## 11 номер – П 1.1.51
#учеба #семестр_1 #высшая_математика


### Пример:

$A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
$A^{n}=?$

### Решение:

$A^2=A\cdot A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
$A^2=A$
$A^3=A^2A=AA=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
$A^4=A^3A=A^2A=AA\dots$
$\dots$
$Ответ: A^n=\begin{pmatrix}1 & 1 &  1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

## 13 номер – П 1.1.67

### Пример:

$A=\begin{pmatrix}1 & 2 & -3 & 4 \\ 5 & -6 & 7 & 8 \\ -9 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 & -6\end{pmatrix}$
$B=\begin{pmatrix}-6 & 5 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & -9 \\ 8 & 7 & -6 & 5 \\ 4 & -3 & 2 & 1\end{pmatrix}$

### Решение:

$AB=\begin{pmatrix}1 & 2 & -3 & 4 \\ 5 & -6 & 7 & 8 \\ -9 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 & -6\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-6 & 5 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & -9 \\ 8 & 7 & -6 & 5 \\ 4 & -3 & 2 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-10 & -26 & 30 & -26 \\ 46 & 44 & -6 & 112 \\ 70 & -44 & -38 & -20 \\ 6 & 72 & -30 & -8\end{pmatrix}$
$BA=\begin{pmatrix}-6 & 5 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & -9 \\ 8 & 7 & -6 & 5 \\ 4 & -3 & 2 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 2 & -3 & 4 \\ 5 & -6 & 7 & 8 \\ -9 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 & -6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8 & -30 & 72 & 6 \\ -20 & -38 & -44 & 70 \\ 112 & -6 & 44 & 46 \\ -26 & 30 & -26 & -10\end{pmatrix}$

$AB-BA\neq 0$
$\text{Ответ: Матрицы не коммутируют}$

## 15 номер – П 1.1.77

### Пример:

$A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}$
$\text{Найти:} \ AA^{T};A^{T}A;$

### Решение:

$A^T=\begin{pmatrix}1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9\end{pmatrix}$

$AA^{T}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}14 & 32 & 50 \\ 32 & 77 & 122 \\  50 & 122 & 194\end{pmatrix}$
$A^{T}A=\begin{pmatrix}1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}66 & 78 & 90 \\ 78 & 93 & 108 \\ 90 & 108 & 126\end{pmatrix}$

## 17 номер – П 1.2.64

### Пример:

$A=\begin{pmatrix}x & x-1 \\ x^{2}+x+1 & x^{2}\end{pmatrix}$
$\det A=?$

### Решение:

$\det 2\times2=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc$
$\det A=x\cdot x^{2}-(x-1)(x^{2}+x+1)=x^{3}-(x^{3}+x^{2}+x-x^{2}-x-1)=1$

## 19 номер – П 1.2.73

### Пример:

$A=\begin{pmatrix}-2 & 3 & 5 \\ 4 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & 2\end{pmatrix}$
$\det A=?$

### Решение:

$\det 3\times3=\begin{pmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{pmatrix}=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)$
$\det A=(-2)(1\cdot2-(-2)(-3))-3(4\cdot2-(-2)\cdot1)+5(4\cdot(-3)-1\cdot1)=-87$

## 21 номер – П 1.2.95

### Пример:

$A=\begin{pmatrix}0 & 5 & 2 & 0 \\ 8 & 3 & 5 & 4 \\ 7 & 2 & 4 & 1 \\ 0 & 4 & 1 & 0\end{pmatrix}$
$\det A=?$

### Решение:

$\det A=0\cdot(\dots)-5\cdot\begin{pmatrix}8 & 5 & 4 \\ 7 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}8 & 3 & 4 \\ 7 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & 0\end{pmatrix}-0\cdot(\dots)$
$\begin{pmatrix}8 & 5 & 4 \\ 7 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}=8(4\cdot0-1\cdot1)-5(7\cdot0-1\cdot0)+4(7\cdot1-4\cdot0)=20$

$\begin{pmatrix}8 & 3 & 4 \\ 7 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & 0\end{pmatrix}=8(2\cdot0-1\cdot4)-3(7\cdot0-1\cdot0)+4(7\cdot4-2\cdot0)=80$

$\det A=-5\cdot20+2\cdot80=60$

## 23 номер – П 1.2.97

### Пример:

$A=\begin{pmatrix}3 & 2 & 2 & 2 \\ 9 & -8 & 5 & 10 \\ 5 & -8 & 5 & 8 \\  6 & -5 & 4 & 7\end{pmatrix}$
$\det A=?$

### Решение:

$\det A=3\cdot\begin{pmatrix}-8 & 5 & 10 \\ -8 & 5 & 8 \\ -5 & 4 & 7\end{pmatrix}-2\cdot\begin{pmatrix}9 & 5 & 10 \\ 5 & 5 & 8 \\ 6 & 4 & 7\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}9 & -8 & 10 \\ 5 & -8 & 8 \\ 6 & -5 & 7\end{pmatrix}-2\cdot\begin{pmatrix}9 & -8 & 5 \\ 5 & -8 & 5 \\ 6 & -5 & 4\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}-8 & 5 & 10 \\ -8 & 5 & 8 \\ -5 & 4 & 7\end{pmatrix}=-8(5\cdot7-8\cdot4)-5((-8)\cdot7-8\cdot(-5))+10((-8)\cdot4-5\cdot(-5))=-14$

$\begin{pmatrix}9 & 5 & 10 \\ 5 & 5 & 8 \\ 6 & 4 & 7\end{pmatrix}=9(5\cdot7-8\cdot4)-5(5\cdot7-8\cdot6)+10(5\cdot4-5\cdot6)=-8$

$\begin{pmatrix}9 & -8 & 10 \\ 5 & -8 & 8 \\ 6 & -5 & 7\end{pmatrix}=9((-8)\cdot7-8\cdot(-5))-(-8)(5\cdot7-8\cdot6)+10(5\cdot(-5)-(-8)\cdot6)=-18$

$\begin{pmatrix}9 & -8 & 5 \\ 5 & -8 & 5 \\ 6 & -5 & 4\end{pmatrix}=9((-8)\cdot4-5\cdot(-5))-(-8)(5\cdot4-5\cdot6)+5(5\cdot(-5)-(-8)\cdot6)=-28$

$\det A=3\cdot(-14)-2\cdot(-8)+2\cdot(-18)-2\cdot(-28)=-6$

## 25 номер – П 1.2.99

### Пример:

$A=\begin{pmatrix}3 & 6 & 5 & 6 & 4 \\ 5 & 9 & 7 & 8 & 6 \\ 6 & 12 & 13 & 9 & 7 \\ 4 & 6 & 6 & 5 & 4 \\ 2 & 5 & 4 & 5 & 3\end{pmatrix}$
$\det A=?$

### Решение:

$\det A=\det\begin{pmatrix}3 & 6 & 5 & 6 & 4 \\ 2 & 3 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & -3 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 2 & 5 & 4 & 5 & 3\end{pmatrix}$

$\det A=3\cdot\begin{pmatrix}3 & 6 & 6 & 4 \\ 2 & 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 2 & 5 & 5 & 3\end{pmatrix}+3\cdot\begin{pmatrix}3 & 6 & 5 & 4 \\ 2 & 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & 4 & 3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3 & 6 & 5 & 6 \\ 2 & 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & -1 \\ 2 & 5 & 4 & 5\end{pmatrix}$

$\det\begin{pmatrix}3 & 6 & 6 & 4 \\ 2 & 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 2 & 5 & 5 & 3\end{pmatrix}=1\cdot\begin{pmatrix}6 & 6 & 4 \\ 3 & 2 & 2 \\ 5 & 5 & 3\end{pmatrix}+(-1)\cdot\begin{pmatrix}3 & 6 & 4 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 3\end{pmatrix}$
$\det\begin{pmatrix}6 & 6 & 4 \\ 3 & 2 & 2 \\ 5 & 5 & 3\end{pmatrix}=2$
$\det\begin{pmatrix}3 & 6 & 4 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 3\end{pmatrix}=1$
$\det\begin{pmatrix}3 & 6 & 6 & 4 \\ 2 & 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 2 & 5 & 5 & 3\end{pmatrix}=2-1 = 1$

$\det\begin{pmatrix}3 & 6 & 5 & 4 \\ 2 & 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & 4 & 3\end{pmatrix}=1\cdot\begin{pmatrix}6 & 5 & 4 \\ 3 & 2 & 2 \\ 5 & 4 & 3\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}3 & 6 & 4 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 3\end{pmatrix}$
$\det\begin{pmatrix}6 & 5 & 4 \\ 3 & 2 & 2 \\ 5 & 4 & 3\end{pmatrix}=6(2\cdot3-2\cdot4)-5(3\cdot3-2\cdot5)+4(3\cdot4-2\cdot5)=1$
$\det\begin{pmatrix}3 & 6 & 5 & 4 \\ 2 & 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & 4 & 3\end{pmatrix}=1+2$

$\det\begin{pmatrix}3 & 6 & 5 & 6 \\ 2 & 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & -1 \\ 2 & 5 & 4 & 5\end{pmatrix}=1\cdot\begin{pmatrix}6 & 5 & 6 \\ 3 & 2 & 2 \\ 5 & 4 & 5\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}3 & 6 & 6 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 5\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}3 & 6 & 5 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 4\end{pmatrix}$
$\det\begin{pmatrix}6 & 5 & 6 \\ 3 & 2 & 2 \\ 5 & 4 & 5\end{pmatrix}=-1$
$\det\begin{pmatrix}3 & 6 & 6 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 5\end{pmatrix}=3$
$\det\begin{pmatrix}3 & 6 & 5 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 4\end{pmatrix}=2$
$\det\begin{pmatrix}3 & 6 & 5 & 6 \\ 2 & 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & -1 \\ 2 & 5 & 4 & 5\end{pmatrix}=-1+3+2=4$

$\det A=3\cdot1+3\cdot2-4=5$

## 27 номер – П 1.2.104

### Пример:

$A=\begin{pmatrix}a_{0} & a_{1} & a_{2} & \dots & a_{n-1} & a_{n} \\ -x & x & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & -x & x & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & -x & x \end{pmatrix}$
$\det A=?$

### Решение:

$\text{Если }C_{i}=C_i+kC_j,\ \det A \text{ не меняется}$

$C_{n-1}=C_{n-1}+C_n,\ C_{n-2}=C_{n-2}+C_{n-1},\ \dots,\ C_{0}=C_{0}+C_{1}$

$\det A=\det\begin{pmatrix}a_{0}+a_{1}+\dots+a_{n} & a_{1}+a_{2}+\dots+a_{n} & \dots & a_{n-1}+a_{n} & a_{n} \\0 & x & \dots & 0 & 0 \\0 & 0 & \ddots & 0 & 0 \\\vdots & \vdots & \ddots & x & 0 \\0 & 0 & \dots & 0 & x\end{pmatrix}$

$\det A=(a_{0}+a_{1}+\dots+a_{n})\cdot x\cdot x\cdots x=x^{n}(a_{0}+a_{1}+\dots+a_{n})$

## 29 номер – П 1.2.85

### Пример:

$\begin{pmatrix}2 & 0 & -1 \\ 1 & x+5 & 2-x \\ 3 & -1 & 2\end{pmatrix} \leq 4$

### Решение:

$\det A=2((x+5)\cdot2-(2-x)\cdot(-1))-0(1\cdot2-(2-x)\cdot3)+(-1)(1\cdot(-1)-(x+5)\cdot3)=5(x+8)$

$5(x+8)\le 4$
$x+8\le \dfrac{4}{5}$
$x\le \dfrac{4}{5}-8=x\leq-\dfrac{36}{5}$
$\text{Ответ: }x\le -\dfrac{36}{5}$

## 40 номер – П 1.4.42

### Пример:

$A=\begin{pmatrix}5 & 8 & -1 \\ 2 & -3 & 2 \\ 1 & 2 & 3\end{pmatrix}$
$A^{-1} = ?$

### Решение:

$\det A=-104$

$C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$

$C_{11}=+\begin{pmatrix}-3 & 2 \\ 2 & 3\end{pmatrix}=-13$
$C_{12}=-\begin{pmatrix}2 & 2 \\ 1 & 3\end{pmatrix}=-4$
$C_{13}=+\begin{pmatrix}2 & -3 \\ 1 & 2\end{pmatrix}=7$

$C_{21}=-\begin{pmatrix}8 & -1 \\ 2 & 3\end{pmatrix}=-26$
$C_{22}=+\begin{pmatrix}5 & -1 \\ 1 & 3\end{pmatrix}=16$
$C_{23}=-\begin{pmatrix}5 & 8 \\ 1 & 2\end{pmatrix}=-2$

$C_{31}=+\begin{pmatrix}8 & -1 \\ -3 & 2\end{pmatrix}=13$
$C_{32}=-\begin{pmatrix}5 & -1 \\ 2 & 2\end{pmatrix}=-12$
$C_{33}=+\begin{pmatrix}5 & 8 \\ 2 & -3\end{pmatrix}=-31$

$C=\begin{pmatrix}-13 & -4 & 7 \\ -26 & 16 & -2 \\ 13 & -12 & -31\end{pmatrix}$
$C^{T}=\begin{pmatrix}-13 & -26 & 13 \\ -4 & 16 & -12 \\ 7 & -2 & -31\end{pmatrix}$

$A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}С^{T}=-\dfrac{1}{104}С^{T}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{8} & \dfrac{1}{4} & -\dfrac{1}{8} \\ \dfrac{1}{26} & -\dfrac{2}{13} & \dfrac{3}{26} \\ -\dfrac{7}{104} & \dfrac{1}{52} & \dfrac{31}{104}\end{pmatrix}$

## 42 номер – П 1.4.55

### Пример:

$\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 2 & 3\end{pmatrix}\cdot X\cdot \begin{pmatrix}2 & -2 \\ -4 & 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 2 & 3\end{pmatrix}$

### Решение:

$A\cdot X\cdot B=A$
$\det A\neq0,\ \det B\neq0:\ A^{-1}AXBB^{-1}=A^{-1}A$
$X=B^{-1}$

$B=\begin{pmatrix}2 & -2 \\ -4 & 5\end{pmatrix}$
$\det B=2\cdot5-(-2)\cdot(-4)=10-8=2$
$B^{-1}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}5 & 2 \\ 4 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{5}{2} & 1 \\ 2 & 1\end{pmatrix}$

$\text{Ответ: }X=\begin{pmatrix}\dfrac{5}{2} & 1 \\ 2 & 1\end{pmatrix}$

## 44 номер – П 1.4.57

### Пример:

$\begin{pmatrix}1 & -2 & 3 \\ 2 & 3 & -1 \\ 0 & -2 & 1\end{pmatrix}\cdot X=\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 3\end{pmatrix}$

### Решение:

$A\cdot X=b$
$X=\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}$

$x_{1}=\dfrac{\Delta_{1}}{\Delta},\ x_{2}=\dfrac{\Delta_{2}}{\Delta},\ x_{3}=\dfrac{\Delta_{3}}{\Delta}$

$\Delta=\det A=\begin{pmatrix}1 & -2 & 3 \\ 2 & 3 & -1 \\ 0 & -2 & 1\end{pmatrix}=-7$

$\Delta_{1}=\begin{pmatrix}2 & -2 & 3 \\ -1 & 3 & -1 \\ 3 & -2 & 1\end{pmatrix}=-15$

$\Delta_{2}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & -1 \\ 0 & 3 & 1\end{pmatrix}=16$

$\Delta_{3}=\begin{pmatrix}1 & -2 & 2 \\ 2 & 3 & -1 \\ 0 & -2 & 3\end{pmatrix}=11$

$x_{1}=\dfrac{-15}{-7}=\dfrac{15}{7}$
$x_{2}=\dfrac{16}{-7}=-\dfrac{16}{7}$
$x_{3}=\dfrac{11}{-7}=-\dfrac{11}{7}$

$\text{Ответ: }X=\begin{pmatrix}\dfrac{15}{7}\\-\dfrac{16}{7}\\-\dfrac{11}{7}\end{pmatrix}$

## 46 номер – П 1.3.17

### Пример:

$A=\begin{pmatrix}1 & -3 & 1 & -14 & 22 \\ -2 & 1 & 3 & 3 & -9 \\ -4 & -3 & 11 & -19 & 17\end{pmatrix}$
$rankA=?$

### Решение:

$R_2=R_2+2R_1,\ R_3=R_3+4R_1$
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -3 & 1 & -14 & 22 \\0 & -5 & 5 & -25 & 35 \\0 & -15 & 15 & -75 & 105\end{pmatrix}$

$R_3=R_3-3R_2$
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -3 & 1 & -14 & 22 \\0 & -5 & 5 & -25 & 35 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

$\text{Ответ: }rankA=2$

## 48 номер – П 1.3.19

### Пример:

$A=\begin{pmatrix}3 & -1 & 3 & 2 & 5 \\ 5 & -3 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & -3 & -5 & 0 & -7 \\ 7 & -5 & 1 & 4 & 1\end{pmatrix}$
$rankA=?$

### Решение:

$R_{1}\to R_3$
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -3 & -5 & 0 & -7 \\ 5 & -3 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & -1 & 3 & 2 & 5 \\ 7 & -5 & 1 & 4 & 1\end{pmatrix}$

$R_2=R_2-5R_1,\ R_3=R_3-3R_1,\ R_4=R_4-7R_1$
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -3 & -5 & 0 & -7 \\ 0 & 12 & 27 & 3 & 39 \\ 0 & 8 & 18 & 2 & 26 \\ 0 & 16 & 36 & 4 & 50\end{pmatrix}$

$R_3=3R_3-2R_2,\ R_4=3R_4-4R_2$
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -3 & -5 & 0 & -7 \\ 0 & 12 & 27 & 3 & 39 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -6\end{pmatrix}$

$R_3\to R_4$
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -3 & -5 & 0 & -7 \\ 0 & 12 & 27 & 3 & 39 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

$\text{Ответ: }rankA=3$

## 50 номер – П 1.3.21

### Пример:

$A=\begin{pmatrix}4 & 3 & -5 & 2 & 3 \\ 8 & 6 & -7 & 4 & 2 \\ 4 & 3 & -8 & 2 & 7 \\ 4 & 3 & 1 & 2 & -5 \\ 8 & 6 & -1 & 4 & -6\end{pmatrix}$
$rankA=?$

### Решение:

$R_2=R_2-2R_1,\ R_3=R_3-R_1,\ R_4=R_4-R_1,\ R_5=R_5-2R_1$
$A\sim\begin{pmatrix}4 & 3 & -5 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & -3 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 6 & 0 & -8 \\ 0 & 0 & 9 & 0 & -12\end{pmatrix}$

$R_3=R_3+R_2,\ R_4=R_4-2R_2,\ R_5=R_5-3R_2$
$A\sim\begin{pmatrix}4 & 3 & -5 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

$\text{Ответ: }rankA=2$

## 52 номер – П 1.3.23

### Пример:

$A=\begin{pmatrix}3 & -1 & 2 \\ 4 & -3 & 3 \\ 1 & 3 & 0\end{pmatrix}$
$rankA=?$

### Решение:

$M_{1}=\begin{pmatrix}3\end{pmatrix}=3\neq0$

$M_{2}=\begin{pmatrix}3 & -1 \\ 4 & -3\end{pmatrix}=-5\neq0$

$\det A=0$

$\text{Ответ: }rankA=2$
$\text{Базисный минор: }M_{2}=\begin{pmatrix}3 & -1 \\ 4 & -3\end{pmatrix},\ \det M_{2}=-5$

## 54 номер – П 1.3.35

### Пример:

$\text{Как может измениться ранг матрицы при добавлении к ней одной произвольной строки? Одного произвольного столбца?}$

### Решение:

$rankA=r$

$\text{Добавим одну строку: }A\to \tilde A$
$\tilde r=rank\tilde A$
$\text{Новая строка линейно выражается через старые строки }; \tilde r=r$
$\text{Новая строка не выражается через старые строки }; \tilde r=r+1; \tilde r\in\{r,\ r+1\}$

$\text{Добавим один столбец: }A\to \hat A$
$\hat r=rank\hat A$
$\text{Новый столбец линейно выражается через старые столбцы }; \hat r=r$
$\text{Новый столбец не выражается через старые столбцы }; \hat r=r+1$
$\hat r\in\{r,\ r+1\}$

$\text{Ответ: ранг либо не изменится, либо увеличится на 1 (уменьшиться не может).}$

## 56 номер – П 1.3.27

### Пример:

$A=\begin{pmatrix}1 & -2 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & -1 & 1 & -2 \\ 2 & -5 & 1 & -2 & 2\end{pmatrix}$
$rankA=?$

### Решение:

$R_2=R_2-2R_1,\ R_3=R_3-3R_1,\ R_4=R_4-2R_1$
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -2 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 5 & -3 & 4 & -5 \\ 0 & 4 & -4 & 4 & -5 \\ 0 & -1 & -1 & 0 & 0\end{pmatrix}$

$R_3=5R_3-4R_2,\ R_4=5R_4+R_2$
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -2 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 5 & -3 & 4 & -5 \\ 0 & 0 & -8 & 4 & -5 \\ 0 & 0 & -8 & 4 & -5\end{pmatrix}$

$R_4=R_4-R_3$
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -2 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 5 & -3 & 4 & -5 \\ 0 & 0 & -8 & 4 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

$\text{Ответ: }rankA=3$

## 58 номер – П 1.3.29

### Пример:

$A=\begin{pmatrix}1 & -3 & 2 & 0 \\ 2 & -3 & -1 & 3 \\ 3 & -6 & -1 & \lambda \\ 1 & -2 & 0 & 1\end{pmatrix}$
$rankA=?$

### Решение:

$R_2=R_2-2R_1,\ R_3=R_3-3R_1,\ R_4=R_4-R_1$
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -3 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & -5 & 3 \\ 0 & 3 & -7 & \lambda \\ 0 & 1 & -2 & 1\end{pmatrix}$

$R_2\to R_4$
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & -7 & \lambda \\ 0 & 3 & -5 & 3\end{pmatrix}$

$R_3=R_3-3R_2,\ R_4=R_4-3R_2$
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & \lambda-3 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$

$R_4=R_4+R_3$
$A\sim\begin{pmatrix}1 & -3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & \lambda-3 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda-3\end{pmatrix}$

$\lambda\neq3; \lambda-3\neq0; rankA=4$
$\lambda=3; \lambda-3=0; rankA=3$

$\text{Ответ: }rankA=\begin{cases}4,&\lambda\neq3\\3,&\lambda=3\end{cases}$