bonch/01 Учёба/2 семестр/Неразобранное/10.02.md

Дискретная математика

#семестр_2

#дискретная_математика #лекция

Дискретная математика изучает структуры, которые состоят из отдельных элементов, таких например, как целые числа, графы, логика и множества. Главное свойство таких объектов – дискретность, то есть их разделимость на отдельные неделимые части. Это отличается дискретную математика от мат. анализа и физика, где работают с непрерывными величинами, такими как функции и пределы.

Множество – это совокупность некоторых объектов произвольной природы, объединённых общим свойством. Важные свойства множества: порядок элементов не имеет значения, а одинаковые элементы не повторяются.

Создателем теории множеств считается Георг Кантор, немецкий математик, разработал:

• Теорию бесконечных множеств
• Теорию трансфинитивных чисел

==Множество – это элементарное неопределяемое понятие в математике. Мы не можем его определить так же, как точку в геометрии, числа в арифметике.==

Основные понятия

1. Объекты, обращующие некоторое множество, называются его элементами. Принадленость некоторго элемента x множеству как x \in A – «x это элемент множества $A$»; Непринадлежность некоторых элемента a множеству M обозначается: a \not\in M; Знак «» или «» при описании множеств обозначает «такой, что» или «обладающий свойством».
2. Существуют 3 основным способа заданий множеств:
   1. Перечисление элементов X=\{x_{1},x_{2}\dots x_{n}\};
   2. Задание порождающей процедуры A=\{x|x=f\}; Порождающая процедура описывается способ получения элементов множества из уже полученных элементов либо из других объектов. Элементами множества считаются все объекты, которые могут быть посмотрены с помощью такой процедуры B=\{B=x|x^{2}-3x+2=0\} \to B=\{1,2\}
   3. Описание характеристического свойства A=\{x|x=P(X)\}
3. Множества могут быть конечными (группа студентов) или бесконечными (натуральные числа). Множества, элементами которых также являются множества называются классом (семейством, системной) множеств.
4. Для конечного множества A=\{a_{1},a_{2},\dots,a_{n}\} количество элементов n называется мощностью множества и обозначается |A|. Для конкретного элемента a и множества A можно определить, принадлежит элемент a множеству A или не принадлежит. Пример: A=\{x\mid 5 \le x \le 10,\ x \in N\}\Rightarrow |A|=6. Мощность пустого множества равна нулю: |\varnothing|=0.
5. Множество, состоящее из одного элемента, обозначается \{a\}. Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается \varnothing (например, A=\varnothing). Пустое множество является подмножеством любого множества.
6. Множество U называется универсальным, если оно содержит все элементы и все множества являются его подмножествами. Всегда необходимо оговаривать, что понимается под универсальным множеством U.
7. Множество A называется подмножеством множества B, если все элементы множества A являются также элементами множества B. Говорят, что A включается в B, и обозначают: A \subseteq B. Таким образом, A \subseteq B, если для любого элемента x: если x \in A, то x \in B. Если множество B содержит хотя бы один элемент, не принадлежащий множеству A, то A \subset B — строгое включение.
8. Равенство двух множеств A и B означает, что множества состоят из одних и тех же элементов. То есть выполняются два включения: A \subseteq B и B \subseteq A.
9. Связь между произвольным множеством и всеми его подмножествами определяется булеаном. Булеан множества — это множество всех подмножеств данного множества A, включая пустое множество. Обозначения булеана: P(A), 2^{A}, B(A). Пример: для A=\{1,2,3\} булеан равен P(A)=\{\varnothing,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}.

Операции над множествами

1. Объединение (A \cup B) — множество всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B. A \cup B=\{x \mid x \in A \text{ или } x \in B\}. Пример: A=\{1,2\},\ B=\{2,3\}, тогда A \cup B=\{1,2,3\}. Если A=B, то A \cup B=A=B. Если B \subseteq A, то A \cup B=A. Если A \cap B=\varnothing, то объединение состоит из всех элементов A и B без повторений.
2. Пересечение (A \cap B) — множество всех элементов, которые одновременно принадлежат A и B. A \cap B=\{x \mid x \in A \text{ и } x \in B\}. Пример: A=\{1,2\},\ B=\{2,3\}, тогда A \cap B=\{2\}. Если A=B, то A \cap B=A=B. Если B \subseteq A, то A \cap B=B. Если множества не имеют общих элементов, то A \cap B=\varnothing.
3. Разность множеств (A \setminus B) — множество элементов, которые принадлежат A и не принадлежат B. Обозначается A \setminus B и читается как «разность множеств A и $B$». A \setminus B=\{x \mid x \in A \text{ и } x \notin B\}. В общем случае A \setminus B \ne B \setminus A. Пример: пусть A=\{4,5,8,12,16,21\}, B=\{1,2,5,7,12,17,21,30\}. Тогда A \setminus B=\{4,8,16\}, а B \setminus A=\{1,2,7,17,30\}.
4. Симметрическая разность множеств A и B — множество элементов, которые принадлежат исходным множествам, но не принадлежат одновременно обоим. Обозначается: A \triangle B. A \triangle B=(A \cup B)\setminus(A \cap B)=(A \setminus B)\cup(B \setminus A). Пример: пусть A=\{1,2,3,4\}, B=\{3,4,5,6\}. Тогда A \triangle B=\{1,2,5,6\}.
5. Дополнение (или отрицание) множества A — множество элементов универсального множества U, не принадлежащих A. То есть дополнение к A — это разность между универсальным множеством U и множеством A. Обозначают: \overline{A} (иногда A^c). \overline{A}=U \setminus A=\{x \mid x \in U \text{ и } x \notin A\}. Пример: A=\{1,2,3,4,5\}, B=\{4,5,6,7\}. Если рассматриваем только элементы из A и B, то универсальное множество U=A \cup B=\{1,2,3,4,5,6,7\}. Тогда \overline{A}=U \setminus A=\{6,7\}, а \overline{B}=U \setminus B=\{1,2,3\}.

Законы и тождества алгебры множеств

Пусть U — универсальное множество, а A,B,C — его подмножества. Тогда следующие равенства являются тождествами.

Группа законов	Для объединения	Для пересечения
1. Законы коммутативности	A \cup B = B \cup A	A \cap B = B \cap A
2. Законы ассоциативности	A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C	A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C
3. Законы дистрибутивности	A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)	A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)
4. Законы тождества	A \cup \varnothing = A; A \cup U = U	A \cap U = A; A \cap \varnothing = \varnothing
5. Законы дополнения	A \cup \overline{A} = U; \overline{\overline{A}} = A	A \cap \overline{A} = \varnothing; \overline{\varnothing}=U,\ \overline{U}=\varnothing
6. Законы идемпотентности	A \cup A = A	A \cap A = A
7. Законы де Моргана	\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}	\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}
8. Законы поглощения	A \cup (A \cap B) = A	A \cap (A \cup B) = A

Основные свойства сложения (умножения)

1. Коммутативность (перестановочный закон) означает, что можно менять местами слагаемые (множители), и результат не изменится: a+b=b+a, ab=ba.
2. Ассоциативность (сочетательный закон) означает, что можно по-разному расставлять скобки при сложении и умножении: a+(b+c)=(a+b)+c, a(bc)=(ab)c.
3. Дистрибутивность (распределительный закон) умножения относительно сложения: a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c.
4. Идемпотентность — операция, которая при повторном применении к одному и тому же объекту не меняет результат. В теории множеств операции объединения и пересечения идемпотентны: A\cup A=A и A\cap A=A для любого множества A.

Доказательство закона де Моргана

Докажем один из законов алгебры множеств: \overline{A \cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}.

Огастес (Август) де Морган (27.06.1806–18.03.1871) — шотландский математик и логик, первый президент Лондонского математического общества. С его именем связаны известные соотношения в логике и теории множеств (законы де Моргана).

Доказательство:

\overline{A\cup B}=\{x\mid x\notin A\cup B\}=\{x\mid x\notin A\ \text{и}\ x\notin B\},

\{x\mid x\notin A\ \text{и}\ x\notin B\}=\{x\mid x\in\overline{A}\ \text{и}\ x\in\overline{B}\}=\overline{A}\cap\overline{B}.

Что и требовалось доказать.

Для доказательства законов множеств обычно используют два основных подхода:

1. Аналитический метод: доказывается, что если элемент принадлежит одной стороне равенства, то он принадлежит и другой, и наоборот.
2. Геометрический метод: используется наглядность диаграмм Эйлера-Венна.

Леонард Эйлер (15.04.1707–18.09.1783) — швейцарский, немецкий и российский математик и механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие математики, физики и астрономии.

Джон Венн (04.08.1834–04.04.1923) — английский логик и философ. Развил диаграммы Эйлера-Венна, которые широко применяются в теории множеств, вероятности, логике, статистике и информатике.

Приоритет операций в алгебре множеств:

1. \overline{A} (дополнение)
2. A \cap B (пересечение)
3. A \cup B (объединение)
4. A \setminus B (разность)

Задачи

1. Доказать свойство дистрибутивности: A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C).

   Доказательство. Пусть x\in A\cap(B\cup C). Тогда x\in A и (x\in B или x\in C). Значит, (x\in A и x\in B) или (x\in A и x\in C), то есть x\in (A\cap B)\cup(A\cap C).

   Обратно, пусть x\in (A\cap B)\cup(A\cap C). Тогда (x\in A и x\in B) или (x\in A и x\in C). Следовательно, x\in A и (x\in B или x\in C), то есть x\in A\cap(B\cup C).

   Итак, обе части равны: A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C), что и требовалось доказать.

---

Философия

#философия #лекция

План

1. Предмет философии, её функции и роль в развитии человека и общества.
2. Философия как мировоззрение.
3. Сущность современного антропоцентризма.
4. Философия и частные науки.
5. Структура философского знания.
6. Эпистемология: философское учение о знании.
7. Теоретическое «конструирование» знания.
8. Научное и вненаучное знание.
9. Картины мира: РКМ, ФКМ, НКМ. Синергетика как реальное видение.

Понятие философии

Философия:

1. Форма общественного сознания, направленная на выработку целостного взгляда на мир и место в нём человека.
2. Учение об общих принципах бытия и познания, об отношении человека к миру.
3. Наука о всеобщих законах развития природы, общества и мышления.

Ключевые отношения

1. Человек - человек.
2. Человек - общество.
3. Человек - природа.
4. Человек - мир.

Связанные сферы: человек, общество, природа, окружающий мир.

Основной вопрос философии

Традиционная трактовка: отношение сознания к материи, духа к природе.

1. Первая сторона: что первично — материя или сознание?
   • Материализм: материя первична, сознание — свойство высокоорганизованной материи.
   • Дуализм: материя и сознание — два первоначала, существующие независимо друг от друга.
   • Идеализм: первично сознание; материя независимо от сознания не существует.
2. Вторая сторона: тождество мышления и бытия (вопрос о познаваемости мира).
   • Мир познаваем:
     • Материализм: сознание отражает объективный мир.
     • Идеализм (объективный идеализм): сознание человека есть постижение духовного основания мира, самопознание духа.
   • Мир непознаваем:
     • Агностицизм (в том числе субъективный идеализм).
     • Д. Юм (1711-1776): человек имеет дело только с ощущениями; мы не знаем, что за ними, каков мир и существует ли он вне нас.
     • И. Кант (1724-1804): мир «вещей в себе» непознаваем.

Основной вопрос философии: решение материализмом

Соотношение сознания и материального мира:

1. Первичность материального мира и вторичность сознания:
   • материя -> сознание.
2. Тождество мышления и бытия (познаваемость мира):
   • процесс познания и истина;
   • формы и методы познания;
   • практика как основа, цель и критерий познания.

Атрибуты материи:

1. Движение.
2. Пространство.
3. Время.
4. Отражение.

Основные характеристики материализма

Материализм — направление в философии, признающее первичность материи и считающее сознание свойством материи, то есть вторичным по отношению к ней.

Различают:

1. По отношению к общественно-исторической практике:
   • созерцательный материализм;
   • практически действенный материализм.
2. С точки зрения используемого метода:
   • метафизический материализм;
   • диалектический материализм.
3. По толкованию сущности сознания:
   • научный материализм;
   • вульгарный материализм.
4. С точки зрения оценки роли сторон процесса познания:
   • рационалистический материализм;
   • сенсуалистический материализм.
5. По степени философской оформленности:
   • сознательный материализм;
   • стихийный (наивный), философски не оформленный материализм.

Основные формы материализма

1. Наивный (созерцательный) материализм. Основной метод познания: созерцательный. Представители:
   • Фалес (625-547 до н.э.);
   • Гераклит (544-482 до н.э.);
   • Демокрит (460-371 до н.э.);
   • Эпикур (341-270 до н.э.);
   • Лукреций Кар (99-55 до н.э.).
2. Метафизический материализм. Основной метод познания: метафизический. Представители:
   • Ф. Бэкон (1561-1626);
   • Б. Спиноза (1632-1677);
   • Д. Локк (1632-1704);
   • П. Гольбах (1723-1789);
   • М. Ломоносов (1711-1765);
   • Л. Фейербах (1804-1872).
3. Диалектический материализм. Основной метод познания: диалектический. Представители:
   • К. Маркс (1818-1883);
   • Ф. Энгельс (1820-1895);
   • И. Дицген (1828-1888);
   • Г. Плеханов (1856-1918);
   • В. Ленин (1870-1924).

Общая характеристика идеализма

Идеализм — направление в философии, исходящее из первичности духа, идеи, сознания и вторичности материи, природы, бытия.

1. Объективный идеализм. Объективные идеалисты принимают за первичное некую идею вообще, безликий разум, который называют «абсолютной идеей», «мировой волей». Идеальное начало, мировой дух, по их мнению, творит мир и все бытие. Представители:
   • Платон (460-370 до н.э.);
   • Г. Лейбниц (1647-1716);
   • Г. Гегель (1770-1831);
   • Ф. Шеллинг (1775-1854);
   • неотомизм.
2. Субъективный идеализм. За первичное принимается сознание субъекта, чувствующего и мыслящего «Я», а природа выводится из человеческого сознания. На этом основании в той или иной форме отрицается самостоятельное существование предметов реального мира и объективный характер законов его развития; человек воспринимает прежде всего свои ощущения. Представители:
   • Дж. Беркли (1685-1753);
   • Д. Юм (1711-1776);
   • И. Фихте (1762-1814);
   • Э. Мах (1838-1916);
   • Р. Авенариус (1843-1896).

Функции философии

Функции философии — основные направления применения философии, через которые реализуется её назначение.

Основные функции

1. Мировоззренческая:
   • выработка средств мировоззренческой ориентации человека;
   • выработка системы взглядов на объективный мир и место в нём человека, на отношение человека к окружающей действительности и самому себе, а также связанных с этим жизненных позиций, убеждений, идеалов, принципов познания и деятельности, ценностных ориентаций.
2. Методологическая:
   • выработка системы принципов и способов теоретической и практической деятельности;
   • выработка методологических принципов исследования в области частных наук.

Другие функции

1. Гносеологическая.
2. Аксиологическая.
3. Воспитательно-гуманитарная.
4. Логическая.
5. Критическая.
6. Прогностическая.

Краткие пояснения к функциям

1. Мировоззренческая — рационально-теоретический способ ориентации в мире как следствие обобщения и интеграции всех видов человеческой практики и культуры.
2. Гносеологическая — оценка принципиальных возможностей познания, разработка учения о характере и закономерностях познавательного процесса.
3. Методологическая — разработка теории поисковой деятельности, её принципов, способов, норм (на основе логической субординации).
4. Социальная — гармонизация общественных отношений на гуманитарных основаниях.
5. Аксиологическая — утверждение социально-удостоверенных ценностей, стандартов, идеалов, регламентирующих многообразие общественных и личных отношений.
6. Гуманистическая — сверхзадача философии: показать, «каким» надо быть, чтобы быть человеком.

Философия и мировоззрение

Мировоззрение — обобщённая система взглядов человека на мир в целом, на своё собственное место в нём, понимание и оценка смысла своей жизни и деятельности.

Философия — рационально-теоретическая форма общественного сознания, направленная на выработку целостного взгляда на мир и на место в нём человека, исследующая вытекающие отсюда познавательные, этические и эстетические отношения человека к миру.

Связь философии и мировоззрения

Общее

Мировоззрение и философия объединяет поиск ответов на вопросы:

1. Что представляет собой природа, окружающий мир?
2. Каково место человека в этом мире?
3. Может ли человек познать мир и каким образом достигается познание?
4. Как человек должен вести себя по отношению к другим людям?
5. Что такое истина, добро, красота и т.д.?

Различие

1. Понятие «мировоззрение» шире по объёму, чем понятие «философия».
2. Мировоззрение появляется задолго до того, как возникает философия.
3. Существуют различные типы мировоззрения, в том числе мифология и религия.
4. Философия, в отличие от мировоззрения, не является достоянием широких масс.
5. Философия отличается от стихийного мировоззрения тем, что реализует мировоззренческую функцию на основе теоретического отношения к действительности.

Исторические типы мировоззрения

1. Мифология. Миф — ранняя форма духовной культуры человечества, объединявшая в себе зачатки знания, фантазии и верования.
2. Религия. Удвоение мира, вера в существование сверхъестественных сил и в их главенствующую роль в мироздании и жизни людей.
3. Философия. Рационально-теоретическая форма мировоззрения, система общих теоретических взглядов на мир и на место в нём человека.

Общее

Все три формы относятся к типам мировоззрения и отвечают на фундаментальные вопросы о мире и человеке.

Различия

1. Мифология и религия в большей степени опираются на веру, переживание, эмоционально-образное восприятие.
2. Философия опирается на разум, реальные наблюдения, логический анализ, обобщения, выводы и доказательства.

Основные типы мировоззрения

1. Повседневное (обыденное) мировоззрение. Существует в форме здравого смысла, стихийных, несистематизированных, традиционных представлений о мире.
2. Религиозное мировоззрение. Связано с признанием сверхъестественного мирового начала; его основа выражается в иррациональной и эмоционально-образной форме.
3. Философское мировоззрение. Выступает в понятийной, категориальной форме, опираясь на достижения науки о природе и обществе, и обладает определённой мерой логической доказательности.
4. Научное мировоззрение. Теоретические взгляды на окружающий мир, основанные на данных науки.

Уровни (аспекты) мировоззрения

1. Мироощущение, мировосприятие, миросозерцание — целостное осознание и переживание воздействующей на человека реальности в форме ощущений, восприятий, представлений и эмоций.
2. Миропонимание — понятийный, категориальный, интеллектуальный аспект мировоззрения.

Структура философского знания

1. Онтология (учение о бытии).
2. Гносеология (учение о познании).
3. Методология (учение о методе).
4. Логика.
5. Философия природы.
6. Социальная философия.
7. Философская антропология.
8. Эстетика (учение о прекрасном).
9. Этика (теория морали).
10. История философии.

Классификация философских учений (история и современность)

История философии (исторические формы)

1. Философия Древнего мира.
2. Философия Средних веков.
3. Философия Возрождения.
4. Философия Нового времени.
5. Философия XVIII-XIX вв.
6. Философия XX века — современные типы философских систем:
   • отечественная философия;
   • западноевропейская философия;
   • американская философия;
   • восточная философия и т.д.

Теория философии

1. Теория всеобщего.
2. Теория бытия.
3. Философия природы.
4. Теория развития (диалектика).
5. Социальная философия.
6. Философия истории.
7. Философия политики.
8. Философия науки, техники, морали.
9. Философия человека.
10. Философская антропология.
11. Философия познания.
12. Теория мышления (логика).
13. Философия войны, мира и армии.

РКМ (религиозная картина мира)

Религия — определённая система взглядов и чувств, обусловленная верой в сверхъестественное.

И философия, и религия обсуждают проблемы устройства мироздания, природы и сущности человека, однако между ними существуют принципиальные отличия:

1. Религиозный результат формулируется в конкретных и наглядных образах.
2. Религия предлагает человеку верить и сопереживать.
3. Религия предлагает готовые ответы на мировоззренческие вопросы и не предусматривает критики фундаментальных положений.
4. Религия предлагает человеку абсолютные идеалы и ценности.
5. Религиозные идеи сопровождаются конкретными действиями: обрядами, ритуалами, молитвами.

Центр религиозной картины мира

1. Центр религиозной картины мира — Бог или множество богов.
2. Бог непознаваем, поскольку является существом, чьи качества превосходят возможности человеческого восприятия и понимания.
3. Способом объединения верующего с Богом выступает культ: обряды, ритуалы, молитвы; местом для них служит храм.

Сакральный и профанный мир

Принципиальная особенность религиозного миропонимания — удвоение мира. Действительность существует в двух плоскостях:

1. Сакральной: священное, божественное, почитаемое.
2. Профанной: обыденное, мирское.

Мир сакрального и мир профанного определяются через противопоставление друг другу: они взаимно исключаются, но соотносятся.

Типы религиозных картин мира

1. Атеизм:
   • в широком смысле — отвержение веры в существование богов;
   • в узком смысле — убеждение в том, что богов не существует.
2. Пантеизм — религиозно-философское учение, объединяющее и иногда отождествляющее Бога и мир.
3. Деизм — религиозно-философское направление, признающее существование Бога и сотворение им мира, но отрицающее его дальнейшее вмешательство в ход мира.

Картина мироздания

Общая картина мироздания включает:

1. Мифологическую картину мира.
2. Религиозную картину мира.
3. Естественнонаучную картину мира.
4. Философскую картину мира.

Общая научная картина мира

Общая научная картина мира выступает особой формой теоретического знания. Она интегрирует наиболее важные достижения естественных, гуманитарных и технических наук.

Любая философская система, построенная на принципах рационального объяснения бытия, затрагивает проблему всеобщей обусловленности явлений и процессов в мире, которая обозначается понятием детерминизм (от лат. determinare — определять, отделять, отграничивать).

Детерминизм — учение о всеобщей обусловленности объективных явлений: любое событие, факт, явление имеют свою причину и могут выступать причиной других событий, фактов и явлений.

НКМ (научная картина мира)

Выделяют три этапа НКМ:

1. Классическая.
2. Неклассическая.
3. Постнеклассическая.

Классическая картина мира

1. Связана с научной революцией Ньютона и классическим естествознанием.
2. Период: XVII-XIX века.
3. Основная идея: переход от геоцентрической модели мира к гелиоцентрической.
4. Ключевые открытия связаны с Н. Коперником, Г. Галилеем, И. Кеплером, Р. Декартом.
5. И. Ньютон подвёл итог этим исследованиям и сформулировал базовые принципы новой научной картины мира.

Неклассическая картина мира

1. Связана с эйнштейновской революцией.
2. Период: рубеж XIX-XX веков.
3. Важные открытия:
   • сложная структура атома;
   • явление радиоактивности;
   • развитие теории относительности и квантовых представлений о мире.

Постнеклассическая картина мира

1. Центральная идея — синергетика как междисциплинарное направление исследований.
2. Задача: изучение природных явлений и процессов на основе принципов самоорганизации систем (состоящих из подсистем).
3. Особое внимание уделяется структурам, возникающим в процессе самоорганизации.
4. В познание включаются ценностные аспекты.