dfrac{2+3x^{2}}{x^{4}}\sqrt{1-x^{2}};\ v=3\ln\dfrac{1+\sqrt{1-x^{2}}}{x}$
|
||||
|
||||
$u=ab;\ u'=a'b+ab';$
|
||||
$a=\dfrac{2+3x^{2}}{x^{4}};\ b=\sqrt{1-x^{2}}$
|
||||
|
||||
$a=(2+3x^{2})x^{-4};$
|
||||
$a'=6x\cdot x^{-4}+(2+3x^{2})(-4)x^{-5}=\dfrac{6}{x^{3}}-\dfrac{8+12x^{2}}{x^{5}}=-\dfrac{6x^{2}+8}{x^{5}};$
|
||||
$b=(1-x^{2})^{\frac{1}{2}};\ b'=\dfrac{1}{2}(1-x^{2})^{-\frac{1}{2}}(-2x)=-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}};$
|
||||
|
||||
$u'=-\dfrac{6x^{2}+8}{x^{5}}\sqrt{1-x^{2}}+\dfrac{2+3x^{2}}{x^{4}}(-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}})=-\dfrac{6x^{2}+8}{x^{5}}\sqrt{1-x^{2}}-\dfrac{2+3x^{2}}{x^{3}\sqrt{1-x^{2}}}$
|
||||
|
||||
$v=3(\ln(1+\sqrt{1-x^{2}})-\ln x);$
|
||||
$v'=3(\dfrac{(\sqrt{1-x^{2}})'}{1+\sqrt{1-x^{2}}}-\dfrac{1}{x});$
|
||||
$(\sqrt{1-x^{2}})'=-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}};$
|
||||
|
||||
$v'=3(-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}(1+\sqrt{1-x^{2}})}-\dfrac{1}{x})=-\dfrac{3}{x\sqrt{1-x^{2}}}$
|
||||
|
||||
$y'=-\dfrac{6x^{2}+8}{x^{5}}\sqrt{1-x^{2}}-\dfrac{2+6x^{2}}{x^{3}\sqrt{1-x^{2}}}=-\dfrac{6x^{2}+8}{x^{5}}\cdot\dfrac{1-x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}-\dfrac{(2+6x^{2})x^{2}}{x^{5}\sqrt{1-x^{2}}}=-\dfrac{(6x^{2}+8)(1-x^{2})+(2+6x^{2})x^{2}}{x^{5}\sqrt{1-x^{2}}}=-\dfrac{8}{x^{5}\sqrt{1-x^{2}}}$
|
||||
|
||||
## 46 номер - Д 904
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=\ln \sqrt{ \dfrac{1-\sin x}{1+\sin x} }$
|
||||
$y'=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\ln\sqrt{\dfrac{1-\sin x}{1+\sin x}}$
|
||||
|
||||
$y=\ln((\dfrac{1-\sin x}{1+\sin x})^{\frac{1}{2}})=\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{1-\sin x}{1+\sin x}=\dfrac{1}{2}(\ln(1-\sin x)-\ln(1+\sin x))$
|
||||
|
||||
$y'=\dfrac{1}{2}(\dfrac{-(\sin x)'}{1-\sin x}-\dfrac{(\sin x)'}{1+\sin x})=\dfrac{1}{2}(-\dfrac{\cos x}{1-\sin x}-\dfrac{\cos x}{1+\sin x})$
|
||||
$y'=-\dfrac{\cos x}{2}\cdot\dfrac{(1+\sin x)+(1-\sin x)}{1-\sin^{2}x}=-\dfrac{1}{\cos x}$
|
||||
|
||||
## 50 номер - Д 908
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y= \dfrac{1}{4x^{4}}\ln \dfrac{1}{x}- \dfrac{1}{16x^{4}}$
|
||||
$y'=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\dfrac{1}{4x^{4}}\ln\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{16x^{4}}$
|
||||
|
||||
$y=u+v;\ y'=u'+v';$
|
||||
$u=\dfrac{1}{4x^{4}}\ln\dfrac{1}{x};\ v=-\dfrac{1}{16x^{4}}$
|
||||
|
||||
$u=\dfrac{1}{4}ab;\ u'=\dfrac{1}{4}(a'b+ab');$
|
||||
$a=x^{-4};\ b=\ln\dfrac{1}{x}$
|
||||
|
||||
$a'=-4x^{-5}=-\dfrac{4}{x^{5}};$
|
||||
$b=\ln(x^{-1});\ b'=-(\ln x)'=-\dfrac{1}{x};$
|
||||
|
||||
$u'=\dfrac{1}{4}(-\dfrac{4}{x^{5}}\ln\dfrac{1}{x}+x^{-4}(-\dfrac{1}{x}))=-\dfrac{1}{x^{5}}\ln\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{4x^{5}}$
|
||||
$v'=-\dfrac{1}{16}(-4)x^{-5}=\dfrac{1}{4x^{5}}$
|
||||
|
||||
$y'=-\dfrac{1}{x^{5}}\ln\dfrac{1}{x}$
|
||||
|
||||
## 53 номер - Д 963
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=\sqrt[ x ]{ x }; (x>0)$
|
||||
$y'=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$y=\sqrt[x]{x}=x^{\frac{1}{x}}$
|
||||
|
||||
$\ln y=\ln(x^{\frac{1}{x}})=\dfrac{1}{x}\ln x$
|
||||
$\dfrac{y'}{y}=(\dfrac{\ln x}{x})'$
|
||||
|
||||
$u=\ln x;\ v=x;\ (\dfrac{u}{v})'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}};$
|
||||
$u'=\dfrac{1}{x};\ v'=1;$
|
||||
|
||||
$(\dfrac{\ln x}{x})'=\dfrac{\dfrac{1}{x}\cdot x-\ln x}{x^{2}}=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}$
|
||||
$y'=y\cdot\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}=x^{\frac{1}{x}}\cdot\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}$
|
||||
|
||||
## 54 номер - Д 964
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=(\sin x)^{\cos x}+(\cos x)^{\sin x}$
|
||||
$y'=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$(\sin x)^{\cos x}+(\cos x)^{\sin x}$
|
||||
|
||||
$y=u+v;\ y'=u'+v';$
|
||||
$u=(\sin x)^{\cos x};\ v=(\cos x)^{\sin x}$
|
||||
|
||||
$\ln u=\cos x\ln(\sin x)$
|
||||
$\dfrac{u'}{u}=(\cos x)'\ln(\sin x)+\cos x(\ln(\sin x))'=-\sin x\ln(\sin x)+\cos x\cdot\dfrac{\cos x}{\sin x}$
|
||||
$u'=u(-\sin x\ln(\sin x)+\dfrac{\cos^{2}x}{\sin x})=(\sin x)^{\cos x}(-\sin x\ln(\sin x)+\dfrac{\cos^{2}x}{\sin x})$
|
||||
|
||||
$\ln v=\sin x\ln(\cos x)$
|
||||
$\dfrac{v'}{v}=(\sin x)'\ln(\cos x)+\sin x(\ln(\cos x))'=\cos x\ln(\cos x)+\sin x(-\dfrac{\sin x}{\cos x})$
|
||||
$v'=v(\cos x\ln(\cos x)-\dfrac{\sin^{2}x}{\cos x})=(\cos x)^{\sin x}(\cos x\ln(\cos x)-\dfrac{\sin^{2}x}{\cos x})$
|
||||
|
||||
$y'=(\sin x)^{\cos x}(-\sin x\ln(\sin x)+\dfrac{\cos^{2}x}{\sin x})+(\cos x)^{\sin x}(\cos x\ln(\cos x)-\dfrac{\sin^{2}x}{\cos x})$
|
||||
|
||||
## 57 номер - Д 984Б
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=\dfrac{x^{2}}{1-x}\sqrt[ 3 ]{ \dfrac{3-x}{(3+x)^{2}} }$
|
||||
$y'=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$y=\dfrac{x^{2}}{1-x}\sqrt[3]{\dfrac{3-x}{(3+x)^{2}}}$
|
||||
|
||||
$\ln y=\ln(\dfrac{x^{2}}{1-x})+\ln((\dfrac{3-x}{(3+x)^{2}})^{\frac{1}{3}})=(2\ln x-\ln(1-x))+\dfrac{1}{3}(\ln(3-x)-2\ln(3+x))$
|
||||
|
||||
$\dfrac{y'}{y}=(2\ln x-\ln(1-x))'+\dfrac{1}{3}(\ln(3-x)-2\ln(3+x))'$
|
||||
$\dfrac{y'}{y}=\dfrac{2}{x}-(\ln(1-x))'+\dfrac{1}{3}(\dfrac{-1}{3-x}-2\cdot\dfrac{1}{3+x})$
|
||||
$(\ln(1-x))'=\dfrac{(1-x)'}{1-x}=-\dfrac{1}{1-x}$
|
||||
$\dfrac{y'}{y}=\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{1-x}-\dfrac{1}{3}(\dfrac{1}{3-x}+\dfrac{2}{3+x})$
|
||||
|
||||
$y'=y(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{1-x}-\dfrac{1}{3}(\dfrac{1}{3-x}+\dfrac{2}{3+x}))$
|
||||
|
||||
## 58 номер - Д 984В
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=(x-a_{1})^{a_{1}}(x-a_{2})^{a_{2}}\dots(x-a_{n})^{a_{n}}$
|
||||
$y'=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$y=(x-a_{1})^{a_{1}}(x-a_{2})^{a_{2}}\dots(x-a_{n})^{a_{n}}$
|
||||
|
||||
$\ln y=\ln((x-a_{1})^{a_{1}}(x-a_{2})^{a_{2}}\dots(x-a_{n})^{a_{n}})=\ln(x-a_{1})^{a_{1}}+\ln(x-a_{2})^{a_{2}}+\dots+\ln(x-a_{n})^{a_{n}}$
|
||||
$\ln y=a_{1}\ln(x-a_{1})+a_{2}\ln(x-a_{2})+\dots+a_{n}\ln(x-a_{n})$
|
||||
|
||||
$\dfrac{y'}{y}=(a_{1}\ln(x-a_{1})+a_{2}\ln(x-a_{2})+\dots+a_{n}\ln(x-a_{n}))'$
|
||||
$\dfrac{y'}{y}=\dfrac{a_{1}}{x-a_{1}}+\dfrac{a_{2}}{x-a_{2}}+\dots+\dfrac{a_{n}}{x-a_{n}}$
|
||||
|
||||
$y'=y(\dfrac{a_{1}}{x-a_{1}}+\dfrac{a_{2}}{x-a_{2}}+\dots+\dfrac{a_{n}}{x-a_{n}})$
|
||||
$y'=(x-a_{1})^{a_{1}}(x-a_{2})^{a_{2}}\dots(x-a_{n})^{a_{n}}(\dfrac{a_{1}}{x-a_{1}}+\dfrac{a_{2}}{x-a_{2}}+\dots+\dfrac{a_{n}}{x-a_{n}})$
|
||||
|
||||
## 61 номер - Д 985Б
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=\text{arccot} \dfrac{\phi(x)}{\psi(x)}$
|
||||
$y'=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$y=\text{arccot}\dfrac{\phi(x)}{\psi(x)}$
|
||||
|
||||
$y=\text{arccot}(u);\ y'=-\dfrac{u'}{1+u^{2}};$
|
||||
$u=\dfrac{\phi(x)}{\psi(x)}$
|
||||
|
||||
$u=\dfrac{p}{q};\ u'=\dfrac{p'q-pq'}{q^{2}};$
|
||||
$p=\phi(x);\ q=\psi(x)$
|
||||
|
||||
$u'=\dfrac{\phi'(x)\psi(x)-\phi(x)\psi'(x)}{\psi^{2}(x)}$
|
||||
$1+u^{2}=1+\dfrac{\phi^{2}(x)}{\psi^{2}(x)}=\dfrac{\psi^{2}(x)+\phi^{2}(x)}{\psi^{2}(x)}$
|
||||
|
||||
$y'=-\dfrac{\dfrac{\phi'\psi-\phi\psi'}{\psi^{2}}}{\dfrac{\psi^{2}+\phi^{2}}{\psi^{2}}}=-\dfrac{\phi'\psi-\phi\psi'}{\phi^{2}+\psi^{2}}=\dfrac{\phi\psi'-\phi'\psi}{\phi^{2}+\psi^{2}}$
|
||||
|
||||
## 65 номер - Д 989
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$F(x)=\begin{vmatrix}x & x^{2} & x^{3} \\ 1 & 2x & 3x^{2} \\ 0 & 2 & 6x\end{vmatrix}$
|
||||
$F(x)'=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$F(x)=\begin{vmatrix}x & x^{2} & x^{3} \\ 1 & 2x & 3x^{2} \\ 0 & 2 & 6x\end{vmatrix}$
|
||||
|
||||
$F(x)=x\begin{vmatrix}2x & 3x^{2} \\ 2 & 6x\end{vmatrix}-x^{2}\begin{vmatrix}1 & 3x^{2} \\ 0 & 6x\end{vmatrix}+x^{3}\begin{vmatrix}1 & 2x \\ 0 & 2\end{vmatrix}$
|
||||
$F(x)=x(2x\cdot6x-3x^{2}\cdot2)-x^{2}(1\cdot6x-0)+x^{3}(1\cdot2-0)$
|
||||
$F(x)=x(12x^{2}-6x^{2})-6x^{3}+2x^{3}=6x^{3}-6x^{3}+2x^{3}=2x^{3}$
|
||||
|
||||
$F'(x)=6x^{2}$
|
||||
|
||||
## 69 номер - Д 1042
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
Найти производные $y'_{x}$ (параметры положительны)
|
||||
$x=a\cosh t$
|
||||
$y=b \sinh t$
|
||||
$y'_{x}=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$x=a\cosh t;\ y=b\sinh t$
|
||||
|
||||
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}$
|
||||
$\dfrac{dx}{dt}=a(\cosh t)'=a\sinh t$
|
||||
$\dfrac{dy}{dt}=b(\sinh t)'=b\cosh t$
|
||||
|
||||
$y'_{x}=\dfrac{b\cosh t}{a\sinh t}=\dfrac{b}{a}\cdot\dfrac{\cosh t}{\sinh t}=\dfrac{b}{a}\text{cth}\ t$
|
||||
|
||||
## 73 номер - Д 1050
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 \ (эллипс)$
|
||||
$y'=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$
|
||||
|
||||
$(\dfrac{x^{2}}{a^{2}})'+(\dfrac{y^{2}}{b^{2}})'=0$
|
||||
$\dfrac{2x}{a^{2}}+\dfrac{2y}{b^{2}}y'=0$
|
||||
$y'=-\dfrac{2x}{a^{2}}\cdot\dfrac{b^{2}}{2y}=-\dfrac{b^{2}x}{a^{2}y}$
|
||||
|
||||
## 77 номер - Д 1086
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=\dfrac{1}{a}\text{arccot} \dfrac{x}{a}; (a\neq0)$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$a=\text{const};$
|
||||
$y=\dfrac{1}{a}\text{arccot} u;\ dy=\dfrac{1}{a}d(\text{arccot} u);$
|
||||
$d(\text{arccot} u)=-\dfrac{1}{1+u^{2}}du;$
|
||||
$u=\dfrac{x}{a};\ du=\dfrac{1}{a}dx;$
|
||||
|
||||
$dy=\dfrac{1}{a}(-\dfrac{1}{1+(\frac{x}{a})^{2}}\cdot\dfrac{1}{a}dx)=-\dfrac{1}{a^{2}}\cdot\dfrac{1}{1+\frac{x^{2}}{a^{2}}}dx=-\dfrac{1}{a^{2}}\cdot\dfrac{a^{2}}{a^{2}+x^{2}}dx=-\dfrac{dx}{a^{2}+x^{2}}$
|
||||
|
||||
## 80 номер - Д 1088
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=\ln|x+\sqrt{ x^{2+a} }|$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$a=\text{const};$
|
||||
$y=\ln|u|;\ dy=\dfrac{du}{u};$
|
||||
$u=x+\sqrt{x^{2+a}}$
|
||||
|
||||
$du=dx+d(\sqrt{x^{2+a}});$
|
||||
$\sqrt{x^{2+a}}=(x^{2+a})^{\frac{1}{2}};$
|
||||
$d((x^{2+a})^{\frac{1}{2}})=\dfrac{1}{2}(x^{2+a})^{-\frac{1}{2}}d(x^{2+a});$
|
||||
$d(x^{2+a})=(2+a)x^{1+a}dx;$
|
||||
$d(\sqrt{x^{2+a}})=\dfrac{1}{2}(x^{2+a})^{-\frac{1}{2}}(2+a)x^{1+a}dx=\dfrac{2+a}{2}x^{\frac{a}{2}}dx;$
|
||||
|
||||
$du=(1+\dfrac{2+a}{2}x^{\frac{a}{2}})dx;$
|
||||
$dy=\dfrac{(1+\dfrac{2+a}{2}x^{\frac{a}{2}})dx}{x+\sqrt{x^{2+a}}}$
|
||||
|
||||
## 81 номер - Д 1089
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=\arcsin \dfrac{x}{a}; (a\neq 0)$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$a=\text{const};$
|
||||
$y=\arcsin u;\ dy=d(\arcsin u);$
|
||||
$d(\arcsin u)=\dfrac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}du;$
|
||||
$u=\dfrac{x}{a};\ du=\dfrac{1}{a}dx;$
|
||||
|
||||
$dy=\dfrac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{a})^{2}}}\cdot\dfrac{1}{a}dx=\dfrac{dx}{a\sqrt{1-(\frac{x}{a})^{2}}}$
|
||||
|
||||
## 84 номер - Д 1090В
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$d(\dfrac{1}{x^{3}})$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\dfrac{1}{x^3}=x^{-3}$
|
||||
$d(x^{-3})=(-3)x^{-4}dx=-\dfrac{3}{x^{4}}dx$
|
||||
|
||||
## 85 номер - Д 1090Г
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$d(\dfrac{\ln x}{\sqrt{ x }})$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}=\ln x\cdot x^{-\frac{1}{2}}$
|
||||
|
||||
$d(uv)=u\,dv+v\,du;$
|
||||
$u=\ln x;\ v=x^{-\frac{1}{2}}$
|
||||
|
||||
$du=\dfrac{1}{x}dx;$
|
||||
$dv=-\dfrac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}dx;$
|
||||
|
||||
$d(\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}})=\ln x(-\dfrac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}dx)+x^{-\frac{1}{2}}(\dfrac{1}{x}dx)=(-\dfrac{\ln x}{2x^{\frac{3}{2}}}+\dfrac{1}{x^{\frac{3}{2}}})dx=\dfrac{2-\ln x}{2x^{\frac{3}{2}}}dx$
|
||||
|
||||
## 88 номер - Д 1093
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=\dfrac{1}{\sqrt{ u^{2}+v^{2} }}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$y=(u^2+v^2)^{-\frac{1}{2}}$
|
||||
$dy=-\dfrac{1}{2}(u^2+v^2)^{-\frac{3}{2}}d(u^2+v^2)$
|
||||
|
||||
$d(u^2+v^2)=d(u^2)+d(v^2)=2u\,du+2v\,dv;$
|
||||
$dy=-\dfrac{1}{2}(u^2+v^2)^{-\frac{3}{2}}(2u\,du+2v\,dv)=-\dfrac{u\,du+v\,dv}{(u^2+v^2)^{\frac{3}{2}}}$
|
||||
|
||||
## 89 номер - Д 1094
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=\text{arccon} \dfrac{u}{v}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$y=\text{arccon}\,w;\ dy=d(\text{arccon}\,w);$
|
||||
$d(\text{arccon}\,w)=-\dfrac{1}{\sqrt{1-w^2}}dw;$
|
||||
$w=\dfrac{u}{v}$
|
||||
|
||||
$dw=d(\dfrac{u}{v})=\dfrac{v\,du-u\,dv}{v^2};$
|
||||
$dy=-\dfrac{1}{\sqrt{1-(\frac{u}{v})^2}}\cdot\dfrac{v\,du-u\,dv}{v^2}$
|
||||
|
||||
## 92 номер - Д 1100
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\sin 29\degree\approx \ ?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$y=\sin x;$
|
||||
$x_0=30\degree=\dfrac{\pi}{6};$
|
||||
$\Delta x=29\degree-30\degree=-1\degree=-\dfrac{\pi}{180};$
|
||||
$y(x_0+\Delta x)\approx y(x_0)+y'(x_0)\Delta x;$
|
||||
$y'=\cos x;$
|
||||
|
||||
$\sin29\degree\approx\sin30\degree+\cos30\degree(-\dfrac{\pi}{180})=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}\pi}{360}\approx0,485;$
|
||||
|
||||
## 96 номер - Д 1103
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$lg 11 \approx \ ?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$y=lgx;$
|
||||
$x_0=10;\ \Delta x=1;$
|
||||
$y(x_0+\Delta x)\approx y(x_0)+y'(x_0)\Delta x;$
|
||||
$(lgx)'=\dfrac{1}{x\ln10};$
|
||||
|
||||
$lg11\approx lg10+\dfrac{1}{10\ln10}\cdot1=1+\dfrac{1}{10\ln10}\approx1,043;$
|
||||
|
||||
## 100 номер - Д 1105А
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\sqrt[ 3 ]{ 9 }\approx \ ?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\sqrt[ 3 ]{ 9 }=\sqrt[3]{8+1};$
|
||||
$n=3;\ a=2;\ x=1;\ (a>0)$
|
||||
$\sqrt[n]{a^{n}+x}\approx a+\dfrac{x}{na^{n-1}}$
|
||||
|
||||
$\sqrt[3]{9}\approx2+\dfrac{1}{3\cdot2^{2}}=2+\dfrac{1}{12}\approx2,083;$
|
||||
|
||||
## 104 номер - РИСУНОК
|
||||
![[telegram-cloud-document-2-5407087289899717974.jpg]]
|
||||
|
||||
## 105 номер - АНЕКДОТ
|
||||
На одном корабле работал фокусник. Так как пассажиры постоянно менялись, он без перемены проделывал одни и те же фокусы. К его несчастью, капитанский попугай просмотрел его выступления достаточно раз, чтобы разгадать все секреты. Во время каждого выступления попугай портил все фокусы своими криками «Эта не та шляпа! Он прячет пиковую даму в кармане брюк! В коробке дырочка!». Фокусник сердился, но ничего поделать не мог, попугай всё-таки капитанский.
|
||||
Однажды корабль потерпел кораблекрушение, и только фокусник с попугаем чудом выжили. Продолжали они плавать в море на каком-то бревне. Фокусник постоянно злобно смотрел на попугая, который в свою очередь не переставал смотреть на фокусника. Наконец, через неделю дрейфа попугай не выдержал:
|
||||
\- Ну ладно, ладно, сдаюсь! Куда ты корабль засунул то?!
|
||||
|
||||
|
||||
## 108 номер - Д 1133
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=x^{x}$
|
||||
$d^{2}y=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$x=\text{независимая};\ d(dx)=0;$
|
||||
$y=x^x$
|
||||
|
||||
$\ln y=x\ln x$
|
||||
$\dfrac{dy}{y}=d(x\ln x)=(x\ln x)'dx=(\ln x+1)dx$
|
||||
$dy=y(\ln x+1)dx$
|
||||
|
||||
$d^{2}y=d(dy)=d(y(\ln x+1)dx)=d(y(\ln x+1))dx$
|
||||
$d(y(\ln x+1))=(\ln x+1)dy+y\,d(\ln x+1)$
|
||||
$d(\ln x+1)=\dfrac{1}{x}dx$
|
||||
$d(y(\ln x+1))=(\ln x+1)\,y(\ln x+1)dx+y\cdot\dfrac{1}{x}dx=y((\ln x+1)^{2}+\dfrac{1}{x})dx$
|
||||
|
||||
$d^{2}y=x^{x}((\ln x+1)^{2}+\dfrac{1}{x})dx^{2}$
|
||||
|
||||
## 111 номер - Д 1142
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$x=a(t-\sin t)$
|
||||
$y=a(1-\cos t)$
|
||||
$y'''=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$x=a(t-\sin t);\ y=a(1-\cos t)$
|
||||
|
||||
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}$
|
||||
$\dfrac{dx}{dt}=a(1-\cos t)$
|
||||
$\dfrac{dy}{dt}=a\sin t$
|
||||
$y'_{x}=\dfrac{a\sin t}{a(1-\cos t)}=\dfrac{\sin t}{1-\cos t}$
|
||||
|
||||
$y''_{x}=\dfrac{\dfrac{d}{dt}(y'_{x})}{\dfrac{dx}{dt}}$
|
||||
$\dfrac{d}{dt}(\dfrac{\sin t}{1-\cos t})=\dfrac{(\cos t)(1-\cos t)-\sin t\cdot\sin t}{(1-\cos t)^{2}}=\dfrac{\cos t-1}{(1-\cos t)^{2}}=-\dfrac{1}{1-\cos t}$
|
||||
$y''_{x}=\dfrac{-\dfrac{1}{1-\cos t}}{a(1-\cos t)}=-\dfrac{1}{a(1-\cos t)^{2}}$
|
||||
|
||||
$y'''_{x}=\dfrac{\dfrac{d}{dt}(y''_{x})}{\dfrac{dx}{dt}}$
|
||||
$\dfrac{d}{dt}(-\dfrac{1}{a}(1-\cos t)^{-2})=-\dfrac{1}{a}(-2)(1-\cos t)^{-3}\sin t=\dfrac{2\sin t}{a(1-\cos t)^{3}}$
|
||||
$y'''_{x}=\dfrac{\dfrac{2\sin t}{a(1-\cos t)^{3}}}{a(1-\cos t)}=\dfrac{2\sin t}{a^{2}(1-\cos t)^{4}}$
|
||||
|
||||
## 112 номер - Д 1143
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$x=e^{ t }\cos t$
|
||||
$y=e^{ t }\sin t$
|
||||
$y'''=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$x=e^{t}\cos t;\ y=e^{t}\sin t$
|
||||
|
||||
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}$
|
||||
$\dfrac{dx}{dt}=e^{t}\cos t+e^{t}(-\sin t)=e^{t}(\cos t-\sin t)$
|
||||
$\dfrac{dy}{dt}=e^{t}\sin t+e^{t}\cos t=e^{t}(\sin t+\cos t)$
|
||||
$y'_{x}=\dfrac{e^{t}(\sin t+\cos t)}{e^{t}(\cos t-\sin t)}=\dfrac{\sin t+\cos t}{\cos t-\sin t}$
|
||||
|
||||
$y''_{x}=\dfrac{\dfrac{d}{dt}(y'_{x})}{\dfrac{dx}{dt}}$
|
||||
$\dfrac{d}{dt}(\dfrac{\sin t+\cos t}{\cos t-\sin t})=\dfrac{(\cos t-\sin t)(\cos t-\sin t)-(\sin t+\cos t)(-\sin t-\cos t)}{(\cos t-\sin t)^{2}}$
|
||||
$\dfrac{d}{dt}(\dfrac{\sin t+\cos t}{\cos t-\sin t})=\dfrac{(\cos t-\sin t)^{2}+(\sin t+\cos t)^{2}}{(\cos t-\sin t)^{2}}=\dfrac{2}{(\cos t-\sin t)^{2}}$
|
||||
$y''_{x}=\dfrac{\dfrac{2}{(\cos t-\sin t)^{2}}}{e^{t}(\cos t-\sin t)}=\dfrac{2}{e^{t}(\cos t-\sin t)^{3}}$
|
||||
|
||||
$y'''_{x}=\dfrac{\dfrac{d}{dt}(y''_{x})}{\dfrac{dx}{dt}}$
|
||||
$y''_{x}=2e^{-t}(\cos t-\sin t)^{-3}$
|
||||
$\dfrac{d}{dt}(y''_{x})=2((-e^{-t})(\cos t-\sin t)^{-3}+e^{-t}(-3)(\cos t-\sin t)^{-4}(-\sin t-\cos t))$
|
||||
$\dfrac{d}{dt}(y''_{x})=2e^{-t}(-(\cos t-\sin t)^{-3}+3(\sin t+\cos t)(\cos t-\sin t)^{-4})$
|
||||
$\dfrac{d}{dt}(y''_{x})=\dfrac{2e^{-t}(-(\cos t-\sin t)+3(\sin t+\cos t))}{(\cos t-\sin t)^{4}}=\dfrac{4e^{-t}(\cos t+2\sin t)}{(\cos t-\sin t)^{4}}$
|
||||
$y'''_{x}=\dfrac{\dfrac{4e^{-t}(\cos t+2\sin t)}{(\cos t-\sin t)^{4}}}{e^{t}(\cos t-\sin t)}=\dfrac{4(\cos t+2\sin t)}{e^{2t}(\cos t-\sin t)^{5}}$
|
||||
|
||||
## 115 номер - Д 1157
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y= \dfrac{a}{x^{m}}$
|
||||
$y'''=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$y=a x^{-m};\ a,m=\text{const};$
|
||||
|
||||
$y'=a(-m)x^{-m-1}$
|
||||
$y''=a(-m)(-m-1)x^{-m-2}$
|
||||
$y'''=a(-m)(-m-1)(-m-2)x^{-m-3}=-\dfrac{am(m+1)(m+2)}{x^{m+3}}$
|
||||
|
||||
## 116 номер - Д 1159
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=\dfrac{x^{2}}{1-x}$
|
||||
$y^{(8)}=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$y=\dfrac{x^{2}}{1-x}=-x-1+\dfrac{1}{1-x}$
|
||||
$\dfrac{1}{1-x}=(1-x)^{-1}$
|
||||
|
||||
$((1-x)^{-1})'=(1-x)^{-2}$
|
||||
$((1-x)^{-2})'=2(1-x)^{-3}$
|
||||
$((1-x)^{-3})'=3\cdot2(1-x)^{-4}$
|
||||
|
||||
$((1-x)^{-1})^{(n)}=n!(1-x)^{-(n+1)};\ (n\ge1)$
|
||||
$(-x-1)^{(8)}=0$
|
||||
$y^{(8)}=\dfrac{8!}{(1-x)^{9}}$
|
||||
|
||||
## 119 номер - Д 1163
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$y=x\ln x$
|
||||
$y^{(5)}=?$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$y=x\ln x$
|
||||
|
||||
$y'=(x\ln x)'=\ln x+1$
|
||||
$y''=(\ln x+1)'=\dfrac{1}{x}$
|
||||
$y'''=(\dfrac{1}{x})'=-\dfrac{1}{x^{2}}$
|
||||
$y^{(4)}=(-\dfrac{1}{x^{2}})'=\dfrac{2}{x^{3}}$
|
||||
$y^{(5)}=(\dfrac{2}{x^{3}})'=-\dfrac{6}{x^{4}}$
|
||||
@@ -0,0 +1,842 @@
|
||||
## 60 номер – Д 1853
|
||||
#учеба #семестр_1 #высшая_математика
|
||||
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{xdx}{\sqrt{ 5+x-x^{2} }}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$f(x)=5+x-x^{2}$
|
||||
$f'(x)=1-2x$
|
||||
|
||||
$-\dfrac12 f'(x)=x-\dfrac12$
|
||||
$x=-\dfrac12 f'(x)+\dfrac12$
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{x}{\sqrt{f(x)}}dx=-\dfrac12\int \dfrac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}dx+\dfrac12\int \dfrac{dx}{\sqrt{f(x)}}$
|
||||
|
||||
$I=I_1+I_2$
|
||||
|
||||
$u=f(x);\ du=f'(x)dx$
|
||||
$I_1=-\dfrac12\int \dfrac{du}{\sqrt{u}}=-\sqrt{u}=-\sqrt{f(x)}$
|
||||
|
||||
$f(x)=5+x-x^2=\dfrac{21}{4}-(x-\dfrac12)^2$
|
||||
|
||||
$t=x-\dfrac12;\ dt=dx$
|
||||
$I_2=\dfrac12\int \dfrac{dt}{\sqrt{\dfrac{21}{4}-t^2}}=\dfrac12\arcsin(\dfrac{t}{\sqrt{21}/2})=\dfrac12\arcsin(\dfrac{2x-1}{\sqrt{21}})$
|
||||
|
||||
${\,I=-\sqrt{5+x-x^{2}}+\dfrac12\arcsin(\dfrac{2x-1}{\sqrt{21}})+C\,}$
|
||||
|
||||
## 61 номер – Д 1903
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{x^{3}}{(x-1)^{100}}dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{x^{3}}{(x-1)^{100}}dx$
|
||||
|
||||
$t=x-1;\ x=t+1;\ dt=dx$
|
||||
$I=\int \dfrac{(t+1)^{3}}{t^{100}}dt=\int \dfrac{t^{3}+3t^{2}+3t+1}{t^{100}}dt=\int (t^{-97}+3t^{-98}+3t^{-99}+t^{-100})dt$
|
||||
|
||||
$I=-\dfrac{1}{96}t^{-96}-\dfrac{3}{97}t^{-97}-\dfrac{3}{98}t^{-98}-\dfrac{1}{99}t^{-99}+C$
|
||||
|
||||
${\,I=-\dfrac{1}{96(x-1)^{96}}-\dfrac{3}{97(x-1)^{97}}-\dfrac{3}{98(x-1)^{98}}-\dfrac{1}{99(x-1)^{99}}+C\,}$
|
||||
|
||||
## 62 номер – Д 1905
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{x^{3}dx}{x^{8}+3}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{x^{3}}{x^{8}+3}dx$
|
||||
|
||||
$t=x^{4};\ dt=4x^{3}dx;\ x^{3}dx=\dfrac14dt$
|
||||
$I=\dfrac14\int \dfrac{dt}{t^{2}+3}=\dfrac14\cdot\dfrac{1}{\sqrt3}\arctan(\dfrac{t}{\sqrt3})+C$
|
||||
|
||||
${\,I=\dfrac{1}{4\sqrt3}\arctan(\dfrac{x^{4}}{\sqrt3})+C\,}$
|
||||
|
||||
## 63 номер – Д 1907
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{x^{4}-3}{x(x^{8}+3x^{4}+2)}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{x^{4}-3}{x(x^{8}+3x^{4}+2)}dx$
|
||||
$x^{8}+3x^{4}+2=(x^{4})^{2}+3x^{4}+2=(x^{4}+1)(x^{4}+2)$
|
||||
|
||||
$t=x^{4};\ dt=4x^{3}dx;\ \dfrac{dt}{t}=4\dfrac{dx}{x};\ \dfrac{dx}{x}=\dfrac{1}{4}\dfrac{dt}{t}$
|
||||
$I=\int \dfrac{x^{4}-3}{x(x^{4}+1)(x^{4}+2)}dx=\int \dfrac{t-3}{(t+1)(t+2)}\dfrac{dx}{x}=\dfrac14\int \dfrac{t-3}{t(t+1)(t+2)}dt$
|
||||
|
||||
$\dfrac{t-3}{t(t+1)(t+2)}=\dfrac{A}{t}+\dfrac{B}{t+1}+\dfrac{C}{t+2}$
|
||||
$t-3=A(t+1)(t+2)+Bt(t+2)+Ct(t+1)$
|
||||
$A=-\dfrac{3}{2};\ B=4;\ C=-\dfrac{5}{2}$
|
||||
|
||||
$I=\dfrac14\int(-\dfrac{3}{2}\dfrac{1}{t}+4\dfrac{1}{t+1}-\dfrac{5}{2}\dfrac{1}{t+2})dt$
|
||||
$I=-\dfrac{3}{8}\ln|t|+\ln|t+1|-\dfrac{5}{8}\ln|t+2|+C$
|
||||
$\ln|t|=\ln(x^{4})=4\ln|x|$
|
||||
|
||||
${\,I=\ln(x^{4}+1)-\dfrac{3}{2}\ln|x|-\dfrac{5}{8}\ln(x^{4}+2)+C\,}$
|
||||
|
||||
## 64 номер – Д 1909
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{x^{11}dx}{x^{8}+3x^{4}+2}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{x^{11}}{x^{8}+3x^{4}+2}dx$
|
||||
|
||||
$t=x^{4};\ dt=4x^{3}dx;\ x^{11}dx=x^{8}\cdot x^{3}dx=t^{2}\cdot\dfrac14dt$
|
||||
$x^{8}+3x^{4}+2=t^{2}+3t+2=(t+1)(t+2)$
|
||||
|
||||
$I=\dfrac14\int \dfrac{t^{2}}{t^{2}+3t+2}dt=\dfrac14\int(1-\dfrac{3t+2}{(t+1)(t+2)})dt$
|
||||
|
||||
$\dfrac{3t+2}{(t+1)(t+2)}=\dfrac{A}{t+1}+\dfrac{B}{t+2}$
|
||||
$3t+2=A(t+2)+B(t+1)=(A+B)t+(2A+B)$
|
||||
$A=-1;\ B=4$
|
||||
|
||||
$I=\dfrac14\int(1+\dfrac{1}{t+1}-\dfrac{4}{t+2})dt=\dfrac14(t+\ln(t+1)-4\ln(t+2))+C$
|
||||
|
||||
${\,I=\dfrac{x^{4}}{4}+\dfrac14\ln(x^{4}+1)-\ln(x^{4}+2)+C\,}$
|
||||
|
||||
## 65 номер – Д 1910
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{x^{9}dx}{(x^{10}+2x^{5}+2)^{2}}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{x^{9}}{(x^{10}+2x^{5}+2)^{2}}dx$
|
||||
|
||||
$t=x^{5};\ dt=5x^{4}dx;\ x^{9}dx=x^{5}\cdot x^{4}dx=t\cdot\dfrac15dt$
|
||||
$x^{10}+2x^{5}+2=t^{2}+2t+2$
|
||||
|
||||
$I=\dfrac15\int \dfrac{t}{(t^{2}+2t+2)^{2}}dt=\dfrac15\int(\dfrac{t+1}{(t^{2}+2t+2)^{2}}-\dfrac{1}{(t^{2}+2t+2)^{2}})dt$
|
||||
$I=\dfrac15(I_1-I_2)$
|
||||
|
||||
$u=t^{2}+2t+2;\ du=(2t+2)dt=2(t+1)dt$
|
||||
$I_1=\int \dfrac{t+1}{(t^{2}+2t+2)^{2}}dt=\dfrac12\int \dfrac{du}{u^{2}}=-\dfrac{1}{2u}=-\dfrac{1}{2(t^{2}+2t+2)}$
|
||||
|
||||
$t^{2}+2t+2=(t+1)^{2}+1$
|
||||
$s=t+1;\ ds=dt$
|
||||
$I_2=\int \dfrac{dt}{(t^{2}+2t+2)^{2}}=\int \dfrac{ds}{(s^{2}+1)^{2}}$
|
||||
|
||||
$(\dfrac{s}{s^{2}+1})'=\dfrac{1-s^{2}}{(s^{2}+1)^{2}}$
|
||||
$\dfrac{1}{(s^{2}+1)^{2}}=\dfrac{1-s^{2}}{(s^{2}+1)^{2}}+\dfrac{s^{2}}{(s^{2}+1)^{2}}=(\dfrac{s}{s^{2}+1})'+(\dfrac{1}{s^{2}+1}-\dfrac{1}{(s^{2}+1)^{2}})$
|
||||
$2\int \dfrac{ds}{(s^{2}+1)^{2}}=\dfrac{s}{s^{2}+1}+\arctan s$
|
||||
$I_2=\dfrac12(\dfrac{s}{s^{2}+1}+\arctan s)=\dfrac12(\dfrac{t+1}{t^{2}+2t+2}+\arctan(t+1))$
|
||||
|
||||
$I=\dfrac15(-\dfrac{1}{2(t^{2}+2t+2)}-\dfrac12(\dfrac{t+1}{t^{2}+2t+2}+\arctan(t+1)))+C$
|
||||
$I=-\dfrac{t+2}{10(t^{2}+2t+2)}-\dfrac{1}{10}\arctan(t+1)+C$
|
||||
|
||||
${\,I=-\dfrac{x^{5}+2}{10(x^{10}+2x^{5}+2)}-\dfrac{1}{10}\arctan(x^{5}+1)+C\,}$
|
||||
|
||||
## 66 номер – Д 1913
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{dx}{x(x^{10}+2)}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{dx}{x(x^{10}+2)}$
|
||||
|
||||
$t=x^{10};\ dt=10x^{9}dx;\ dx=\dfrac{dt}{10x^{9}}$
|
||||
$I=\int \dfrac{\dfrac{dt}{10x^{9}}}{x(t+2)}=\dfrac{1}{10}\int \dfrac{dt}{x^{10}(t+2)}=\dfrac{1}{10}\int \dfrac{dt}{t(t+2)}$
|
||||
|
||||
$\dfrac{1}{t(t+2)}=\dfrac{A}{t}+\dfrac{B}{t+2}$
|
||||
$1=A(t+2)+Bt=(A+B)t+2A$
|
||||
$A=\dfrac12;\ B=-\dfrac12$
|
||||
|
||||
$I=\dfrac{1}{10}\int(\dfrac{1}{2t}-\dfrac{1}{2(t+2)})dt=\dfrac{1}{20}(\ln|t|-\ln|t+2|)+C$
|
||||
|
||||
${\,I=\dfrac{1}{20}\ln|\dfrac{x^{10}}{x^{10}+2}|+C\,}$
|
||||
|
||||
## 67 номер – Д 1915
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{1-x^{7}}{x(1+x^{7})} \, dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{1-x^{7}}{x(1+x^{7})}dx$
|
||||
|
||||
$\dfrac{1-x^{7}}{x(1+x^{7})}=\dfrac{1+x^{7}}{x(1+x^{7})}-\dfrac{2x^{7}}{x(1+x^{7})}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{2x^{6}}{1+x^{7}}$
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{dx}{x}-2\int \dfrac{x^{6}}{1+x^{7}}dx$
|
||||
|
||||
$u=1+x^{7};\ du=7x^{6}dx$
|
||||
$\int \dfrac{x^{6}}{1+x^{7}}dx=\dfrac{1}{7}\int \dfrac{du}{u}=\dfrac{1}{7}\ln|u|$
|
||||
|
||||
$I=\ln|x|-\dfrac{2}{7}\ln|1+x^{7}|+C$
|
||||
|
||||
## 68 номер – Д 1916
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{x^{4}-1}{x(x^{3}-5)(x^{5}-5x+1)} \, dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{x^{4}-1}{x(x^{3}-5)(x^{5}-5x+1)}dx$
|
||||
|
||||
$\dfrac{x^{4}-1}{x(x^{3}-5)(x^{5}-5x+1)}=\dfrac{1}{5x}+\dfrac{187x^{2}+1575x+1250}{7190(x^{3}-5)}-\dfrac{325x^{4}+315x^{3}+250x^{2}+187x-1488}{1438(x^{5}-5x+1)}$
|
||||
|
||||
$I=I_1+I_2+I_3$
|
||||
|
||||
$I_1=\dfrac15\int \dfrac{dx}{x}=\dfrac15\ln|x|$
|
||||
|
||||
$I_2=\dfrac{1}{7190}\int \dfrac{187x^{2}+1575x+1250}{x^{3}-5}dx=\dfrac{1}{7190}(\dfrac{187}{3}\int \dfrac{3x^{2}}{x^{3}-5}dx+\int \dfrac{1575x+1250}{x^{3}-5}dx)$
|
||||
$u=x^{3}-5;\ du=3x^{2}dx$
|
||||
$\dfrac{187}{3}\int \dfrac{3x^{2}}{x^{3}-5}dx=\dfrac{187}{3}\ln|x^{3}-5|$
|
||||
|
||||
$a=\sqrt[3]{5};\ x^{3}-5=(x-a)(x^{2}+ax+a^{2})$
|
||||
$\dfrac{1575x+1250}{x^{3}-5}=\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{Bx+C}{x^{2}+ax+a^{2}}$
|
||||
$A=\dfrac{1575a+1250}{3a^{2}};\ B=-A;\ C=\dfrac{1575a-2500}{3a}$
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{A}{x-a}dx=A\ln|x-a|$
|
||||
$\int \dfrac{Bx+C}{x^{2}+ax+a^{2}}dx=\dfrac{B}{2}\ln(x^{2}+ax+a^{2})+(C-\dfrac{Ba}{2})\int \dfrac{dx}{x^{2}+ax+a^{2}}$
|
||||
$x^{2}+ax+a^{2}=(x+\dfrac{a}{2})^{2}+\dfrac{3a^{2}}{4}$
|
||||
$\int \dfrac{dx}{x^{2}+ax+a^{2}}=\dfrac{2}{a\sqrt3}\arctan(\dfrac{2x+a}{a\sqrt3})$
|
||||
|
||||
$I_2=\dfrac{1}{7190}(\dfrac{187}{3}\ln|x^{3}-5|+A\ln|x-a|+\dfrac{B}{2}\ln(x^{2}+ax+a^{2})+(C-\dfrac{Ba}{2})\dfrac{2}{a\sqrt3}\arctan(\dfrac{2x+a}{a\sqrt3}))$
|
||||
|
||||
$I_3=-\dfrac{1}{1438}\int \dfrac{325x^{4}+315x^{3}+250x^{2}+187x-1488}{x^{5}-5x+1}dx$
|
||||
$P(x)=x^{5}-5x+1;\ P'(x)=5x^{4}-5$
|
||||
$r_1,\dots,r_5\text{ — корни }P(x)=0$
|
||||
$\dfrac{325x^{4}+315x^{3}+250x^{2}+187x-1488}{P(x)}=\sum\limits_{k=1}^{5}\dfrac{325r_k^{4}+315r_k^{3}+250r_k^{2}+187r_k-1488}{P'(r_k)}\cdot\dfrac{1}{x-r_k}$
|
||||
$I_3=-\dfrac{1}{1438}\sum\limits_{k=1}^{5}\dfrac{325r_k^{4}+315r_k^{3}+250r_k^{2}+187r_k-1488}{5r_k^{4}-5}\ln(x-r_k)$
|
||||
|
||||
${\,I=\dfrac15\ln|x|+I_2+I_3+C\,}$
|
||||
|
||||
## 69 номер – Д 1917
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{x^{2}+1}{x^{4}+x^{2}+1} \, dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{x^{2}+1}{x^{4}+x^{2}+1}dx$
|
||||
|
||||
$x^{4}+x^{2}+1=(x^{2}-x+1)(x^{2}+x+1)$
|
||||
$x^{2}+1=\dfrac12[(x^{2}-x+1)+(x^{2}+x+1)]$
|
||||
|
||||
$I=\dfrac12\int \dfrac{dx}{x^{2}-x+1}+\dfrac12\int \dfrac{dx}{x^{2}+x+1}=I_1+I_2$
|
||||
|
||||
$x^{2}-x+1=(x-\dfrac12)^{2}+\dfrac34$
|
||||
$t=x-\dfrac12;\ dt=dx$
|
||||
$I_1=\dfrac12\int \dfrac{dt}{t^{2}+(\frac{\sqrt3}{2})^{2}}=\dfrac{1}{\sqrt3}\arctan(\dfrac{2t}{\sqrt3})=\dfrac{1}{\sqrt3}\arctan(\dfrac{2x-1}{\sqrt3})$
|
||||
|
||||
$x^{2}+x+1=(x+\dfrac12)^{2}+\dfrac34$
|
||||
$s=x+\dfrac12;\ ds=dx$
|
||||
$I_2=\dfrac12\int \dfrac{ds}{s^{2}+(\frac{\sqrt3}{2})^{2}}=\dfrac{1}{\sqrt3}\arctan(\dfrac{2s}{\sqrt3})=\dfrac{1}{\sqrt3}\arctan(\dfrac{2x+1}{\sqrt3})$
|
||||
|
||||
${\,I=\dfrac{1}{\sqrt3}(\arctan(\dfrac{2x-1}{\sqrt3})+\arctan(\dfrac{2x+1}{\sqrt3}))+C\,}$
|
||||
|
||||
## 70 номер – Д 1921
|
||||
|
||||
да может ну это... ну не надо?
|
||||
|
||||
## 71 номер – Д 1971
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{dx}{\sqrt{ x^{2}+1 }-\sqrt{ x^{2}-1 }}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$x^2-1\ge0;\ |x|\ge1;$
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{dx}{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}}\cdot\dfrac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}=\int \dfrac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}{(x^2+1)-(x^2-1)}dx$
|
||||
$I=\dfrac12\int(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1})dx=\dfrac12\int\sqrt{x^2+1}\,dx+\dfrac12\int\sqrt{x^2-1}\,dx$
|
||||
$I=I_1+I_2$
|
||||
|
||||
$I_1=\dfrac12\int\sqrt{x^2+1}\,dx;\ \sqrt{x^2+1}=r$
|
||||
$\int r\,dx=\dfrac12(xr+\ln(x+r))$
|
||||
$I_1=\dfrac12\cdot\dfrac12(x\sqrt{x^2+1}+\ln|x+\sqrt{x^2+1}|)=\dfrac14x\sqrt{x^2+1}+\dfrac14\ln|x+\sqrt{x^2+1}|$
|
||||
|
||||
$I_2=\dfrac12\int\sqrt{x^2-1}\,dx;\ \sqrt{x^2-1}=s$
|
||||
$\int s\,dx=\dfrac12(xs-\ln|x+s|)$
|
||||
$I_2=\dfrac12\cdot\dfrac12(x\sqrt{x^2-1}-\ln|x+\sqrt{x^2-1}|)=\dfrac14x\sqrt{x^2-1}-\dfrac14\ln|x+\sqrt{x^2-1}|$
|
||||
|
||||
${\,I=\dfrac{x}{4}(\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-1})+\dfrac14\ln|\dfrac{x+\sqrt{x^{2}+1}}{x+\sqrt{x^{2}-1}}|+C\,}$
|
||||
|
||||
## 72 номер – Д 1972
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{xdx}{(1-x^{3})\sqrt{ 1-x^{2} }}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{x}{(1-x^3)\sqrt{1-x^2}}dx$
|
||||
|
||||
$\dfrac{1}{1-x^3}=\dfrac{1}{3(1-x)}+\dfrac{x+2}{3(x^2+x+1)}$
|
||||
$I=\dfrac13\int \dfrac{x}{(1-x)\sqrt{1-x^2}}dx+\dfrac13\int \dfrac{x(x+2)}{(x^2+x+1)\sqrt{1-x^2}}dx$
|
||||
$I=I_1+I_2$
|
||||
|
||||
$x=\cos t;\ dx=-\sin t\,dt;\ \sqrt{1-x^2}=\sin t$
|
||||
$I_1=\dfrac13\int \dfrac{\cos t}{(1-\cos t)\sin t}(-\sin t\,dt)=-\dfrac13\int \dfrac{\cos t}{1-\cos t}dt$
|
||||
$\dfrac{\cos t}{1-\cos t}=-1+\dfrac{1}{1-\cos t}$
|
||||
$I_1=-\dfrac13\int(-1+\dfrac{1}{1-\cos t})dt=\dfrac{t}{3}-\dfrac13\int\dfrac{dt}{1-\cos t}$
|
||||
$1-\cos t=2\sin^2\dfrac{t}{2}$
|
||||
$\int\dfrac{dt}{1-\cos t}=\int\dfrac{dt}{2\sin^2(t/2)}=-\cot\dfrac{t}{2}$
|
||||
$I_1=\dfrac{t}{3}+\dfrac13\cot\dfrac{t}{2}$
|
||||
|
||||
$I_2=\dfrac13\int \dfrac{\cos t(\cos t+2)}{(\cos^2t+\cos t+1)\sin t}(-\sin t\,dt)=-\dfrac13\int \dfrac{\cos t(\cos t+2)}{\cos^2t+\cos t+1}dt$
|
||||
$\cos t(\cos t+2)=\cos^2t+2\cos t=(\cos^2t+\cos t+1)+(\cos t-1)$
|
||||
$I_2=-\dfrac13\int(1+\dfrac{\cos t-1}{\cos^2t+\cos t+1})dt=-\dfrac{t}{3}-\dfrac13\int \dfrac{\cos t-1}{\cos^2t+\cos t+1}dt$
|
||||
|
||||
$I=I_1+I_2=\dfrac13\cot\dfrac{t}{2}-\dfrac13\int \dfrac{\cos t-1}{\cos^2t+\cos t+1}dt$
|
||||
|
||||
$u=\tan\dfrac{t}{2};\ dt=\dfrac{2\,du}{1+u^2};\ \cos t=\dfrac{1-u^2}{1+u^2}$
|
||||
$\cos t-1=-\dfrac{2u^2}{1+u^2}$
|
||||
$\cos^2t+\cos t+1=\dfrac{u^4+3}{(1+u^2)^2}$
|
||||
$\dfrac{\cos t-1}{\cos^2t+\cos t+1}dt=-\dfrac{4u^2}{u^4+3}du$
|
||||
|
||||
$I=\dfrac13\cot\dfrac{t}{2}+\dfrac{4}{3}\int\dfrac{u^2}{u^4+3}du$
|
||||
|
||||
$p=\sqrt[4]{3}$
|
||||
$u^4+3=u^4+p^4=(u^2-\sqrt2\,pu+\sqrt3)(u^2+\sqrt2\,pu+\sqrt3)$
|
||||
$\dfrac{u^2}{u^4+3}=\dfrac{\sqrt2\,p^3}{12}(\dfrac{u}{u^2-\sqrt2\,pu+\sqrt3}-\dfrac{u}{u^2+\sqrt2\,pu+\sqrt3})$
|
||||
|
||||
$\int\dfrac{u}{u^2+\sqrt2\,pu+\sqrt3}du=\dfrac12\ln(u^2+\sqrt2\,pu+\sqrt3)-\arctan(\dfrac{\sqrt2}{p}u+1)$
|
||||
$\int\dfrac{u}{u^2-\sqrt2\,pu+\sqrt3}du=\dfrac12\ln(u^2-\sqrt2\,pu+\sqrt3)+\arctan(\dfrac{\sqrt2}{p}u-1)$
|
||||
|
||||
$\int\dfrac{u^2}{u^4+3}du=\dfrac{\sqrt2\,p^3}{24}\ln(\dfrac{u^2-\sqrt2\,pu+\sqrt3}{u^2+\sqrt2\,pu+\sqrt3})+\dfrac{\sqrt2\,p^3}{12}(\arctan(\dfrac{\sqrt2}{p}u-1)+\arctan(\dfrac{\sqrt2}{p}u+1))+C$
|
||||
|
||||
$\sqrt2\,p^3=\dfrac{3\sqrt2}{p}$
|
||||
$I=\dfrac13\cot\dfrac{t}{2}+\dfrac{\sqrt2}{6p}\ln(\dfrac{u^2-\sqrt2\,pu+\sqrt3}{u^2+\sqrt2\,pu+\sqrt3})+\dfrac{\sqrt2}{3p}(\arctan(\dfrac{\sqrt2}{p}u-1)+\arctan(\dfrac{\sqrt2}{p}u+1))+C$
|
||||
|
||||
$\cot\dfrac{t}{2}=\dfrac{1+\cos t}{\sin t}=\dfrac{1+x}{\sqrt{1-x^2}}$
|
||||
$u=\tan\dfrac{t}{2}=\dfrac{\sin t}{1+\cos t}=\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{1+x}$
|
||||
|
||||
${\,I=\dfrac{1+x}{3\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{\sqrt2}{6\sqrt[4]{3}}\ln(\dfrac{u^2-\sqrt2\sqrt[4]{3}\,u+\sqrt3}{u^2+\sqrt2\sqrt[4]{3}\,u+\sqrt3})+\dfrac{\sqrt2}{3\sqrt[4]{3}}(\arctan(\dfrac{\sqrt2}{\sqrt[4]{3}}u-1)+\arctan(\dfrac{\sqrt2}{\sqrt[4]{3}}u+1))+C\,}$
|
||||
$u=\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{1+x}$
|
||||
|
||||
## 73 номер – Д 1973
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{dx}{\sqrt{ 2 }+\sqrt{ 1-x }+\sqrt{ 1+x }}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$-1\le x\le1$
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{dx}{\sqrt2+\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}}$
|
||||
|
||||
$x=\cos2t;\ dx=-2\sin2t\,dt$
|
||||
$\sqrt{1-x}=\sqrt{1-\cos2t}=\sqrt2\sin t$
|
||||
$\sqrt{1+x}=\sqrt{1+\cos2t}=\sqrt2\cos t$
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{-2\sin2t\,dt}{\sqrt2(1+\sin t+\cos t)}=-\sqrt2\int \dfrac{\sin2t}{1+\sin t+\cos t}dt$
|
||||
|
||||
$(\sin t+\cos t)^2=1+2\sin t\cos t=1+\sin2t$
|
||||
$\sin2t=(\sin t+\cos t)^2-1$
|
||||
|
||||
$\dfrac{\sin2t}{1+\sin t+\cos t}=\dfrac{(\sin t+\cos t)^2-1}{1+\sin t+\cos t}=\sin t+\cos t-1$
|
||||
|
||||
$I=-\sqrt2\int(\sin t+\cos t-1)dt=-\sqrt2(-\cos t+\sin t-t)+C$
|
||||
$I=\sqrt2(\cos t-\sin t+t)+C$
|
||||
|
||||
$x=\cos2t\ \implies\ t=\dfrac12\arccos x$
|
||||
$\cos t=\sqrt{\dfrac{1+\cos2t}{2}}=\sqrt{\dfrac{1+x}{2}};\ \sin t=\sqrt{\dfrac{1-\cos2t}{2}}=\sqrt{\dfrac{1-x}{2}}$
|
||||
|
||||
${\,I=\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}+\dfrac{1}{\sqrt2}\arccos x+C\,}$
|
||||
|
||||
## 74 номер – Д 1974
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{x+\sqrt{ 1+x+x^{2} }}{1+x+\sqrt{ 1+x+x^{2} }} \, dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{x+\sqrt{1+x+x^{2}}}{1+x+\sqrt{1+x+x^{2}}}dx$
|
||||
$S=\sqrt{1+x+x^{2}}$
|
||||
|
||||
$\dfrac{x+S}{1+x+S}=1-\dfrac{1}{1+x+S}$
|
||||
$I=\int dx-\int\dfrac{dx}{1+x+S}=x-J$
|
||||
|
||||
$J=\int\dfrac{dx}{1+x+S}\cdot\dfrac{1+x-S}{1+x-S}=\int\dfrac{1+x-S}{(1+x)^{2}-S^{2}}dx$
|
||||
$(1+x)^{2}-S^{2}=(1+2x+x^{2})-(1+x+x^{2})=x$
|
||||
$J=\int\dfrac{1+x-S}{x}dx=\int(\dfrac{1}{x}+1-\dfrac{S}{x})dx=\ln|x|+x-K$
|
||||
|
||||
$I=x-(\ln|x|+x-K)=K-\ln|x|$
|
||||
$K=\int\dfrac{S}{x}dx$
|
||||
|
||||
$S=xt+1;\ x\neq0$
|
||||
$x^{2}+x+1=(xt+1)^{2}=x^{2}t^{2}+2xt+1$
|
||||
$x+1=xt^{2}+2t$
|
||||
$x(1-t^{2})=2t-1$
|
||||
$x=\dfrac{2t-1}{1-t^{2}};\ S=xt+1$
|
||||
|
||||
$\dfrac{S}{x}=\dfrac{xt+1}{x}=t+\dfrac{1}{x}=t+\dfrac{1-t^{2}}{2t-1}=\dfrac{t^{2}-t+1}{2t-1}$
|
||||
$dx=(\dfrac{2t-1}{1-t^{2}})'dt=\dfrac{2(t^{2}-t+1)}{(t^{2}-1)^{2}}dt$
|
||||
|
||||
$K=\int\dfrac{S}{x}dx=\int\dfrac{t^{2}-t+1}{2t-1}\cdot\dfrac{2(t^{2}-t+1)}{(t^{2}-1)^{2}}dt=\int\dfrac{2(t^{2}-t+1)^{2}}{(2t-1)(t^{2}-1)^{2}}dt$
|
||||
|
||||
$\dfrac{2(t^{2}-t+1)^{2}}{(2t-1)(t^{2}-1)^{2}}=\dfrac{2}{2t-1}+\dfrac{1}{2(t+1)}-\dfrac{3}{2(t+1)^{2}}-\dfrac{1}{2(t-1)}+\dfrac{1}{2(t-1)^{2}}$
|
||||
|
||||
$K=\int(\dfrac{2}{2t-1}+\dfrac{1}{2(t+1)}-\dfrac{3}{2(t+1)^{2}}-\dfrac{1}{2(t-1)}+\dfrac{1}{2(t-1)^{2}})dt$
|
||||
$K=\ln|2t-1|+\dfrac12\ln|t+1|-\dfrac12\ln|t-1|+\dfrac{3}{2(t+1)}-\dfrac{1}{2(t-1)}+C$
|
||||
|
||||
$t=\dfrac{S-1}{x}=\dfrac{\sqrt{1+x+x^{2}}-1}{x}$
|
||||
$2t-1=\dfrac{2S-x-2}{x}$
|
||||
$t+1=\dfrac{S+x-1}{x}$
|
||||
$t-1=\dfrac{S-x-1}{x}$
|
||||
|
||||
$I=K-\ln|x|$
|
||||
$I=\ln|\dfrac{2S-x-2}{x}|+\dfrac12\ln|\dfrac{S+x-1}{S-x-1}|+\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{x}{S+x-1}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{x}{S-x-1}-\ln|x|+C$
|
||||
|
||||
${\,I=\ln|\dfrac{2\sqrt{1+x+x^{2}}-x-2}{x^{2}}|+\dfrac12\ln|\dfrac{\sqrt{1+x+x^{2}}+x-1}{\sqrt{1+x+x^{2}}-x-1}|+\dfrac{3x}{2(\sqrt{1+x+x^{2}}+x-1)}-\dfrac{x}{2(\sqrt{1+x+x^{2}}-x-1)}+C\,}$
|
||||
|
||||
## 75 номер – Д 1975
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{\sqrt{ x(x+1) }}{\sqrt{ x }+\sqrt{ x+1 }} \, dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{\sqrt{x(x+1)}}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}dx=\int \dfrac{\sqrt{x}\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}dx$
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{\sqrt{x}\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\cdot\dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}dx=\int \dfrac{\sqrt{x}\sqrt{x+1}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})}{(\sqrt{x+1})^{2}-(\sqrt{x})^{2}}dx$
|
||||
$I=\int \sqrt{x}\sqrt{x+1}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})dx$
|
||||
|
||||
$I=\int(\sqrt{x}(x+1)-x\sqrt{x+1})dx=\int (x+1)\sqrt{x}\,dx-\int x\sqrt{x+1}\,dx$
|
||||
$I=I_1-I_2$
|
||||
|
||||
$I_1=\int (x+1)\sqrt{x}\,dx=\int (x^{\frac32}+x^{\frac12})dx=\dfrac{2}{5}x^{\frac52}+\dfrac{2}{3}x^{\frac32}$
|
||||
|
||||
$I_2=\int x\sqrt{x+1}\,dx$
|
||||
$t=x+1;\ x=t-1;\ dt=dx$
|
||||
$I_2=\int (t-1)\sqrt{t}\,dt=\int (t^{\frac32}-t^{\frac12})dt=\dfrac{2}{5}t^{\frac52}-\dfrac{2}{3}t^{\frac32}=\dfrac{2}{5}(x+1)^{\frac52}-\dfrac{2}{3}(x+1)^{\frac32}$
|
||||
|
||||
${\,I=\dfrac{2}{5}x^{\frac52}+\dfrac{2}{3}x^{\frac32}-\dfrac{2}{5}(x+1)^{\frac52}+\dfrac{2}{3}(x+1)^{\frac32}+C\,}$
|
||||
|
||||
## 76 номер – Д 2025
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{dx}{2\sin x-\cos x+5}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{dx}{2\sin x-\cos x+5}$
|
||||
|
||||
$t=\tan\dfrac{x}{2};\ \sin x=\dfrac{2t}{1+t^2};\ \cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2};\ dx=\dfrac{2dt}{1+t^2}$
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{\dfrac{2dt}{1+t^2}}{2\cdot\dfrac{2t}{1+t^2}-\dfrac{1-t^2}{1+t^2}+5}=\int \dfrac{2dt}{4t-(1-t^2)+5(1+t^2)}=\int \dfrac{2dt}{6t^2+4t+4}=\int \dfrac{dt}{3t^2+2t+2}$
|
||||
|
||||
$3t^2+2t+2=3(t+\dfrac13)^2+\dfrac53$
|
||||
$I=\int \dfrac{dt}{3(t+\dfrac13)^2+\dfrac53}=3\int \dfrac{dt}{9(t+\dfrac13)^2+5}$
|
||||
|
||||
$u=3t+1;\ du=3dt$
|
||||
$I=\int \dfrac{du}{u^2+5}=\dfrac{1}{\sqrt5}\arctan(\dfrac{u}{\sqrt5})+C=\dfrac{1}{\sqrt5}\arctan(\dfrac{3\tan\frac{x}{2}+1}{\sqrt5})+C$
|
||||
|
||||
${\,I=\dfrac{1}{\sqrt5}\arctan(\dfrac{3\tan\frac{x}{2}+1}{\sqrt5})+C\,}$
|
||||
|
||||
## 77 номер – Д 2026
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{dx}{(2+\cos x)\sin x}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{dx}{(2+\cos x)\sin x}$
|
||||
|
||||
$t=\cos x;\ dt=-(\sin x)dx;\ dx=-\dfrac{dt}{\sin x};\ \sin^{2}x=1-\cos^{2}x=1-t^{2}$
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{-\dfrac{dt}{\sin x}}{(2+t)\sin x}=-\int \dfrac{dt}{(t+2)\sin^{2}x}=-\int \dfrac{dt}{(t+2)(1-t^{2})}$
|
||||
$1-t^{2}=(1-t)(1+t)$
|
||||
$I=-\int \dfrac{dt}{(t+2)(1-t)(1+t)}$
|
||||
|
||||
$\dfrac{1}{(t+2)(1-t)(1+t)}=\dfrac{A}{t+2}+\dfrac{B}{1-t}+\dfrac{C}{1+t}$
|
||||
$1=A(1-t)(1+t)+B(t+2)(1+t)+C(t+2)(1-t)$
|
||||
$A=-\dfrac13;\ B=\dfrac16;\ C=\dfrac12$
|
||||
|
||||
$I=-\int(-\dfrac{1}{3(t+2)}+\dfrac{1}{6(1-t)}+\dfrac{1}{2(1+t)})dt$
|
||||
$I=\int(\dfrac{1}{3(t+2)}-\dfrac{1}{6(1-t)}-\dfrac{1}{2(1+t)})dt$
|
||||
|
||||
$I=\dfrac13\ln|t+2|+\dfrac16\ln|1-t|-\dfrac12\ln|1+t|+C$
|
||||
|
||||
$t=\cos x$
|
||||
${\,I=\dfrac13\ln|2+\cos x|+\dfrac16\ln|1-\cos x|-\dfrac12\ln|1+\cos x|+C\,}$
|
||||
|
||||
## 78 номер – Д 2027
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{\sin ^{2}x}{\sin x+2\cos x} \, dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{\sin^2x}{\sin x+2\cos x}dx$
|
||||
|
||||
$\sin^2x=(\sin x+2\cos x)(\sin x-2\cos x)+4\cos^2x$
|
||||
$\dfrac{\sin^2x}{\sin x+2\cos x}=\sin x-2\cos x+4\cdot\dfrac{\cos^2x}{\sin x+2\cos x}$
|
||||
|
||||
$I=\int(\sin x-2\cos x)dx+4\int\dfrac{\cos^2x}{\sin x+2\cos x}dx$
|
||||
$I=-\cos x-2\sin x+4J$
|
||||
|
||||
$J=\int\dfrac{\cos^2x}{\sin x+2\cos x}dx$
|
||||
$t=\tan\dfrac{x}{2};\ \sin x=\dfrac{2t}{1+t^2};\ \cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2};\ dx=\dfrac{2dt}{1+t^2}$
|
||||
|
||||
$J=\int\dfrac{(\dfrac{1-t^2}{1+t^2})^2}{\dfrac{2t}{1+t^2}+2\cdot\dfrac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot\dfrac{2dt}{1+t^2}=\int\dfrac{(1-t^2)^2}{(1+t^2)^2(1+t-t^2)}dt$
|
||||
|
||||
$\dfrac{(1-t^2)^2}{(1+t^2)^2(1+t-t^2)}=-\dfrac{4(t-2)}{5(t^2+1)^2}-\dfrac{4}{5(t^2+1)}-\dfrac{1}{5(t^2-t-1)}$
|
||||
|
||||
$J=-\dfrac45\int\dfrac{t-2}{(t^2+1)^2}dt-\dfrac45\int\dfrac{dt}{t^2+1}-\dfrac15\int\dfrac{dt}{t^2-t-1}$
|
||||
|
||||
$\int\dfrac{t-2}{(t^2+1)^2}dt=\int\dfrac{t}{(t^2+1)^2}dt-2\int\dfrac{dt}{(t^2+1)^2}$
|
||||
$u=t^2+1;\ du=2t\,dt$
|
||||
$\int\dfrac{t}{(t^2+1)^2}dt=\dfrac12\int\dfrac{du}{u^2}=-\dfrac{1}{2(t^2+1)}$
|
||||
|
||||
$(\dfrac{t}{t^2+1})'=\dfrac{1-t^2}{(t^2+1)^2}$
|
||||
$2\int\dfrac{dt}{(t^2+1)^2}=\dfrac{t}{t^2+1}+\int\dfrac{dt}{t^2+1}=\dfrac{t}{t^2+1}+\arctan t$
|
||||
$\int\dfrac{dt}{(t^2+1)^2}=\dfrac12(\dfrac{t}{t^2+1}+\arctan t)$
|
||||
|
||||
$\int\dfrac{t-2}{(t^2+1)^2}dt=-\dfrac{2t+1}{2(t^2+1)}-\arctan t$
|
||||
|
||||
$t^2-t-1=(t-\dfrac12)^2-(\dfrac{\sqrt5}{2})^2$
|
||||
$\int\dfrac{dt}{t^2-t-1}=\dfrac{1}{\sqrt5}\ln|\dfrac{t-\frac12-\frac{\sqrt5}{2}}{t-\frac12+\frac{\sqrt5}{2}}|$
|
||||
|
||||
$J=-\dfrac45(-\dfrac{2t+1}{2(t^2+1)}-\arctan t)-\dfrac45\arctan t-\dfrac{1}{5\sqrt5}\ln|\dfrac{t-\frac12-\frac{\sqrt5}{2}}{t-\frac12+\frac{\sqrt5}{2}}|$
|
||||
$J=\dfrac{4t+2}{5(t^2+1)}+\dfrac{\sqrt5}{25}\ln|\dfrac{2t-1+\sqrt5}{2t-1-\sqrt5}|+C$
|
||||
|
||||
$t=\tan\dfrac{x}{2}$
|
||||
$I=-\dfrac{\cos x+2\sin x}{5}+\dfrac{4\sqrt5}{25}\ln|\dfrac{2\tan\frac{x}{2}-1+\sqrt5}{2\tan\frac{x}{2}-1-\sqrt5}|+C$
|
||||
|
||||
## 79 номер – Д 2029
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{\sin ^{2}x}{1+\sin ^{2}x} \, dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{\sin^2x}{1+\sin^2x}dx$
|
||||
|
||||
$\dfrac{\sin^2x}{1+\sin^2x}=1-\dfrac{1}{1+\sin^2x}$
|
||||
$I=\int dx-\int \dfrac{dx}{1+\sin^2x}=x-J$
|
||||
|
||||
$J=\int \dfrac{dx}{1+\sin^2x}$
|
||||
$t=\tan x;\ dt=(1+t^2)dx;\ dx=\dfrac{dt}{1+t^2}$
|
||||
$\sin^2x=\dfrac{\tan^2x}{1+\tan^2x}=\dfrac{t^2}{1+t^2}$
|
||||
|
||||
$J=\int \dfrac{\dfrac{dt}{1+t^2}}{1+\dfrac{t^2}{1+t^2}}=\int \dfrac{\dfrac{dt}{1+t^2}}{\dfrac{1+2t^2}{1+t^2}}=\int \dfrac{dt}{1+2t^2}$
|
||||
|
||||
$J=\dfrac{1}{\sqrt2}\arctan(\sqrt2\,t)+C=\dfrac{1}{\sqrt2}\arctan(\sqrt2\tan x)+C$
|
||||
|
||||
${\,I=x-\dfrac{1}{\sqrt2}\arctan(\sqrt2\tan x)+C\,}$
|
||||
|
||||
## 80 номер – Д 2030
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{dx}{a^{2}\sin ^{2}x+b^{2}\cos ^{2}x}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{dx}{a^{2}\sin^{2}x+b^{2}\cos^{2}x}$
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{dx}{\cos^{2}x(a^{2}\tan^{2}x+b^{2})}=\int \dfrac{\sec^{2}x}{a^{2}\tan^{2}x+b^{2}}dx$
|
||||
|
||||
$t=\tan x;\ dt=\sec^{2}x\,dx$
|
||||
$I=\int \dfrac{dt}{a^{2}t^{2}+b^{2}}=\dfrac{1}{b^{2}}\int \dfrac{dt}{1+(\dfrac{a}{b})^{2}t^{2}}$
|
||||
|
||||
$I=\dfrac{1}{b^{2}}\cdot\dfrac{b}{a}\arctan(\dfrac{a}{b}t)+C=\dfrac{1}{ab}\arctan(\dfrac{a}{b}\tan x)+C$
|
||||
|
||||
${\,I=\dfrac{1}{ab}\arctan(\dfrac{a\tan x}{b})+C\,}$
|
||||
|
||||
## 81 номер – Д 2031
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{\cos ^{2}xdx}{( a^{2}\sin ^{2} x+b^{2}\cos ^{2} x)^{2}}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{\cos ^{2}x}{( a^{2}\sin ^{2} x+b^{2}\cos ^{2} x)^{2}}dx;\ (a\neq0,\ b\neq0)$
|
||||
|
||||
$t=\tan x;\ dt=(\tan x)'dx=\sec^2x\,dx=(1+\tan^2x)dx=(1+t^2)dx;\ dx=\dfrac{dt}{1+t^2};$
|
||||
$\sin^2x=\dfrac{t^2}{1+t^2};\ \cos^2x=\dfrac{1}{1+t^2};$
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{\dfrac{1}{1+t^2}\cdot\dfrac{dt}{1+t^2}}{(a^2\dfrac{t^2}{1+t^2}+b^2\dfrac{1}{1+t^2})^2}=\int \dfrac{\dfrac{dt}{(1+t^2)^2}}{(\dfrac{a^2t^2+b^2}{1+t^2})^2}=\int \dfrac{dt}{(a^2t^2+b^2)^2}$
|
||||
|
||||
$u=\dfrac{a}{b}t;\ t=\dfrac{b}{a}u;\ dt=\dfrac{b}{a}du;$
|
||||
$a^2t^2+b^2=b^2(u^2+1);$
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{\dfrac{b}{a}du}{(b^2(u^2+1))^2}=\dfrac{1}{ab^3}\int \dfrac{du}{(u^2+1)^2}$
|
||||
|
||||
$(\dfrac{u}{1+u^2})'=\dfrac{1-u^2}{(1+u^2)^2}$
|
||||
$\dfrac{1}{(1+u^2)^2}=\dfrac12(\dfrac{1-u^2}{(1+u^2)^2}+\dfrac{1}{1+u^2})$
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{du}{(1+u^2)^2}=\dfrac12\int \dfrac{1-u^2}{(1+u^2)^2}du+\dfrac12\int \dfrac{du}{1+u^2}=\dfrac12\cdot\dfrac{u}{1+u^2}+\dfrac12\arctan u$
|
||||
|
||||
$I=\dfrac{1}{ab^3}(\dfrac12\cdot\dfrac{u}{1+u^2}+\dfrac12\arctan u)=\dfrac{1}{2ab^3}(\dfrac{u}{1+u^2}+\arctan u)+C$
|
||||
|
||||
$u=\dfrac{a}{b}\tan x;$
|
||||
$\dfrac{u}{1+u^2}=\dfrac{\frac{a}{b}\tan x}{1+(\frac{a}{b}\tan x)^2}=\dfrac{ab\tan x}{b^2+a^2\tan^2x}=\dfrac{ab\sin x\cos x}{a^2\sin^2x+b^2\cos^2x}$
|
||||
|
||||
${\,I=\dfrac{\sin x\cos x}{2b^{2}(a^{2}\sin ^{2}x+b^{2}\cos ^{2}x)}+\dfrac{1}{2ab^{3}}\arctan(\dfrac{a\tan x}{b})+C\,}$
|
||||
|
||||
## 82 номер – Д 2032
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{\sin x\cos x}{\sin x+\cos x} \, dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$\sin x+\cos x\neq0;$
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{\sin x\cos x}{\sin x+\cos x}dx$
|
||||
|
||||
$t=x-\dfrac{\pi}{4};\ x=t+\dfrac{\pi}{4};\ dt=dx$
|
||||
$\sin x=\sin(t+\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sin t+\cos t}{\sqrt2};$
|
||||
$\cos x=\cos(t+\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\cos t-\sin t}{\sqrt2};$
|
||||
|
||||
$\sin x+\cos x=\dfrac{\sin t+\cos t+\cos t-\sin t}{\sqrt2}=\sqrt2\cos t;$
|
||||
$\sin x\cos x=\dfrac{(\sin t+\cos t)(\cos t-\sin t)}{2}=\dfrac{\cos^2t-\sin^2t}{2}=\dfrac12\cos2t;$
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{\frac12\cos2t}{\sqrt2\cos t}dt=\dfrac{1}{2\sqrt2}\int\dfrac{\cos2t}{\cos t}dt$
|
||||
$\cos2t=2\cos^2t-1$
|
||||
$\dfrac{\cos2t}{\cos t}=2\cos t-\sec t$
|
||||
|
||||
$I=\dfrac{1}{2\sqrt2}\int(2\cos t-\sec t)dt=\dfrac{1}{\sqrt2}\int\cos t\,dt-\dfrac{1}{2\sqrt2}\int\sec t\,dt$
|
||||
$I=\dfrac{1}{\sqrt2}\sin t-\dfrac{1}{2\sqrt2}\ln|\sec t+\tan t|+C$
|
||||
|
||||
$\sin t=\sin(x-\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sin x-\cos x}{\sqrt2};$
|
||||
$\sec t+\tan t=\dfrac{1+\sin t}{\cos t};\ \sin t=\dfrac{\sin x-\cos x}{\sqrt2};\ \cos t=\cos(x-\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sin x+\cos x}{\sqrt2};$
|
||||
$\sec t+\tan t=\dfrac{\sqrt2+\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}$
|
||||
|
||||
${\,I=\dfrac{\sin x-\cos x}{2}-\dfrac{1}{2\sqrt2}\ln|\dfrac{\sqrt2+\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}|+C\,}$
|
||||
|
||||
## 83 номер – Д 2033
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int \dfrac{dx}{(a\sin x+b\cos x)^{2}}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$a^{2}+b^{2}\neq0;\ a\sin x+b\cos x\neq0;$
|
||||
|
||||
$I=\int \dfrac{dx}{(a\sin x+b\cos x)^{2}}$
|
||||
|
||||
$u=a\sin x+b\cos x;\ u'=a\cos x-b\sin x$
|
||||
$v=a\cos x-b\sin x;\ v'=-a\sin x-b\cos x=-u$
|
||||
|
||||
$(\dfrac{v}{u})'=\dfrac{v'u-vu'}{u^{2}}=\dfrac{(-u)u-v^{2}}{u^{2}}=-\dfrac{u^{2}+v^{2}}{u^{2}}$
|
||||
|
||||
$u^{2}+v^{2}=(a\sin x+b\cos x)^{2}+(a\cos x-b\sin x)^{2}=a^{2}+b^{2}$
|
||||
|
||||
$(\dfrac{v}{u})'=-\dfrac{a^{2}+b^{2}}{(a\sin x+b\cos x)^{2}}$
|
||||
$\dfrac{1}{(a\sin x+b\cos x)^{2}}=-\dfrac{1}{a^{2}+b^{2}}(\dfrac{v}{u})'$
|
||||
|
||||
$I=-\dfrac{1}{a^{2}+b^{2}}\int(\dfrac{v}{u})'dx=-\dfrac{1}{a^{2}+b^{2}}\cdot\dfrac{v}{u}+C$
|
||||
|
||||
${\,I=-\dfrac{a\cos x-b\sin x}{(a^{2}+b^{2})(a\sin x+b\cos x)}+C\,}$
|
||||
|
||||
## 84 номер – Д 2072
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int x^{7}e^{ -x^{2} } \, dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int x^{7}e^{-x^{2}}dx$
|
||||
|
||||
$t=x^{2};\ dt=2x\,dx;\ x^{7}dx=x^{6}\cdot x\,dx=(x^{2})^{3}\cdot x\,dx=t^{3}\cdot\dfrac12dt$
|
||||
$I=\dfrac12\int t^{3}e^{-t}dt$
|
||||
|
||||
$J=\int t^{3}e^{-t}dt;\ J=\int u\,dv;\ u=t^{3};\ dv=e^{-t}dt$
|
||||
$du=3t^{2}dt;\ v=-e^{-t}$
|
||||
$J=uv-\int v\,du=-t^{3}e^{-t}+3\int t^{2}e^{-t}dt$
|
||||
|
||||
$J_1=\int t^{2}e^{-t}dt;\ J_1=\int u\,dv;\ u=t^{2};\ dv=e^{-t}dt$
|
||||
$du=2t\,dt;\ v=-e^{-t}$
|
||||
$J_1=-t^{2}e^{-t}+2\int t e^{-t}dt$
|
||||
|
||||
$J_2=\int t e^{-t}dt;\ J_2=\int u\,dv;\ u=t;\ dv=e^{-t}dt$
|
||||
$du=dt;\ v=-e^{-t}$
|
||||
$J_2=-t e^{-t}+\int e^{-t}dt=-t e^{-t}-e^{-t}$
|
||||
|
||||
$J_1=-t^{2}e^{-t}+2(-t e^{-t}-e^{-t})=-(t^{2}+2t+2)e^{-t}$
|
||||
$J=-t^{3}e^{-t}+3J_1=-t^{3}e^{-t}-3(t^{2}+2t+2)e^{-t}=-(t^{3}+3t^{2}+6t+6)e^{-t}$
|
||||
|
||||
$I=-\dfrac12(t^{3}+3t^{2}+6t+6)e^{-t}+C$
|
||||
$t=x^{2}$
|
||||
|
||||
${\,I=-\dfrac12e^{-x^{2}}(x^{6}+3x^{4}+6x^{2}+6)+C\,}$
|
||||
|
||||
## 85 номер – Д 2073
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int x^{2}e^{ \sqrt{ x } }dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$x\ge0$
|
||||
$I=\int x^{2}e^{\sqrt{x}}dx$
|
||||
|
||||
$t=\sqrt{x};\ x=t^{2};\ dx=2t\,dt$
|
||||
$I=\int t^{4}e^{t}\cdot2t\,dt=2\int t^{5}e^{t}dt$
|
||||
$I=2J$
|
||||
|
||||
$J=\int t^{5}e^{t}dt;\ J=\int u\,dv;\ u=t^{5};\ dv=e^{t}dt$
|
||||
$du=5t^{4}dt;\ v=e^{t}$
|
||||
$J=t^{5}e^{t}-5\int t^{4}e^{t}dt=t^{5}e^{t}-5J_{1}$
|
||||
|
||||
$J_{1}=\int t^{4}e^{t}dt=t^{4}e^{t}-4\int t^{3}e^{t}dt=t^{4}e^{t}-4J_{2}$
|
||||
$J_{2}=\int t^{3}e^{t}dt=t^{3}e^{t}-3\int t^{2}e^{t}dt=t^{3}e^{t}-3J_{3}$
|
||||
$J_{3}=\int t^{2}e^{t}dt=t^{2}e^{t}-2\int te^{t}dt=t^{2}e^{t}-2J_{4}$
|
||||
$J_{4}=\int te^{t}dt=te^{t}-\int e^{t}dt=te^{t}-e^{t}$
|
||||
|
||||
$J_{3}=t^{2}e^{t}-2(te^{t}-e^{t})=e^{t}(t^{2}-2t+2)$
|
||||
$J_{2}=t^{3}e^{t}-3e^{t}(t^{2}-2t+2)=e^{t}(t^{3}-3t^{2}+6t-6)$
|
||||
$J_{1}=t^{4}e^{t}-4e^{t}(t^{3}-3t^{2}+6t-6)=e^{t}(t^{4}-4t^{3}+12t^{2}-24t+24)$
|
||||
$J=t^{5}e^{t}-5e^{t}(t^{4}-4t^{3}+12t^{2}-24t+24)=e^{t}(t^{5}-5t^{4}+20t^{3}-60t^{2}+120t-120)$
|
||||
|
||||
$I=2e^{t}(t^{5}-5t^{4}+20t^{3}-60t^{2}+120t-120)+C$
|
||||
$t=\sqrt{x}$
|
||||
|
||||
${\,I=2e^{\sqrt{x}}(x^{2}\sqrt{x}-5x^{2}+20x\sqrt{x}-60x+120\sqrt{x}-120)+C\,}$
|
||||
|
||||
## 86 номер – Д 2074
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int e^{ ax }\cos ^{2}bx \, dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int e^{ax}\cos^{2}(bx)\,dx$
|
||||
|
||||
$\cos^{2}(bx)=\dfrac{1+\cos(2bx)}{2}$
|
||||
$I=\dfrac12\int e^{ax}dx+\dfrac12\int e^{ax}\cos(2bx)\,dx$
|
||||
$I=I_1+I_2$
|
||||
|
||||
$a\neq0;$
|
||||
$I_1=\dfrac12\int e^{ax}dx=\dfrac12\cdot\dfrac{e^{ax}}{a}=\dfrac{e^{ax}}{2a}$
|
||||
|
||||
$I_2=\dfrac12\int e^{ax}\cos(2bx)\,dx$
|
||||
$\int e^{ax}\cos(kx)\,dx=\dfrac{e^{ax}}{a^{2}+k^{2}}(a\cos(kx)+k\sin(kx))$
|
||||
$k=2b$
|
||||
$I_2=\dfrac12\cdot\dfrac{e^{ax}}{a^{2}+4b^{2}}(a\cos(2bx)+2b\sin(2bx))$
|
||||
|
||||
${\,I=\dfrac{e^{ax}}{2a}+\dfrac{e^{ax}}{2(a^{2}+4b^{2})}(a\cos(2bx)+2b\sin(2bx))+C\,}$
|
||||
|
||||
$a=0;$
|
||||
$I=\int \cos^{2}(bx)\,dx=\int\dfrac{1+\cos(2bx)}{2}dx=\dfrac{x}{2}+\dfrac{\sin(2bx)}{4b}+C;\ (b\neq0)$
|
||||
|
||||
## 87 номер – Д 2075
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int e^{ ax }\sin ^{3}bx \, dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int e^{ax}\sin^{3}(bx)\,dx$
|
||||
|
||||
$\sin 3u=3\sin u-4\sin^{3}u$
|
||||
$\sin^{3}u=\dfrac{3\sin u-\sin 3u}{4}$
|
||||
$u=bx$
|
||||
$\sin^{3}(bx)=\dfrac{3\sin(bx)-\sin(3bx)}{4}$
|
||||
|
||||
$I=\dfrac14\int e^{ax}(3\sin(bx)-\sin(3bx))dx=\dfrac34\int e^{ax}\sin(bx)dx-\dfrac14\int e^{ax}\sin(3bx)dx$
|
||||
$I=\dfrac34 I_1-\dfrac14 I_2$
|
||||
|
||||
$\int e^{ax}\sin(kx)\,dx=\dfrac{e^{ax}}{a^{2}+k^{2}}(a\sin(kx)-k\cos(kx))+C$
|
||||
|
||||
$I_1=\int e^{ax}\sin(bx)\,dx=\dfrac{e^{ax}}{a^{2}+b^{2}}(a\sin(bx)-b\cos(bx))$
|
||||
$I_2=\int e^{ax}\sin(3bx)\,dx=\dfrac{e^{ax}}{a^{2}+9b^{2}}(a\sin(3bx)-3b\cos(3bx))$
|
||||
|
||||
${\,I=\dfrac{e^{ax}}{4}(\dfrac{3(a\sin bx-b\cos bx)}{a^{2}+b^{2}}-\dfrac{a\sin 3bx-3b\cos 3bx}{a^{2}+9b^{2}})+C\,}$
|
||||
|
||||
## 88 номер – Д 2076
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int xe^{ x }\sin x \, dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int xe^{x}\sin x\,dx$
|
||||
|
||||
$I=\int u\,dv;\ \int u\,dv=uv-\int v\,du$
|
||||
$u=x;\ du=dx$
|
||||
$dv=e^{x}\sin x\,dx$
|
||||
|
||||
$v=\int e^{x}\sin x\,dx=\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)$
|
||||
|
||||
$I=x\cdot\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)-\int\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)\,dx$
|
||||
$I=\dfrac{x e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)-\dfrac12\int e^{x}\sin x\,dx+\dfrac12\int e^{x}\cos x\,dx$
|
||||
|
||||
$\int e^{x}\sin x\,dx=\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)$
|
||||
$\int e^{x}\cos x\,dx=\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x+\cos x)$
|
||||
|
||||
$I=\dfrac{x e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)-\dfrac12\cdot\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)+\dfrac12\cdot\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x+\cos x)+C$
|
||||
$I=\dfrac{x e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)+\dfrac{e^{x}}{2}\cos x+C$
|
||||
|
||||
${\,I=\dfrac{e^{x}}{2}(x\sin x+(1-x)\cos x)+C\,}$
|
||||
|
||||
## 89 номер – Д 2077
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int x^{2}e^{ x }\cos x \, dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int x^{2}e^{x}\cos x\,dx$
|
||||
|
||||
$I=\int u\,dv;\ \int u\,dv=uv-\int v\,du$
|
||||
$u=x^{2};\ du=2x\,dx$
|
||||
$dv=e^{x}\cos x\,dx$
|
||||
|
||||
$v=\int e^{x}\cos x\,dx=\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x+\cos x)$
|
||||
|
||||
$I=\dfrac{x^{2}e^{x}}{2}(\sin x+\cos x)-\int x e^{x}(\sin x+\cos x)\,dx$
|
||||
$I=\dfrac{x^{2}e^{x}}{2}(\sin x+\cos x)-J$
|
||||
|
||||
$J=\int x e^{x}(\sin x+\cos x)\,dx=\int x e^{x}\sin x\,dx+\int x e^{x}\cos x\,dx$
|
||||
$J=J_{1}+J_{2}$
|
||||
|
||||
$J_{1}=\int x e^{x}\sin x\,dx$
|
||||
$J_{1}=\int u\,dv;\ u=x;\ du=dx;\ dv=e^{x}\sin x\,dx$
|
||||
$\int e^{x}\sin x\,dx=\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)$
|
||||
$J_{1}=x\cdot\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)-\int\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)\,dx$
|
||||
$\int e^{x}\sin x\,dx=\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x);\ \int e^{x}\cos x\,dx=\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x+\cos x)$
|
||||
$J_{1}=\dfrac{x e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)-\dfrac12\cdot\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)+\dfrac12\cdot\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x+\cos x)$
|
||||
$J_{1}=\dfrac{e^{x}}{2}(x\sin x+(1-x)\cos x)$
|
||||
|
||||
$J_{2}=\int x e^{x}\cos x\,dx$
|
||||
$J_{2}=\int u\,dv;\ u=x;\ du=dx;\ dv=e^{x}\cos x\,dx$
|
||||
$J_{2}=x\cdot\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x+\cos x)-\int\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x+\cos x)\,dx$
|
||||
$\int e^{x}(\sin x+\cos x)\,dx=\int e^{x}\sin x\,dx+\int e^{x}\cos x\,dx=e^{x}\sin x$
|
||||
$J_{2}=\dfrac{x e^{x}}{2}(\sin x+\cos x)-\dfrac{e^{x}}{2}\sin x$
|
||||
|
||||
$J=\dfrac{e^{x}}{2}(x\sin x+(1-x)\cos x)+\dfrac{e^{x}}{2}(x(\sin x+\cos x)-\sin x)=\dfrac{e^{x}}{2}((2x-1)\sin x+\cos x)$
|
||||
|
||||
$I=\dfrac{x^{2}e^{x}}{2}(\sin x+\cos x)-\dfrac{e^{x}}{2}((2x-1)\sin x+\cos x)+C$
|
||||
|
||||
${\,I=\dfrac{e^{x}}{2}((x-1)^{2}\sin x+(x^{2}-1)\cos x)+C\,}$
|
||||
@@ -0,0 +1,456 @@
|
||||
## 11 номер – Д 2239
|
||||
#учеба #семестр_1 #высшая_математика
|
||||
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int_{0}^{\ln2} xe^{ -x } \, dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int_{0}^{\ln2} xe^{-x}dx$
|
||||
|
||||
$I=\int u\,dv;\ \int u\,dv=uv-\int v\,du$
|
||||
$u=x;\ du=dx$
|
||||
$dv=e^{-x}dx;\ v=-e^{-x}$
|
||||
|
||||
$I=.x(-e^{-x})|_{0}^{\ln2}-\int_{0}^{\ln2}(-e^{-x})dx=.-xe^{-x}|_{0}^{\ln2}+\int_{0}^{\ln2}e^{-x}dx$
|
||||
|
||||
$\int e^{-x}dx=-e^{-x}$
|
||||
$I=.-xe^{-x}|_{0}^{\ln2}+.-e^{-x}|_{0}^{\ln2}$
|
||||
|
||||
$e^{-\ln2}=\dfrac12$
|
||||
$I=-(\ln2)\cdot\dfrac12- \dfrac12- (0\cdot1-1)=-\dfrac{\ln2}{2}-\dfrac12+1=\dfrac12-\dfrac{\ln2}{2}$
|
||||
|
||||
## 13 номер – Д 2241
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int_{0}^{2\pi} x^{2}\cos x \, dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int_{0}^{2\pi} x^{2}\cos x\,dx$
|
||||
|
||||
$I=\int u\,dv;\ \int u\,dv=uv-\int v\,du$
|
||||
$u=x^{2};\ du=2x\,dx$
|
||||
$dv=\cos x\,dx;\ v=\sin x$
|
||||
|
||||
$I=.x^{2}\sin x|_{0}^{2\pi}-\int_{0}^{2\pi}2x\sin x\,dx=-2\int_{0}^{2\pi}x\sin x\,dx$
|
||||
|
||||
$J=\int_{0}^{2\pi}x\sin x\,dx$
|
||||
$J=\int u\,dv;\ \int u\,dv=uv-\int v\,du$
|
||||
$u=x;\ du=dx$
|
||||
$dv=\sin x\,dx;\ v=-\cos x$
|
||||
|
||||
$J=.-x\cos x|_{0}^{2\pi}+\int_{0}^{2\pi}\cos x\,dx=.-x\cos x|_{0}^{2\pi}+.\sin x|_{0}^{2\pi}$
|
||||
$J=-2\pi\cdot1+0-0=-2\pi$
|
||||
|
||||
$I=-2J=-2(-2\pi)=4\pi$
|
||||
|
||||
## 15 номер – Д 2244
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int_{0}^{\sqrt{ 3 }} x\ \text{arccot} x\, dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int_{0}^{\sqrt3}x\,\text{arccot}\,x\,dx$
|
||||
|
||||
$I=\int u\,dv;\ \int u\,dv=uv-\int v\,du$
|
||||
$u=\text{arccot}\,x;\ du=-\dfrac{1}{1+x^{2}}dx$
|
||||
$dv=x\,dx;\ v=\dfrac{x^{2}}{2}$
|
||||
|
||||
$I=.\dfrac{x^{2}}{2}\text{arccot}\,x|_{0}^{\sqrt3}-\int_{0}^{\sqrt3}\dfrac{x^{2}}{2}(-\dfrac{1}{1+x^{2}})dx=.\dfrac{x^{2}}{2}\text{arccot}\,x|_{0}^{\sqrt3}+\dfrac12\int_{0}^{\sqrt3}\dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}dx$
|
||||
|
||||
$\dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}=1-\dfrac{1}{1+x^{2}}$
|
||||
$I=.\dfrac{x^{2}}{2}\text{arccot}\,x|_{0}^{\sqrt3}+\dfrac12\int_{0}^{\sqrt3}(1-\dfrac{1}{1+x^{2}})dx$
|
||||
$\int \dfrac{dx}{1+x^{2}}=\arctan x$
|
||||
$I=.\dfrac{x^{2}}{2}\text{arccot}\,x|_{0}^{\sqrt3}+\dfrac12.(x-\arctan x)|_{0}^{\sqrt3}$
|
||||
|
||||
$\text{arccot}\sqrt3=\dfrac{\pi}{6};\ \arctan\sqrt3=\dfrac{\pi}{3}$
|
||||
$I=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{\pi}{6}+\dfrac12(\sqrt3-\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\pi}{12}$
|
||||
|
||||
## 17 номер – Д 2246
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int_{0}^{a} x^{2}\sqrt{ a^{2}-x^{2} } \, dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$a>0$
|
||||
$I=\int_{0}^{a} x^{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}}\,dx$
|
||||
|
||||
$x=a\sin t;\ dx=a\cos t\,dt;\ \sqrt{a^{2}-x^{2}}=a\cos t$
|
||||
$x=0\implies t=0;\ x=a\implies t=\dfrac{\pi}{2}$
|
||||
|
||||
$I=\int_{0}^{\pi/2}(a^{2}\sin^{2}t)\cdot(a\cos t)\cdot(a\cos t)\,dt=a^{4}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}t\cos^{2}t\,dt$
|
||||
|
||||
$\sin^{2}t\cos^{2}t=\dfrac14\sin^{2}2t;\ \sin^{2}2t=\dfrac{1-\cos4t}{2}$
|
||||
$I=a^{4}\int_{0}^{\pi/2}\dfrac18(1-\cos4t)\,dt=\dfrac{a^{4}}{8}(t-\dfrac{\sin4t}{4})\Big|_{0}^{\pi/2}$
|
||||
|
||||
$I=\dfrac{a^{4}}{8}(\dfrac{\pi}{2}-0)=\dfrac{\pi a^{4}}{16}$
|
||||
|
||||
## 19 номер – Д 2248
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int_{0}^{\ln 2} \sqrt{ e^{ x }-1 } \, dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int_{0}^{\ln2}\sqrt{e^{x}-1}\,dx$
|
||||
|
||||
$t=e^{x};\ dt=e^{x}dx;\ dx=\dfrac{dt}{t}$
|
||||
$x=0\implies t=1;\ x=\ln2\implies t=2$
|
||||
|
||||
$I=\int_{1}^{2}\dfrac{\sqrt{t-1}}{t}\,dt$
|
||||
|
||||
$u=\sqrt{t-1};\ t=u^{2}+1;\ dt=2u\,du$
|
||||
$t=1\implies u=0;\ t=2\implies u=1$
|
||||
|
||||
$I=\int_{0}^{1}\dfrac{u}{u^{2}+1}\cdot2u\,du=2\int_{0}^{1}\dfrac{u^{2}}{u^{2}+1}\,du$
|
||||
$\dfrac{u^{2}}{u^{2}+1}=1-\dfrac{1}{u^{2}+1}$
|
||||
|
||||
$I=2\int_{0}^{1}(1-\dfrac{1}{u^{2}+1})du=2(u-\arctan u)\Big|_{0}^{1}$
|
||||
$I=2(1-\dfrac{\pi}{4})=2-\dfrac{\pi}{2}$
|
||||
|
||||
## 21 номер – Д 2269
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int_{-1}^{1} \dfrac{xdx}{x^{2}+x+1}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int_{-1}^{1}\dfrac{x}{x^{2}+x+1}dx$
|
||||
|
||||
$x=\dfrac12(2x+1)-\dfrac12$
|
||||
$I=\dfrac12\int_{-1}^{1}\dfrac{2x+1}{x^{2}+x+1}dx-\dfrac12\int_{-1}^{1}\dfrac{dx}{x^{2}+x+1}$
|
||||
|
||||
$I_1=\dfrac12\int_{-1}^{1}\dfrac{2x+1}{x^{2}+x+1}dx=\dfrac12.\ln(x^{2}+x+1)|_{-1}^{1}=\dfrac12(\ln3-\ln1)=\dfrac12\ln3$
|
||||
|
||||
$x^{2}+x+1=(x+\dfrac12)^{2}+\dfrac34$
|
||||
$I_2=-\dfrac12\int_{-1}^{1}\dfrac{dx}{(x+\dfrac12)^{2}+(\dfrac{\sqrt3}{2})^{2}}$
|
||||
|
||||
$\int\dfrac{dx}{(x-a)^{2}+b^{2}}=\dfrac{1}{b}\arctan\dfrac{x-a}{b}$
|
||||
$I_2=-\dfrac12\cdot\dfrac{2}{\sqrt3}.\arctan(\dfrac{x+\frac12}{\frac{\sqrt3}{2}})|_{-1}^{1}=-\dfrac{1}{\sqrt3}.\arctan(\dfrac{2x+1}{\sqrt3})|_{-1}^{1}$
|
||||
|
||||
$\arctan\dfrac{3}{\sqrt3}=\arctan\sqrt3=\dfrac{\pi}{3};\ \arctan\dfrac{-1}{\sqrt3}=-\dfrac{\pi}{6}$
|
||||
$I_2=-\dfrac{1}{\sqrt3}(\dfrac{\pi}{3}-(-\dfrac{\pi}{6}))=-\dfrac{1}{\sqrt3}\cdot\dfrac{\pi}{2}=-\dfrac{\pi}{2\sqrt3}$
|
||||
|
||||
$I=I_1+I_2=\dfrac12\ln3-\dfrac{\pi}{2\sqrt3}$
|
||||
|
||||
## 23 номер – Д 2271
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int_{1}^{9} x\sqrt[ 3 ]{ 1-x } \, dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int_{1}^{9}x\sqrt[3]{1-x}\,dx$
|
||||
|
||||
$t=1-x;\ dt=-dx;\ x=1-t$
|
||||
$x=1; t=0;\ x=9; t=-8$
|
||||
|
||||
$I=\int_{0}^{-8}(1-t)t^{\frac13}(-dt)=\int_{-8}^{0}(1-t)t^{\frac13}dt=\int_{-8}^{0}(t^{\frac13}-t^{\frac43})dt$
|
||||
|
||||
$I=.(\dfrac{3}{4}t^{\frac43}-\dfrac{3}{7}t^{\frac73})|_{-8}^{0}=-(\dfrac{3}{4}(-8)^{\frac43}-\dfrac{3}{7}(-8)^{\frac73})$
|
||||
|
||||
$\sqrt[3]{-8}=-2;\ (-8)^{\frac43}=(\sqrt[3]{-8})^{4}=(-2)^{4}=16;\ (-8)^{\frac73}=(\sqrt[3]{-8})^{7}=(-2)^{7}=-128$
|
||||
$I=-(\dfrac{3}{4}\cdot16-\dfrac{3}{7}\cdot(-128))=-(12+\dfrac{384}{7})=-\dfrac{468}{7}$
|
||||
|
||||
## 25 номер – Д 2273
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int_{0}^{1} x^{15} \, \sqrt{ 1+3x^{8} } \, dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int_{0}^{1}x^{15}\sqrt{1+3x^{8}}dx$
|
||||
|
||||
$u=1+3x^{8};\ du=24x^{7}dx;\ x^{7}dx=\dfrac{1}{24}du$
|
||||
$x^{15}dx=x^{8}\cdot x^{7}dx$
|
||||
|
||||
$x=0;\ u=1$
|
||||
$x=1;\ u=4$
|
||||
|
||||
$x^{8}=\dfrac{u-1}{3}$
|
||||
$I=\int_{1}^{4}\dfrac{u-1}{3}\cdot\sqrt{u}\cdot\dfrac{1}{24}du=\dfrac{1}{72}\int_{1}^{4}(u-1)u^{\frac12}du=\dfrac{1}{72}\int_{1}^{4}(u^{\frac32}-u^{\frac12})du$
|
||||
|
||||
$I=\dfrac{1}{72}(\dfrac{2}{5}u^{\frac52}-\dfrac{2}{3}u^{\frac32})\Big|_{1}^{4}=\dfrac{1}{72}(\dfrac{2}{5}(4^{\frac52}-1)-\dfrac{2}{3}(4^{\frac32}-1))$
|
||||
$4^{\frac52}=32;\ 4^{\frac32}=8$
|
||||
$I=\dfrac{1}{72}(\dfrac{2}{5}\cdot31-\dfrac{2}{3}\cdot7)=\dfrac{1}{72}(\dfrac{62}{5}-\dfrac{14}{3})=\dfrac{1}{72}\cdot\dfrac{116}{15}=\dfrac{29}{270}$
|
||||
|
||||
## 27 номер – Д 2275
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int_{0}^{2\pi} \dfrac{dx}{(2+\cos x)(3+\cos x)}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int_{0}^{2\pi}\dfrac{dx}{(2+\cos x)(3+\cos x)}$
|
||||
|
||||
$\dfrac{1}{(2+\cos x)(3+\cos x)}=\dfrac{1}{2+\cos x}-\dfrac{1}{3+\cos x}$
|
||||
$I=I_1-I_2$
|
||||
$I_1=\int_{0}^{2\pi}\dfrac{dx}{2+\cos x}$
|
||||
$I_2=\int_{0}^{2\pi}\dfrac{dx}{3+\cos x}$
|
||||
|
||||
$\cos(\pi+t)=-\cos t$
|
||||
$\int_{0}^{2\pi}\dfrac{dx}{a+\cos x}=2\int_{0}^{\pi}\dfrac{dx}{a+\cos x}\ (a>1)$
|
||||
|
||||
$I_1=2\int_{0}^{\pi}\dfrac{dx}{2+\cos x}$
|
||||
$t=\tan\dfrac{x}{2}$
|
||||
$\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$
|
||||
$dx=\dfrac{2dt}{1+t^2}$
|
||||
$x:0\to\pi;\ t:0\to+\infty$
|
||||
|
||||
$I_1=2\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\frac{2dt}{1+t^2}}{2+\frac{1-t^2}{1+t^2}}=2\int_{0}^{+\infty}\dfrac{2dt}{3+t^2}=4\int_{0}^{+\infty}\dfrac{dt}{t^2+3}$
|
||||
$\int\dfrac{dt}{t^2+a^2}=\dfrac{1}{a}\arctan\dfrac{t}{a}$
|
||||
$I_1=4\cdot\dfrac{1}{\sqrt3}\arctan\dfrac{t}{\sqrt3}\Big|_{0}^{+\infty}=4\cdot\dfrac{1}{\sqrt3}(\dfrac{\pi}{2}-0)=\dfrac{2\pi}{\sqrt3}$
|
||||
|
||||
$I_2=2\int_{0}^{\pi}\dfrac{dx}{3+\cos x}$
|
||||
$t=\tan\dfrac{x}{2}$
|
||||
$\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$
|
||||
$dx=\dfrac{2dt}{1+t^2}$
|
||||
$x:0\to\pi;\ t:0\to+\infty$
|
||||
|
||||
$I_2=2\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\frac{2dt}{1+t^2}}{3+\frac{1-t^2}{1+t^2}}=2\int_{0}^{+\infty}\dfrac{2dt}{4+2t^2}=2\int_{0}^{+\infty}\dfrac{dt}{t^2+2}$
|
||||
$I_2=2\cdot\dfrac{1}{\sqrt2}\arctan\dfrac{t}{\sqrt2}\Big|_{0}^{+\infty}=2\cdot\dfrac{1}{\sqrt2}(\dfrac{\pi}{2}-0)=\dfrac{\pi}{\sqrt2}$
|
||||
|
||||
$I=\dfrac{2\pi}{\sqrt3}-\dfrac{\pi}{\sqrt2}$
|
||||
|
||||
## 29 номер – Д 2278
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$\int_{0}^{\pi} (x\sin x)^{2} \, dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\int_{0}^{\pi}(x\sin x)^2dx=\int_{0}^{\pi}x^{2}\sin^{2}x\,dx$
|
||||
|
||||
$\sin^{2}x=\dfrac{1-\cos2x}{2}$
|
||||
$I=\dfrac12\int_{0}^{\pi}x^{2}dx-\dfrac12\int_{0}^{\pi}x^{2}\cos2x\,dx$
|
||||
$I=\dfrac12.\dfrac{x^{3}}{3}|_{0}^{\pi}-\dfrac12J=\dfrac{\pi^{3}}{6}-\dfrac12J$
|
||||
|
||||
$J=\int_{0}^{\pi}x^{2}\cos2x\,dx$
|
||||
$J=\int u\,dv;\ \int u\,dv=uv-\int v\,du$
|
||||
$u=x^{2};\ du=2x\,dx$
|
||||
$dv=\cos2x\,dx;\ v=\dfrac12\sin2x$
|
||||
|
||||
$J=.\dfrac{x^{2}}{2}\sin2x|_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi}x\sin2x\,dx=-K$
|
||||
|
||||
$K=\int_{0}^{\pi}x\sin2x\,dx$
|
||||
$K=\int u\,dv;\ \int u\,dv=uv-\int v\,du$
|
||||
$u=x;\ du=dx$
|
||||
$dv=\sin2x\,dx;\ v=-\dfrac12\cos2x$
|
||||
|
||||
$K=.-\dfrac{x}{2}\cos2x|_{0}^{\pi}+\dfrac12\int_{0}^{\pi}\cos2x\,dx$
|
||||
$\int\cos2x\,dx=\dfrac12\sin2x$
|
||||
$K=-\dfrac{\pi}{2}\cdot1+\dfrac12.\dfrac12\sin2x|_{0}^{\pi}=-\dfrac{\pi}{2}$
|
||||
|
||||
$J=-K=\dfrac{\pi}{2}$
|
||||
$I=\dfrac{\pi^{3}}{6}-\dfrac12\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi^{3}}{6}-\dfrac{\pi}{4}$
|
||||
|
||||
## 40 номер – Д 2395
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
$v.p. \int_{-\infty}^{+\infty} \text{arccot}x \, dx$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$I=\text{v.p.}\int_{-\infty}^{+\infty}\text{arccot}\,x\,dx=\lim_{A\to+\infty}\int_{-A}^{A}\text{arccot}\,x\,dx$
|
||||
|
||||
$\text{arccot}\,x=\dfrac{\pi}{2}-\arctan x$
|
||||
$I(A)=\int_{-A}^{A}(\dfrac{\pi}{2}-\arctan x)dx=\dfrac{\pi}{2}\int_{-A}^{A}dx-\int_{-A}^{A}\arctan x\,dx$
|
||||
|
||||
$\arctan x\ \text{нечётная}$
|
||||
$\int_{-A}^{A}\arctan x\,dx=0$
|
||||
$I(A)=\dfrac{\pi}{2}\cdot2A=\pi A$
|
||||
|
||||
$I=\lim_{A\to+\infty}\pi A=+\infty$
|
||||
$\text{v.p. интеграл расходится увы}$
|
||||
|
||||
## 42 номер – Д 2398
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
Площадь
|
||||
$y=x^{2};x+y=2$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$y=x^2;\ y=2-x$
|
||||
|
||||
$x^2=2-x$
|
||||
$x^2+x-2=0$
|
||||
$(x+2)(x-1)=0$
|
||||
$x_1=-2;\ x_2=1$
|
||||
|
||||
$S=\int_{-2}^{1}\big((2-x)-x^2\big)\,dx=\int_{-2}^{1}(2-x-x^2)\,dx$
|
||||
$S=(2x-\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3})\Big|_{-2}^{1}$
|
||||
$S=(2-\dfrac12-\dfrac13)-(-4-\dfrac{4}{2}+\dfrac{8}{3})=\dfrac{7}{6}+\dfrac{10}{3}=\dfrac{9}{2}$
|
||||
|
||||
## 44 номер – Д 2400
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
Площадь
|
||||
$y=|lg x|; y=0;x=0,1;x=10;$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$S=\int_{0,1}^{10}|lg x|\,dx$
|
||||
$lg x<0\ (0<x<1);\ lg x>0\ (x>1)$
|
||||
$S=\int_{0,1}^{1}(-lg x)\,dx+\int_{1}^{10}lg x\,dx$
|
||||
|
||||
$lg x=\dfrac{\ln x}{\ln 10}$
|
||||
$\int lg x\,dx=\dfrac{1}{\ln 10}\int \ln x\,dx=\dfrac{1}{\ln 10}(x\ln x-x)$
|
||||
|
||||
$S_2=\int_{1}^{10}lg x\,dx=\dfrac{1}{\ln 10}(x\ln x-x)\Big|_{1}^{10}=10-\dfrac{9}{\ln 10}$
|
||||
$S_1=\int_{0,1}^{1}(-lg x)\,dx=-\dfrac{1}{\ln 10}(x\ln x-x)\Big|_{0,1}^{1}=-(-\dfrac{1}{\ln 10}+0,1+\dfrac{0,1}{\ln 10})=-0,1+\dfrac{0,9}{\ln 10}$
|
||||
|
||||
$S=S_1+S_2=9,9-\dfrac{8,1}{\ln 10}=\dfrac{99}{10}-\dfrac{81}{10\ln 10}$
|
||||
|
||||
## 46 номер – Д 2414
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
Площадь
|
||||
$x=2t-t^{2};y=2t^{2}-t^{3};$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$x=t(2-t);\ y=t^{2}(2-t)$
|
||||
$t=0;\ x=0;\ y=0$
|
||||
$t=2;\ x=0;\ y=0$
|
||||
|
||||
$S=\dfrac12\int\limits_{0}^{2}(x\dfrac{dy}{dt}-y\dfrac{dx}{dt})dt$
|
||||
|
||||
$y=tx$
|
||||
$\dfrac{dy}{dt}=x+t\dfrac{dx}{dt}$
|
||||
$x\dfrac{dy}{dt}-y\dfrac{dx}{dt}=x(x+t\dfrac{dx}{dt})-tx\dfrac{dx}{dt}=x^{2}$
|
||||
|
||||
$S=\dfrac12\int\limits_{0}^{2}x^{2}dt=\dfrac12\int\limits_{0}^{2}(t(2-t))^{2}dt=\dfrac12\int\limits_{0}^{2}(4t^{2}-4t^{3}+t^{4})dt$
|
||||
$S=\dfrac12(\dfrac{4}{3}t^{3}-t^{4}+\dfrac{1}{5}t^{5})\Big|_{0}^{2}=\dfrac12(\dfrac{32}{3}-16+\dfrac{32}{5})=\dfrac12\cdot\dfrac{16}{15}=\dfrac{8}{15}$
|
||||
|
||||
## 48 номер – Д 2418
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
Площадь
|
||||
$r^{2}=a^{2}\cos 2\phi \, (лемниската)$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$r^{2}=a^{2}\cos2\phi$
|
||||
$\cos2\phi\ge0;\ \phi\in[-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{4}] \ \text{(одна петля)}$
|
||||
|
||||
$S_1=\dfrac12\int\limits_{-\pi/4}^{\pi/4}r^{2}d\phi=\dfrac12\int\limits_{-\pi/4}^{\pi/4}a^{2}\cos2\phi\,d\phi$
|
||||
$S_1=\dfrac{a^{2}}{2}\cdot\dfrac12\sin2\phi\Big|_{-\pi/4}^{\pi/4}=\dfrac{a^{2}}{4}(\sin\dfrac{\pi}{2}-\sin(-\dfrac{\pi}{2}))=\dfrac{a^{2}}{4}(1-(-1))=\dfrac{a^{2}}{2}$
|
||||
|
||||
$S=2S_1=a^{2}$
|
||||
|
||||
## 50 номер – Д 2431
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
Длины дуг кривой
|
||||
$y=x^{\frac{3}{2}}; (0 \leq x \leq 4)$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$l=\int\limits_{0}^{4}\sqrt{1+(y')^{2}}\,dx$
|
||||
$y=x^{\frac32};\ y'=\dfrac32x^{\frac12}$
|
||||
$(y')^{2}=\dfrac{9}{4}x$
|
||||
$l=\int\limits_{0}^{4}\sqrt{1+\dfrac{9}{4}x}\,dx=\dfrac12\int\limits_{0}^{4}\sqrt{9x+4}\,dx$
|
||||
|
||||
$u=9x+4;\ du=9dx;\ dx=\dfrac{du}{9}$
|
||||
$x=0;\ u=4$
|
||||
$x=4;\ u=40$
|
||||
|
||||
$l=\dfrac12\int\limits_{4}^{40}\sqrt{u}\cdot\dfrac{du}{9}=\dfrac{1}{18}\int\limits_{4}^{40}u^{\frac12}du=\dfrac{1}{18}\cdot\dfrac{2}{3}u^{\frac32}\Big|_{4}^{40}=\dfrac{1}{27}(40^{\frac32}-4^{\frac32})$
|
||||
$40^{\frac32}=40\sqrt{40}=80\sqrt{10};\ 4^{\frac32}=8$
|
||||
$l=\dfrac{1}{27}(80\sqrt{10}-8)=\dfrac{8}{27}(10\sqrt{10}-1)$
|
||||
|
||||
## 52 номер – Д 2433
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
Длины дуг кривой
|
||||
$y=a\cosh \dfrac{x}{a}; \text{от точки A(0,a) до точки B(b,h)}$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$a>0$
|
||||
$l=\int\limits_{0}^{b}\sqrt{1+(y')^{2}}\,dx$
|
||||
$y=a\cosh\dfrac{x}{a}$
|
||||
$y'=a(\cosh\dfrac{x}{a})'=a\cdot\sinh\dfrac{x}{a}\cdot\dfrac{1}{a}=\sinh\dfrac{x}{a}$
|
||||
|
||||
$1+(y')^{2}=1+\sinh^{2}\dfrac{x}{a}=\cosh^{2}\dfrac{x}{a}$
|
||||
$\sqrt{1+(y')^{2}}=\cosh\dfrac{x}{a}$
|
||||
|
||||
$l=\int\limits_{0}^{b}\cosh\dfrac{x}{a}\,dx=a\sinh\dfrac{x}{a}\Big|_{0}^{b}=a\sinh\dfrac{b}{a}$
|
||||
|
||||
$h=y(b)=a\cosh\dfrac{b}{a}$
|
||||
$\sinh\dfrac{b}{a}=\sqrt{\cosh^{2}\dfrac{b}{a}-1}=\sqrt{(\dfrac{h}{a})^{2}-1}=\dfrac{\sqrt{h^{2}-a^{2}}}{a}$
|
||||
$l=a\sinh\dfrac{b}{a}=\sqrt{h^{2}-a^{2}}$
|
||||
|
||||
## 54 номер – Д 2462
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
Объём
|
||||
$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1;z=\dfrac{c}{a}x;z=0;$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$V=\iiint\limits_{(V)}dV=\iint\limits_{D}(z_{\text{верх}}-z_{\text{низ}})\,dS$
|
||||
|
||||
$D:\ \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}\le1$
|
||||
$z_{\text{низ}}=0;\ z_{\text{верх}}=\dfrac{c}{a}x$
|
||||
|
||||
$z_{\text{верх}}\ge z_{\text{низ}};\ \dfrac{c}{a}x\ge0;\ x\ge0$
|
||||
$D_{1}=D\cap\{x\ge0\}$
|
||||
|
||||
$V=\iint\limits_{D_{1}}\dfrac{c}{a}x\,dS=\dfrac{c}{a}\iint\limits_{D_{1}}x\,dS$
|
||||
|
||||
$x=a r\cos t;\ y=b r\sin t;\ 0\le r\le1;\ -\dfrac{\pi}{2}\le t\le\dfrac{\pi}{2}$
|
||||
$dS=ab\,r\,dr\,dt$
|
||||
|
||||
$\iint\limits_{D_{1}}x\,dS=\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int\limits_{0}^{1}(a r\cos t)\,ab\,r\,dr\,dt=a^{2}b\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos t\,dt\int\limits_{0}^{1}r^{2}\,dr$
|
||||
$\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos t\,dt=.\sin t|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=2;\ \int\limits_{0}^{1}r^{2}\,dr=.\dfrac{r^{3}}{3}|_{0}^{1}=\dfrac13$
|
||||
$\iint\limits_{D_{1}}x\,dS=a^{2}b\cdot2\cdot\dfrac13=\dfrac{2a^{2}b}{3}$
|
||||
|
||||
$V=\dfrac{c}{a}\cdot\dfrac{2a^{2}b}{3}=\dfrac{2abc}{3}$
|
||||
|
||||
## 56 номер – Д 2464
|
||||
|
||||
### Пример:
|
||||
|
||||
Объём
|
||||
$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}-\dfrac{z^{2}}{c^{2}}=1;z=\pm c$
|
||||
|
||||
### Решение:
|
||||
|
||||
$V=\int\limits_{-c}^{c}S(z)\,dz$
|
||||
|
||||
$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}-\dfrac{z^{2}}{c^{2}}=1$
|
||||
$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}$
|
||||
|
||||
$S(z)=\pi\cdot a\sqrt{1+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}}\cdot b\sqrt{1+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}}=\pi ab(1+\dfrac{z^{2}}{c^{2}})$
|
||||
|
||||
$V=\int\limits_{-c}^{c}\pi ab(1+\dfrac{z^{2}}{c^{2}})dz=\pi ab(\int\limits_{-c}^{c}dz+\dfrac{1}{c^{2}}\int\limits_{-c}^{c}z^{2}dz)$
|
||||
$\int\limits_{-c}^{c}dz=2c;\ \int\limits_{-c}^{c}z^{2}dz=.\dfrac{z^{3}}{3}|_{-c}^{c}=\dfrac{2c^{3}}{3}$
|
||||
$V=\pi ab(2c+\dfrac{1}{c^{2}}\cdot\dfrac{2c^{3}}{3})=\pi ab(2c+\dfrac{2c}{3})=\dfrac{8\pi abc}{3}$
|
||||
|
||||
## 58 номер – Д 2666
|
||||
АЦЦЦККИИИИИЙ НОМЕР он ещё и последний
|
||||
и именно поэтому я его делать НЕ БУДУ :D
|
||||
Reference in New Issue
Block a user