9.4 KiB
30 номер
#семестр_1 #высшая_математика
Пример:
x^3+1=0
Решение:
x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)
x = -1;
x^2-x+1=0
D = -3
\text{Ответ: } x=\dfrac{1\pm i\sqrt{ 3 }}{2}
31 номер
Пример:
x^4-4x^2+5=0
Решение:
t=x^{2}
t^2-4t+5=0
D=-4
t=\dfrac{4\pm 2i}{2}=2\pm i
x^2=2\pm i
\text{1. }x^2=2+i
x=a+bi
(a+bi)^2=(a^2-b^2)+2abi=2+i
\begin{cases}
a^2-b^2=2 \\
2abi=i; 2ab=1
\end{cases}
(a^2+b^2)^2=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2=2^2+1^2=5
a^2+b^2=\sqrt{5}
a^2=\dfrac{(a^2+b^2)+(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{ 5 }+2}{2}
b^2=\dfrac{(a^2+b^2)-(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{ 5 }-2}{2}
x_{1}=\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }+2}{2} }+i\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }-2}{2} }
x_{2}=-( \sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }+2}{2} }+i\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }-2}{2} } )
\text{2. }x^2=2-i
2-i=\overline{(2+i)}
x_{3}=\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }+2}{2} }-i\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }-2}{2} }
x_{4}=-( \sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }+2}{2} }-i\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }-2}{2} } )
\text{Ответ:}
\begin{array} \\
x_{1}=\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }+2}{2} }+i\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }-2}{2} } \\
x_{2}=-( \sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }+2}{2} }+i\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }-2}{2} } ) \\
x_{3}=\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }+2}{2} }-i\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }-2}{2} } \\
x_{4}=-( \sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }+2}{2} }-i\sqrt{ \dfrac{\sqrt{ 5 }-2}{2} } )
\end{array}
32 номер
Пример:
x^4+4x^2+20=0
Решение:
t=x^{2}
t^2+4t+20=0
D=-64
t=\dfrac{-4\pm 8i}{2}=-2\pm 4i
x^2=-2\pm 4i
\text{1. }x^2=-2+4i
x=a+bi
(a+bi)^2=(a^2-b^2)+2abi=-2+4i
\begin{cases}
a^2-b^2=-2 \\
2ab=4
\end{cases}
(a^2+b^2)^2=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2=(-2)^2+4^2=20
a^2+b^2=\sqrt{20}=2\sqrt5
a^2=\dfrac{(a^2+b^2)+(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{2\sqrt5-2}{2}=\sqrt5-1
b^2=\dfrac{(a^2+b^2)-(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{2\sqrt5+2}{2}=\sqrt5+1
x_{1}=\sqrt{\sqrt5-1}+i\sqrt{\sqrt5+1}
x_{2}=-(\sqrt{\sqrt5-1}+i\sqrt{\sqrt5+1})
\text{2. }x^2=-2-4i
-2-4i=\overline{(-2+4i)}
x_{3}=\sqrt{\sqrt5-1}-i\sqrt{\sqrt5+1}
x_{4}=-(\sqrt{\sqrt5-1}-i\sqrt{\sqrt5+1})
\text{Ответ:}
\begin{array}{l}
x_{1}=\sqrt{\sqrt5-1}+i\sqrt{\sqrt5+1}\\
x_{2}=-(\sqrt{\sqrt5-1}+i\sqrt{\sqrt5+1})\\
x_{3}=\sqrt{\sqrt5-1}-i\sqrt{\sqrt5+1}\\
x_{4}=-(\sqrt{\sqrt5-1}-i\sqrt{\sqrt5+1})
\end{array}
33 номер
Пример:
x^4-6x^2+13=0
Решение:
t=x^{2}
t^2-6t+13=0
D=-16
t=\dfrac{6\pm4i}{2}=3\pm2i
x^2=3\pm2i
\text{1. }x^2=3+2i
x=a+bi
(a+bi)^2=(a^2-b^2)+2abi=3+2i
\begin{cases}
a^2-b^2=3 \\
2ab=2
\end{cases}
(a^2+b^2)^2=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2=3^2+2^2=13
a^2+b^2=\sqrt{13}
a^2=\dfrac{(a^2+b^2)+(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{13}+3}{2}
b^2=\dfrac{(a^2+b^2)-(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}
x_{1}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}+3}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}}
x_{2}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}+3}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}})
\text{2. }x^2=3-2i
3-2i=\overline{(3+2i)}
x_{3}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}+3}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}}
x_{4}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}+3}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}})
\text{Ответ:}
\begin{array}{l}
x_{1}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}+3}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}}\\
x_{2}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}+3}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}})\\
x_{3}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}+3}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}}\\
x_{4}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}+3}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}})
\end{array}
34 номер
Пример:
x^4 + 2x^2 + 17 = 0
Решение:
t=x^{2}
t^2+2t+17=0
D=-64
t=\dfrac{-2\pm 8i}{2}=-1\pm 4i
x^2=-1\pm 4i
\text{1. }x^2=-1+4i
x=a+bi
(a+bi)^2=(a^2-b^2)+2abi=-1+4i
\begin{cases}
a^2-b^2=-1 \\
2ab=4
\end{cases}
(a^2+b^2)^2=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2=(-1)^2+4^2=17
a^2+b^2=\sqrt{17}
a^2=\dfrac{(a^2+b^2)+(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{17}-1}{2}
b^2=\dfrac{(a^2+b^2)-(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{17}+1}{2}
x_{1}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}-1}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}+1}{2}}
x_{2}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}-1}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}+1}{2}})
\text{2. }x^2=-1-4i
-1-4i=\overline{(-1+4i)}
x_{3}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}-1}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}+1}{2}}
x_{4}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}-1}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}+1}{2}})
\text{Ответ:}
\begin{array}{l}
x_{1}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}-1}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}+1}{2}}\\
x_{2}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}-1}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}+1}{2}})\\
x_{3}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}-1}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}+1}{2}}\\
x_{4}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}-1}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}+1}{2}})
\end{array}
35 номер
Пример:
x^4 + 10x^2 + 61 = 0
Решение:
t=x^{2}
t^2+10t+61=0
D-144
t=\dfrac{-10\pm 12i}{2}=-5\pm 6i
x^2=-5\pm 6i
\text{1. }x^2=-5+6i
x=a+bi
(a+bi)^2=(a^2-b^2)+2abi=-5+6i
\begin{cases}
a^2-b^2=-5 \\
2ab=6
\end{cases}
(a^2+b^2)^2=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2=(-5)^2+6^2=61
a^2+b^2=\sqrt{61}
a^2=\dfrac{(a^2+b^2)+(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{61}-5}{2}
b^2=\dfrac{(a^2+b^2)-(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{61}+5}{2}
x_{1}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}-5}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}+5}{2}}
x_{2}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}-5}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}+5}{2}})
\text{2. }x^2=-5-6i
-5-6i=\overline{(-5+6i)}
x_{3}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}-5}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}+5}{2}}
x_{4}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}-5}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}+5}{2}})
\text{Ответ:}
\begin{array}{l}
x_{1}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}-5}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}+5}{2}}\\
x_{2}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}-5}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}+5}{2}})\\
x_{3}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}-5}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}+5}{2}}\\
x_{4}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}-5}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{61}+5}{2}})
\end{array}
36 номер
Пример:
x^4 − x^2 + 37 = 0
Решение:
t=x^{2}
t^2-t+37=0
D-147
t=\dfrac{1\pm\sqrt{-147}}{2}=\dfrac{1\pm 7i\sqrt3}{2}
x^2=\dfrac{1\pm 7i\sqrt3}{2}
\text{1. }x^2=\dfrac{1+7i\sqrt3}{2}
x=a+bi
(a+bi)^2=(a^2-b^2)+2abi=\dfrac{1+7i\sqrt3}{2}
\begin{cases}
a^2-b^2=\dfrac{1}{2} \\
2ab=\dfrac{7\sqrt3}{2}
\end{cases}
(a^2+b^2)^2=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2=(\dfrac{1}{2})^2+(\dfrac{7\sqrt3}{2})^2=\dfrac{1}{4}+\dfrac{147}{4}=37
a^2+b^2=\sqrt{37}
a^2=\dfrac{(a^2+b^2)+(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{37}+\frac{1}{2}}{2}=\dfrac{2\sqrt{37}+1}{4}
b^2=\dfrac{(a^2+b^2)-(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{37}-\frac{1}{2}}{2}=\dfrac{2\sqrt{37}-1}{4}
x_{1}=\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}+1}{4}}+i\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}-1}{4}}
x_{2}=-(\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}+1}{4}}+i\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}-1}{4}})
\text{2. }x^2=\dfrac{1-7i\sqrt3}{2}
\dfrac{1-7i\sqrt3}{2}=\overline{(\dfrac{1+7i\sqrt3}{2})}
x_{3}=\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}+1}{4}}-i\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}-1}{4}}
x_{4}=-(\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}+1}{4}}-i\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}-1}{4}})
\text{Ответ:}
\begin{array}{l}
x_{1}=\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}+1}{4}}+i\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}-1}{4}}\\
x_{2}=-(\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}+1}{4}}+i\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}-1}{4}})\\
x_{3}=\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}+1}{4}}-i\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}-1}{4}}\\
x_{4}=-(\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}+1}{4}}-i\sqrt{\dfrac{2\sqrt{37}-1}{4}})
\end{array}
37 номер
Пример:
x^4 + 6x^2 + 8 = 0
Решение:
t=x^{2}
t^2+6t+8=0
D=6^2-4\cdot1\cdot8=36-32=4
t=\dfrac{-6\pm\sqrt{4}}{2}=-3\pm1
t_1=-2,\quad t_2=-4
x^2=-2\ \ \text{or}\ \ x^2=-4
\text{1. }x^2=-2
x=\pm\sqrt{-2}=\pm i\sqrt2
x_{1}=i\sqrt2
x_{2}=-i\sqrt2
\text{2. }x^2=-4
x=\pm\sqrt{-4}=\pm 2i
x_{3}=2i
x_{4}=-2i
\text{Ответ:}
\begin{array}{l}
x_{1}=i\sqrt2\\
x_{2}=-i\sqrt2\\
x_{3}=2i\\
x_{4}=-2i
\end{array}
38 номер
Пример:
x4 + 8x^2 + 41 = 0
Решение:
t=x^{2}
t^2+8t+41=0
D=8^2-4\cdot1\cdot41=64-164=-100
t=\dfrac{-8\pm\sqrt{-100}}{2}=\dfrac{-8\pm 10i}{2}=-4\pm 5i
x^2=-4\pm 5i
\text{1. }x^2=-4+5i
x=a+bi
(a+bi)^2=(a^2-b^2)+2abi=-4+5i
\begin{cases}
a^2-b^2=-4 \\
2ab=5
\end{cases}
(a^2+b^2)^2=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2=(-4)^2+5^2=41
a^2+b^2=\sqrt{41}
a^2=\dfrac{(a^2+b^2)+(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{41}-4}{2}
b^2=\dfrac{(a^2+b^2)-(a^2-b^2)}{2}=\dfrac{\sqrt{41}+4}{2}
x_{1}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}-4}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}+4}{2}}
x_{2}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}-4}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}+4}{2}})
\text{2. }x^2=-4-5i
-4-5i=\overline{(-4+5i)}
x_{3}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}-4}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}+4}{2}}
x_{4}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}-4}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}+4}{2}})
\text{Ответ:}
\begin{array}{l}
x_{1}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}-4}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}+4}{2}}\\
x_{2}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}-4}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}+4}{2}})\\
x_{3}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}-4}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}+4}{2}}\\
x_{4}=-(\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}-4}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}+4}{2}})
\end{array}
39 номер
Условие:
z-i\leq 1
Область:
!
40 номер
Условие:
\mathrm{Re}(z)\leq 3
Область:
!
41 номер
Условие:
z\leq 2 \ \ \text{and} \ \ \mathrm{Re}(z)\geq 0
Область:
!
42 номер
Условие:
arg(z)\leq \dfrac{\pi}{6}
Область:
!
43 номер
Условие:
z=5;arg(z)\leq \dfrac{\pi}{3}
Область:
!
44 номер
Пример:
z+i\leq1; \mathrm{Im}\leq -1
Решение:
!