## 4 номер – П 3.2.17

### Доказать:

$\overline{d}=\overline{c}\cdot(\overline{b}\cdot\overline{a})-\overline{a}\cdot(\overline{b}\cdot\overline{c})$
$\overline{d}\perp \overline{b}$

### Доказательство:

$\overline{b}\cdot \overline{d}=\overline{b}\cdot(\overline{c}\cdot(\overline{b}\cdot\overline{a})-\overline{a}\cdot(\overline{b}\cdot\overline{c}))=\overline{b}(\overline{c}(\overline{b}\overline{c}))-\overline{b}(\overline{a}(\overline{b}\overline{a}))=(\overline{b}\overline{a})(\overline{b}\overline{c})-(\overline{b}\overline{c})(\overline{b}\overline{a})=0$
$\text{Скалярное произведение векторов равно 0, значит векторы расположены перпендикулярно.}$

## 8 номер – П 3.2.21

### Пример:

$\vec{F}_{1}=\vec{i}-\vec{j}+\vec{k}$
$\vec{F}_{2}=2\vec{i}+\vec{j}+3\vec{k}$
$M(2;-1;-1)$

### Решение:

$\vec{F}=\vec{F}_{1}+\vec{F_{2}}=3\vec{i}+0\vec{j}+4\vec{k}=(3;0;4)$
$A=\vec{F}\cdot \vec{s};$
$\vec{s}=(2;-1;-1)$
$A=3\cdot2+4\cdot(-1)=2$
$\text{Ответ: 2}$

## 9 номер – П 3.2.22

### Пример:

$\vec{b}=\lambda \vec{i}-5\vec{j}+3\vec{k}$
$\vec{c}=\vec{i}+2\vec{j}-\lambda \vec{k}$
$\lambda = ?;\ \vec{b}\cdot \vec{c}=0$

### Решение:

$\vec{b}\cdot \vec{c}=\lambda-10-3\lambda=-2\lambda-10$
$-2\lambda-10=0;\ -2\lambda=10;\ \lambda=-5$

$\text{Ответ: -5}$

## 13 номер – П 3.3.6

### Пример:

$\vec{a}=\vec{i}-2\vec{j}+5\vec{k}$
$\vec{b}=5\vec{j}-7\vec{k}$
$\vec{a}=(1;-2;5)$
$\vec{b}=(0;5;-7)$

### Решение:

$S=\dfrac{1}{2}|\vec{a}\cdot\vec{b}|$

$\vec{a}\cdot\vec{b}=-11\vec{i}+7\vec{j}+5\vec{k}=(-11;7;5)$

$|\vec{a}\cdot\vec{b}|=\sqrt{(-11)^2+7^2+5^2}=\sqrt{121+49+25}=\sqrt{195}$

$S=\dfrac{1}{2}\sqrt{195}$

$\text{Ответ: }\dfrac{\sqrt{195}}{2}$

## 14 номер – П 3.3.15

### Пример:

$|\vec{a}|=3$
$|\vec{b}|=20$
$\vec{a}\vec{b}=30$
$|\vec{a}\cdot\vec{b}|=\ ?$

### Решение:

$|\vec{a}\cdot\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2\cdot|\vec{b}|^2-(\vec{a}\vec{b})^2$

$|\vec{a}\cdot\vec{b}|^2=3^2\cdot 20^2-30^2=9\cdot 400-900=3600-900=2700$

$|\vec{a}\cdot\vec{b}|=\sqrt{2700}=\sqrt{900\cdot 3}=30\sqrt{3}$

$\text{Ответ: }30\sqrt{3}$

## 18 номер – П 3.3.19

### Дано:

$\vec{a}=3\vec{p}+2\vec{q}$
$\vec{b}=2\vec{p}-\vec{q}$
$|\vec{p}|=4$
$|\vec{q}|=3$
$\angle(\vec{p},\vec{q})=\dfrac{3\pi}{4}$
$S=\ ?$

### Решение:

$S=|\vec{a}\cdot\vec{b}|$

$\vec{a}\cdot\vec{b}=3\vec{p}\cdot\vec{p}+3\vec{p}\cdot(-\vec{q})+2\vec{q}\cdot2\vec{p}+2\vec{q}\cdot(-\vec{q})=0-3(\vec{p}\cdot\vec{q})+4(\vec{q}\cdot\vec{p})+0=-7(\vec{p}\cdot\vec{q})$

$|\vec{a}\cdot\vec{b}|=7|\vec{p}\cdot\vec{q}|$

$|\vec{p}\cdot\vec{q}|=|\vec{p}|\cdot|\vec{q}|\cdot\sin\angle(\vec{p},\vec{q})=4\cdot 3\cdot\sin(\dfrac{3\pi}{4})=12\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}$

$S=7\cdot 6\sqrt{2}=42\sqrt{2}$

$\text{Ответ: }42\sqrt{2}$

## 22 номер – П 3.3.25

### Дано:

$\vec{a}=(2;\,-2;\,1)$
$\vec{b}=(2;\,3;\,6)$
$\sin\alpha=\ ?$

### Решение:

$\sin\alpha=\dfrac{|\vec{a}\cdot\vec{b}|}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}$

$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{i}\big((-2)\cdot 6-1\cdot 3\big)-\vec{j}\big(2\cdot 6-1\cdot 2\big)+\vec{k}\big(2\cdot 3-(-2)\cdot 2\big)=(-15;\,-10;\,10)$

$|\vec{a}\cdot\vec{b}|=\sqrt{(-15)^2+(-10)^2+10^2}=\sqrt{225+100+100}=\sqrt{425}=5\sqrt{17}$
$|\vec{a}|=\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}=3$
$|\vec{b}|=\sqrt{2^2+3^2+6^2}=7$

$\sin\alpha=\dfrac{5\sqrt{17}}{3\cdot 7}=\dfrac{5\sqrt{17}}{21}$

$\text{Ответ: }\dfrac{5\sqrt{17}}{21}$

## 23 номер – П 3.4.14

### Дано:

$\vec{a}\vec{b}\vec{c}=5$
$\vec{b}(\vec{c}+\vec{a})(\vec{b}+2\vec{c})=\ ?$

### Решение:

$\vec{b}(\vec{c}+\vec{a})(\vec{b}+2\vec{c})=\vec{b}\vec{c}(\vec{b}+2\vec{c})+\vec{b}\vec{a}(\vec{b}+2\vec{c})=\vec{b}\vec{c}\vec{b}+2\vec{b}\vec{c}\vec{c}+\vec{b}\vec{a}\vec{b}+2\vec{b}\vec{a}\vec{c}$

$\vec{b}\vec{c}\vec{b}=0,\ \vec{b}\vec{c}\vec{c}=0,\ \vec{b}\vec{a}\vec{b}=0$

$\vec{b}(\vec{c}+\vec{a})(\vec{b}+2\vec{c})=2\vec{b}\vec{a}\vec{c}$
$\vec{b}\vec{a}\vec{c}=-\vec{a}\vec{b}\vec{c}=-5$

$\vec{b}(\vec{c}+\vec{a})(\vec{b}+2\vec{c})=2\cdot(-5)=-10$

$\text{Ответ: }-10$

## 27 номер – П 3.4.19

### Дано:

$V=5$
$A(2;\,1;\,-1)$
$B(3;\,0;\,1)$
$C(2;\,-1;\,3)$
$D \ \text{лежит на оси}\ Oy$
$D=\ ?$

### Решение:

$D=(0;\,t;\,0)$

$\vec{AB}=B-A=(3-2;\,0-1;\,1-(-1))=(1;\,-1;\,2)$
$\vec{AC}=C-A=(2-2;\,-1-1;\,3-(-1))=(0;\,-2;\,4)$
$\vec{AD}=D-A=(0-2;\,t-1;\,0-(-1))=(-2;\,t-1;\,1)$

$V=\dfrac{1}{6}|\vec{AB}\vec{AC}\vec{AD}|$

$\vec{AB}\vec{AC}\vec{AD}=1\cdot\big((-2)\cdot 1-(t-1)\cdot 4\big)= -2-4(t-1)=2-4t=-2(2t-1)$

$5=\dfrac{1}{6}|-2(2t-1)|=\dfrac{1}{3}|2t-1|$

$|2t-1|=15$
$2t-1=15;\ t=8$
$2t-1=-15;\ t=-7$

$D_1=(0;\,8;\,0),\quad D_2=(0;\,-7;\,0)$

$\text{Ответ: }(0;\,8;\,0)\ \text{или}\ (0;\,-7;\,0)$

## 28 номер – П 3.4.21

### Дано:

$A_{1}(1;\,2;\,3),\ A_{2}(-2;\,4;\,1),\ A_{3}(7;\,6;\,3),\ A_{4}(4;\,-3;\,-1)$

### Найти:

а) $|A_{1}A_{2}|,\ |A_{1}A_{3}|,\ |A_{1}A_{4}|$
б) $S_{\triangle A_{1}A_{2}A_{3}}$
в) $\angle(A_{1}A_{4},A_{1}A_{3})$
г) $V$
д) $h$ на грань $A_{1}A_{2}A_{3}$

### Решение:

$\vec{A_{1}A_{2}}=(-3;\,2;\,-2)$
$\vec{A_{1}A_{3}}=(6;\,4;\,0)$
$\vec{A_{1}A_{4}}=(3;\,-5;\,-4)$

а)
$|A_{1}A_{2}|=\sqrt{(-3)^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{17}$
$|A_{1}A_{3}|=\sqrt{6^2+4^2+0^2}=2\sqrt{13}$
$|A_{1}A_{4}|=\sqrt{3^2+(-5)^2+(-4)^2}=5\sqrt{2}$

б)
$S=\dfrac{1}{2}|\vec{A_{1}A_{2}}\cdot\vec{A_{1}A_{3}}|$
$\vec{A_{1}A_{2}}\cdot\vec{A_{1}A_{3}}=(8;\,-12;\,-24)$
$|\vec{A_{1}A_{2}}\cdot\vec{A_{1}A_{3}}|=\sqrt{784}=28$
$S=\dfrac{1}{2}\cdot 28=14$

в)
$\cos\varphi=\dfrac{\vec{A_{1}A_{4}}\cdot\vec{A_{1}A_{3}}}{|A_{1}A_{4}|\cdot|A_{1}A_{3}|}$
$\vec{A_{1}A_{4}}\cdot\vec{A_{1}A_{3}}=-2$
$\cos\varphi=\dfrac{-2}{(5\sqrt{2})(2\sqrt{13})}=-\dfrac{1}{5\sqrt{26}}$
$\varphi=\arccos(-\dfrac{1}{5\sqrt{26}})$

г)
$V=\dfrac{1}{6}|\vec{A_{1}A_{2}}\vec{A_{1}A_{3}}\vec{A_{1}A_{4}}|$
$\vec{A_{1}A_{2}}\vec{A_{1}A_{3}}\vec{A_{1}A_{4}}=\begin{vmatrix}-3 & 2 & -2 \\ 6 & 4 & 0 \\ 3 & -5 & -4\end{vmatrix}=180$
$V=\dfrac{1}{6}|180|=30$

д)
$V=\dfrac{1}{3}S_{\triangle A_{1}A_{2}A_{3}}\cdot h$
$h=6\dfrac{3}{7}$

$\text{Ответ: }|A_{1}A_{2}|=\sqrt{17};\ |A_{1}A_{3}|=2\sqrt{13};\ |A_{1}A_{4}|=5\sqrt{2};\ S=14;\ \varphi=\arccos(-\dfrac{1}{5\sqrt{26}});\ V=30;\ h=\dfrac{45}{7};$

## 32 номер – П 4.1.13

### Пример:

$A(1;\,-5),\ B(4;\,3)$

### Решение:

$\vec{AB}=B-A=(4-1;\,3-(-5))=(3;\,8)$

$\vec{AC}=\dfrac{1}{3}\vec{AB}=(\dfrac{3}{3};\,\dfrac{8}{3})=(1;\,\dfrac{8}{3})$
$\vec{AD}=\dfrac{2}{3}\vec{AB}=(\dfrac{6}{3};\,\dfrac{16}{3})=(2;\,\dfrac{16}{3})$

$C=A+\vec{AC}=(2;\,-2\dfrac{1}{3})$
$D=A+\vec{AD}=(3;\,\dfrac{1}{3})$

$\text{Ответ: }C(2;\,-2\dfrac{1}{3}),\ D(3;\,\dfrac{1}{3})$

## 36 номер – П 4.1.23

### Дано:

$A(2;\,1),\ B(-2;\,-2),\ C(-8;\,6)$

### Найти:

$h_{B}$

### Решение:

$\vec{AB}=B-A=(-2-2;\,-2-1)=(-4;\,-3)$
$\vec{AC}=C-A=(-8-2;\,6-1)=(-10;\,5)$

$|AC|=\sqrt{(-10)^2+5^2}=5\sqrt{5}$

$S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}|\vec{AB}\vec{AC}|$
$\vec{AB}\vec{AC}=(-4)\cdot5-(-3)\cdot(-10)=-50$
$S=\dfrac{1}{2}\cdot|-50|=25$

$S=\dfrac{1}{2}\cdot |AC|\cdot h_{B}$
$h_{B}=\dfrac{2S}{|AC|}=\dfrac{2\cdot 25}{5\sqrt{5}}=\dfrac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$

$\text{Ответ: }h_{B}=2\sqrt{5}$

## 37 номер – П 4.1.24

### Дано:

$A(-2;\,6),\ B(2;\,8),\ M(2;\,2)$

### Найти:

$C,\ D$

### Решение:

$\text{Точка }M\ \text{середина диагоналей}$
$M=\dfrac{A+C}{2}=\dfrac{B+D}{2}$

$C=2M-A=(6;\,-2)$
$D=2M-B=(2;\,-4)$

$\text{Ответ: }C(6;\,-2),\ D(2;\,-4)$

## 41 номер – П 5.1.14

### Пример:

$\text{В каких октантах могут быть расположены точки, координаты которых удовлетворяют:}$
$1)\ x-y=0;\quad 2)\ x+z=0;\quad 3)\ xy>0;\quad 4)\ xyz<0$

### Решение:

$\text{Октанты: }$
$I:(+,+,+),\ II:(+,-,+),\ III:(+,-,-),\ IV:(+,+,-),\ V:(-,+,+),\ VI:(-,-,+),\ VII:(-,-,-),\ VIII:(-,+,-)$

$1)\ x-y=0; x=y$
$x>0,\ y>0; I,\ IV$
$x<0,\ y<0; VI,\ VII$
$\text{Ответ: }I,\ IV,\ VI,\ VII$

$2)\ x+z=0; z=-x$
$x>; z<; III,\ IV$
$x<0; z>0; V,\ VI$
$\text{Ответ: }III,\ IV,\ V,\ VI$

$3)\ xy>0$
$x>0,\ y>0; I,\ IV$
$x<0,\ y<0; VI,\ VII$
$\text{Ответ: }I,\ IV,\ VI,\ VII$

$4)\ xyz<0; \text{нечётное число отрицательных координат}$
$II:(+,-,+),\ IV:(+,+,-),\ V:(-,+,+),\ VII:(-,-,-)$
$\text{Ответ: }II,\ IV,\ V,\ VII$

## 42 номер – П 5.1.15

### Дано:

$A(4;\,-1;\,-1)$
$\text{Сфера касается плоскостей }x=0,\ y=0,\ z=0$

### Найти:

$O(x_{0};y_{0};z_{0}),\ R$

### Решение:

$|x_{0}|=R$
$|y_{0}|=R$
$|z_{0}|=R$

$O=(\varepsilon_{1}R;\ \varepsilon_{2}R;\ \varepsilon_{3}R),\ \varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\varepsilon_{3}\in\{-1;1\}$

$OA=R$
$(\varepsilon_{1}R-4)^2+(\varepsilon_{2}R+1)^2+(\varepsilon_{3}R+1)^2=R^2$

$R^2+(-4\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3})R+9=0$

$\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}\in\{-2;0;2\}$
$\varepsilon_{1}=1; -4\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}\in\{-6;-4;-2\}$
$\text{Только }-6:\ R^2-6R+9=0; (R-3)^2=0; R=3$
$-4\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}=-6; \varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}=-2; \varepsilon_{2}=-1,\ \varepsilon_{3}=-1$
чё
5:22 утра ЧЁ тут произошло

$O=(3;\,-3;\,-3)$

$\text{Ответ: }O(3;\,-3;\,-3),\ R=3$

## 46 номер – П 4.2.2

### Пример:

$y=2x-3$

### Решение:

$y=2x-3$
$y+3=2x$
$\dfrac{y+3}{2}=x$

$x=0; y=-3; (0;\,-3)$
$y=0; 2x-3=0; x=\dfrac{3}{2}; (\dfrac{3}{2};\,0)$

$\text{Ответ: }\dfrac{x}{\frac{3}{2}}+\dfrac{y}{-3}=1;\ (0;\,-3),\ (\dfrac{3}{2};\,0)$

## 50 номер – П 4.2.7

### Пример:

П 4.2.7 я хз как это записать

### Решение:

$y=-\dfrac{A}{B}x-\dfrac{C}{B}$
$\text{Расстояние от }O:\ p=\dfrac{|C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$
$\text{Нормальное: }\dfrac{A}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}x+\dfrac{B}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}y=-\dfrac{C}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\ (p\ge0)$

а)
$2x-3y+6=0$
$-3y=-2x-6$
$y=\dfrac{2}{3}x+2$
$k=\dfrac{2}{3}$

$y=0; 2x+6=0 \implies x=-3$
$x=0; -3y+6=0 \implies y=2$
$\text{В отрезках: }\dfrac{x}{-3}+\dfrac{y}{2}=1$

$\sqrt{A^{2}+B^{2}}=\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{13}$
$\dfrac{2}{\sqrt{13}}x-\dfrac{3}{\sqrt{13}}y=-\dfrac{6}{\sqrt{13}}$
$\text{Нормальное (}p\ge0\text{): }-\dfrac{2}{\sqrt{13}}x+\dfrac{3}{\sqrt{13}}y=\dfrac{6}{\sqrt{13}}$
$p=\dfrac{|6|}{\sqrt{13}}=\dfrac{6}{\sqrt{13}}$

б)
$x+2{,}5=0$
$x=-2{,}5$
$k\ \text{не определён (прямая вертикальная)}$

$\text{Нормальное: }-x=2{,}5$
$p=2{,}5$

в)
$y=x-1$
$x-y-1=0$
$y=1\cdot x-1$
$k=1$

$y=0; x=1$
$x=0; y=-1$
$\text{В отрезках: }\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{-1}=1$

$\sqrt{A^{2}+B^{2}}=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}$
$\dfrac{1}{\sqrt{2}}x-\dfrac{1}{\sqrt{2}}y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$p=\dfrac{|{-1}|}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

г)
$x+5y=0$
$y=-\dfrac{1}{5}x$
$k=-\dfrac{1}{5}$

$\text{Прямая проходит через }O; \text{в отрезках не записывается (}a=0,\ b=0\text{)}$

$\sqrt{A^{2}+B^{2}}=\sqrt{1^{2}+5^{2}}=\sqrt{26}$
$\dfrac{1}{\sqrt{26}}x+\dfrac{5}{\sqrt{26}}y=0$
$p=\dfrac{|0|}{\sqrt{26}}=0$

## 51 номер – П 4.2.9

### Дано:

$A(1;\,1)$
$B(-2;\,3)$
$k=\ ?,\ y_{Oy}=\ ?$

### Решение:

$k=\dfrac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\dfrac{3-1}{-2-1}=\dfrac{2}{-3}=-\dfrac{2}{3}$

$y=-\dfrac{2}{3}x+b$

$1=-\dfrac{2}{3}\cdot 1 + b$
$b=1+\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{3}$

$y=-\dfrac{2}{3}\cdot 0 + b = b = \dfrac{5}{3}$

$\text{Ответ: }k=-\dfrac{2}{3};\ \text{ордината: }\dfrac{5}{3}$

## 55 номер – П 4.2.24

### Пример:

$A(3;\,2),\ B(3;\,8),\ C(6;\,2)$

### Решение:

$\text{1) } AB:$
$x_{A}=3,\ x_{B}=3; \text{координаты } x \text{ совпадают}$

$\text{2) } AC:$
$y_{A}=2,\ y_{C}=2; \text{координаты } y \text{ совпадают}$

$\text{3) } BC:$
$\dfrac{x-x_{B}}{x_{C}-x_{B}}=\dfrac{y-y_{B}}{y_{C}-y_{B}}$

$\dfrac{x-3}{6-3}=\dfrac{y-8}{2-8}$

$\dfrac{x-3}{3}=\dfrac{y-8}{-6}$

$-2(x-3)=1(y-8)$
$-2x+6=y-8$
$2x+y-14=0$

$\text{Ответ: }AB:\ x=3;\ AC:\ y=2;\ BC:\ 2x+y-14=0$

## 56 номер – П 5.2.2

### Пример:

$M(-2;\,3;\,1)$
$1)\ ||\ Oxy;\ 2)\ M\ \text{и ось}\ Oy$

### Решение:

$1)$
$Oxy; z=z_{M}$
$z=1; z-1=0$

$2)$
$Oy ; Ax+Cz=0$
$-2A+1\cdot C=0;$
$C=2A$
$A=1$
$C=2$
$x+2z=0$

$\text{Ответ: }z-1=0;\ x+2z=0$

## 60 номер – П 5.2.9

### Пример:

$M(1;\, -1;\, 0)$
$\vec{a}=(0;\, 2;\, 3),\ \vec{b}=(-1;\, 4;\, 2)$

### Решение:

$\vec{n}=\vec{a}\times\vec{b}$
$\vec{n}=\vec{i}(4-12)-\vec{j}(0+3)+\vec{k}(0+2)=(-8;\,-3;\,2)$

$-8(x-1)-3(y+1)+2(z-0)=0$
$-8x+8-3y-3+2z=0$
$8x+3y-2z-5=0$

$\text{Ответ: }8x+3y-2z-5=0$

## 65 номер – П 5.2.19

### Пример:

$-Oy \implies M(0;\,-4;\,0)$
$\vec{n}=(3;\, -2;\, 4)$

### Решение:

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

$3(x-0)-2(y-(-4))+4(z-0)=0$
$3x-2(y+4)+4z=0$
$3x-2y-8+4z=0$

$\text{Ответ: }3x-2y+4z-8=0$

## 69 номер – П 5.3.6

### Пример:

$1)\ M(1;\,0;\,-1),\ \vec{a}=(2;\,3;\,0)$
$2)\ A(2;\,2;\,2),\ B(6;\,2;\,1)$

### Решение:

$1)$
$\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3t \\ z = -1 \end{cases}$

$2)$
$\vec{s} = \vec{AB} = B - A = (4;\, 0;\, -1)$
$\begin{cases} x = 2 + 4t \\ y = 2 + 0t \\ z = 2 - t \end{cases} ; \begin{cases} x = 2 + 4t \\ y = 2 \\ z = 2 - t \end{cases}$

$\text{Ответ: } 1)\ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3t \\ z = -1 \end{cases};\ 2)\ \begin{cases} x = 2 + 4t \\ y = 2 \\ z = 2 - t \end{cases}$

## 70 номер – П 5.3.7

### Пример:

$M_0(4;\,3;\,-2)$
$1)\ ||\ \vec{a}=(3;\,-6;\,5)$
$2)\ ||\ \begin{cases} x + 3y + z - 6 = 0 \\ 2x - y - 4z + 1 = 0 \end{cases}$

### Решение:

$1)$
$\vec{s}=\vec{a}=(3;\,-6;\,5)$
$\dfrac{x-4}{3}=\dfrac{y-3}{-6}=\dfrac{z+2}{5}$

$2)$
$\vec{n_1}=(1;\,3;\,1)$
$\vec{n_2}=(2;\,-1;\,-4)$

$\vec{s}=\vec{n_1}\times\vec{n_2}=\vec{i}(-12+1)-\vec{j}(-4-2)+\vec{k}(-1-6)=(-11;\,6;\,-7)$

$\dfrac{x-4}{-11}=\dfrac{y-3}{6}=\dfrac{z+2}{-7}$

$\text{Ответ: } 1)\ \dfrac{x-4}{3}=\dfrac{y-3}{-6}=\dfrac{z+2}{5};\ 2)\ \dfrac{x-4}{-11}=\dfrac{y-3}{6}=\dfrac{z+2}{-7}$

## 74 номер – П 5.3.12

### Пример:

$\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z-5}{5}$

### Решение:

$1)\ Oxy; z=0$
$\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{0-5}{5}=-1$
$x-3=1; x=4$
$y+2=-2; y=-4$
$M_1(4;\,-4;\,0)$

$2)\ Oxz; y=0$
$\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{z-5}{5}=\dfrac{0+2}{2}=1$
$x-3=-1; x=2$
$z-5=5; z=10$
$M_2(2;\,0;\,10)$

$3)\ Oyz; x=0$
$\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z-5}{5}=\dfrac{0-3}{-1}=3$
$y+2=6; y=4$
$z-5=15; z=20$
$M_3(0;\,4;\,20)$

$\text{Ответ: }(4;\,-4;\,0),\ (2;\,0;\,10),\ (0;\,4;\,20)$