bonch/01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/modules/6 MODULE.md

3 номер - Д 847

#семестр_1 #высшая_математика

Пример:

y= \dfrac{x}{(1-x)^{2}(1+x)^{3}} y'=?

Решение:

\dfrac{x}{(1-x)^{2}(1+x)^{3}}

y= \dfrac{u}{v}; y'= \dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}; u=x; v=(1-x)^{2}(1+x)^{3}

u'=1; v=ab; v'= a'b+b'a; a=(1-x)^{2}; b=(1+x)^{3}; a'=-2(1-x); b'=3(1+x)^{2}

v'=(−2(1−x))(1+x)^{3}+(1−x)^{2}3(1+x)^{2}

y'=\dfrac{(1-x)^{2}(1+x)^{3}-x[(-2(1-x))(1+x)^{3}+(1-x)^{2}3(1+x)^{2}]}{(1-x)^{4}(1+x)^{6}}=\dfrac{4x^{2}-x+1}{(1-x)^{3}(1+x)^{4}}

7 номер - Д 851

Пример:

y=x+\sqrt{ x }+\sqrt[ 3 ]{ x } y'=?

Решение:

y=x+x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{3}}

(x)'=1; (x^{\frac{1}{2}})'=\dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}; (x^{\frac{1}{3}})'=\dfrac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}};

y'=1+\dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}+\dfrac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}=1+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}

11 номер - Д 855

Пример:

y=(1+x)\sqrt{ 2+x^{3} }\sqrt[ 3 ]{ 3+x^{3} } y'=?

Решение:

(1+x)\sqrt{2+x^3}\sqrt[3]{3+x^3}

y=abc; y'=a'bc+ab'c+abc'; a=1+x;\ b=\sqrt{2+x^3};\ c=\sqrt[3]{3+x^3}

a'=1; b=(2+x^3)^{\frac{1}{2}};\ b'=\dfrac{1}{2}(2+x^3)^{-\frac{1}{2}}(3x^2)=\dfrac{3x^2}{2\sqrt{2+x^3}}; c=(3+x^3)^{\frac{1}{3}};\ c'=\dfrac{1}{3}(3+x^3)^{-\frac{2}{3}}(3x^2)=\dfrac{x^2}{\sqrt[3]{(3+x^3)^2}};

y'=\sqrt{2+x^3}\sqrt[3]{3+x^3}+(1+x)\dfrac{3x^2}{2\sqrt{2+x^3}}\sqrt[3]{3+x^3}+(1+x)\sqrt{2+x^3}\cdot\dfrac{x^2}{\sqrt[3]{(3+x^3)^2}}

15 номер - Д 859

Пример:

y=\dfrac{1}{\sqrt{ 1+x^{2} }(x+\sqrt{ 1+x^{2} })} y'=?

Решение:

\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}(x+\sqrt{1+x^2})}

y=\dfrac{u}{v};\ y'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}; u=1;\ v=\sqrt{1+x^2}(x+\sqrt{1+x^2})

u'=0; v=ab;\ v'=a'b+b'a; a=\sqrt{1+x^2};\ b=x+\sqrt{1+x^2}

a=(1+x^2)^{\frac{1}{2}};\ a'=\dfrac{1}{2}(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}2x=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}; b'=1+a'=1+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}};

v'=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}(x+\sqrt{1+x^2})+\sqrt{1+x^2}(1+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}})=\dfrac{(x+\sqrt{1+x^2})^2}{\sqrt{1+x^2}}

y'=-\dfrac{\dfrac{(x+\sqrt{1+x^2})^2}{\sqrt{1+x^2}}}{(\sqrt{1+x^2}(x+\sqrt{1+x^2}))^2}=-\dfrac{1}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}

19 номер - Д 863

Пример:

y=(2-x^{2})\cos x + 2x \sin x y'=?

Решение:

(2-x^2)\cos x+2x\sin x

y=u+v;\ y'=u'+v'; u=(2-x^2)\cos x;\ v=2x\sin x

u=ab;\ u'=a'b+b'a; a=2-x^2;\ b=\cos x; a'=-2x; b'=-\sin x; u'=(-2x)\cos x+(2-x^2)(-\sin x)=-2x\cos x-(2-x^2)\sin x;

v=ab;\ v'=a'b+b'a; a=2x;\ b=\sin x; a'=2; b'=\cos x; v'=2\sin x+2x\cos x;

y'=(-2x\cos x-(2-x^2)\sin x)+(2\sin x+2x\cos x)=x^2\sin x

22 номер - Д 866

Пример:

y=\sin[\sin(\sin x)] y'=?

Решение:

\sin[\sin(\sin x)]

y=\sin u;\ y'=\cos u\cdot u'; u=\sin(\sin x)

u=\sin v;\ u'=\cos v\cdot v'; v=\sin x

v'=\cos x; u'=\cos(\sin x)\cos x; y'=\cos(\sin(\sin x))\cos(\sin x)\cos x

23 номер - Д 867

Пример:

y=\dfrac{\sin ^{2}x}{\sin x^{2}} y'=?

Решение:

\dfrac{\sin^2x}{\sin x^2}

y=\dfrac{u}{v};\ y'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}; u=\sin^2x;\ v=\sin x^2

u=(\sin x)^2;\ u'=2\sin x\cos x; v=\sin(x^2);\ v'=\cos(x^2)\cdot2x=2x\cos(x^2);

y'=\dfrac{(2\sin x\cos x)\sin(x^2)-\sin^2x\cdot(2x\cos(x^2))}{\sin^2(x^2)}

26 номер - Д 880

Пример:

y=e^{x}(1+\cot \dfrac{x}{2}) y'=?

Решение:

e^x(1+\cot\frac{x}{2})

y=ab;\ y'=a'b+b'a; a=e^x;\ b=1+\cot\frac{x}{2}

a'=e^x; b'=0+(\cot\frac{x}{2})'; (\cot u)'=-\dfrac{1}{\sin^2u}\cdot u'; u=\dfrac{x}{2};\ u'=\dfrac{1}{2}; (\cot\frac{x}{2})'=-\dfrac{1}{\sin^2(\frac{x}{2})}\cdot\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2\sin^2(\frac{x}{2})};

y'=e^x(1+\cot\frac{x}{2})+e^x(-\dfrac{1}{2\sin^2(\frac{x}{2})})=e^x(1+\cot\frac{x}{2}-\dfrac{1}{2\sin^2(\frac{x}{2})})

27 номер - Д 881

Пример:

y=\dfrac{\ln3\cdot \sin x + \cos x}{3^{x}} y'=?

Решение:

\dfrac{\ln3\sin x+\cos x}{3^x}

y=\dfrac{u}{v};\ y'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}; u=\ln3\sin x+\cos x;\ v=3^x

u'=\ln3\cos x-\sin x; v'=3^x\ln3;

y'=\dfrac{(\ln3\cos x-\sin x)3^x-(\ln3\sin x+\cos x)3^x\ln3}{(3^x)^2} y'=\dfrac{\ln3\cos x-\sin x-(\ln3\sin x+\cos x)\ln3}{3^x} y'=\dfrac{-\sin x-(\ln3)^2\sin x}{3^x}=-\dfrac{(1+(\ln3)^2)\sin x}{3^x}

30 номер - Д 884

Пример:

y=(\dfrac{a}{b})^{x}(\dfrac{b}{x})^{a}(\dfrac{x}{a})^{b} y'=?

Решение:

(\dfrac{a}{b})^x(\dfrac{b}{x})^a(\dfrac{x}{a})^b

y=uvw;\ y'=u'vw+uv'w+uvw'; u=(\dfrac{a}{b})^x;\ v=(\dfrac{b}{x})^a;\ w=(\dfrac{x}{a})^b

u=(\dfrac{a}{b})^x=e^{x\ln(\frac{a}{b})};\ u'=(\dfrac{a}{b})^x\ln(\dfrac{a}{b}); v=(\dfrac{b}{x})^a=b^a x^{-a};\ v'=-ab^a x^{-a-1}=-\dfrac{a}{x}(\dfrac{b}{x})^a; w=(\dfrac{x}{a})^b=x^b a^{-b};\ w'=bx^{b-1}a^{-b}=\dfrac{b}{x}(\dfrac{x}{a})^b;

y'=(\dfrac{a}{b})^x(\dfrac{b}{x})^a(\dfrac{x}{a})^b(\ln(\dfrac{a}{b})-\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x})

34 номер - Д 888

Пример:

y=\ln(\ln ^{2}(\ln ^{3}x)) y'=?

Решение:

\ln(\ln^2(\ln^3x))

y=\ln u;\ y'=\dfrac{u'}{u}; u=\ln^2(\ln^3x)=(\ln(\ln^3x))^2

u=v^2;\ u'=2vv'; v=\ln(\ln^3x) v=\ln t;\ v'=\dfrac{t'}{t}; t=\ln^3x=(\ln x)^3

t=w^3;\ t'=3w^2w'; w=\ln x;\ w'=\dfrac{1}{x}; t'=3(\ln x)^2\cdot\dfrac{1}{x};

v'=\dfrac{3(\ln x)^2\cdot\frac{1}{x}}{(\ln x)^3}=\dfrac{3}{x\ln x}; u'=2\ln(\ln^3x)\cdot\dfrac{3}{x\ln x}=\dfrac{6\ln(\ln^3x)}{x\ln x};

y'=\dfrac{\frac{6\ln(\ln^3x)}{x\ln x}}{(\ln(\ln^3x))^2}=\dfrac{6}{x\ln x\cdot\ln(\ln^3x)}

38 номер - Д 896

Пример:

y=x\ln(x+\sqrt{ 1+x^{2} })-\sqrt{ 1+x^{2} } y'=?

Решение:

x\ln(x+\sqrt{1+x^2})-\sqrt{1+x^2}

y=u-v;\ y'=u'-v'; u=x\ln(x+\sqrt{1+x^2});\ v=\sqrt{1+x^2}

u=ab;\ u'=a'b+b'a; a=x;\ b=\ln(x+\sqrt{1+x^2}) a'=1; b=\ln t;\ b'=\dfrac{t'}{t}; t=x+\sqrt{1+x^2}; t'=1+(\sqrt{1+x^2})'; (\sqrt{1+x^2})'=\dfrac{1}{2}(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}2x=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}; t'=1+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}}; b'=\dfrac{\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}; u'=\ln(x+\sqrt{1+x^2})+x\cdot\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}};

v=(1+x^2)^{\frac{1}{2}};\ v'=\dfrac{1}{2}(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}2x=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}; y'=(\ln(x+\sqrt{1+x^2})+x\cdot\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}})-\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\ln(x+\sqrt{1+x^2})

42 номер - Д 900

Пример:

y=\dfrac{2+3x^{2}}{x^{4}}\sqrt{ 1-x^{2} }+3\ln \dfrac{1+\sqrt{ 1-x^{2} }}{x} y'=?

Решение:

\dfrac{2+3x^{2}}{x^{4}}\sqrt{1-x^{2}}+3\ln\dfrac{1+\sqrt{1-x^{2}}}{x}

y=u+v;\ y'=u'+v'; u=\dfrac{2+3x^{2}}{x^{4}}\sqrt{1-x^{2}};\ v=3\ln\dfrac{1+\sqrt{1-x^{2}}}{x}

u=ab;\ u'=a'b+ab'; a=\dfrac{2+3x^{2}}{x^{4}};\ b=\sqrt{1-x^{2}}

a=(2+3x^{2})x^{-4}; a'=6x\cdot x^{-4}+(2+3x^{2})(-4)x^{-5}=\dfrac{6}{x^{3}}-\dfrac{8+12x^{2}}{x^{5}}=-\dfrac{6x^{2}+8}{x^{5}}; b=(1-x^{2})^{\frac{1}{2}};\ b'=\dfrac{1}{2}(1-x^{2})^{-\frac{1}{2}}(-2x)=-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}};

u'=-\dfrac{6x^{2}+8}{x^{5}}\sqrt{1-x^{2}}+\dfrac{2+3x^{2}}{x^{4}}(-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}})=-\dfrac{6x^{2}+8}{x^{5}}\sqrt{1-x^{2}}-\dfrac{2+3x^{2}}{x^{3}\sqrt{1-x^{2}}}

v=3(\ln(1+\sqrt{1-x^{2}})-\ln x); v'=3(\dfrac{(\sqrt{1-x^{2}})'}{1+\sqrt{1-x^{2}}}-\dfrac{1}{x}); (\sqrt{1-x^{2}})'=-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}};

v'=3(-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}(1+\sqrt{1-x^{2}})}-\dfrac{1}{x})=-\dfrac{3}{x\sqrt{1-x^{2}}}

y'=-\dfrac{6x^{2}+8}{x^{5}}\sqrt{1-x^{2}}-\dfrac{2+6x^{2}}{x^{3}\sqrt{1-x^{2}}}=-\dfrac{6x^{2}+8}{x^{5}}\cdot\dfrac{1-x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}-\dfrac{(2+6x^{2})x^{2}}{x^{5}\sqrt{1-x^{2}}}=-\dfrac{(6x^{2}+8)(1-x^{2})+(2+6x^{2})x^{2}}{x^{5}\sqrt{1-x^{2}}}=-\dfrac{8}{x^{5}\sqrt{1-x^{2}}}

46 номер - Д 904

Пример:

y=\ln \sqrt{ \dfrac{1-\sin x}{1+\sin x} } y'=?

Решение:

\ln\sqrt{\dfrac{1-\sin x}{1+\sin x}}

y=\ln((\dfrac{1-\sin x}{1+\sin x})^{\frac{1}{2}})=\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{1-\sin x}{1+\sin x}=\dfrac{1}{2}(\ln(1-\sin x)-\ln(1+\sin x))

y'=\dfrac{1}{2}(\dfrac{-(\sin x)'}{1-\sin x}-\dfrac{(\sin x)'}{1+\sin x})=\dfrac{1}{2}(-\dfrac{\cos x}{1-\sin x}-\dfrac{\cos x}{1+\sin x}) y'=-\dfrac{\cos x}{2}\cdot\dfrac{(1+\sin x)+(1-\sin x)}{1-\sin^{2}x}=-\dfrac{1}{\cos x}

50 номер - Д 908

Пример:

y= \dfrac{1}{4x^{4}}\ln \dfrac{1}{x}- \dfrac{1}{16x^{4}} y'=?

Решение:

\dfrac{1}{4x^{4}}\ln\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{16x^{4}}

y=u+v;\ y'=u'+v'; u=\dfrac{1}{4x^{4}}\ln\dfrac{1}{x};\ v=-\dfrac{1}{16x^{4}}

u=\dfrac{1}{4}ab;\ u'=\dfrac{1}{4}(a'b+ab'); a=x^{-4};\ b=\ln\dfrac{1}{x}

a'=-4x^{-5}=-\dfrac{4}{x^{5}}; b=\ln(x^{-1});\ b'=-(\ln x)'=-\dfrac{1}{x};

u'=\dfrac{1}{4}(-\dfrac{4}{x^{5}}\ln\dfrac{1}{x}+x^{-4}(-\dfrac{1}{x}))=-\dfrac{1}{x^{5}}\ln\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{4x^{5}} v'=-\dfrac{1}{16}(-4)x^{-5}=\dfrac{1}{4x^{5}}

y'=-\dfrac{1}{x^{5}}\ln\dfrac{1}{x}

53 номер - Д 963

Пример:

y=\sqrt[ x ]{ x }; (x>0) y'=?

Решение:

y=\sqrt[x]{x}=x^{\frac{1}{x}}

\ln y=\ln(x^{\frac{1}{x}})=\dfrac{1}{x}\ln x \dfrac{y'}{y}=(\dfrac{\ln x}{x})'

u=\ln x;\ v=x;\ (\dfrac{u}{v})'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}; u'=\dfrac{1}{x};\ v'=1;

(\dfrac{\ln x}{x})'=\dfrac{\dfrac{1}{x}\cdot x-\ln x}{x^{2}}=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}} y'=y\cdot\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}=x^{\frac{1}{x}}\cdot\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}

54 номер - Д 964

Пример:

y=(\sin x)^{\cos x}+(\cos x)^{\sin x} y'=?

Решение:

(\sin x)^{\cos x}+(\cos x)^{\sin x}

y=u+v;\ y'=u'+v'; u=(\sin x)^{\cos x};\ v=(\cos x)^{\sin x}

\ln u=\cos x\ln(\sin x) \dfrac{u'}{u}=(\cos x)'\ln(\sin x)+\cos x(\ln(\sin x))'=-\sin x\ln(\sin x)+\cos x\cdot\dfrac{\cos x}{\sin x} u'=u(-\sin x\ln(\sin x)+\dfrac{\cos^{2}x}{\sin x})=(\sin x)^{\cos x}(-\sin x\ln(\sin x)+\dfrac{\cos^{2}x}{\sin x})

\ln v=\sin x\ln(\cos x) \dfrac{v'}{v}=(\sin x)'\ln(\cos x)+\sin x(\ln(\cos x))'=\cos x\ln(\cos x)+\sin x(-\dfrac{\sin x}{\cos x}) v'=v(\cos x\ln(\cos x)-\dfrac{\sin^{2}x}{\cos x})=(\cos x)^{\sin x}(\cos x\ln(\cos x)-\dfrac{\sin^{2}x}{\cos x})

y'=(\sin x)^{\cos x}(-\sin x\ln(\sin x)+\dfrac{\cos^{2}x}{\sin x})+(\cos x)^{\sin x}(\cos x\ln(\cos x)-\dfrac{\sin^{2}x}{\cos x})

57 номер - Д 984Б

Пример:

y=\dfrac{x^{2}}{1-x}\sqrt[ 3 ]{ \dfrac{3-x}{(3+x)^{2}} } y'=?

Решение:

y=\dfrac{x^{2}}{1-x}\sqrt[3]{\dfrac{3-x}{(3+x)^{2}}}

\ln y=\ln(\dfrac{x^{2}}{1-x})+\ln((\dfrac{3-x}{(3+x)^{2}})^{\frac{1}{3}})=(2\ln x-\ln(1-x))+\dfrac{1}{3}(\ln(3-x)-2\ln(3+x))

\dfrac{y'}{y}=(2\ln x-\ln(1-x))'+\dfrac{1}{3}(\ln(3-x)-2\ln(3+x))' \dfrac{y'}{y}=\dfrac{2}{x}-(\ln(1-x))'+\dfrac{1}{3}(\dfrac{-1}{3-x}-2\cdot\dfrac{1}{3+x}) (\ln(1-x))'=\dfrac{(1-x)'}{1-x}=-\dfrac{1}{1-x} \dfrac{y'}{y}=\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{1-x}-\dfrac{1}{3}(\dfrac{1}{3-x}+\dfrac{2}{3+x})

y'=y(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{1-x}-\dfrac{1}{3}(\dfrac{1}{3-x}+\dfrac{2}{3+x}))

58 номер - Д 984В

Пример:

y=(x-a_{1})^{a_{1}}(x-a_{2})^{a_{2}}\dots(x-a_{n})^{a_{n}} y'=?

Решение:

y=(x-a_{1})^{a_{1}}(x-a_{2})^{a_{2}}\dots(x-a_{n})^{a_{n}}

\ln y=\ln((x-a_{1})^{a_{1}}(x-a_{2})^{a_{2}}\dots(x-a_{n})^{a_{n}})=\ln(x-a_{1})^{a_{1}}+\ln(x-a_{2})^{a_{2}}+\dots+\ln(x-a_{n})^{a_{n}} \ln y=a_{1}\ln(x-a_{1})+a_{2}\ln(x-a_{2})+\dots+a_{n}\ln(x-a_{n})

\dfrac{y'}{y}=(a_{1}\ln(x-a_{1})+a_{2}\ln(x-a_{2})+\dots+a_{n}\ln(x-a_{n}))' \dfrac{y'}{y}=\dfrac{a_{1}}{x-a_{1}}+\dfrac{a_{2}}{x-a_{2}}+\dots+\dfrac{a_{n}}{x-a_{n}}

y'=y(\dfrac{a_{1}}{x-a_{1}}+\dfrac{a_{2}}{x-a_{2}}+\dots+\dfrac{a_{n}}{x-a_{n}}) y'=(x-a_{1})^{a_{1}}(x-a_{2})^{a_{2}}\dots(x-a_{n})^{a_{n}}(\dfrac{a_{1}}{x-a_{1}}+\dfrac{a_{2}}{x-a_{2}}+\dots+\dfrac{a_{n}}{x-a_{n}})

61 номер - Д 985Б

Пример:

y=\text{arccot} \dfrac{\phi(x)}{\psi(x)} y'=?

Решение:

y=\text{arccot}\dfrac{\phi(x)}{\psi(x)}

y=\text{arccot}(u);\ y'=-\dfrac{u'}{1+u^{2}}; u=\dfrac{\phi(x)}{\psi(x)}

u=\dfrac{p}{q};\ u'=\dfrac{p'q-pq'}{q^{2}}; p=\phi(x);\ q=\psi(x)

u'=\dfrac{\phi'(x)\psi(x)-\phi(x)\psi'(x)}{\psi^{2}(x)} 1+u^{2}=1+\dfrac{\phi^{2}(x)}{\psi^{2}(x)}=\dfrac{\psi^{2}(x)+\phi^{2}(x)}{\psi^{2}(x)}

y'=-\dfrac{\dfrac{\phi'\psi-\phi\psi'}{\psi^{2}}}{\dfrac{\psi^{2}+\phi^{2}}{\psi^{2}}}=-\dfrac{\phi'\psi-\phi\psi'}{\phi^{2}+\psi^{2}}=\dfrac{\phi\psi'-\phi'\psi}{\phi^{2}+\psi^{2}}

65 номер - Д 989

Пример:

F(x)=\begin{vmatrix}x & x^{2} & x^{3} \\ 1 & 2x & 3x^{2} \\ 0 & 2 & 6x\end{vmatrix} F(x)'=?

Решение:

F(x)=\begin{vmatrix}x & x^{2} & x^{3} \\ 1 & 2x & 3x^{2} \\ 0 & 2 & 6x\end{vmatrix}

F(x)=x\begin{vmatrix}2x & 3x^{2} \\ 2 & 6x\end{vmatrix}-x^{2}\begin{vmatrix}1 & 3x^{2} \\ 0 & 6x\end{vmatrix}+x^{3}\begin{vmatrix}1 & 2x \\ 0 & 2\end{vmatrix} F(x)=x(2x\cdot6x-3x^{2}\cdot2)-x^{2}(1\cdot6x-0)+x^{3}(1\cdot2-0) F(x)=x(12x^{2}-6x^{2})-6x^{3}+2x^{3}=6x^{3}-6x^{3}+2x^{3}=2x^{3}

F'(x)=6x^{2}

69 номер - Д 1042

Пример:

Найти производные y'_{x} (параметры положительны) x=a\cosh t y=b \sinh t y'_{x}=?

Решение:

x=a\cosh t;\ y=b\sinh t

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} \dfrac{dx}{dt}=a(\cosh t)'=a\sinh t \dfrac{dy}{dt}=b(\sinh t)'=b\cosh t

y'_{x}=\dfrac{b\cosh t}{a\sinh t}=\dfrac{b}{a}\cdot\dfrac{\cosh t}{\sinh t}=\dfrac{b}{a}\text{cth}\ t

73 номер - Д 1050

Пример:

\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 \ (эллипс) y'=?

Решение:

\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1

(\dfrac{x^{2}}{a^{2}})'+(\dfrac{y^{2}}{b^{2}})'=0 \dfrac{2x}{a^{2}}+\dfrac{2y}{b^{2}}y'=0 y'=-\dfrac{2x}{a^{2}}\cdot\dfrac{b^{2}}{2y}=-\dfrac{b^{2}x}{a^{2}y}

77 номер - Д 1086

Пример:

y=\dfrac{1}{a}\text{arccot} \dfrac{x}{a}; (a\neq0)

Решение:

a=\text{const}; y=\dfrac{1}{a}\text{arccot} u;\ dy=\dfrac{1}{a}d(\text{arccot} u); d(\text{arccot} u)=-\dfrac{1}{1+u^{2}}du; u=\dfrac{x}{a};\ du=\dfrac{1}{a}dx;

dy=\dfrac{1}{a}(-\dfrac{1}{1+(\frac{x}{a})^{2}}\cdot\dfrac{1}{a}dx)=-\dfrac{1}{a^{2}}\cdot\dfrac{1}{1+\frac{x^{2}}{a^{2}}}dx=-\dfrac{1}{a^{2}}\cdot\dfrac{a^{2}}{a^{2}+x^{2}}dx=-\dfrac{dx}{a^{2}+x^{2}}

80 номер - Д 1088

Пример:

y=\ln|x+\sqrt{ x^{2+a} }|

Решение:

a=\text{const}; y=\ln|u|;\ dy=\dfrac{du}{u}; u=x+\sqrt{x^{2+a}}

du=dx+d(\sqrt{x^{2+a}}); \sqrt{x^{2+a}}=(x^{2+a})^{\frac{1}{2}}; d((x^{2+a})^{\frac{1}{2}})=\dfrac{1}{2}(x^{2+a})^{-\frac{1}{2}}d(x^{2+a}); d(x^{2+a})=(2+a)x^{1+a}dx; d(\sqrt{x^{2+a}})=\dfrac{1}{2}(x^{2+a})^{-\frac{1}{2}}(2+a)x^{1+a}dx=\dfrac{2+a}{2}x^{\frac{a}{2}}dx;

du=(1+\dfrac{2+a}{2}x^{\frac{a}{2}})dx; dy=\dfrac{(1+\dfrac{2+a}{2}x^{\frac{a}{2}})dx}{x+\sqrt{x^{2+a}}}

81 номер - Д 1089

Пример:

y=\arcsin \dfrac{x}{a}; (a\neq 0)

Решение:

a=\text{const}; y=\arcsin u;\ dy=d(\arcsin u); d(\arcsin u)=\dfrac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}du; u=\dfrac{x}{a};\ du=\dfrac{1}{a}dx;

dy=\dfrac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{a})^{2}}}\cdot\dfrac{1}{a}dx=\dfrac{dx}{a\sqrt{1-(\frac{x}{a})^{2}}}

84 номер - Д 1090В

Пример:

d(\dfrac{1}{x^{3}})

Решение:

\dfrac{1}{x^3}=x^{-3} d(x^{-3})=(-3)x^{-4}dx=-\dfrac{3}{x^{4}}dx

85 номер - Д 1090Г

Пример:

d(\dfrac{\ln x}{\sqrt{ x }})

Решение:

\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}=\ln x\cdot x^{-\frac{1}{2}}

d(uv)=u\,dv+v\,du; u=\ln x;\ v=x^{-\frac{1}{2}}

du=\dfrac{1}{x}dx; dv=-\dfrac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}dx;

d(\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}})=\ln x(-\dfrac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}dx)+x^{-\frac{1}{2}}(\dfrac{1}{x}dx)=(-\dfrac{\ln x}{2x^{\frac{3}{2}}}+\dfrac{1}{x^{\frac{3}{2}}})dx=\dfrac{2-\ln x}{2x^{\frac{3}{2}}}dx

88 номер - Д 1093

Пример:

y=\dfrac{1}{\sqrt{ u^{2}+v^{2} }}

Решение:

y=(u^2+v^2)^{-\frac{1}{2}} dy=-\dfrac{1}{2}(u^2+v^2)^{-\frac{3}{2}}d(u^2+v^2)

d(u^2+v^2)=d(u^2)+d(v^2)=2u\,du+2v\,dv; dy=-\dfrac{1}{2}(u^2+v^2)^{-\frac{3}{2}}(2u\,du+2v\,dv)=-\dfrac{u\,du+v\,dv}{(u^2+v^2)^{\frac{3}{2}}}

89 номер - Д 1094

Пример:

y=\text{arccon} \dfrac{u}{v}

Решение:

y=\text{arccon}\,w;\ dy=d(\text{arccon}\,w); d(\text{arccon}\,w)=-\dfrac{1}{\sqrt{1-w^2}}dw; w=\dfrac{u}{v}

dw=d(\dfrac{u}{v})=\dfrac{v\,du-u\,dv}{v^2}; dy=-\dfrac{1}{\sqrt{1-(\frac{u}{v})^2}}\cdot\dfrac{v\,du-u\,dv}{v^2}

92 номер - Д 1100

Пример:

\sin 29\degree\approx \ ?

Решение:

y=\sin x; x_0=30\degree=\dfrac{\pi}{6}; \Delta x=29\degree-30\degree=-1\degree=-\dfrac{\pi}{180}; y(x_0+\Delta x)\approx y(x_0)+y'(x_0)\Delta x; y'=\cos x;

\sin29\degree\approx\sin30\degree+\cos30\degree(-\dfrac{\pi}{180})=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}\pi}{360}\approx0,485;

96 номер - Д 1103

Пример:

lg 11 \approx \ ?

Решение:

y=lgx; x_0=10;\ \Delta x=1; y(x_0+\Delta x)\approx y(x_0)+y'(x_0)\Delta x; (lgx)'=\dfrac{1}{x\ln10};

lg11\approx lg10+\dfrac{1}{10\ln10}\cdot1=1+\dfrac{1}{10\ln10}\approx1,043;

100 номер - Д 1105А

Пример:

\sqrt[ 3 ]{ 9 }\approx \ ?

Решение:

\sqrt[ 3 ]{ 9 }=\sqrt[3]{8+1}; n=3;\ a=2;\ x=1;\ (a>0) \sqrt[n]{a^{n}+x}\approx a+\dfrac{x}{na^{n-1}}

\sqrt[3]{9}\approx2+\dfrac{1}{3\cdot2^{2}}=2+\dfrac{1}{12}\approx2,083;

104 номер - РИСУНОК

!

105 номер - АНЕКДОТ

На одном корабле работал фокусник. Так как пассажиры постоянно менялись, он без перемены проделывал одни и те же фокусы. К его несчастью, капитанский попугай просмотрел его выступления достаточно раз, чтобы разгадать все секреты. Во время каждого выступления попугай портил все фокусы своими криками «Эта не та шляпа! Он прячет пиковую даму в кармане брюк! В коробке дырочка!». Фокусник сердился, но ничего поделать не мог, попугай всё-таки капитанский. Однажды корабль потерпел кораблекрушение, и только фокусник с попугаем чудом выжили. Продолжали они плавать в море на каком-то бревне. Фокусник постоянно злобно смотрел на попугая, который в свою очередь не переставал смотреть на фокусника. Наконец, через неделю дрейфа попугай не выдержал:
- Ну ладно, ладно, сдаюсь! Куда ты корабль засунул то?!

108 номер - Д 1133

Пример:

y=x^{x} d^{2}y=?

Решение:

x=\text{независимая};\ d(dx)=0; y=x^x

\ln y=x\ln x \dfrac{dy}{y}=d(x\ln x)=(x\ln x)'dx=(\ln x+1)dx dy=y(\ln x+1)dx

d^{2}y=d(dy)=d(y(\ln x+1)dx)=d(y(\ln x+1))dx d(y(\ln x+1))=(\ln x+1)dy+y\,d(\ln x+1) d(\ln x+1)=\dfrac{1}{x}dx d(y(\ln x+1))=(\ln x+1)\,y(\ln x+1)dx+y\cdot\dfrac{1}{x}dx=y((\ln x+1)^{2}+\dfrac{1}{x})dx

d^{2}y=x^{x}((\ln x+1)^{2}+\dfrac{1}{x})dx^{2}

111 номер - Д 1142

Пример:

x=a(t-\sin t) y=a(1-\cos t) y'''=?

Решение:

x=a(t-\sin t);\ y=a(1-\cos t)

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} \dfrac{dx}{dt}=a(1-\cos t) \dfrac{dy}{dt}=a\sin t y'_{x}=\dfrac{a\sin t}{a(1-\cos t)}=\dfrac{\sin t}{1-\cos t}

y''_{x}=\dfrac{\dfrac{d}{dt}(y'_{x})}{\dfrac{dx}{dt}} \dfrac{d}{dt}(\dfrac{\sin t}{1-\cos t})=\dfrac{(\cos t)(1-\cos t)-\sin t\cdot\sin t}{(1-\cos t)^{2}}=\dfrac{\cos t-1}{(1-\cos t)^{2}}=-\dfrac{1}{1-\cos t} y''_{x}=\dfrac{-\dfrac{1}{1-\cos t}}{a(1-\cos t)}=-\dfrac{1}{a(1-\cos t)^{2}}

y'''_{x}=\dfrac{\dfrac{d}{dt}(y''_{x})}{\dfrac{dx}{dt}} \dfrac{d}{dt}(-\dfrac{1}{a}(1-\cos t)^{-2})=-\dfrac{1}{a}(-2)(1-\cos t)^{-3}\sin t=\dfrac{2\sin t}{a(1-\cos t)^{3}} y'''_{x}=\dfrac{\dfrac{2\sin t}{a(1-\cos t)^{3}}}{a(1-\cos t)}=\dfrac{2\sin t}{a^{2}(1-\cos t)^{4}}

112 номер - Д 1143

Пример:

x=e^{ t }\cos t y=e^{ t }\sin t y'''=?

Решение:

x=e^{t}\cos t;\ y=e^{t}\sin t

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} \dfrac{dx}{dt}=e^{t}\cos t+e^{t}(-\sin t)=e^{t}(\cos t-\sin t) \dfrac{dy}{dt}=e^{t}\sin t+e^{t}\cos t=e^{t}(\sin t+\cos t) y'_{x}=\dfrac{e^{t}(\sin t+\cos t)}{e^{t}(\cos t-\sin t)}=\dfrac{\sin t+\cos t}{\cos t-\sin t}

y''_{x}=\dfrac{\dfrac{d}{dt}(y'_{x})}{\dfrac{dx}{dt}} \dfrac{d}{dt}(\dfrac{\sin t+\cos t}{\cos t-\sin t})=\dfrac{(\cos t-\sin t)(\cos t-\sin t)-(\sin t+\cos t)(-\sin t-\cos t)}{(\cos t-\sin t)^{2}} \dfrac{d}{dt}(\dfrac{\sin t+\cos t}{\cos t-\sin t})=\dfrac{(\cos t-\sin t)^{2}+(\sin t+\cos t)^{2}}{(\cos t-\sin t)^{2}}=\dfrac{2}{(\cos t-\sin t)^{2}} y''_{x}=\dfrac{\dfrac{2}{(\cos t-\sin t)^{2}}}{e^{t}(\cos t-\sin t)}=\dfrac{2}{e^{t}(\cos t-\sin t)^{3}}

y'''_{x}=\dfrac{\dfrac{d}{dt}(y''_{x})}{\dfrac{dx}{dt}} y''_{x}=2e^{-t}(\cos t-\sin t)^{-3} \dfrac{d}{dt}(y''_{x})=2((-e^{-t})(\cos t-\sin t)^{-3}+e^{-t}(-3)(\cos t-\sin t)^{-4}(-\sin t-\cos t)) \dfrac{d}{dt}(y''_{x})=2e^{-t}(-(\cos t-\sin t)^{-3}+3(\sin t+\cos t)(\cos t-\sin t)^{-4}) \dfrac{d}{dt}(y''_{x})=\dfrac{2e^{-t}(-(\cos t-\sin t)+3(\sin t+\cos t))}{(\cos t-\sin t)^{4}}=\dfrac{4e^{-t}(\cos t+2\sin t)}{(\cos t-\sin t)^{4}} y'''_{x}=\dfrac{\dfrac{4e^{-t}(\cos t+2\sin t)}{(\cos t-\sin t)^{4}}}{e^{t}(\cos t-\sin t)}=\dfrac{4(\cos t+2\sin t)}{e^{2t}(\cos t-\sin t)^{5}}

115 номер - Д 1157

Пример:

y= \dfrac{a}{x^{m}} y'''=?

Решение:

y=a x^{-m};\ a,m=\text{const};

y'=a(-m)x^{-m-1} y''=a(-m)(-m-1)x^{-m-2} y'''=a(-m)(-m-1)(-m-2)x^{-m-3}=-\dfrac{am(m+1)(m+2)}{x^{m+3}}

116 номер - Д 1159

Пример:

y=\dfrac{x^{2}}{1-x} y^{(8)}=?

Решение:

y=\dfrac{x^{2}}{1-x}=-x-1+\dfrac{1}{1-x} \dfrac{1}{1-x}=(1-x)^{-1}

((1-x)^{-1})'=(1-x)^{-2} ((1-x)^{-2})'=2(1-x)^{-3} ((1-x)^{-3})'=3\cdot2(1-x)^{-4}

((1-x)^{-1})^{(n)}=n!(1-x)^{-(n+1)};\ (n\ge1) (-x-1)^{(8)}=0 y^{(8)}=\dfrac{8!}{(1-x)^{9}}

119 номер - Д 1163

Пример:

y=x\ln x y^{(5)}=?

Решение:

y=x\ln x

y'=(x\ln x)'=\ln x+1 y''=(\ln x+1)'=\dfrac{1}{x} y'''=(\dfrac{1}{x})'=-\dfrac{1}{x^{2}} y^{(4)}=(-\dfrac{1}{x^{2}})'=\dfrac{2}{x^{3}} y^{(5)}=(\dfrac{2}{x^{3}})'=-\dfrac{6}{x^{4}}