#семестр_1 #высшая_математика

1)
Пример:
$\mathrm{Re}\left( \frac{3-i}{1+3i} \right)\times \mathrm{Im}\left( \frac{2-i}{1+3i} \right)$

Решение:
$\mathrm{Re}:$
$\frac{(3-i)(1-3i)}{1^{2}+3^{2}}=\frac{0-10i}{10}=-i$
$\mathrm{Im}:$
$\frac{(2-i)(1-3i)}{1^{2}+3^{2}}=\frac{-1-7i}{10}=-0.1-0.7i$
$\mathrm{Re}\times \mathrm{Im}=0\times(-0.7)=0$


3)
Пример:
$z^{2}+(2+4i)z+6+4i=0$

Решение:
$D=(2+4i)^{2}-24-16i=4-16+16i-24-16i=-36$
$z_{1,2}=\frac{-2-4i\pm\sqrt{ -36 }}{2}=-1-5i;-1+i$


4)
Пример:
$|z|+z=8+4i$

Решение:
$(z=a+ib)$
$$
\sqrt{ a^{2}+b^{2} }+a-8+ib-4i=0 \implies
\begin{cases}
\sqrt{ a^{2}+b^{2} }+a-8=0 \\
ib-4i=0
\end{cases}
$$
$b=4$
$\sqrt{ a^{2}+16 }=8-a\implies a\leq 8$
$a^{2}+16=a^{2}-16a+64$
$a=3$
$z=3+4i$


5)
Пример:
$$
\begin{cases}
2z_{1}+3z_{2}=7-i \\
iz_{1}-2z_{2}=-3+4i
\end{cases}
$$

Решение:
$z_{1}=3.5-0.5i-1.5z_{2}$
$3.5i+0.5-1.5iz_{2}-2z_{2}=-3+4i$
$z_{2}(2+1.5i)=3-4i+3.5i+0.5$
$z_{2}=\frac{3.5-0.5i}{2+1.5i}=\frac{(3.5-0.5i)(2-1.5i)}{4+2.25}=\frac{7-0.75-i-5.25i}{6.25}=1-i$
$2z_{1}+3-3i=7-i$
$z_{1}=2+i$
$z_{2}=1-i$


7)
Пример:
$\frac{(1-i)(-3-i\sqrt{ 3 })}{(2+2i)(i+\sqrt{ 3 })}$

Решение:
$\frac{-\sqrt{ 3 }(1-i){(i+\sqrt{ 3 })}}{2(1+i){(i+\sqrt{ 3 })}}=$
$-\frac{\sqrt{ 3 }}{2}\cdot\frac{(1-i)^{2}}{1^{2}+1^{2}}=$
$-\frac{\sqrt{ 3 }}{2}\cdot\frac{-2i}{2}=\frac{i\sqrt{ 3 }}{2}$