## Определение:
#семестр_1 #высшая_математика

*Доска* \![[telegram-cloud-photo-size-2-5242271244680367817-w.jpg]]

Формула нахождения производной:
$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$


## Производная $(x^n)'$
*Доска* \![[Pasted image 20251115145729.png]]

Формула нахождения *(неполная)*:
$(x^n)' = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h} = n x^{n-1}$


## Основные свойства производных
*Доска-1* \![[telegram-cloud-photo-size-2-5242271244680367853-w.jpg]]
*Доска-2* \![[telegram-cloud-photo-size-2-5242271244680367854-w.jpg]]

1. $(f(x)+g(x))' = f'(x) + g'(x)$
2. $(fg)' = f'g + g'f$
3. $\left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - g'f}{g^2}$
4. $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
## Примеры
### 124.3
$$
\begin{array} \\
f(x) = \sqrt{ x } \\
\\
f(x)' = \lim_{ h \to 0 }\frac{f(x + h)-f(x)}{h} = \lim_{ h \to 0 }  \frac{\sqrt{ x + h } - \sqrt{ x }}{h} = \lim_{ h \to 0 } \frac{\sqrt{ x+h }- \sqrt{ x }}{h} \cdot \frac{\sqrt{ x+h }+\sqrt{ x }}{\sqrt{ x+h }+\sqrt{ x }} =  \\
= \lim_{ h \to 0 } \frac{(x+h) - x}{h(\sqrt{ x+h }+\sqrt{ x })} = \lim_{ h \to 0 } \frac{h}{h(\sqrt{ x+h }+\sqrt{ x })} = \lim_{ h \to 0 } \frac{1}{\sqrt{ x+h }+\sqrt{ x }} \\
h = 0 \\
Ответ:\frac{1}{2\sqrt{ x }}

\end{array}
$$
### N
$$
\begin{array} \\
f(x) = (1 + 5x)^3  \\ \\

f(x)' = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{ h \to 0 } \frac{(1 + 5(x + h))^3 - (1+5x)^3}{h} = \lim_{ h \to 0 } \frac{(1 + 5x+5h)^3-(1+5x)^3}{h} =  \\
= 15(1+5x)^2

\end{array}
$$

### ĎÐẞÆ


# Изучить самому:
Решить **домашку**!!
**Дифференсация**
Нормали кривой


## Аутсайдерские записи с доски
Какой-то график \![[telegram-cloud-photo-size-2-5242271244680367818-w.jpg]]