bonch/01 Учёба/1 семестр/Высшая математика/math-200/modules/5 MODULE.md

3 номер – Д 420

#семестр_1 #высшая_математика

Пример:

\lim_{ x \to 1 } \dfrac{x^4-3x+2}{x^5-4x+3}

Решение:

x = 1; x^4-3x+2 =0; x^5-4x+3=0; \text{Неопределённость } \frac{0}{0}

(x - 1); x^{4}−3x+2=(x−1)(x^{3}+x^{2}+x+1)−3(x−1)=(x−1)(x^{3}+x^{2}+x−2); x^{5}−4x+3=(x−1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)−4(x−1)=(x−1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x−3);

x\neq1; \dfrac{(x−1)(x^{3}+x^{2}+x−2)}{(x−1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x−3)}=\dfrac{x^{3}+x^{2}+x−2}{x^{4}+x^{3}+x^{2}+x−3}

\lim_{ x \to 1 } \dfrac{x^{3}+x^{2}+x−2}{x^{4}+x^{3}+x^{2}+x−3} = \dfrac{1+1+1-2}{1+1+1+1-3}= \dfrac{1}{1}=1;

\text{Ответ: }1

7 номер – Д 441

Пример:

\lim_{ x \to -2 } \dfrac{\sqrt[ 3 ]{ x-6 }+2}{x^{3}+8}

Решение:

x=-2; \sqrt[3]{x-6}+2=0; x^3+8=0; \text{Неопределённость } \frac{0}{0}

(x+2); (\sqrt[3]{x-6}+2)(\sqrt[3]{(x-6)^2}-2\sqrt[3]{x-6}+4)=x-6+8=x+2; x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4);

x\neq-2; \dfrac{\sqrt[3]{x-6}+2}{x^3+8}\cdot\dfrac{\sqrt[3]{(x-6)^2}-2\sqrt[3]{x-6}+4}{\sqrt[3]{(x6)^2}-2\sqrt[3]{x-6}+4}=\dfrac{x+2}{(x+2)(x^2-2x+4)(\sqrt[3]{(x-6)^2}-2\sqrt[3]{x-6}+4)}= =\dfrac{1}{(x^2-2x+4)(\sqrt[3]{(x-6)^2}-2\sqrt[3]{x-6}+4)}

\lim_{ x \to -2 }\dfrac{1}{(x^2-2x+4)(\sqrt[3]{(x-6)^2}-2\sqrt[3]{x-6}+4)}=\dfrac{1}{(4+4+4)(4+4+4)}=\dfrac{1}{144};

\text{Ответ: }\dfrac{1}{144}

11 номер – Д 446

Пример:

\lim_{ x \to 0 } \dfrac{\sqrt[ 3 ]{ 8+3x-x^{2} }-2}{x+x^{2}}

Решение:

x=0; \sqrt[3]{8+3x-x^2}-2=\sqrt[3]{8}-2=0; x+x^2=0; \text{Неопределённость } \frac{0}{0}

a=\sqrt[3]{8+3x-x^2} a-2=\dfrac{(a-2)(a^2+2a+4)}{a^2+2a+4}=\dfrac{a^3-8}{a^2+2a+4}

a^3-8=(8+3x-x^2)-8=3x-x^2 \dfrac{\sqrt[3]{8+3x-x^2}-2}{x+x^2}=\dfrac{3x-x^2}{(x+x^2)(a^2+2a+4)}

x\neq0; 3x-x^2=x(3-x);\ x+x^2=x(1+x) \dfrac{3x-x^2}{(x+x^2)(a^2+2a+4)}=\dfrac{x(3-x)}{x(1+x)(a^2+2a+4)}=\dfrac{3-x}{(1+x)(a^2+2a+4)}

\lim_{x\to0}\dfrac{3-x}{(1+x)(a^2+2a+4)}=\dfrac{3}{1\cdot(2^2+2\cdot2+4)}=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4};

\text{Ответ: }\dfrac{1}{4}

15 номер – Д 477

Пример:

\lim_{ x \to 0 } \dfrac{\cos x-\cos 3x}{x^{2}}

Решение:

x=0; \cos x-\cos 3x=1-1=0; x^2=0; \text{Неопределённость } \frac{0}{0}

\cos x-\cos 3x=-2\sin(\dfrac{x+3x}{2})\sin(\dfrac{x-3x}{2})=-2\sin(2x)\sin(-x)=2\sin(2x)\sin x; x\neq0; \dfrac{\cos x-\cos 3x}{x^2}=\dfrac{2\sin(2x)\sin x}{x^2}=4\cdot\dfrac{\sin(2x)}{2x}\cdot\dfrac{\sin x}{x};

\lim_{ x \to 0 }4\cdot\dfrac{\sin(2x)}{2x}\cdot\dfrac{\sin x}{x}=4\cdot1\cdot1=4;

\text{Ответ: }4

19 номер – Д 507

Пример:

\lim_{ x \to \infty } (\dfrac{x+2}{2x-1})^{x^{2}}

Решение:

x\to\infty; \dfrac{x+2}{2x-1}\to\dfrac{1}{2};

x>1; 2x-1>0; \dfrac{x+2}{2x-1}>0;

y=(\dfrac{x+2}{2x-1})^{x^2}; \ln y=x^2\ln(\dfrac{x+2}{2x-1});

\ln(\dfrac{x+2}{2x-1})\to\ln\dfrac{1}{2}<0; x^2\to+\infty; \ln y\to-\infty; y\to0;

\text{Ответ: }0

22 номер – Д 510

Пример:

\lim_{ x \to \frac{\pi}{4}+0 } [\tan(\dfrac{\pi}{8}+x)]^{\tan2x}

Решение:

x\to\dfrac{\pi}{4}+0; 2x\to\dfrac{\pi}{2}+0; \tan2x\to-\infty;

\dfrac{\pi}{8}+x\to\dfrac{3\pi}{8}; \tan(\dfrac{\pi}{8}+x)\to\tan\dfrac{3\pi}{8}=\sqrt2+1>1;

y=[\tan(\dfrac{\pi}{8}+x)]^{\tan2x}; \ln y=\tan2x\cdot\ln(\tan(\dfrac{\pi}{8}+x));

\ln(\tan(\dfrac{\pi}{8}+x))\to\ln(\sqrt2+1)>0; \tan2x\to-\infty; \ln y\to-\infty; y\to0;

\text{Ответ: }0

23 номер – Д 511

Пример:

\lim_{ x \to \infty }(\dfrac{x^{2}-1}{x^2+1})^{\frac{x-1}{x+1}}

Решение:

x\to\infty; \dfrac{x^{2}-1}{x^{2}+1}=\dfrac{1-\dfrac{1}{x^{2}}}{1+\dfrac{1}{x^{2}}}\to\dfrac{1-0}{1+0}=1; \dfrac{x-1}{x+1}\to1; \text{Вид }1^{1}

y=(\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}+1})^{\frac{x-1}{x+1}} \ln y=\dfrac{x-1}{x+1}\ln(\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}+1})

x>1;\ \dfrac{x^{2}-1}{x^{2}+1}>0 \lim_{x\to\infty}\ln(\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}+1})=\ln(\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}+1})=\ln1=0; \lim_{x\to\infty}\dfrac{x-1}{x+1}=1; \lim_{x\to\infty}\ln y=1\cdot0=0

\lim_{x\to\infty}y=\lim_{x\to\infty}e^{\ln y}=e^{0}=1;

\text{Ответ: }1

26 номер – Д 514

Пример:

\lim_{ x \to 0 } \sqrt[ x ]{ 1-2x }

Решение:

x=0; \sqrt[x]{1-2x}=(1-2x)^{\frac{1}{x}}; 1-2x=1; \text{Неопределённость }1^{\infty}

x\to0; 1-2x>0; y=(1-2x)^{\frac{1}{x}}; \ln y=\dfrac{1}{x}\ln(1-2x);

u=-2x; u\to0; \ln y=\dfrac{\ln(1+u)}{u}\cdot(-2); \lim_{ x \to 0 }\ln y=1\cdot(-2)=-2; \lim_{ x \to 0 }y=e^{-2};

\text{Ответ: }e^{-2}

27 номер – Д 515

Пример:

\lim_{ x \to \infty } (\dfrac{x+a}{x-a})^{x}

Решение:

x\to\infty; \dfrac{x+a}{x-a}\to1; \text{Неопределённость }1^{\infty}

x\to\infty; x-a>0; \dfrac{x+a}{x-a}>0; y=(\dfrac{x+a}{x-a})^x; \ln y=x\ln(\dfrac{x+a}{x-a})=x\ln(1+\dfrac{2a}{x-a});

u=\dfrac{2a}{x-a}; u\to0; \ln y=\dfrac{\ln(1+u)}{u}\cdot x\cdot\dfrac{2a}{x-a}; \lim_{ x \to \infty }\ln y=1\cdot 2a=2a; \lim_{ x \to \infty }y=e^{2a};

\text{Ответ: }e^{2a}

30 номер – Д 519

Пример:

\lim_{ x \to 0 } (\dfrac{1+\tan x}{1+\sin x})^{ \frac{1}{\sin x} }

Решение:

a) x=0; \dfrac{1+\tan x}{1+\sin x}=\dfrac{1+0}{1+0}=1; \text{Неопределённость }1^{\infty}

y=(\dfrac{1+\tan x}{1+\sin x})^{\frac{1}{\sin x}}; \ln y=\dfrac{1}{\sin x}\ln(\dfrac{1+\tan x}{1+\sin x});

u=\dfrac{\tan x-\sin x}{1+\sin x}; \dfrac{1+\tan x}{1+\sin x}=1+u; \ln y=\dfrac{\ln(1+u)}{u}\cdot\dfrac{u}{\sin x};

\lim_{ x \to 0 }\dfrac{\ln(1+u)}{u}=1; \dfrac{u}{\sin x}=\dfrac{\tan x-\sin x}{\sin x(1+\sin x)}=\dfrac{\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x}{\sin x(1+\sin x)}=\dfrac{\frac{1}{\cos x}-1}{1+\sin x}=\dfrac{1-\cos x}{\cos x(1+\sin x)}; \lim_{ x \to 0 }\dfrac{u}{\sin x}=0; \lim_{ x \to 0 }\ln y=1\cdot0=0; \lim_{ x \to 0 }y=e^{0}=1;

\text{Ответ: }1

34 номер – Д 523

Пример:

\lim_{ x \to \frac{\pi}{2} } (\sin x)^{ \tan x}

Решение:

x\to\dfrac{\pi}{2}; \sin x\to1; \tan x\to\pm\infty; \text{Неопределённость }1^{\infty}

t=x-\dfrac{\pi}{2}; t\to0; \sin x=\sin(\dfrac{\pi}{2}+t)=\cos t; \tan x=\tan(\dfrac{\pi}{2}+t)=-\cot t;

\cos t>0\text{ при }t\to0; y=(\cos t)^{-\cot t}; \ln y=-\cot t\cdot\ln(\cos t);

u=\cos t-1; u\to0; \ln(\cos t)=\ln(1+u); \ln y=\dfrac{\ln(1+u)}{u}\cdot(-\cot t)\cdot(\cos t-1);

\lim_{ t \to 0 }\dfrac{\ln(1+u)}{u}=1; (-\cot t)(\cos t-1)=-\dfrac{\cos t}{\sin t}(\cos t-1)=\dfrac{(1-\cos t)\cos t}{\sin t}=\dfrac{2\sin^2(\frac{t}{2})\cos t}{2\sin(\frac{t}{2})\cos(\frac{t}{2})}=\sin(\frac{t}{2})\cdot\dfrac{\cos t}{\cos(\frac{t}{2})}; \lim_{ t \to 0 }(-\cot t)(\cos t-1)=0; \lim_{ x \to \frac{\pi}{2} }\ln y=1\cdot0=0; \lim_{ x \to \frac{\pi}{2} }y=e^{0}=1;

\text{Ответ: }1

38 номер – Д 527

Пример:

\lim_{ n \to \infty } (\dfrac{n+1}{n-1})^{n}

Решение:

n\to\infty; \dfrac{n+1}{n-1}\to1; n\to\infty; \text{Вид }1^{\infty}

y=(\dfrac{n+1}{n-1})^{n} \ln y=n\ln(\dfrac{n+1}{n-1})=n\ln(1+\dfrac{2}{n-1})

t=\dfrac{2}{n-1};\ t\to0+ n=\dfrac{2}{t}+1 \ln y=(\dfrac{2}{t}+1)\ln(1+t)=\dfrac{2}{t}\ln(1+t)+\ln(1+t)

t>0; \dfrac{t}{1+t}\le\ln(1+t)\le t \dfrac{2}{1+t}\le\dfrac{2}{t}\ln(1+t)\le2

t\to0+; \dfrac{2}{1+t}\to2;\ 2\to2 \lim\limits_{t\to0+}\dfrac{2}{t}\ln(1+t)=2 \lim\limits_{t\to0+}\ln(1+t)=\ln1=0

\lim\limits_{n\to\infty}\ln y=2+0=2 \lim\limits_{n\to\infty}y=e^{2}

\text{Ответ: }e^{2}

42 номер – Д 531

Пример:

\lim_{ x \to a } \dfrac {\ln x - \ln a}{x-a}; (a>0)

Решение:

x=a; \ln x-\ln a=0; x-a=0; \text{Неопределённость } \frac{0}{0}

a>0; x>0; \ln x-\ln a=\ln\dfrac{x}{a}=\ln(1+\dfrac{x-a}{a});

h=x-a; h\to0; y=\dfrac{\ln(1+\frac{h}{a})}{h}; u=\dfrac{h}{a}; u\to0; y=\dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{\ln(1+u)}{u};

\lim_{ x \to a }y=\dfrac{1}{a}\cdot1=\dfrac{1}{a};

\text{Ответ: }\dfrac{1}{a}

46 номер – Д 476

Пример:

\lim_{ x \to 0 } \dfrac{\sin 5x - \sin 3x}{\sin x}

Решение:

x=0; \sin5x-\sin3x=0; \sin x=0; \text{Неопределённость } \frac{0}{0}

\sin5x-\sin3x=2\cos(\dfrac{5x+3x}{2})\sin(\dfrac{5x-3x}{2})=2\cos(4x)\sin x; x\neq0; \dfrac{\sin5x-\sin3x}{\sin x}=\dfrac{2\cos(4x)\sin x}{\sin x}=2\cos(4x);

\lim_{ x \to 0 }2\cos(4x)=2\cos0=2;

\text{Ответ: }2

50 номер – Д 460

Пример:

\lim_{ x \to 0+ } (\sqrt{ \dfrac{1}{x}+\sqrt{ \dfrac{1}{x}+\sqrt{ \dfrac{1}{x} } } }-\sqrt{ \dfrac{1}{x}-\sqrt{ \dfrac{1}{x}+\sqrt{ \dfrac{1}{x} } } })

Решение:

x\to0+; \dfrac{1}{x}\to+\infty;

t=\dfrac{1}{x}; t\to+\infty; y=\sqrt{t+\sqrt{t+\sqrt t}}-\sqrt{t-\sqrt{t+\sqrt t}};

A=t+\sqrt{t+\sqrt t}; B=t-\sqrt{t+\sqrt t}; y=\sqrt A-\sqrt B=\dfrac{A-B}{\sqrt A+\sqrt B}=\dfrac{2\sqrt{t+\sqrt t}}{\sqrt{t+\sqrt{t+\sqrt t}}+\sqrt{t-\sqrt{t+\sqrt t}}};

\sqrt{t+\sqrt t}=\sqrt t\cdot\sqrt{1+\dfrac{1}{\sqrt t}}; t\to+\infty; \sqrt{1+\dfrac{1}{\sqrt t}}\to1; \sqrt{t+\sqrt t}\sim\sqrt t;

\dfrac{\sqrt{t+\sqrt t}}{t}=\dfrac{1}{\sqrt t}\cdot\sqrt{1+\dfrac{1}{\sqrt t}}\to0; \sqrt{t\pm\sqrt{t+\sqrt t}}=\sqrt t\cdot\sqrt{1\pm\dfrac{\sqrt{t+\sqrt t}}{t}}\sim\sqrt t;

y\sim\dfrac{2\sqrt t}{\sqrt t+\sqrt t}=\dfrac{2\sqrt t}{2\sqrt t}=1; \lim_{ x \to 0+ }y=1;

\text{Ответ: }1

53 номер – Д 496

Пример:

\lim_{ x \to \frac{\pi}{3} } \dfrac{\tan ^{3}x-3\tan x}{\cos(x+ \dfrac{\pi}{6})}

Решение:

x=\dfrac{\pi}{3}; \tan^3x-3\tan x=(\sqrt3)^3-3\sqrt3=0; \cos(x+\dfrac{\pi}{6})=\cos(\dfrac{\pi}{2})=0; \text{Неопределённость } \frac{0}{0}

\tan^3x-3\tan x=\tan x(\tan^2x-3)=\tan x(\tan x-\sqrt3)(\tan x+\sqrt3); x\neq\dfrac{\pi}{3}; \dfrac{\tan ^{3}x-3\tan x}{\cos(x+ \dfrac{\pi}{6})}=\dfrac{\tan x(\tan x-\sqrt3)(\tan x+\sqrt3)}{\cos(x+ \dfrac{\pi}{6})};

t=x-\dfrac{\pi}{3};\ t\to0; \cos(x+\dfrac{\pi}{6})=\cos(t+\dfrac{\pi}{2})=-\sin t; \tan x-\sqrt3=\tan x-\tan\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sin(x-\dfrac{\pi}{3})}{\cos x\cos(\dfrac{\pi}{3})}=\dfrac{\sin t}{\cos x\cdot\dfrac12}=\dfrac{2\sin t}{\cos x};

x\neq\dfrac{\pi}{3}; \dfrac{\tan x(\tan x-\sqrt3)(\tan x+\sqrt3)}{\cos(x+ \dfrac{\pi}{6})}=\dfrac{\tan x\cdot\dfrac{2\sin t}{\cos x}\cdot(\tan x+\sqrt3)}{-\sin t}=-2\cdot\dfrac{\tan x(\tan x+\sqrt3)}{\cos x};

\lim_{ x \to \frac{\pi}{3} }-2\cdot\dfrac{\tan x(\tan x+\sqrt3)}{\cos x}=-2\cdot\dfrac{\sqrt3\cdot2\sqrt3}{\dfrac12}=-24;

\text{Ответ: }-24

54 номер – Д 498

Пример:

\lim_{ x \to \frac{\pi}{4} } \dfrac{1-\cot ^{3}x}{2-\cot x-\cot ^{3}x}

Решение:

x=\dfrac{\pi}{4}; 1-\cot^3x=1-1=0; 2-\cot x-\cot^3x=2-1-1=0; \text{Неопределённость } \frac{0}{0}

u=\cot x;\ u\to1; \dfrac{1-\cot ^{3}x}{2-\cot x-\cot ^{3}x}=\dfrac{1-u^3}{2-u-u^3}; 1-u^3=(1-u)(1+u+u^2); 2-u-u^3=-(u^3+u-2)=-(u-1)(u^2+u+2)=(1-u)(u^2+u+2);

u\neq1; \dfrac{1-u^3}{2-u-u^3}=\dfrac{(1-u)(1+u+u^2)}{(1-u)(u^2+u+2)}=\dfrac{1+u+u^2}{u^2+u+2};

\lim_{ x \to \frac{\pi}{4} }\dfrac{1+u+u^2}{u^2+u+2}=\dfrac{1+1+1}{1+1+2}=\dfrac{3}{4};

\text{Ответ: }\dfrac{3}{4}

57 номер – Д 501

Пример:

\lim_{ x \to 0 } \dfrac{\sqrt{ \cos x }-\sqrt[ 3 ]{ \cos x }}{\sin ^{2}x}

Решение:

x=0; \sqrt{\cos x}-\sqrt[3]{\cos x}=1-1=0; \sin^2x=0; \text{Неопределённость } \frac{0}{0}

u=\cos x-1;\ u\to0 \sqrt{\cos x}=(1+u)^{\frac12};\ \sqrt[3]{\cos x}=(1+u)^{\frac13}

(1+u)^{\alpha}-1\sim \alpha u\ (u\to0) (1+u)^{\frac12}-1\sim\dfrac12u;\ (1+u)^{\frac13}-1\sim\dfrac13u

\sqrt{\cos x}-\sqrt[3]{\cos x}=\big((1+u)^{\frac12}-1\big)-\big((1+u)^{\frac13}-1\big)\sim(\dfrac12-\dfrac13)u=\dfrac16u=\dfrac16(\cos x-1)

\cos x-1\sim-\dfrac{x^2}{2};\ \sin x\sim x;\ \sin^2x\sim x^2

\dfrac{\sqrt{\cos x}-\sqrt[3]{\cos x}}{\sin^2x}\sim\dfrac{\dfrac16(\cos x-1)}{\sin^2x}\sim\dfrac{\dfrac16(-\dfrac{x^2}{2})}{x^2}=-\dfrac{1}{12}

\text{Ответ: }-\dfrac{1}{12}

58 номер – Д 502

Пример:

\lim_{ x \to 0 } \dfrac{\sqrt{ 1-\cos x^{2} }}{1-\cos x}

Решение:

x=0; \sqrt{1-\cos x^2}=\sqrt{0}=0; 1-\cos x=0; \text{Неопределённость } \frac{0}{0}

1-\cos(x^2)\sim\dfrac{(x^2)^2}{2}=\dfrac{x^4}{2}; \sqrt{1-\cos x^2}\sim\sqrt{\dfrac{x^4}{2}}=\dfrac{x^2}{\sqrt2}; 1-\cos x\sim\dfrac{x^2}{2};

\lim_{ x \to 0 }\dfrac{\sqrt{ 1-\cos x^{2} }}{1-\cos x}=\lim_{ x \to 0 }\dfrac{\dfrac{x^2}{\sqrt2}}{\dfrac{x^2}{2}}=\dfrac{2}{\sqrt2}=\sqrt2;

\text{Ответ: }\sqrt2

61 номер – Д 505

Пример:

\lim_{ x \to +\infty }(\sin \sqrt{ x+1 }-\sin \sqrt{ x })

Решение:

\sin A-\sin B=2\cos(\dfrac{A+B}{2})\sin(\dfrac{A-B}{2}); A=\sqrt{x+1},\ B=\sqrt{x}; \sin \sqrt{ x+1 }-\sin \sqrt{ x }=2\cos(\dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2})\sin(\dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2});

\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\dfrac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}; \dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}=\dfrac{1}{2(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}\to0; |\cos(\dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2})|\le1; \sin(\dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2})\sim\dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2};

|\sin \sqrt{ x+1 }-\sin \sqrt{ x }|\le2\cdot|\sin(\dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2})|\sim2\cdot\dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\to0; \lim_{ x \to +\infty }(\sin \sqrt{ x+1 }-\sin \sqrt{ x })=0;

\text{Ответ: }0

65 номер – Д 547

Пример:

\lim_{ x \to 0 } \dfrac{e^{\alpha x}-e^{\beta x}}{\sin \alpha x - \sin \beta x}

Решение:

x=0; e^{\alpha x}-e^{\beta x}=1-1=0; \sin\alpha x-\sin\beta x=0-0=0; \text{Неопределённость } \frac{0}{0}

\alpha\neq\beta; e^{\alpha x}-e^{\beta x}=e^{\beta x}(e^{(\alpha-\beta)x}-1); \sin\alpha x-\sin\beta x=2\cos(\dfrac{(\alpha+\beta)x}{2})\sin(\dfrac{(\alpha-\beta)x}{2});

t=\dfrac{(\alpha-\beta)x}{2};\ t\to0; \dfrac{e^{\alpha x}-e^{\beta x}}{\sin \alpha x - \sin \beta x}=\dfrac{e^{\beta x}(e^{2t}-1)}{2\cos(\dfrac{(\alpha+\beta)x}{2})\sin t}=\dfrac{e^{\beta x}}{\cos(\dfrac{(\alpha+\beta)x}{2})}\cdot\dfrac{e^{2t}-1}{2t}\cdot\dfrac{t}{\sin t};

e^{\beta x}\to1; \cos(\dfrac{(\alpha+\beta)x}{2})\to1; \dfrac{e^{2t}-1}{2t}\to1; \dfrac{t}{\sin t}\to1; \lim_{ x \to 0 }\dfrac{e^{\alpha x}-e^{\beta x}}{\sin \alpha x - \sin \beta x}=1;

\text{Ответ: }1

69 номер – Д 574

Пример:

\lim_{ x \to 1 } (2-x)^{\sec \frac{\pi x}{2}}

Решение:

x\to1; 2-x\to1; \sec\dfrac{\pi x}{2}=\dfrac{1}{\cos(\dfrac{\pi x}{2})}\to\infty; \text{Неопределённость }1^{\infty}

t=x-1;\ t\to0; y=(1-t)^{\sec(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi t}{2})}; \ln y=\sec(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi t}{2})\ln(1-t);

\cos(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi t}{2})=-\sin(\dfrac{\pi t}{2}); \sec(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi t}{2})=-\dfrac{1}{\sin(\dfrac{\pi t}{2})}; \ln y=-\dfrac{\ln(1-t)}{\sin(\dfrac{\pi t}{2})}=(-\dfrac{\ln(1-t)}{t})\cdot\dfrac{t}{\sin(\dfrac{\pi t}{2})};

-\dfrac{\ln(1-t)}{t}\to1; \dfrac{t}{\sin(\dfrac{\pi t}{2})}=\dfrac{2}{\pi}\cdot\dfrac{\frac{\pi t}{2}}{\sin(\frac{\pi t}{2})}\to\dfrac{2}{\pi}; \lim_{ x \to 1 }\ln y=\dfrac{2}{\pi}; \lim_{ x \to 1 }y=e^{2/\pi};

\text{Ответ: }e^{2/\pi}

73 номер – Д 577

Пример:

\lim_{ x \to +\infty } \dfrac{sh\sqrt{ x^{2}+x }-sh\sqrt{ x^{2}-x }}{ch(x)}

ch(x)=\dfrac{1}{2}(e^{x}+e^{-x}) sh(x)=\dfrac{1}{2}(e^{x}-e^{-x}) th(x)=\dfrac{sh(x)}{ch(x)}

Решение:

x\to+\infty; sh\sqrt{x^2+x}-sh\sqrt{x^2-x}\to\infty; chx\to\infty; \text{Неопределённость } \frac{\infty}{\infty}

A=\sqrt{x^2+x};\ B=\sqrt{x^2-x}; \dfrac{shA-shB}{chx}=\dfrac{\frac12(e^A-e^{-A})-\frac12(e^B-e^{-B})}{\frac12(e^x+e^{-x})}=\dfrac{e^A-e^B+e^{-B}-e^{-A}}{e^x+e^{-x}};

\dfrac{shA-shB}{chx}=\dfrac{e^{A-x}-e^{B-x}+e^{-(B+x)}-e^{-(A+x)}}{1+e^{-2x}}; x\to+\infty; e^{-(B+x)}\to0; e^{-(A+x)}\to0; 1+e^{-2x}\to1; \lim_{ x \to +\infty }\dfrac{shA-shB}{chx}=\lim_{ x \to +\infty }(e^{A-x}-e^{B-x});

A-x=\sqrt{x^2+x}-x=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}\to\dfrac12; B-x=\sqrt{x^2-x}-x=\dfrac{-x}{\sqrt{x^2-x}+x}=-\dfrac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{x}}+1}\to-\dfrac12;

e^{A-x}\to e^{1/2}; e^{B-x}\to e^{-1/2}; \lim_{ x \to +\infty }\dfrac{sh\sqrt{ x^{2}+x }-sh\sqrt{ x^{2}-x }}{ch(x)}=e^{1/2}-e^{-1/2}=2sh(\dfrac12);

\text{Ответ: }e^{1/2}-e^{-1/2}

77 номер – Д 581

Пример:

\lim_{ x \to \infty } \arcsin \dfrac{1-x}{1+x}

Решение:

\dfrac{1-x}{1+x}=-\dfrac{x-1}{x+1}=-(1-\dfrac{2}{x+1})=-1+\dfrac{2}{x+1}; x\to\infty; \dfrac{1-x}{1+x}\to-1; \arcsin непрерывна на [-1;1]; \lim_{ x \to \infty }\arcsin \dfrac{1-x}{1+x}=\arcsin(-1)=-\dfrac{\pi}{2};

\text{Ответ: }-\dfrac{\pi}{2}

80 номер – Д 584

Пример:

\lim_{ x \to -\infty } \text{arccot} \dfrac{x}{\sqrt{ 1+x^{2} }}

Решение:

x\to-\infty; \sqrt{1+x^2}=|x|\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}=-x\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}; \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{x}{-x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=-\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}\to-1;

\text{arccot} берём со значениями в (0;\pi); \lim_{ x \to -\infty }\text{arccot}\dfrac{x}{\sqrt{ 1+x^{2} }}=\text{arccot}(-1)=\dfrac{3\pi}{4};

\text{Ответ: }\dfrac{3\pi}{4}

81 номер – Д 585

Пример:

\lim_{ h \to 0 } \dfrac{\text{arccot}(x+h)-\text{arccot}x}{h}

Решение:

x=\text{const}; \text{arccot}\,t=\dfrac{\pi}{2}-\arctan t; \dfrac{\text{arccot}(x+h)-\text{arccot}x}{h}=\dfrac{(\dfrac{\pi}{2}-\arctan(x+h))-(\dfrac{\pi}{2}-\arctan x)}{h}=-\dfrac{\arctan(x+h)-\arctan x}{h};

y=\arctan(x+h),\ z=\arctan x; \tan(y-z)=\dfrac{\tan y-\tan z}{1+\tan y\tan z}=\dfrac{(x+h)-x}{1+x(x+h)}=\dfrac{h}{1+x^{2}+xh}; y-z=\arctan(\dfrac{h}{1+x^{2}+xh});

u=\dfrac{h}{1+x^{2}+xh};\ u\to0; \dfrac{\arctan(x+h)-\arctan x}{h}=\dfrac{\arctan u}{u}\cdot\dfrac{u}{h};

t=\arctan u;\ u=\tan t; \dfrac{\arctan u}{u}=\dfrac{t}{\tan t}=\dfrac{t}{\sin t}\cdot\cos t\to1; \dfrac{u}{h}=\dfrac{1}{1+x^{2}+xh}\to\dfrac{1}{1+x^{2}}; \lim_{ h \to 0 }\dfrac{\arctan(x+h)-\arctan x}{h}=\dfrac{1}{1+x^{2}}; \lim_{ h \to 0 }\dfrac{\text{arccot}(x+h)-\text{arccot}x}{h}=-\dfrac{1}{1+x^{2}};

\text{Ответ: }-\dfrac{1}{1+x^{2}}

84 номер – Д 590

Пример:

\lim_{ n \to \infty }[1+\dfrac{(-1)^{n}}{n}]^{\text{cosec}(\pi \sqrt{ 1+n^{2} })}

Решение:

a_n=(1+\dfrac{(-1)^n}{n})^{\text{cosec}(\pi\sqrt{1+n^2})}; n\ge2; 1+\dfrac{(-1)^n}{n}>0; \sin(\pi\sqrt{1+n^2})\neq0; \text{Неопределённость }1^{\infty}

\ln a_n=\text{cosec}(\pi\sqrt{1+n^2})\cdot\ln(1+\dfrac{(-1)^n}{n});

\delta_n=\sqrt{1+n^2}-n=\dfrac{(1+n^2)-n^2}{\sqrt{1+n^2}+n}=\dfrac{1}{\sqrt{1+n^2}+n}\sim\dfrac{1}{2n}; \sin(\pi\sqrt{1+n^2})=\sin(\pi(n+\delta_n))=\sin(\pi n+\pi\delta_n)=(-1)^n\sin(\pi\delta_n); \sin(\pi\delta_n)\sim\pi\delta_n; \sin(\pi\sqrt{1+n^2})\sim(-1)^n\pi\cdot\dfrac{1}{2n}=(-1)^n\dfrac{\pi}{2n}; \text{cosec}(\pi\sqrt{1+n^2})=\dfrac{1}{\sin(\pi\sqrt{1+n^2})}\sim(-1)^n\dfrac{2n}{\pi};

\ln(1+\dfrac{(-1)^n}{n})\sim\dfrac{(-1)^n}{n}; \ln a_n\sim((-1)^n\dfrac{2n}{\pi})\cdot(\dfrac{(-1)^n}{n})=\dfrac{2}{\pi}; \lim_{n\to\infty}\ln a_n=\dfrac{2}{\pi}; \lim_{n\to\infty}a_n=e^{2/\pi};

\text{Ответ: }e^{2/\pi}

85 номер – Д 591

Пример:

\lim_{ x \to 0 } \dfrac{1}{x^{100}}e^{-\frac{1}{x^{2}}}

Решение:

x\neq0; \dfrac{1}{x^{100}}e^{-1/x^{2}}=\dfrac{1}{(x^2)^{50}}e^{-1/x^{2}}; t=\dfrac{1}{x^2};\ t\to+\infty; \dfrac{1}{(x^2)^{50}}e^{-1/x^{2}}=t^{50}e^{-t};

e^{t}=1+t+\dfrac{t^2}{2!}+\dots+\dfrac{t^{51}}{51!}+\dots\ge\dfrac{t^{51}}{51!};\ (t>0); e^{-t}\le\dfrac{51!}{t^{51}}; 0\le t^{50}e^{-t}\le t^{50}\cdot\dfrac{51!}{t^{51}}=\dfrac{51!}{t}\to0; \lim_{ x \to 0 }\dfrac{1}{x^{100}}e^{-1/x^{2}}=0;

\text{Ответ: }0

88 номер – Д 593Б

Пример:

\lim_{ x \to +\infty } (\sqrt{ x^{2}+x }-x)

Решение:

\sqrt{x^2+x}-x=\dfrac{(\sqrt{x^2+x}-x)(\sqrt{x^2+x}+x)}{\sqrt{x^2+x}+x}=\dfrac{x^2+x-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}; x>0; \dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\dfrac{x}{x\sqrt{1+\frac{1}{x}}+x}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}; x\to+\infty; \dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}\to\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2};

\text{Ответ: }\dfrac{1}{2}

89 номер – Д 594А

Пример:

\lim_{ x \to -\infty }(\sqrt{ 1+x+x^{2} }-\sqrt{ 1-x+x^{2} })

Решение:

\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}=\dfrac{(x^2+x+1)-(x^2-x+1)}{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}}=\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}}; x\to-\infty; \sqrt{x^2+x+1}=|x|\sqrt{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}=-x\sqrt{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}; \sqrt{x^2-x+1}=|x|\sqrt{1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}=-x\sqrt{1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}};

\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}}=\dfrac{2x}{-x(\sqrt{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}})}=-\dfrac{2}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}}; x\to-\infty; -\dfrac{2}{1+1}=-1;

\text{Ответ: }-1

92 номер – Д 1319

Пример:

\lim_{ x \to 0 } \dfrac{ch(x)-\cos x}{x^{2}}

Решение:

x=0; ch(x)-\cos x=1-1=0; x^2=0; \text{Неопределённость } \frac{0}{0}

\lim_{ x \to 0 }\dfrac{ch(x)-\cos x}{x^{2}}=\lim_{ x \to 0 }\dfrac{(ch(x)-\cos x)'}{(x^{2})'}=\lim_{ x \to 0 }\dfrac{sh(x)+\sin x}{2x}; x=0; sh(x)+\sin x=0+0=0; 2x=0; \text{Неопределённость } \frac{0}{0}

\lim_{ x \to 0 }\dfrac{sh(x)+\sin x}{2x}=\lim_{ x \to 0 }\dfrac{(sh(x)+\sin x)'}{(2x)'}=\lim_{ x \to 0 }\dfrac{ch(x)+\cos x}{2}=\dfrac{1+1}{2}=1;

\text{Ответ: }1

96 номер – Д 1323

Пример:

\lim_{ x \to 0 } \dfrac{x \cot x -1}{x^{2}}

Решение:

x=0; x\cot x-1=0; x^2=0; \text{Неопределённость } \frac{0}{0}

x\neq0; x\cot x-1=x\dfrac{\cos x}{\sin x}-1=\dfrac{x\cos x-\sin x}{\sin x}; \dfrac{x\cot x-1}{x^2}=\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^2\sin x};

\lim_{ x \to 0 }\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^2\sin x}=\lim_{ x \to 0 }\dfrac{(x\cos x-\sin x)'}{(x^2\sin x)'}=\lim_{ x \to 0 }\dfrac{-x\sin x}{2x\sin x+x^2\cos x}; x\neq0; \dfrac{-x\sin x}{2x\sin x+x^2\cos x}=\dfrac{-\sin x}{2\sin x+x\cos x}; x=0; -\sin x=0; 2\sin x+x\cos x=0; \text{Неопределённость } \frac{0}{0}

\lim_{ x \to 0 }\dfrac{-\sin x}{2\sin x+x\cos x}=\lim_{ x \to 0 }\dfrac{(-\sin x)'}{(2\sin x+x\cos x)'}=\lim_{ x \to 0 }\dfrac{-\cos x}{2\cos x+\cos x-x\sin x}=\dfrac{-1}{3}=-\dfrac{1}{3};

\text{Ответ: }-\dfrac{1}{3}

100 номер – Д 1327

Пример:

\lim_{ x \to 0 } \dfrac{\arcsin 2x -2\arcsin x}{x^{3}}

Решение:

x=0; \arcsin2x-2\arcsin x=0; x^3=0; \text{Неопределённость } \frac{0}{0}

\lim_{ x \to 0 }\dfrac{\arcsin 2x -2\arcsin x}{x^{3}}=\lim_{ x \to 0 }\dfrac{(\arcsin 2x -2\arcsin x)'}{(x^{3})'}=\lim_{ x \to 0 }\dfrac{\dfrac{2}{\sqrt{1-4x^2}}-\dfrac{2}{\sqrt{1-x^2}}}{3x^2}; x=0; \dfrac{2}{\sqrt{1-4x^2}}-\dfrac{2}{\sqrt{1-x^2}}=0; 3x^2=0; \text{Неопределённость } \frac{0}{0}

\lim_{ x \to 0 }\dfrac{\dfrac{2}{\sqrt{1-4x^2}}-\dfrac{2}{\sqrt{1-x^2}}}{3x^2}=\lim_{ x \to 0 }\dfrac{(\dfrac{2}{\sqrt{1-4x^2}}-\dfrac{2}{\sqrt{1-x^2}})'}{(3x^2)'}=\lim_{ x \to 0 }\dfrac{\dfrac{8x}{(1-4x^2)^{3/2}}-\dfrac{2x}{(1-x^2)^{3/2}}}{6x}; x=0; \dfrac{8x}{(1-4x^2)^{3/2}}-\dfrac{2x}{(1-x^2)^{3/2}}=0; 6x=0; \text{Неопределённость } \frac{0}{0}

\lim_{ x \to 0 }\dfrac{\dfrac{8x}{(1-4x^2)^{3/2}}-\dfrac{2x}{(1-x^2)^{3/2}}}{6x}=\lim_{ x \to 0 }\dfrac{(\dfrac{8x}{(1-4x^2)^{3/2}}-\dfrac{2x}{(1-x^2)^{3/2}})'}{(6x)'}= =\lim_{ x \to 0 }\dfrac{\dfrac{96x^2}{(1-4x^2)^{5/2}}-\dfrac{6x^2}{(1-x^2)^{5/2}}+\dfrac{8}{(1-4x^2)^{3/2}}-\dfrac{2}{(1-x^2)^{3/2}}}{6}=\dfrac{8-2}{6}=1;

\text{Ответ: }1

104 номер – Д 1331

Пример:

\lim_{ x \to 0 } \dfrac{\ln(\sin ax)}{\ln(\sin bx)}

Решение:

x\to0+; \ln(\sin ax)\to-\infty; \ln(\sin bx)\to-\infty; \text{Неопределённость }\dfrac{-\infty}{-\infty}

L=\lim\limits_{x\to0+}\dfrac{\ln(\sin ax)}{\ln(\sin bx)} L=\lim\limits_{x\to0+}\dfrac{\big(\ln(\sin ax)\big)'}{\big(\ln(\sin bx)\big)'}=\lim\limits_{x\to0+}\dfrac{a\cot(ax)}{b\cot(bx)}=\dfrac{a}{b}\lim\limits_{x\to0+}\dfrac{\cot(ax)}{\cot(bx)}

\cot t=\dfrac{\cos t}{\sin t} \dfrac{\cot(ax)}{\cot(bx)}=\dfrac{\cos(ax)\sin(bx)}{\sin(ax)\cos(bx)}

\cos(ax)\sin(bx)\to1\cdot0=0; \sin(ax)\cos(bx)\to0\cdot1=0; \text{Неопределённость }\dfrac{0}{0}

\lim\limits_{x\to0+}\dfrac{\cos(ax)\sin(bx)}{\sin(ax)\cos(bx)}=\lim\limits_{x\to0+}\dfrac{\big(\cos(ax)\sin(bx)\big)'}{\big(\sin(ax)\cos(bx)\big)'}

\big(\cos(ax)\sin(bx)\big)'=-a\sin(ax)\sin(bx)+b\cos(ax)\cos(bx) \big(\sin(ax)\cos(bx)\big)'=a\cos(ax)\cos(bx)-b\sin(ax)\sin(bx)

\lim\limits_{x\to0+}\dfrac{-a\sin(ax)\sin(bx)+b\cos(ax)\cos(bx)}{a\cos(ax)\cos(bx)-b\sin(ax)\sin(bx)}=\dfrac{b}{a}

L=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{b}{a}=1

\text{Ответ: }1

108 номер – Д 1335

Пример:

\lim_{ x \to 0 } \dfrac{Arsh(sh(x))-Arsh(\sin x)}{sh(x) - \sin x}

Arsh(x)=\ln(x+\sqrt{ 1+x^{2} })

Решение:

x=0; Arsh(shx)-Arsh(\sin x)=0; shx-\sin x=0; \text{Неопределённость } \frac{0}{0}

\lim_{ x \to 0 }\dfrac{Arsh(shx)-Arsh(\sin x)}{shx-\sin x}=\lim_{ x \to 0 }\dfrac{(Arsh(shx)-Arsh(\sin x))'}{(shx-\sin x)'}= =\lim_{ x \to 0 }\dfrac{\dfrac{chx}{\sqrt{1+sh^2x}}-\dfrac{\cos x}{\sqrt{1+\sin^2x}}}{chx-\cos x}; x=0; \dfrac{chx}{\sqrt{1+sh^2x}}-\dfrac{\cos x}{\sqrt{1+\sin^2x}}=0; chx-\cos x=0; \text{Неопределённость } \frac{0}{0}

1+sh^2x=ch^2x; \sqrt{1+sh^2x}=chx; \lim_{ x \to 0 }\dfrac{\dfrac{chx}{\sqrt{1+sh^2x}}-\dfrac{\cos x}{\sqrt{1+\sin^2x}}}{chx-\cos x}=\lim_{ x \to 0 }\dfrac{1-\dfrac{\cos x}{\sqrt{1+\sin^2x}}}{chx-\cos x};

\lim_{ x \to 0 }\dfrac{1-\dfrac{\cos x}{\sqrt{1+\sin^2x}}}{chx-\cos x}=\lim_{ x \to 0 }\dfrac{(1-\dfrac{\cos x}{\sqrt{1+\sin^2x}})'}{(chx-\cos x)'}= =\lim_{ x \to 0 }\dfrac{\dfrac{2\sin x}{(1+\sin^2x)^{3/2}}}{shx+\sin x}; x=0; \dfrac{2\sin x}{(1+\sin^2x)^{3/2}}=0; shx+\sin x=0; \text{Неопределённость } \frac{0}{0}

\lim_{ x \to 0 }\dfrac{\dfrac{2\sin x}{(1+\sin^2x)^{3/2}}}{shx+\sin x}=\lim_{ x \to 0 }\dfrac{(\dfrac{2\sin x}{(1+\sin^2x)^{3/2}})'}{(shx+\sin x)'}= =\lim_{ x \to 0 }\dfrac{\dfrac{2\cos x\cos2x}{(1+\sin^2x)^{5/2}}}{chx+\cos x}=\dfrac{2}{2}=1;

\text{Ответ: }1

111 номер – Д 1338

Пример:

\lim_{ x \to 0 } \dfrac{e^{- \frac{1}{x^{2}}}}{x^{100}}

Решение:

x\to0; e^{-1/x^2}\to0; x^{100}\to0; \text{Неопределённость } \frac{0}{0}

x\neq0; t=\dfrac{1}{x^2}; t\to+\infty; \dfrac{e^{-1/x^2}}{x^{100}}=\dfrac{e^{-t}}{(1/t)^{50}}=\dfrac{t^{50}}{e^{t}}; \text{Неопределённость } \frac{\infty}{\infty}

\lim_{ t \to +\infty }\dfrac{t^{50}}{e^{t}}=\lim_{ t \to +\infty }\dfrac{(t^{50})'}{(e^{t})'}=\lim_{ t \to +\infty }\dfrac{50t^{49}}{e^{t}}=\dots=\lim_{ t \to +\infty }\dfrac{50!}{e^{t}}=0; \lim_{ x \to 0 }\dfrac{e^{- \frac{1}{x^{2}}}}{x^{100}}=0;

\text{Ответ: }0

112 номер – Д 1339

Пример:

\lim_{ x \to +\infty } x^{2}e^{-0,01x}

Решение:

x\to+\infty; x^{2}e^{-0,01x}=\dfrac{x^2}{e^{0,01x}}; \dfrac{x^2}{e^{0,01x}}=\dfrac{\infty}{\infty};

\lim_{ x \to +\infty }\dfrac{x^2}{e^{0,01x}}=\lim_{ x \to +\infty }\dfrac{(x^2)'}{(e^{0,01x})'}=\lim_{ x \to +\infty }\dfrac{2x}{0,01e^{0,01x}}=\dfrac{\infty}{\infty}; \lim_{ x \to +\infty }\dfrac{2x}{0,01e^{0,01x}}=\lim_{ x \to +\infty }\dfrac{(2x)'}{(0,01e^{0,01x})'}=\lim_{ x \to +\infty }\dfrac{2}{0,0001e^{0,01x}}=0;

\text{Ответ: }0

115 номер – Д 1342

Пример:

\lim_{ x \to +0 }x^{x}

Решение:

x\to0+; x^{x}=0^{0}; \text{Неопределённость }0^{0}

y=x^x; \ln y=x\ln x=\dfrac{\ln x}{1/x}; \dfrac{\ln x}{1/x}=\dfrac{-\infty}{\infty}; \lim_{ x \to 0+ }\ln y=\lim_{ x \to 0+ }\dfrac{(\ln x)'}{(1/x)'}=\lim_{ x \to 0+ }\dfrac{1/x}{-1/x^2}=\lim_{ x \to 0+ }(-x)=0; \lim_{ x \to 0+ }y=e^{0}=1;

\text{Ответ: }1

116 номер – Д 1343

Пример:

\lim_{ x \to 0 }x^{x^{x}-1}

Решение:

x\to0+; x^{x^{x}-1}=0^{0}; \text{Неопределённость }0^{0}

y=x^{x^{x}-1}; \ln y=(x^x-1)\ln x=\dfrac{x^x-1}{1/\ln x}; \dfrac{x^x-1}{1/\ln x}=\dfrac{0}{0};

(x^x)'=x^x(\ln x+1); \lim_{ x \to 0+ }\ln y=\lim_{ x \to 0+ }\dfrac{(x^x-1)'}{(1/\ln x)'}=\lim_{ x \to 0+ }\dfrac{x^x(\ln x+1)}{-1/(x(\ln x)^2)}=\lim_{ x \to 0+ }(-x^{x+1}(\ln x+1)(\ln x)^2);

\lim_{ x \to 0+ }x^x=1; \lim_{ x \to 0+ }x^{x+1}=\lim_{ x \to 0+ }x\cdot x^x=0;

\lim_{ x \to 0+ }x(\ln x)^2=\lim_{ x \to 0+ }\dfrac{(\ln x)^2}{1/x}=\dfrac{\infty}{\infty}; \lim_{ x \to 0+ }\dfrac{(\ln x)^2}{1/x}=\lim_{ x \to 0+ }\dfrac{(2\ln x\cdot\frac{1}{x})}{(-1/x^2)}=\lim_{ x \to 0+ }(-2x\ln x); \lim_{ x \to 0+ }x\ln x=\lim_{ x \to 0+ }\dfrac{\ln x}{1/x}=\dfrac{-\infty}{\infty}; \lim_{ x \to 0+ }\dfrac{\ln x}{1/x}=\lim_{ x \to 0+ }\dfrac{1/x}{-1/x^2}=\lim_{ x \to 0+ }(-x)=0; \lim_{ x \to 0+ }x(\ln x)^2=0;

\lim_{ x \to 0+ }x(\ln x)^3=\lim_{ x \to 0+ }\dfrac{(\ln x)^3}{1/x}=\dfrac{-\infty}{\infty}; \lim_{ x \to 0+ }\dfrac{(\ln x)^3}{1/x}=\lim_{ x \to 0+ }\dfrac{(3(\ln x)^2\cdot\frac{1}{x})}{(-1/x^2)}=\lim_{ x \to 0+ }(-3x(\ln x)^2)=0;

\lim_{ x \to 0+ }x(\ln x+1)(\ln x)^2=\lim_{ x \to 0+ }(x(\ln x)^3+x(\ln x)^2)=0; \lim_{ x \to 0+ }\ln y=\lim_{ x \to 0+ }(-x^x)\cdot\lim_{ x \to 0+ }x(\ln x+1)(\ln x)^2= -1\cdot0=0; \lim_{ x \to 0+ }y=e^{0}=1;

\text{Ответ: }1

119 номер – Д 1348

Пример:

\lim_{ x \to \frac{\pi}{4} }(\tan x)^{\tan 2x}

Решение:

x\to\dfrac{\pi}{4}; \tan x\to1; \tan2x\to\pm\infty; \text{Неопределённость }1^{\infty}

y=(\tan x)^{\tan2x}; \ln y=\tan2x\cdot\ln(\tan x)=\dfrac{\ln(\tan x)}{\cot2x}; \dfrac{\ln(\tan x)}{\cot2x}=\dfrac{0}{0};

\lim_{ x \to \frac{\pi}{4} }\ln y=\lim_{ x \to \frac{\pi}{4} }\dfrac{(\ln(\tan x))'}{(\cot2x)'}=\lim_{ x \to \frac{\pi}{4} }\dfrac{\dfrac{\sec^2x}{\tan x}}{-2\csc^2(2x)}=\lim_{ x \to \frac{\pi}{4} }(-\dfrac{\sin^2(2x)}{2\sin x\cos x}); \sin^2(2x)=4\sin^2x\cos^2x; -\dfrac{\sin^2(2x)}{2\sin x\cos x}=-2\sin x\cos x=-\sin2x; \lim_{ x \to \frac{\pi}{4} }\ln y=-\sin\dfrac{\pi}{2}=-1; \lim_{ x \to \frac{\pi}{4} }y=e^{-1};

\text{Ответ: }e^{-1}